Materia: Matemática Discreta Código: 08276 Prerrequisito: Lógica Formal (08273) Programas: Ingeniería de sistemas Período académico: 162 (Segundo semestre de 2016) Intensidad semanal: 4 horas Créditos 3 I. OBJETIVO GENERAL Una vez culminado el curso de forma exitosa, el estudiante estará en condiciones de reconocer y aplicar apropiadamente los elementos formales de las matemáticas discretas que son necesarios en la formación en ingeniería de sistemas, los cuales no son parte de la presentación de las temáticas en los cursos de cálculo y ecuaciones diferenciales. II. OBJETIVOS TERMINALES Como resultado de cumplir adecuadamente con su compromiso en el proceso de aprendizaje activo para este curso el estudiante estará en capacidad de: a) Analizar demostraciones de teoremas pertinentes al tema en estudio y proponer demostraciones propias para algunos de ellos. b) Hacer uso de los conceptos fundamentales de la teoría de números y su uso en la resolución de problemas computacionales que lo requieran. c) Aplicar inducción matemática para la demostración de propiedades de conjuntos numerables y en la verificación de algoritmos recursivos. d) Utilizar definiciones recursivas para definir conjuntos y establecer propiedades de estos, mediante la inducción estructural. e) Establecer y resolver relaciones de recurrencia de frecuente aparición en las aplicaciones computacionales y de situaciones reales. f) Analizar una relación binaria y clasificarla como relación de equivalencia o relación de orden y aplicar este concepto a la solución de problemas. g) Identificar cuándo una relación es función y determinar si tiene una función inversa. h) Reconocer la estructura de Álgebra Booleana y aplicar sus propiedades al campo de Lógica Digital. III. OBJETIVOS ESPECIFICOS De formación académica CAPÍTULO 1 [Métodos de demostración]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Identificar las diferencias que hay entre los métodos de demostración directa e indirecta. 2. Reconocer el método de contraejemplo para verificar la falsedad de enunciados cuantificados universalmente. 3. Utilizar correctamente el método de demostración por contradicción. 4. Identificar el procedimiento a seguir en el momento de usar un método de demostración. 5. Realizar de manera estructurada un argumento.
CAPÍTULO 2 [Fundamentos de Teoría de Conjuntos]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Analizar la noción de conjunto y elemento. 2. Asignar la relación de pertenencia e inclusión en el problema que corresponda. 3. Realizar operaciones básicas entre conjuntos. 4. Realizar demostraciones de las propiedades de las operaciones entre conjuntos. CAPÍTULO 3 [Funciones]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Definir de forma precisa el concepto de función 2. Construir los conjuntos imagen y preimagen de una función. 3. Identificar si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva 4. Determinar si existe, la función inversa de una función dada. 5. Construir pruebas formales de resultados importantes en relaciones y funciones. 6. Entender las propiedades de funciones importantes en computación como las funciones piso, techo o ecuación característica. CAPÍTULO 4 [Inducción y recursividad]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Enunciar claramente el principio de inducción matemática tanto en su forma fuerte como débil. 2. Construir la prueba de resultados basados en inducción; identificando los casos base, la hipótesis inductiva y el siguiente caso k+1. 3. Enunciar el principio de inducción estructural y construir pruebas basadas en este principio sobre conjuntos distintos a los naturales. 4. Entender los elementos básicos en el diseño de un algoritmo recursivo. 5. Utilizar el principio de inducción para verificar la correctitud de algoritmos recursivos. CAPÍTULO 5 [Cálculo lambda]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Definir de manera inductiva las expresiones o términos lambda. 2. Comprender la relación de ocurrencia entre expresiones. 3. Identificar las variables libres y ligadas dentro de un término. 4. Realizar sustituciones de términos por variables dentro de expresiones lambda. 5. Definir combinadores estándar y los numerales de Church. 6. Utilizar el teorema del punto fijo para representar recursión. 7. Representar funciones computables en el cálculo. 8. Entender las nociones de alfa conversión, beta reducción, forma normal beta y beta equivalencia. 9. Enunciar y explicar el teorema de Church-Rosser. CAPÍTULO 6 [Relaciones de recurrencia]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Reconocer ejemplos de situaciones reales en distintas áreas que requieren ser formulados en términos de relaciones de recurrencia. 2. Verificar que una sucesión es solución de una ecuación en recurrencia. 3. Utilizar el método de solución por iteración para resolver ecuaciones en recurrencia simples. 4. Reconocer una ecuación lineal homogénea y no homogénea de coeficientes constantes. 5. Utilizar los resultados teóricos para la resolución plena de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas de coeficientes constantes.
CAPÍTULO 7 [Teoría de números]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Reconocer el algoritmo de la división y su uso en el establecimiento de propiedades sobre la estructura de los números enteros. 2. Conocer la definición del máximo común divisor entre dos números y el algoritmo de Euclides para el cálculo efectivo del mismo. 3. Utilizar el teorema de Bezout para probar propiedades del máximo común divisor y la resolución de problemas que requieran la aplicación del mismo. 4. Conocer y demostrar propiedades en el campo de las congruencias entre números enteros. 5. Usar el teorema chino del residuo para resolver sistemas de congruencia lineales. CAPÍTULO 8 [Relaciones de equivalencia]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Enunciar de forma precisa el concepto de relación n-aria. 2. Decidir cuándo una relación satisface las propiedades de reflexividad, transitividad, simetría, antisimetría, transitividad y justificar adecuadamente porque no las cumple. 3. Reconocer cuando una relación es de equivalencia. 4. Dada una relación de equivalencia, indicar cuáles son sus clases de equivalencia y construir el conjunto cociente generado a partir de esa relación. 5. Reconocer cuando una relación es de orden parcial o total. 6. Construir el diagrama de Hasse de una relación de orden. 7. Identificar elementos distinguidos en un conjunto parcialmente ordenado. CAPITULO 9 [Álgebras de Boole]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Reconocer las operaciones y propiedades fundamentales que definen un álgebra de Boole en un conjunto. 2. Justificar de forma rigurosa las propiedades que se derivan en un álgebra de Boole. 3. Utilizar el álgebra de Boole de los 0's y 1's para construir circuitos digitales que modelen situaciones simples. CAPITULO 10 [Introducción a la teoría de grafos]. Como resultado de este capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Conocer la terminología básica en grafos 2. Distinguir los distintos tipos de grafos 3. Construir la representación matricial de grafos. 4. Establecer condiciones suficientes o necesarias para determinar Circuitos de Euler y circuitos Hamiltonianos. IV. METODOLOGÍA 1. El enfoque: En concordancia con la misión de la Universidad, el aprendizaje de los temas de este curso será el resultado del proceso de construcción del conocimiento, adelantado por el estudiante y guiado por el profesor. Parte fundamental de este proceso es el aprovechamiento del estudio previo hecho por los estudiantes, como elemento generador de preguntas, discusiones y conclusiones. 2. La discusión en clase: La discusión, orientada por el profesor es el elemento central en la metodología del curso. Se fundamenta en el estudio preliminar de las secciones asignadas, en las preguntas de los estudiantes y en sus respuestas a sus preguntas y a las del profesor, que alimenten el proceso de aprendizaje activo. El profesor interviene esencialmente como guía y moderador de las discusiones, y se encarga de hacer la síntesis final para socializar el conocimiento consolidado en clase y de indicar al
estudiante la labor que debe realizar como preparación para la clase siguiente y los objetivos que debe alcanzar como parte de tal preparación. 