Cálculo integral de funciones de una variable: problemas propuestos BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ (bjglez@ull.es) DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU (dhabreu@ull.es) MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ (mjimenez@ull.es) M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ (imarrero@ull.es) ALEJANDRO SANABRIA GARCÍA (asgarcia@ull.es) Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna Índice 4. Problemas propuestos 1 4.1. Integración indefinida....................................... 1 4.. Integración definida........................................ 4.3. Aplicaciones de la integral definida................................ 3 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 13
CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: PROBLEMAS PROPUESTOS 1/4 4. Problemas propuestos 4.1. Integración indefinida 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas. A. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE x 3 x 3 + ; b) x 4 x 3 + ; e) xcosx senx ; c) e 3cosx senx; f) 8x (x 3 + ) 3 ;. (x + 1) 3 1 4 (x3 + ) 4/3 ; b) 1 ln senx ; c) 4 3(x 3 + ) ; 4 9 (x3 + ) 3/4 ; e) 1 6 e3cosx ; f) 3(x + 1) 1/3. B. INTEGRACIÓN POR PARTES x 1 x; b) sen(ln x) ; e) xcosx; c) x 3 senx; e 3x x senx; f) ln(x + ). 16 15 (1 x)7/ 8 15 x(1 x)5/ 3 x (1 x) 3/ ; b) xsenx + cosx; c) x 3 cosx + 6xcosx + 3x senx 6senx; x [sen(lnx) cos(lnx)]; e) e3x 5 [(75x 4x + 9)sinx (5x 3x + 13)cosx]; f) xln(x + ) x + arctg x. C. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES x 4 ; b) x 4 x 3 x 1 x 3 x ; e) x 3 + x + 13x + 6 ; f) x x 4 g) (x + 1)x 3 ; h) + 8x 3 x + x + 1 (x + x)(x 3 ; i) + 1) 1 4 ln x x + ; b) 1 6 ln x + 3 1 x + 1 x x 3 + x 6x ; c) 3x 1 x 3 + x x ; x x 4x + 4 ; senx cosx(1 + cos x). ln x 15 ln x + 3 ; c) 1 ln x ln x 1 + 3 ln x + ; x 1 + ln x ln x 1 ; f) ln x x x ; g) 3ln x + 1 x 3 ln(x + 1); h) ln x ln x + 1 3 x + 1 + ln x x + 1 + arctg x 1 ; i) 1 3 3 ln(1 + cos x) ln cosx. D. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 13
/4 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA sen 3 x; b) cos3 x 3 sen x 1 + cos x ; e) cosx; b) cos 3 x sen 4 x ; c) tg 4 x sec 4 x; f) 1 senx 1 3sen 3 x ctg 5 x; 4 5senx. 1 ; c) ln senx + sen x 1 4sen 4 x ; tg x 1. arctg tgx x; e) 1 5 tg5 x + 1 7 tg7 x; f) 1 3 ln tg x E. MISCELÁNEA x x 4 ; b) x arctgx 1 + x ; e) xlnx ; c) cosxln(senx); x x + x + 1 x 3 + 5x + 8x + 4 ; f). x + 1 1 6 (1 x)3/ ; b) ln lnx ; c) [ln(senx) 1]senx; xarctgx 1 ln(1 + x ) 1 arctg x; e) 4 x + + ln x + 1 ; f) 3 (x + 1)3/ + x x + 1. 4.. Integración definida. Calcular: g) 1 1 6 3 1 xe x 1 ; b) x 3 ; e) 8 1 + x (x 4x); h) π/4 π/4 8 3 1 tgx; c) ( x + 3 x); f) 4x x ; i) / 3 π/3 π/6 1 x ; 5 + 3x ; ctgx. ( 1 1 ) ; b) ; c) π e 4 ; π 1 ; e) 16 3 ; f) ( ) 34 5 ; g) 9; h) π 3 3 ; i) ln 3. 3. Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = 1 x y la parábola y = 1 + x. π 1 3. 4. Calcular el área limitada por la curva y = x 3 6x + 8x y el eje OX. 8. 5. Calcular el área limitada por la curva x = y + 4y y el eje OY. OCW-ULL 13 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA
CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: PROBLEMAS PROPUESTOS 3/4 3 3. 6. Calcular el área comprendida entre las curvas y = senx e y = 4cosx en el intervalo [,π]. 8 5. 7. Calcular el área limitada por los siguientes pares de curvas: y = x, y = x; b) y = x 4 x, y = 3 3x ; c) x + y =, y = x + 1; y = x + x 3, y = x x ; e) y = 6x x, y = x x; f) y = x 3, y =. 9 64 ; b) 15 ; c) π 1 15 ; 3 4 ; e) 64 3 ; f) 4 3. 4.3. Aplicaciones de la integral definida 8. La función T (t) = 47+3t.5t aproxima la temperatura t horas después del mediodía en un día típico de agosto en Madrid. Encontrar la temperatura media entre el mediodía y las 6 de la tarde. Aproximar el resultado por medio de las reglas trapezoidal y b) de Simpson, con 4 intervalos. T = 5; T 49.81; b) T 5. 9. Una empresa farmacéutica determina que el ingreso obtenido por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = 5 + 4x + 3x. Calcular el ingreso medio para las ventas desde x = 1 a x = 5. Comparar el resultado con la media 1 5 5 R(n). n=1 R = 93; 1 5 5 n=1 R(n) = 95. 1. La velocidad de la sangre, en centímetros por segundo, en una pequeña arteria está dada por V (r) = P 4ωl (R r ) ( r R), donde P es la presión sanguínea, ω es la viscosidad de la sangre, l es la longitud de de la arteria, R es el radio de la arteria y r es la distancia al centro de la arteria del punto donde medimos la velocidad. Encontrar el valor medio de V (r) en el intervalo [,R]. V = PR 6wl cm/s. 11. Deteminar la respuesta cardiaca de un corazón durante 4 segundos, si se emplean 5 miligramos de tinte y la concentración en la aorta con respecto al tiempo es, si t < c(t) = 1 4 (t 6t + 48), si t 4, MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 13
4/4 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA donde c(t) se mide en miligramos por litro. Aproximar el resultado por medio de las reglas trapezoidal y b) de Simpson, con 4 intervalos. R.11 L/s; R.1 L/s; b) R.11 L/s. 1. Evaluar la concentración media del problema anterior en el intervalo [,4]. c 1.85 mg/l. 13. Determinar la respuesta cardiaca de un corazón durante 3 segundos, si se emplean 5 mg de tinte y la función concentración es c(t) = donde c(t) se mide en miligramos por litro. R.1 L/s. 4 t, si t < 15 1 4 1 t + 4, si 15 t 3, 7 14. Evaluar la concentración media del problema anterior en el intervalo [,3]. c 1.43 mg/l. 15. Se inyectan 5 mg de tinta en la arteria pulmonar de un paciente. Determinar la respuesta cardiaca durante un periodo de 3 segundos, si para determinar la concentración de tinta se han tomado las siguientes mediciones: t 5 1 15 5 3 c(t) 1.5.5 1.5 R.11 L/s. OCW-ULL 13 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA