Clase : Ecuaciones lineales, cuadráticas, racionales y con raíz Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Resolver ecuaciones racionales y con raíz transformando la ecuación en una lineal o cuadrática.. Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones que contienen una o más variables o incógnitas. Ejemplo. Ecuación Epresiones Variables 7+ = 3 7+, 3 5 = 3+ 5, 3+ + 3 = 0 + 3, 0 3 + = 5+ 3 +, 5+ + = +, +3 = ++ +3, ++ +y = y +y, y, y +y = 4 +y, 4, y +y +z +y +z = +y, y, y, z y y + = +, Al ser una ecuación la igualdad entre dos epresiones, esta igualdad puede o no ser cierta dependiendo de los valores numéricos que tomen las variables o incógnitas. Por ejemplo, la ecuación 3+ = 5 para = se tiene 3 + = 5, que es una igualdad cierta, mientras que si = se tiene 3 + = 5, que es una igualdad falsa. Los números reales que hacen cierta una ecuación se llaman raíces de la ecuación o soluciones de la ecuación. El conjunto de todas las raíces de la ecuación se denomina conjunto solución.
Ejemplo.. La ecuación +3 = tiene por conjunto solución S = { }.. La ecuación = tiene por conjunto solución S = {,}. 3. La ecuación + = tiene por conjunto solución S =, conjunto vacío. Este es un caso de ecuación que no admite raíces reales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si poseen el mismo conjunto solución. Ejemplo.. Las ecuaciones +3 = y + = 0 son equivalentes ya que ambas tienen conjunto solución S = { }.. Las ecuaciones 4 = 0 y = 4 son equivalentes ya que ambas tienen conjunto solución S = {, }. 3. Las ecuaciones = y = + + son equivalentes ya que ambas tienen conjunto solución S = {0}. Para resolver una ecuación, tratamos de hallar una ecuación equivalente más sencilla. Las siguientes propiedades para el signo igualdad nos ayudarán a determinar estas ecuaciones equivalentes. Propiedades de la Igualdad. A = B A+C = B +C (Propiedad Aditiva). A = B A C = B C, C 0 (Propiedad Multiplicativa) En las siguientes secciones veremos como las propiedades de la igualdad nos permiten determinar el conjunto solución de una ecuación.
.. Ecuaciones de Primer Grado Una ecuación lineal de una variable es una ecuación que sólo involucra sumas y ponderados de una variable a la primera potencia. Este tipo de ecuación es equivalente a una de la forma donde a y b son números reales y es la variable. a+b = 0 Ejemplo. Resolver la ecuación 7 4 = 3+8. Solución. Para resolver este tipo de ecuaciones debemos despejar la incógnita, usando las propiedades de la igualdad. 7 4 = 3+8 Sumar 4 (7 4)+ 4 = (3+8)+ 4 7 = 3+ Simplificar Sumar 3 7+ 3 = (3+)+ 3 Simplificar 4 = Multiplicar por 4 4 4 = 4 = 3 Simplificar Simplificar La última ecuación nos dice que es igual a 3. Si ahora verificamos este resultado en la ecuación original tendremos 7 (3) 4 = 7 y 3 (3)+8 = 7 Ejercicio (alumno). Resuelva la ecuación [ (+) 3 ] = 3 5 3 +3.. Ecuaciones de Segundo Grado Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde a, b y c son números reales con a 0. a +b+c = 0 En esta sección presentaremos tres métodos que nos permitirán determinar las raíces de una ecuación cuadrática: factorización, raíz cuadrada y completación de cuadrados. Para el primer método debemos tener presente la siguiente propiedad de los números reales: 3
Propiedad del Producto Cero AB = 0 si y sólo si A = 0 o B = 0 Ejemplo.[Factorización] Resolver la ecuación +5 4 = 0. Solucíon. +5 4 = 0 ( 3)(+8) = 0 3 = 0 o +8 = 0 = 3 o = 8 Factorizar Propiedad del Producto Cero Resolver Por lo tanto la ecuación tiene por soluciones = 3 y = 8. Ejercicio (alumno). Resolver, mediante factorización, las siguientes ecuaciones. 4 +0+4 = 0. 4 +8+3 = 0 Sugerencia. Multiplique ambos lados de la igualdad por a = 4, luego hacer el cambio de variable u = 4 y resolver la ecuación resultante en la variable u. Para el segundo método debemos tener presente el siguiente resultado: Raíz cuadrada La ecuación = c, c 0 tiene por solución = c y = c. Ejemplo.[Raíz Cuadrada]. La ecuación = 3 tiene por solución = 3 y = 3.. Para resolver la ecuación ( ) = 3 se considera como incógnita, vale decir ( ) = 3 Teorema = 3 o = 3 Sumar = + 3 o = 3 Luego, las soluciones a la ecuación son = + 3 y = 3. Este ejemplo se puede también resolver de la siguiente manera: ( ) = 3 Tomar raíz cuadrada = ± 3 Sumar = ± 3 4
Finalmente, el tercer método se basa en la siguiente identidad: Completar Cuadrado +b+ ( ) ( b = + b ) Ejemplo.[Completar Cuadrado] Resolvamos la ecuación 6+5 = 0. En este caso b = 6 luego 6+5 = 0 6+9 = 4 ( 3) = 4 3 = ± Sumar 3 = 3± Sumar 4 para completar cuadrado Factorizar el binomio Tomar raíz cuadrada ( ) 6 = 9 Luego las soluciones a la ecuación son = y = 5. Ejercicio (alumno). Resolver, mediante completación de cuadrado, la siguiente ecuación de segundo grado 6+ = 0 Recordemos que una ecuación de segundo grado es de la forma a +b+c = 0, a 0 Para resolver esta ecuación es necesario convertirla en una ecuación equivalente, en la cual se pueda completar cuadrado. Dado que a 0 podemos multiplicar por su inverso multiplicativo, vale decir a +b+c = 0 + b a + c a = 0 + b a = c a + b ( ) ( ) b b a + = c a ( + b ) = b 4ac 4a + b = ± b 4ac = b± b 4ac Multiplicar por a Sumar c a Completar cuadrado sumando Factorizar el cuadrado perfecto Tomar raíz cuadrada Sumar b ( ) b Teorema La ecuación cuadrática a +b+c = 0, con a 0, tiene soluciones = b± b 4ac 5
Ejemplo.. En la ecuación 5 3 = 0 los coeficientes son a, b y c son luego las soluciones están dadas por a = 5, b = 3 y c =, = ( 3)± ( 3) 4 (5) ( ) (5) Por lo tanto, esta ecuación tiene dos soluciones = 3 9 0. En la ecuación 4 ++9 = 0 los coeficientes son a, b y c son luego las soluciones están dadas por = 3± 9 0 y = 3+ 9. 0 a = 4, b = y c = 9, = ()± () 4 (4) (9) (4) = ±0 8 = 3 Por lo tanto, esta ecuación tiene por única solución = 3. 3. En la ecuación ++ = 0 los coeficientes son a, b y c son luego las soluciones estn dadas por = ()± () 4 () () () a =, b = y c =, = ± 4 = ± Pero no es un número real, por lo tanto la ecuación no tiene solución real. = ± Dada la ecuación de segundo grado se define su discriminante por a +b+c = 0, a 0 = b 4ac Teorema Sea a +b+c = 0, a 0, ecuación de segundo grado.. Si > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.. Si = 0 entonces la ecuación tiene eactamente una solución real. 3. Si < 0 entonces la ecuación no tiene solución real. 6
Ejemplo. Decida, a partir del discriminante, si las siguientes ecuaciones tienen soluciones reales. En caso de tenerlas, determínelas.. +4 = 0. 4 +9 = 0 3. 3 +4 = 0 Solución. Calculamos el discriminante para cada ecuación,. +4 = 0 = (4) 4 ( ) = 0 > 0 = soluciones reales diferentes.. 4 +9 = 0 = ( ) 4 4 9 = 0 = solución real. 3. 3 +4 = 0 = ( ) 4 3 (4) = 4 3 < 0 = no tiene raíces. Ejercicio (alumno). Use el discriminante para determinar los valores de a para que la ecuación 4 ++ = 0 tenga una solución real, dos soluciones reales, no tenga solución real..3. Ecuaciones con epresiones racionales. Resolver la ecuación 5 + 7 =. 5 + 7 = 5 + 7 = 35+( ) = 7( ) m.c.m. 7( ) 4+33 = 4 7 Sumar 7 Multiplicar 7( ) 4+40 = 4 Sumar 4 Desarrollar paréntesis y simplificar 40 = 0 Multiplicar por 0 4 = La última ecuación nos dice que es igual a 4. Si ahora verificamos este resultado en la ecuación original tendremos 5 (4) + 7 = Nota: En los siguientes ejercicios no verificaremos los resultados, ya que sabemos que las propiedades de la igualdad generan ecuaciones equivalentes.. Resuelver la ecuación 3 = 8. 3 = 8 3( ) = 8( ) 8 4+3 = 0 = 3, 4 Multiplicar por m.c.m. ( )( ) Agrupar a un mismo lado de la igualdad Resolver la cuadrática Por lo tanto, la ecuación racional tiene por soluciones = 4 y = 3. 7