3. Las actividades del estudiante: Para el logro de los objetivos de aprendizaje el estudiante debe desarrollar con total responsabilidad un conjunto de actividades antes, durante y después de la clase, así: Antes de la clase Realizar todas las actividades indicadas por el profesor para la preparación del tema de clase, hacer explícitas las dudas e inquietudes que le surjan como resultado de este proceso y preparar las preguntas que formulará durante la clase de presentación del tema, con el fin de resolver las dudas e inquietudes. Durante la clase Participar activamente en las discusiones que se generen a partir de las preguntas formuladas por los estudiantes y por el profesor, y de las respuestas a las mismas. Igualmente, presentar las dudas e inquietudes que le surgieron al prepararse para esta clase, y discutir alternativas propias de solución de problemas, cuando las tenga. Después de la clase Asegurarse de consolidar el nuevo conocimiento resolviendo ejercicios y problemas que en la fase de preparación no haya podido resolver, o que revisten mayor complejidad, y relacionándolo con conocimientos previamente adquiridos. 1. Métodos de demostración. [2 sesiones] Método de demostración directa. Métodos de demostración indirecta. V. CONTENIDO 2. Fundamentos de Teoría de Conjuntos. [2 sesiones] Noción de conjunto y elemento Relación de pertenencia e inclusión Operaciones entre conjuntos Propiedades de las operaciones entre conjuntos 3. Funciones. [2 sesiones] Funciones de A en B Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas Álgebra de funciones Función inversa Funciones especiales en matemáticas discretas: Funciones piso, techo o función característica. 4. Inducción y recursividad [4 sesiones] Inducción matemática débil Inducción fuerte Definiciones recursivas Inducción estructural Algoritmos recursivos Comprobación formal de algoritmos recursivos
5. Cálculo lambda. [2 sesiones] Introducción al cálculo lambda. Estructura de términos y sustitución. Combinadores, funciones numéricas y recursión Funciones computables Beta reducción y beta equivalencia 6. Relaciones de recurrencia [2 sesiones] Definición y ejemplos Resolución de relaciones de recurrencia lineales y no lineales homogéneas con coeficientes constantes. 7. Teoría de números. [4 sesiones] Divisibilidad Algoritmo de la división Lema de Euclides Teorema de Bezout Congruencias y Teorema Chino del residuo. 8. Relaciones de equivalencia y Conjuntos parcialmente ordenados [3 sesiones] Relaciones Relaciones n-arias Relación de equivalencia Partición y conjunto cociente Relaciones de orden Elementos distinguidos en conjuntos parcialmente ordenados 9. Álgebras de Boole [2 sesiones] Operación binaria Propiedades de las operaciones binarias Álgebras de Boole Teoremas fundamentales Formas normales Compuertas lógicas y circuitos Simplificación de circuitos. 10. Introducción a la teoría de grafos [4 sesiones]. Definiciones y terminología básica Representación e isomorfismo de grafos Conexidad Caminos Eulerianos y Hamiltonianos. VI. EVALUACIÓN Control de estudio previo (CEP) Oral o escrito, individual o colectivo 15% Pruebas cortas (3). 20% Primer examen parcial 20% Segundo examen parcial 20% Examen Final 25%
Nota importante: De conformidad con la política oficial del Departamento de Matemáticas y Estadística para las materias que tienen examen final acumulativo, si la calificación así calculada está entre 2.8 y 3.0 pero la nota del examen final es mayor o igual a 3.3, la nota final será 3.0. VII. TEXTO GUÍA Matemáticas Discretas y sus aplicaciones. Kenneth Rosen. Editorial McGraw HiIl. Quinta Edición. VIII. BIBLIOGRAFÍA [1] Matemáticas Discretas. Richard Johnsonbaugh. Editorial Pearson. Sexta Edición. [2] Elementos de Algebra en Ciencias de la Computación. Alfonso Bustamante. Textos Universitarios de Icesi. [3] Lambda-Calculus and Combinators: An Introduction. J. Roger Hindley, Jonathan P. Seldin. Cambridge. [4] Introduction to Lambda Calculus. Henk Barendregt, Erik Barendsen [5] Matemáticas Discretas. Con teoría de gráficas y combinatoria. T. Veerarajan. Mc Graw Hill [6] Matemáticas Discretas. Edward R. Scheinerman, Thomson Learning. [7] Discrete and combinatorial mathematics. Ralph P. Grimaldi. Pearson Addison Wesley. Quinta Edición.