MANUAL DE METODOLOGÍAS ANEXOS ANEXO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

MANUAL DE METODOLOGÍAS ANEOS ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 II. INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN LINEAL En VALMER se aplican distintos étodos de interpolación, que principalente se utilizan para encontrar la estructura teporal de tasas a partir de puntos concretos (nodos otenidos de niveles de ercado, ya sea de anera directa o indirecta. Los nodos son de la fora (t, r t donde t es el plazo y r t es el rendiiento asociado a dicho plazo. Sin eargo, con la finalidad de exponer los étodos de interpolación de fora general, se utilizará la notación (, para cada nodo. INTERPOLACIÓN La interpolación lineal es la fora ás siple de interpolar. Consiste en construir una función lineal que tenga coo extreos a los nodos conocidos. El prolea principal de este tipo de interpolación es que si existen varios nodos que no pertenecen a una isa recta, el resultado es una función no derivale en cada nodo, lo que significa que no es una función suavizada, coo se uestra, ás adelante en el ejeplo. Si se consideran dos nodos (, y (, y se desea encontrar el valor de asociado a un valor, tal que < <, coo se uestra en la siguiente gráfica:, (,, Se utiliza la equivalencia de los triángulos: Despejando la variale de la expresión anterior resulta: INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN LINEAL Página de

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 Donde el térino indica la pendiente de la recta. De este odo, es posile deterinar el valor de para cualquier ayor a y enor que. Ejeplo. Interpolación con nodos Supóngase que se tiene los siguientes datos: Plazo Tasa de Interés 8 7.6 % 9 7.4 % se desea otener las tasas de interés correspondiente a los plazos 5 y 7 días. Por coodidad se traajarán con las tasas ultiplicadas por. La función lineal que contiene a los dos nodos conocidos está dada por: 7.4 9 7.6 8 8 7.6 Si = 5 entonces 7.4 7.6 9 8 5 8 7.6 7. 94 Si = 7 entonces 7.4 7.6 9 8 7 8 7.6 7. 7 Ejeplo. Interpolación con 4 nodos Plazo Tasa de interés 4 7.9 % 5 7.4 % 6 7.5 % 7 7.8 % Coo se tienen 4 nodos existen tres funciones lineales, dadas por: INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN LINEAL Página de

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 7.4 7.9 4 7.9 Para 4 < < 5 5 4 7.5 7.4 5 7.4 Para 5 < < 6 6 5 7.8 7.5 6 7.5 Para 6 < < 7 7 6 Oteniendo la siguiente gráfica: Tasas 7.4% 7.8% 7.6% 7.4% 7.% 7.% 7.8% 7.6% 7.4% 4 5 6 7 Plazos ETRAPOLACIÓN Por otra parte, para extrapolar linealente se utiliza la últia recta generada con los datos conocidos. Por ejeplo, si se desea otener el valor cuando = 75 del ejercicio anterior, la extrapolación lineal es la siguiente: 7.8 7 7.5 6 75 6 7.5 7.95 INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN LINEAL Página de

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 II.. INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES El étodo de Interpolación cúica con estiación lineal de pendientes consiste en la interpolación de n nodos conocidos de la fora (,, (,,, ( n, n, utilizando una failia de n- polinoios de tercer grado. De la siguiente expresión se desea encontrar el valor i asociado a. i Si ( a i ( i i ( i ci ( i di Donde el suíndice i, indica el polinoio de tercer grado que asocia a los nodos ( i, i y ( i+, i+. Para otener la interpolación, es necesario otener los coeficientes a i, i, c i y d i de cada polinoio a partir de los nodos conocidos. De anera explícita la failia de los n- polinoios, es la siguiente: S( S( a( ( c( d S ( a ( ( c ( d... Sn ( a n ( n n ( n cn ( n d n Para Para Para n n Se tienen 4n-4 incógnitas (los coeficientes de cada polinoio y se estalecerán 4n-4 condiciones a la curva, para contar con un sistea de ecuaciones del cual se otengan los coeficientes de cada polinoio. Propiedades de la curva.-congruencia con los nodos originales: Cada polinoio dee pasar por los nodos o puntos originales que lo generaron, por lo que: S Para i =,, n- i (i i Con lo que se otienen n- condiciones..-continuidad: La curva dee ser continua, por lo que se incluye la condición de que el últio valor del polinoio anterior i dee ser igual al prier valor del polinoio posterior i+. Dicha condición se expresa de la siguiente fora: S ( S ( Para i =,, n- i n i n i Con lo que se otienen n- condiciones. n i i S ( Para i = n- INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página de 7

