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INTRODUCCIÓN El popósito del cuso es que el estudiante apopie de manea significativa los elementos teóicos fundamentales de Algeba Lineal y desaolle las competencias petinentes paa contextualizalos en su campo de fomación disciplina. El Algeba Lineal es un áea de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desaollo con el apote de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en divesos campos del sabe ha geneado la necesidad de aticulala al poceso fomativo del pofesional de hoy en día como heamienta de apoyo paa esolve poblemas en las más divesas disciplinas. En este sentido y po su caácte mismo, el cuso hace apotes significativos al desaollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en tanto potencia habilidad de pensamiento de oden supeio, como la abstacción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc. El cuso académico se encuenta básicamente en 3 unidades didácticas que contempla temas como los Vectoes, Matices y Deteminantes. A tavés del cuso académico de Algeba Lineal se dinamizan pocesos de esignificación cognitiva y fotalecimiento del desaollo de opeaciones metacognitivas mediante la aticulación de los fundamentos teóicos a la identificación de núcleos poblémicos en los difeentes campos de fomación disciplina. No obstante, es impotante que desde ahoa el estudiante se compenete con la dinámica del uso de los ecusos infomáticos y telemáticos como heamientas de apoyo a los pocesos de apendizaje. 3
En este sentido, el cuso académico de Algeba Lineal aticulaá a su desaollo actividades mediadas po estas tecnologías, como búsquedas de infomación en la Web, inteactividades sincónicas o asincónicas paa oienta acciones de acompañamiento individual o de pequeño gupo colaboativo y acceso a infomación disponible en la platafoma vitual de la univesidad. Po último, la consulta pemanente a difeentes fuentes documentales apotadas po el cuso se tomaá como estategia pedagógica que apunte al fotalecimiento del espíitu investigativo. En este sentido, se espea que el estudiante amplíe la gama de opciones obviamente de difeentes oígenes, a las cuales se tendá acceso a tavés de: mateial impeso, bibliotecas vituales, hemeotecas, sitios web, etc. El camino hacia el éxito está lleno de obstáculos, y la inteligencia con la que se manejen y ebases, se convetiá en el futo más dulce paa tu vida Michelle D. 4
Unidad UNIDAD I VECTOR EN ºN 1 En esta unidad se petende: Tene un concepto clao de un vecto, tanto en un sentido geomético como analítico. Difeencia claamente los difeentes conjuntos de vectoes Reconoce las caacteísticas en las opeaciones básicas de los vectoes en el plano X y Y en el espacio. Desaolla un apendizaje intuitivo, global y fomal del compotamiento de los mismos y apendan a opea con ellos. Povee al estudiante de una base geomética, fácilmente obsevable. Compaa los esultados gáficos con lo analítico paa obtene una compensión claa de las opeaciones. 5
1.1 COMPETENCIAS A DESARROLLAR Opea con vectoes, aplicando su definición y sus popiedades. Calcula el poducto vectoial y utilizalo paa esolve poblemas de tipo geomético. Detemina la ecuación vectoial de la ecta y el plano. Aplica los conceptos anteioes paa esolve poblemas de aplicación. 1.2 CONCEPTOS BÁSICOS Paa intoducise en el mundo del Álgeba Lineal, se inicia con el tema de Vectoes, en el cual se debe tene claos algunos conceptos básicos. Ente los cuales se encuenta: n Paa hace una claa explicación de lo que es el concepto de n se comienza a intepeta a este de una manea específica paa llega a una explicación de foma geneal: Se comienza con: ü 1 = Lo cual se define como el conjunto de los númeos eales cuya epesentación gáfica es una ecta numéica. ü 2 = que se define en este caso como el poducto del conjunto de los númeos eales po sí mismo. Nota: Al poducto que se ealiza ente dos conjuntos se le llama poducto catesiano y consiste en una elación ente los 6