Ejercicio (estudiante). Resolver las siguientes ecuaciones,.. 3 + 6 7 = 0 + 3 +3 a b +a a+b a = a3 +b, siendo a y b constantes. a.4. Ecuaciones con eponente racional Ejemplo.[Despejando] Resolver la ecuación 5 + 3 = 3+5 Solución. La incógnita está a la potencia /, luego la ecuación es válida para 0. Ocupando las leyes de los eponentes tendremos 5 + 3 = 3+5 Ley de los eponentes 5 + 3 = 3+5 Despejar ( 3 5 ) = ( 3 5 ) Simplificar = Puesto que 0, la ecuación = tiene por única solución =. Ejemplo.[Elevando al cuadrado] Resolver la ecuación + = + Solución. Esta ecuación tiene las siguientes restricciones para, + > 0 y + 0 > Bajo la restricción > las raíces en la ecuación están bien definidas y podremos multiplicar por + + = + Multiplicar por m.c.m + = + + = (+)(+) = (+)(+) = +3+ Ley de los eponentes Elevar al cuadrado Epander Resuelver = 3 Puesto que = 3 no satisface la condición >, entonces la ecuación no tiene solución. Ejercicio (Desafío para el estudiante). Resolver la ecuación = +3 Importante. Verifique que las raíces encontradas satisfacen la ecuación. Si alguna de ellas no la satisface, justifique por qué a partir del desarrollo que lo llevó a esa solución. 8
Nota. Para elevar al cuadrado una ecuación es necesario que ambos lados de la igualdad sean positivos. Por ejemplo, la ecuación = no es equivalente a = La primera ecuacióntiene solución = 0 mientras que la segundatiene solución = 0,. Esto se debe a que la ecuación = es válida para 0, pero no eiste ningún número real positivo que tenga por raíz un número negativo. Con este último análisis es suficiente para concluir que la ecuación = no tiene solución en los reales, sin necesidad de resolverla y comprobar si las soluciones obtenidas son o no válidas. Ejemplo. Sea a un número real fijo. Resolver la ecuación a++ a = Solución. La ecuación está bien definida bajo las siguientes restricciones de la variable, a+ 0 y a 0 y 0 0 a De este modo, la ecuación podría tener solución en los reales únicamente si a 0. Resolvamos ahora la ecuación, a++ a = Elevar al cuadrado (a+)+ a +(a ) = a = a Elevar al cuadrado: a 0 a = +a ( a) = 0 Resolver Esta última ecuación tiene por solución = 0 y = a. Pero = 0 no satisface las condiciones 0 a y a 0 (por tanto tampoco satisface la ecuación original). La única solución a la ecuación es = a (la única que satisface todas las condiciones). Ejercicio (alumno). Resolver la ecuación + = 3. Ejemplo. Resolver la ecuación = Solución. Alternativa. La ecuación está bien definida para 0, luego = y la ecuación original es equivalente a: = Elevar al cuadrado = ( ) = 0 Esta última ecuación tiene por solución = 0 y =. Resolver Alternativa. La ecuación está bien definida para 0, luego = y la ecuación original es equivalente a: = Cambio de variable: u = u = u (u )u = 0 Resolver Esta última ecuación tiene por solución u = 0 y u =, de donde se desprende que = 0 y = = = 0 y = 9
Ejercicios. Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando las propiedades de la igualdad a) 5+ [+( )] = 3[ ( 3)] b) 5(8 ) 3(5 3) = 6 (7 ) c) (+3) ( ) = 7 d) (+)(+) = (+6)(+3). Resuelva las siguientes ecuaciones a) ( ) + 4 + = 4 b) +3 + = + c) 6+9 + = 3 3. Determine todos los valores de k en los reales de modo que la ecuación (k +) 7 k = tenga a = entre sus soluciones. 4. Resuelva las siguientes ecuaciones, sabiendo que es la incógnita a) a = b) a = a + 3 a c) a +b = +b +a 5. Resuelva las siguientes ecuaciones usando el método de completación de cuadrado. a) + 5 = 0 b) 4 3 +40 = 0 c) 3 +7+4 = 0 6. Determine las soluciones reales de las siguientes ecuaciones a) ++ = b) 5 +6 = 0 c) + = 3 7. Determine los valores de que satisfacen la ecuación 3(a ) b (b ) a 8. Demuestre que para todo p y q en los reales, la ecuación tiene raíces reales. Determine dichas raíces. = b 6a, a 0, b 0 ab +(p+q)+pq = 0 9. Sea p un número real. Determine todos los números reales que satisfacen la ecuación 0. Determine los valores de a para que la ecuación p (p +)+p = 0 ++a = 0 tenga una solución real, dos soluciones reales, no tenga solución real.. Determine los valores de a para que la ecuación a ++4 = 0 tenga una solución real, dos soluciones reales, no tenga solución real. Referencia bibliográfica Precálculo: Matemáticas para el cálculo, James Stewart 5ed. Precálculo: Matemáticas para el cálculo, James Stewart 6ed. Diapositivas de nivelación, Instituto de Ciencias Básicas UDP, versión 05. 0