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7.-La curva dee ser derivale (suavidad en la curva: Para los nodos que se encuentren dentro de los nodos extreos, la derivada evaluada con el polinoio anterior dee ser igual a la derivada evaluada con el polinoio posterior: Si (i Si (i Para i =,, n- Donde la priera derivada está dada por S i ( a i ( i i ( i ci Con lo que se otienen n- condiciones. 4.- Condiciones de Frontera: Las pendientes de la curva en los puntos extreos son definidas coo la pendiente de cada recta forada por los dos prieros y últios puntos, respectivaente. S ( y S n ( n n n n n Con lo que se tienen condiciones ás. 5. Estiación lineal de pendientes: Para encontrar el valor con la que se igualan las derivadas de los nodos internos, se define a la pendiente coo el proedio ponderado de las pendientes de las dos rectas foradas con los nodos adyacentes, siepre y cuando cuenten con el iso signo, en caso contrario, la pendiente será igual a cero. Para i =,, n-, el valor se otiene a partir de: S i ( i i,i i,i Para i,i * i,i Para i,i * i,i Donde: i,i i i i i Con lo que se otienen n- condiciones. Con las cinco propiedades anteriores se fora un sistea de 4n-4 ecuaciones y 4n-4 incógnitas, por lo que es posile encontrar los coeficientes de cada polinoio. INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página de 7

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 Para ilustrar de fora general las propiedades antes descritas, se ejeplificará el sistea de ecuaciones con tres puntos o nodos originales, lo cual genera un sistea de 8 ecuaciones con 8 incógnitas, dicho sistea sería de la siguiente fora: Priera propiedad, S i (i i ª ecuación: S ( = a ( - + ( - + c ( - + d = d = ª ecuación: S ( = a ( - + ( - + c ( - + d = d = Segunda propiedad, S i (i i ª ecuación: S ( = a ( - + ( - + c ( - + d = 4ª ecuación: S ( = a ( - + ( - + c ( - + d = i Tercera propiedad, S ( S ( i i i Al ser tres nodos, solaente se tiene un nodo interior, en el que la derivada del polinoio anterior y el posterior deen ser iguales. 5ª ecuación: S ( = S ( Es decir, a ( - + ( - +c = c Cuarta propiedad, condiciones de frontera 6ª ecuación: S ( a ( ( c c 7ª ecuación: S ( a ( ( c Quinta propiedad, estiación lineal de pendientes 8ª ecuación: S ( = a ( - + ( - +c = El sistea de ecuaciones se puede expresar de anera atricial de la siguiente fora: INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página de 7

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 4 de 7 ( S ( S ( S d c a d c a ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Donde: ( S ( S ( S Una vez que se cuente con este sistea de ecuaciones de la fora Ax = es posile utilizar algún étodo ateático para encontrar su solución, por ejeplo, utilizar descoposición triangular, atrices inversas, etc. Al resolver el sistea de ecuaciones anterior se deterinan los coeficientes de los dos polinoios y por ende la curva copleta. Ejeplo. Interpolación con nodos. Se tienen los siguientes nodos: Plazo Tasa de interés 7. 7 7.5 8 8. En esta tala se tienen nodos, por lo que es necesario construir dos polinoios de grado, lo que iplica encontrar los 8 coeficientes de los polinoios. Por coodidad se traajarán con las tasas ultiplicadas por. Por lo tanto las 8 ecuaciones expresadas de anera atricial son:

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 6 8 8 6 6 96 44 4 a c d a c d 7 7.5 7.5 8.8.8.465 Al resolver el sistea utilizando la atriz inversa, se otiene el vector solución de coeficientes de los polinoios: Coeficientes del prier polinoio Coeficientes del segundo polinoio a = -. a =.45 =.664 = -.89 c =.8 c =.465 d = 7 d = 7.5 Por lo tanto, los polinoios son: S ( = -. (- +.664 (- +.8 (- + 7 S ( =.45 (-7.89(-7 +.465(-7 + 7.5 Gráficaente, los polinoios generan la siguiente curva: INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 5 de 7

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 Tasas 8.% 7.9% 7.7% 7.5% 7.% 7.% 6.9% 5 7 9 5 7 9 5 7 Plazos Ejeplo. Interpolación con 5 nodos. Se tienen los siguientes nodos: Plazo Tasa de interés 5. 8 5.8 8 6.5 9. 6. Estos nodos están dispuestos de anera que la curva es un poco ás accidentada que la anterior. Estos nodos generan 4 polinoios de tercer grado (cuatro coeficientes cada uno por lo que se dee construir una atriz de 66. La construcción de dicha atriz es análoga a la anterior por lo que sólo se encionarán los resultados otenidos, los cuales son los siguientes: INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 6 de 7

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 S ( S ( S ( S 4 ( a i i c i d i -.. -...68 -.8. -.46.96.947.544.856 5. 5.8 6.5 9. Por lo que la gráfica de interpolación es: Tasas.%.% 8.% 6.% 4.%.%.% 6 9 5 8 4 7 6 Plazos INTERPOLACIÓN CÚBICA CON ESTIMACIÓN LINEAL DE PENDIENTES Página 7 de 7

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 II.. INTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES El odelo de Interpolación Cuic Spline o Trazadores Cúicos, es siilar al odelo de interpolación cúica con estiación lineal de pendientes, la única diferencia es que en este caso se asuen propiedades con la segunda derivada. Se cuenta con la inforación de n nodos conocidos, de la fora (,, (,,, ( n, n, utilizando una failia de n- polinoios de tercer grado. De la siguiente expresión se desea encontrar los coeficientes a i, i, c i y d i, para i =,,n-. i Si ( a i ( i i ( i ci ( i di Donde el suíndice i, indica el polinoio de tercer grado que asocia a los nodos ( i, i y ( i+, i+. De anera explícita la failia de los n- polinoios, es la siguiente: S( S( a( ( c( d S ( a ( ( c ( d... Sn ( a n ( n n ( n cn ( n d n Para Para Para n n Se tienen 4n-4 incógnitas (los coeficientes de cada polinoio, por lo que se estalecerán 4n-4 ecuaciones, tales que reflejen las siguientes propiedades:.-congruencia con los nodos originales. Cada polinoio dee pasar por los nodos o puntos originales, por lo que: S Para i =,, n- i (i i Con lo que se otienen n- condiciones..-continuidad. La curva dee ser continua, por lo que se incluye la condición de que el últio valor del polinoio anterior i dee ser igual al prier valor del polinoio posterior i+. Dicha condición se expresa de la siguiente fora: S ( S ( Para i =,, n- i n i n i n i i S ( Para i = n- Con lo que se otienen n- condiciones. INTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES Página de 6

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7.- La curva dee ser derivale (suavidad en la curva. Para los nodos que se encuentren dentro de los nodos extreos, la derivada evaluada con el polinoio anterior dee ser igual a la derivada evaluada con el polinoio posterior, por lo que se tienen n- condiciones dadas por: Si (i Si (i Para i =,, n- La priera derivada es: S i ( a i ( i i ( i ci Con lo que se otienen n- condiciones. 4.- Segunda derivada de la función. De la isa fora que en la priera derivada, en los nodos que se encuentren dentro de los nodos extreos, la segunda derivada evaluada con el polinoio anterior dee ser igual a la segunda derivada evaluada con el polinoio posterior, por lo que se tienen n- condiciones dadas por: Si (i Si (i Para i =,, n- La segunda derivada es: i S ( 6a i ( Con lo que se otienen n- condiciones. i i 5. Condiciones de Frontera. Para contar con las dos últias ecuaciones necesarias para otener los coeficientes de cada polinoio, se dee utilizar cualquiera de las siguientes condiciones de frontera: (i S ( Sn ( n Frontera lire o natural (ii S ( f ( y Sn (n f (n Frontera sujeta En Valer, se utiliza la segunda opción y los valores de las condiciones de frontera, están dados por: S ( y S n ( n n n n n Para ilustrar la interpolación, supongaos que teneos tres puntos o nodos originales, lo cual genera un sistea de ecuaciones de 8 ecuaciones y 8 incógnitas, dicho sistea sería de la siguiente fora: Priera propiedad: INTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES Página de 6

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 ª ecuación: S ( = a ( - + ( - + c ( - + d = d = ª ecuación: S ( = a ( - + ( - + c ( - + d = d = Segunda propiedad: ª ecuación: S ( = S ( a ( - + ( - + c ( - + d =d 4ª ecuación: S ( = a ( - + ( - + c ( - + d = Tercera propiedad: S 5ª ecuación: S ( = ( Lo cual se traduce en a ( - + ( - +c = c Cuarta propiedad: 6ª ecuación: S ( = S ( Lo cual se traduce en 6a ( - + = Quinta propiedad: 7ª ecuación: S ( a ( ( c c 8ª ecuación: S ( a ( ( c INTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES Página de 6

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 INTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES Página 4 de 6 El sistea de ecuaciones se puede expresar de anera atricial de la siguiente fora: ( S ( S d c a d c a ( ( 6( ( ( ( ( ( ( ( Donde: ( S ( S Una vez que se cuente con este sistea de ecuaciones de la fora Ax = es posile utilizar algún étodo para encontrar su solución, por ejeplo, utilizar descoposición triangular, atrices inversas, etc. Al resolver el sistea de ecuaciones anterior se deterinan los coeficientes de los dos polinoios y por lo tanto, la función copleta. Ejeplo. Interpolación con nodos. Se tienen los siguientes nodos: Plazo Tasa de Interés 7. % 7 7.5 % 8 8. %

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 En esta tala se tienen nodos, por lo que es necesario construir dos polinoios de grado, lo que iplica encontrar los 8 coeficientes de los polinoios. Por coodidad se traajarán con las tasas ultiplicadas por. Por lo tanto las 8 ecuaciones expresadas de anera atricial son: 6 8 6 6 6 96 44 4 a c d a c d 7 7.5 8.8.8 Al resolver el sistea por atrices inversas, se otiene el vector solución de coeficientes de los polinoios: Coeficientes del prier polinoio Coeficientes del segundo polinoio a = -.67 a =.5 =.5 = -.449 c =.8 c =.76 d = 7. d = 7.5 Por lo tanto, los polinoios son: S ( = -.67 (- +.5 (- +.8 (- + 7 S ( =.5 (-7.449 (-7 +.76 (-7 + 7.5 Gráficaente, los polinoios generan la siguiente curva: INTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES Página 5 de 6

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 Tasas 8.% 7.9% 7.7% 7.5% 7.% 7.% 6.9% 5 7 9 5 7 9 5 7 Plazos INTERPOLACIÓN POR CUBIC SPLINES Página 6 de 6

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 II.4. INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR SMOOTHING SPLINES Los Splines proporcionan un caino útil para generar curvas suaves a partir de un conjunto de nodos ( i, i conocidos. El ojetivo de este étodo puede ser interpolar, donde se requiere que la curva pase a través de todos los nodos, o para un proceso ás general de ajuste, en el cual la curva ayuda a ejorar el ajuste, pero no necesariaente pasa por todos los nodos. En contraste con los odelos alternativos, tales coo los polinoios de ajuste de alto orden, una ventaja de los Splines es que requieren de un núero pequeño de paráetros. Considerando un conjunto de datos de inforación, en la terinología de los splines, los valores son referenciados a los plazos, y los valores coo las tasas asociadas con dichos plazos. El ajuste del spline involucra el vínculo de cada par de nodos adyacentes con un polinoio cúico de tal fora que la función resultante sea suave, esto se garantiza con la propiedad de que sean continuas sus prieras y segundas derivadas. La función del spline suavizado, denotado por f, surge de resolver el siguiente prolea: in f n p w i i i f (i ( p n λ(s[f (s] ds Esta expresión consta de dos eleentos. El priero, la sua, ide la diferencia que existe entre los valores de conocidos y los calculados con el odelo a partir de la correspondiente. El segundo, la integral toada del nodo inicial al nodo final, ide la suavidad de la función resultante. Tanto la sua coo la integral están ponderadas por el paráetro p, que está acotado entre y. A ayor p ayor peso se le da a la sua de los errores y a enor p ayor peso se le asigna a la suavidad de la función. Cuando p= el prolea es idéntico al de spline cúico. (s es el paráetro de suavizaiento y tiene valor de default. Las diferencias de los rendiientos y el odelo están ponderadas por las w s. Estas w s le dan diferente peso a las diferencias de los nodos. En especial, para la construcción de la estructura teporal de tasas, se asue que el peso deer ser enor confore crece el plazo. Por lo que se propone deterinar las w i s coo: w i / D n j Donde D i es la duración de un ono cupón cero con un plazo de i. Con lo que se estalece que a enor plazo ayor peso se le otorga al nodo en cuestión. En la práctica este procediiento arroja resultados satisfactorios. A continuación se uestra un diagraa con dos odelos: Nelson-Siegel-Svensson y Soothing Splines. i / D j INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR SMOOTHING SPLINES Página de

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 Es iportante encionar que para la estiación de Nelson-Siegel-Svensson no se incorporan dos de los nodos de largo plazo, de otra anera al ajuste en el corto plazo sería pore. Coo se oserva en el corto plazo el ajuste es siilar. Sin eargo, en el ediano y largo plazo el ajuste es significativaente diferente. Se considera que el étodo de Soothing Splines incorpora de ejor anera la inforación del ercado y, de anera iportante, es lo suficienteente flexile para ser útil coo odelo a las caiantes condiciones del ercado exicano. Un punto de sua relevancia es el plazo ás allá del últio nodo. Dado que el spline presenta una trayectoria accidentada ás allá de este últio nodo, se propone un ajuste para la extrapolación de estos plazos. Una vez otenidos los nodos se corre una regresión (ínios cuadrados ordinarios y se otiene el rendiiento que señale la línea de la regresión correspondiente al ás largo plazo que se quiere considerar. Con este nodo adicional se ejecuta el proceso descrito anteriorente lo cual rinda un odelo para plazos ás largos, y el ajuste para los plazos cortos y edianos es satisfactorio. Una preocupación al odelar la estructura teporal de tasas es la curva de forwards iplícita en el odelo resultante. Priero, las tasas forward deen de ser consistentes. Segundo, las tasas forward no deen de aditir aritraje, tea que se aorda ás aajo. A la luz de la teoría de expectativas, la cual asevera que los agentes en la econoía, dada la inforación del ercado tienen esperado oservar, por ejeplo un día después, una estructura teporal de tasas igual a la de las tasas forward de a t días. INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR SMOOTHING SPLINES Página de