elementos de los conjuntos cuyo esultado son paejas odenadas. Ejemplo: A B = {( a,b) / a A b B} " A = # 1, 1 $ 2,3 % " & ; B = # 3 ' $ 5,1,0 % & ' ") 1, 3, ) 1 +.,( 1,1), ( 1,0), * 5-2, 3, % +. / * 5- / A B = # ) 1 + * 2,1, ) 1., + - * 2,0, -., ) + 3, 3 & /, / / * 5.,( 3,1), ( 3,0) $ - / ' La figua 1, muesta las paejas odenadas y epesentadas en el plano catesiano, también llamado plano de dos dimensiones. Figua 1. Plano catesiano 7
ü 3 = este poducto contiene como elementos la elación de tes elementos en foma odenada. La figua 2, muesta la gáfica de un punto en el espacio. Figua 2. Plano de tes dimensiones Luego n =... epesenta un conjunto de elaciones de n elementos. {( abc,,,..., n) / abc,,,..., n } n = Este conjunto se dice que tiene epesentación en dimensiones. n Vecto: un vecto es un valo numéico (magnitud), que tiene diección y sentido. Los vectoes se pueden nomba con letas y una flechita encima de la leta a. Su epesentación gáfica como un segmento diigido (flecha) 8
a Los vectoes se utilizan paa epesenta magnitudes físicas que tienen las mismas caacteísticas que ellos. Un ejemplo de estas magnitudes son: velocidad, aceleación, fueza, etc. Ejemplos: a = 3m/seg! v = 33km/h Luego de tene estos conceptos básicos, podemos intoducinos en lo que es la definición algebaica de un vecto en n. 1.3 DEFINICIÓN ALGEBRAICA DE UN VECTOR EN n Sea a un vecto de a= x1, x2, x3,..., xn ( ) del vecto. Específicamente si: n entonces se puede escibi de la foma donde x!, x!, x!, x!, son las componentes 2 a Entonces a= ( x ) 1, x2 3 a Entonces a= ( x ) 1, x2, x3 Podemos defini algunas caacteísticas del vecto en foma algebaica 9
1.4 MAGNITUD DE UN VECTOR EN n Sea a un vecto en n entonces, la magnitud de a que se epesenta simbólicamente de la siguiente foma: a = x + x + x + + x 2 2 2 2... n Es deci la magnitud de a es igual a la suma de los cuadados de sus componentes. u Ejemplo: dado el vecto entonces, m = ( 2, 3) u 2 2 m = ( 2) + ( 3) = 2+ 9 = 11 SENTIDO DE UN VECTOR n El sentido de un vecto lo obtenemos po medio del signo + o, En foma algebaica es cambiale el signo al signo de las componentes: m = 2,3 Entonces m = 2, 3 z = ( 5,7, 3) Entonces z = ( 5, 7,3) Específicamente vamos a defini la gáfica y la diección de vectoes en 2 Y 3 1.5 GRÁFICA DE UN VECTOR EN 2 Los vectoes 2 se gafican en el plano catesiano donde la pimea componente x! se coloca en el eje X, y la componente x! se coloca en el eje Y. tazándose paalelas al eje X que pasen po la segunda componente y paalela al eje Y que pasen po la pimea componente 10
u Ejemplo: se gafica el vecto m = ( 3,1) 1.6 DIRECCIÓN Cuando se habla de diección en 2 se tienes que calcula un ángulo con especto al eje de las x, que en este caso se llama θ y se calcula utilizando una función tigonomética. tan θ =!!!! Figua 3. Gafica de un vecto en el plano θ x 1 2 = tan a x1 NOTA: el ángulo puede se positivo si va en conta de las manecillas del eloj o negativo si va a favo a las manecillas del eloj, po efectos de fomula su esultado siempe es meno de 90 o 11
figua 5. Diección de un vecto Ejemplos: Sea los vectoes a= ( 3,3) y b= ( 3, 2) 3 halla su diección analíticamente: de la figua x 3 θ = a = = x1 3 1 2 1 o tan tan 45 x 3 θ = b = x1 2 1 2 1 o tan tan 56 1.7 GRÁFICA DE UN VECTOR EN 3 Los vectoes 3 se gafican en un plano de tes dimensiones o también llamado el espacio la pimea componente x! se coloca en el eje X, y la componente x! se coloca en el eje Y. tazándose paalelas al eje X que pasen po la segunda componente y paalela al eje Y que componente pasen po la pimea Ejemplo: Gafica en tes dimensiones el siguiente vecto u 3 m = 2,3, 2 12
Figua 5. Gafica de un vecto en el espacio 1.8 DIRECCIÓN DE UN VECTOR 3 Cuando hablamos de diección en 3 tenemos que calcula un ángulo con especto a cada uno de los ejes positivos del plano. Debemos tene en cuenta que se hallan tes diecciones y paa esto se usa la función tigonomética coseno: Figua 6. Diección de un vecto en tes dimensiones 13