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 II.5. INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL El odelo de Nelson-Siegel es un odelo parsionioso no-lineal, el cual propone una función para descriir el coportaiento de las tasas forward con el paso del tiepo. Se asa en la preisa de que existe un conjunto de ecuaciones diferenciales que generan las foras típicas de la curva de rendiiento de los ercados, es iportante encionar que este odelo puede generar curvas con características atípicas coo son las curvas que tienen fora de S o las curvas que tienen rendiientos ás altos en la parte edia de la curva. Los autores proponen la siguiente ecuación función para representar curva de tasas de interés instantáneas r al venciiento : r( *exp * *exp Coponente: El prier coponente puede verse coo la contriución del largo plazo. Los otros coponentes convergerán en cero cuando el venciiento auente, ya que se ultiplican por el térino de decaiiento exponencial. Coponente: *exp Puede verse coo la contriución del corto plazo. Este coponente es uy iportante en el venciiento cercano del plazo, sin eargo, converge rápidaente a cero cuando se increenta el plazo. Tiene el decaiiento ás rápido de todas las funciones. Coponente: * *exp Esta función taién tiene el térino de decaiiento exponencial pero ultiplicado por, que se increenta con el plazo a venciiento. Por lo tanto, esta función epieza en cero (cuando es igual a y se increenta hasta un áxio antes de converger otra vez en cero. Bajo el supuesto de un ercado lire de aritraje se tiene lo siguiente: exp R( exp r( exp r( exp(r exp j r( j j Donde Nelson y Siegel, Parsioneous Modeling of ield Curves for U. S. Treasury Bills, 985. INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL Página de 4

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 R( Tasa de interés para el periodo,. r( j Tasa de interés forward para el periodo j, j con j,, j j j Por lo que, haciendo j, y caiando la notación de, se tiene: R ( r(xdx Resolviendo la integral y despejando R ( se tiene el odelo de Nelson-Siegel, la cual puede ser expresada de la siguiente fora: R( ( * exp * *exp Es decir, la tasa spot actual se define a partir del coportaiento futuro de las tasas forward, deterinada por cuatro paráetros,,,,. Los paráetros eta pueden ser estiados ediante el étodo de ínios cuadrados una vez que se ha elegido un paráetro tau. Sin eargo, el proceso no iplica la selección de un paráetro Tau fijo. En su lugar, se propone ajustar el odelo para valores últiples de Tau y para cada Tau, usar ínios cuadrados para un ejor ajuste de los coeficientes,. Así, la R-cuadrada es la edida para saer qué tan ien el odelo se ajusta a los datos. Supongaos que teneos las siguientes oservaciones de tasas de interés: Plazo Tasa de Interés 5.6 % 8 9.77 % 56.84 % 84.6 %. % 4 9.55 % 68 9.8 % 96 8.7 % 4 8.48 % 5 8. % 8 8. % 8 8. % 6 8.8 % 64 8. % Es iportante oservar que los nodos entre 8 y días presentan ayor rendiiento que las tasas susecuentes, esto fue planteado así para oservar el ajuste del odelo de Nelson-Siegel a estructuras teporales de tasa de interés atípicas coo es este caso. INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL Página de 4

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 El paráetro Tau fue fijado en 5 por que este valor proporcionaa un uen ajuste a la estructura anterior. Con este paráetro y utilizando el étodo de ínios cuadrados se deterinan los coeficientes eta del odelo de Nelson-Siegel. En nuestro ejeplo, los coeficientes son los siguientes: Paráetro Estiación por MCO.8 -.497.7 5 La gráfica del odelo utilizando estos paráetros es la siguiente:.% Nelson Siegel.% 8.% 6.% 4.%.%.% Originales Estiados 8 56 84 4 68 96 4 5 8 8 6 64 Coo se puede ver en la gráfica existen pequeñas desviaciones con respecto a los nodos originales, sin eargo, la curva proporciona un uen ajuste ya que la sua de los errores elevados al cuadrado es.%, teniendo ayor desviación en el prier nodo, coo se puede ver en el siguiente cuadro: Plazo Originales Estiados Error^ 5.6% 5.7488%.% INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL Página de 4

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 8 9.77% 9.77%.% 56.84%.84%.% 84.6%.666%.4%.%.94%.% 4 9.55% 9.554%.% 68 9.8% 9.89%.% 96 8.7% 8.787%.% 4 8.48% 8.4799%.% 5 8.% 8.5%.% 8 8.% 8.98%.% 8 8.% 8.5%.% 6 8.8% 8.785%.% 64 8.% 8.489%.% INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL Página 4 de 4

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 II.6. INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL-SVENSSON La extensión de Svensson al odelo de Nelson_Siegel consiste en agregar un cuarto coponente a la función de tasas forward de Nelson-Siegel, con el fin de tener una ayor flexiilidad en la curva. r ( *exp * *exp *exp El odelo tiene seis paráetros que deen ser estiados:,,,,,. Este paráetro, el cual dee ser positivo, es el valor asintótico de r(. La curva tenderá hacia ese valor asintótico ientras tienda a infinito. Este paráetro deterina el valor inicial (el térino a corto plazo de la curva en térinos de desviación de la asíntota. Éste taién define la velocidad ásica con la cual la curva tiende hacía su largo plazo. La curva tendrá una pendiente negativa en el corto plazo cuando este paráetro es positivo y viceversa. La sua de y es la intersección vertical. Este paráetro deterina la agnitud y dirección de la curva. Si es positiva, una curva ocurrirá en ientras que si es negativa, una curva con fora de U ocurrirá en este iso valor. Este paráetro al igual que, deterina la agnitud y dirección de la segunda curva. = Este paráetro que deerá ser positivo, especifica la posición de la prier curva con fora de U. = Este paráetro que deerá ser positivo, especifica la posición de la segunda curva con fora de U. De igual odo, la función de la tasa de rendiiento cero se otiene integrando la función. El resultado es el siguiente: R ( exp exp exp exp exp Svensson, Lars, Estiating and Interpreting Forward Interest Rates, 994. INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL-SVENSSON Página de

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 A partir de esta expresión se puede otener la tasa de interés continua, por lo que se dee encontrar la tasa de interés siple equivalente. Dicha tasa se despeja noralente de la siguiente expresión: Es decir, exp plazo r 6 plazo i 6 plazo r i e 6 6 * plazo Donde r es una tasa de interés continua e i es una tasa de interés siple. Coo ejeplo utilizareos la curva de tasas de interés del odelo de Nelson Siegel. Para estiar los paráetros eta se utilizó una 5 y una 6, por que se encontró que dichos valores proporcionaan un uen ajuste a la curva final. Los valores de los paráetros eta fueron otenidos, al igual que en el caso anterior, ediante el étodo de ínios cuadrados, resultando los siguientes: Paráetro Estiación por MCO.79995 -.4956.997.84 5 6 Con estos paráetros, se tiene que la sua del cuadrado de los errores de estiación es tan solo del.6%, por lo que se puede decir que este odelo se ajustó ejor a la estructura teporal de tasas de interés que el odelo de Nelson-Siegel. En la siguiente tala se uestran las estiaciones de la tasa de interés en los nodos originales: INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL-SVENSSON Página de

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 Plazo Originales Estiados Error^ 5.75% 5.749%.% 8 9.77% 9.77%.% 56.84%.898%.% 84.67%.6665%.4%.%.%.% 4 9.55% 9.55%.% 68 9.8% 9.85%.% 96 8.7% 8.79%.% 4 8.48% 8.48%.% 5 8.% 8.5%.% 8 8.% 8.98%.% 8 8.% 8.48%.% 6 8.8% 8.779%.% 64 8.5% 8.48%.% La gráfica de la curva estiada es uy siilar al odelo de Nelson-Siegel.. Nelson Siegel + Svensson..8.6.4. Originales Estiados 8 56 84 4 68 96 4 5 8 8 6 64 INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN POR NELSON-SIEGEL-SVENSSON Página de

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 II.7. ETRAPOLACIÓN CON TASAS FORWARD CONSTANTES La tasa forward denotada por a F, es la tasa que hace equivalente invertir en una tasa de interés r con plazo, a utilizar una tasa de interés r a con plazo a, y posteriorente reinvertir a una tasa de interés para el periodo (a,. Tal coo se uestra en la siguiente gráfica: F a r r a F a a Esta equivalencia se hace ajo el supuesto de ausencia de oportunidades de aritraje y analíticaente se expresa por: r 6 r a a 6 F a a 6 Donde: r Tasa siple correspondiente al plazo Tasa siple correspondiente al plazo a r a F a Tasa forward del tiepo a al tiepo Con a < Si se conocen las tasas siples, r y r a, es posile otener la tasa forward, Al despejarla de la igualdad antes encionada, se tiene: F a, iplícita. Fa r 6 a ra 6 6 a ETRAPOLACIÓN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Página de 5

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 A anera de ejeplo, supóngase que se tienen los siguientes datos: Plazo Tasa Cero Siple r 6.9989 % r 58 58 7.455 % Por lo tanto, la tasa iplícita de 8 días que aplicará dentro de días, 58 F, es: F 58 58.7455 6.69989 6 6 8.749 Extrapolación Sea desean otener las tasas siples de + hasta, y se supone conocida la estructura teporal de tasas siples desde hasta. -p -p+ - - + + Conocidas No Conocidas Coo puede oservarse la últia tasa forward conocida de un día es Una vez que se tiene el valor de F F Por lo que la tasa siple del periodo + es: r 6 r 6 6 F, que se otiene a partir de:, éste se supone constante para los siguientes periodos, es decir, F F... F r r 6 F 6 6 Posteriorente, se utiliza el valor de r + y la tasa forward constante para otener r + y, así sucesivaente, hasta otener la tasa r. ETRAPOLACIÓN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Página de 5

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 Cae encionar, que adeás de la tasa forward asociada a un periodo se podría utilizar cualquier otra tasa forward. De anera general, se podría utilizar la tasa forward asociada a p días, F p. F p F p F p -p -p+ - - + + Conocidas No Conocidas Por lo que la tasa F, es: p F p r 6 p r p 6 6 p Dado que F se antendrá constante, entonces p del plazo + se otiene de la siguiente fora, F p F p... F p, por lo que la tasa de interés r r p p 6 F p p 6 6 O ien, de anera general: Para j =,,, - r j r p j p 6 j F j p j p 6 6 j Coo ejeplo, supóngase que se tiene una curva cero de interés con días y se desea extrapolar la inforación hasta el plazo 5, usando la últia tasa forward de 5 días conocida. Con la notación teneos que: = = 5 p = 5 ETRAPOLACIÓN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Página de 5

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7.66 6 La últia tasa forward de 5 días conocida es F 6 5. 67 5 5.59 6 Al antener esta tasa constante, los valores de la tasa siple de a 5 días están dados por: Para j =,,, 5 r j r 5 j 5 j 6 5.67 6 6 j 6 5 6 Por ejeplo, para j = se tiene r.67.67. 64 6 6 De la isa fora se calculan las tasas siples hasta el día 5, oteniendo: Plazo Tasa Cero Siple % Tasa Forward 5 días.484.6.59.654.55.665 4.574.67 5.59.67 6.67.67 7.67.67 8.64.67 9.6.67.66.67.64.644.647 4.649 5.65 ETRAPOLACIÓN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Página 4 de 5

ANEO II. MODELOS DE INTERPOLACIÓN ETRAPOLACIÓN FECHA: -AGO -7 Al graficar las tasas siples, se otiene: Tasas.7%.65%.6%.55%.5%.45%.4%.5% 4 5 6 7 8 9 4 5 Plazos ETRAPOLACIÓN CON TASAS FORWARD CONSTANTES Página 5 de 5