Sea v= ( x, x, x ) x cos α = entonces, α = cos v 1 1 1 x cos β = entonces, β = cos v 2 1 2 x cos γ = entonces, γ = cos v x v x v x v 3 1 3 Ejemplo: dado el vecto m = ( 4, 1, 2) u halla su diección 4 4 4 cosα cos cos 4 + 1 + 2 16 + 1+ 4 21 1 1 = α = = 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 21 21 1 o cos β = β = cos 103 2 2 21 21 1 o cosγ = γ = cos 116 Ahoa se define un vecto que es muy útil en cietas aplicaciones. 1.9 VECTOR UNITARIO Sea el vecto a= ( x x x x ),,,..., n un vecto en n, entonces se dice que a es un vecto unitaio si su magnitud es igual a 1. El vecto unitaio se puede calcula de foma analítica con la siguiente fomula: 14
$ a x1 x2 x3 x n a = =,,,..., a a a a a Nota: La diección del vecto unitaio es el mismo vecto oiginal. a = 3, 5 Ejemplo: Sea el vecto ( ) $ ( ) a 2 3 + ( 5) ( ) ( ) 3, 5 3, 5 3, 5 1 3 5 = = = = ( 3, 5 ) =, 2 9 + 25 34 34 34 34 Los vectoes unitaios en 2 también se pueden calcula analíticamente utilizando la diección del vecto dado: $ ( ) $ $ a= cos θ, senθ = cosθi+ senθ j Si tenemos que la diección del vecto a es 30 calcula su vecto unitaio: a $ = ( cos30, sen30 ) = ( 0.86, 0.5) Nota: esta fómula solo es posible paa vectoes en dos dimensiones. Existen unos vectoes unitaios especiales en 2 y 3 poque están sobes los ejes del plano catesiano y en el plano de tes dimensiones, además pemiten epesenta otos vectoes en función de ellos. 15
Figua 7. Vectoes i y j v= x x = x i+ x j a= x x x = x i+ x j+ x k ( ) $ 1, $ 2 1 2 (,, ) $ $ $ TALLER 1. DE LA UNIDAD 1. Realice la gáfica, magnitud y diección de cada uno de los siguientes vectoes: a = 3,3 u d = 3,3 2, 5 a) ( ) b) ( ) c) 3 3 2 k =,, 2 2 5 u f = 0.5, 3.2 u 2 m= 3$ i+ $ j 3k$ 5 d) ( ) e) f) z= 3$ j 3k$ u p = 5,0 g) ( ) 3 h) = 7.5, 7 i) o= 4 5$ i 2 7$ j j) a= 3 $ i+ 0.3$ j 8 16
1. Demueste que el vecto 2 1, 5 5 j = 0,1 y k = 0, 0,1 2. Mueste que los vectoes ( ) ( ) 3. De los vectoes a continuación encuente su vecto unitaio. a) z = ( 3, 1) b) v = ( 3, 2) c) u m= 3$ i+ 2$ j 3k$ d) 1 2$ 3 = $ i+ j k$ 2 5 2 1.10 OPERACIONES ENTRE VECTORES EN n En n se pueden ealiza vaias opeaciones ente vectoes de manea algebaica como son: 1.10.1 SUMA DE VECTORES EN Sean a= ( x, x, x,..., x ) y b= ( y, y, y,..., y ) vectoes n en a+ b= x1+ y1, x2 + y2, x3+ y3,..., xn + yn ( ) n n dos n entonces: 17
Ejemplos: Sean los vectoes a= ( 3, 5) y b= ( 6, 7) calcula: a+ b= + + = ( 3 ( 6 ), 5 ( 7) ) ( 3, 12) Podemos obseva que el esultado es un vecto que tiene todas sus caacteísticas, tales como magnitud diección y sentido. 2 2 a+ b = 3 + 12 = 9+ 144= 153 ( ) ( ) θ a + b 12 3 ( ) 1 1 = tan = tan 4 = 1.10.2 MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Sea a= ( x x x x ),,,..., n númeo eal cualquiea) Entonces: un vecto en k a= kx1, kx2, kx3,..., kxn ( ) n y k un escala (un 18
Ejemplos: Sea el vecto a= y el escala k = a= = ( 3, 5) 3 3 3( 3, 5) ( 9, 15) como vemos el esultado también es un vecto. Nota: si multiplicamos po un escala negativo el vecto cambia de sentido Ejemplos: Sea el vecto a= 3, 5 y el escala k = 3 3a= 3 3, 5 = 9,15 ( ) ( ) ( ) 1.10.3 RESTA DE VECTORES n La esta es una opeación paticula de la suma ya que esta dos vectoes es sumale al pime vecto el segundo vecto con sentido contaio. a b = a + b Siendo a y b vectoes en n Ejemplos: u Sean los vectoes m= ( 3, 5, 1) y n= ( 6, 7, 3) calcula: u u m n= m+ n = + = ( ) ( 3, 5, 1) ( 6, 7,3) ( 9, 2, 2) Se obseva que el esultado es un vecto que tiene todas sus caacteísticas, tales como magnitud diección y sentido, como po ejemplo: u Calcula la magnitud y diección del vecto m n u 2 2 2 m n = 9 + 2 + 2 = 81+ 4+ 4 = 89 ( ) ( ) ( ) 19
x 9 u m n 89 1 1 o cosα = α = cos 17 x 2 u m n 89 2 1 o cos β = β = cos 78 x 2 u m n 89 3 1 o cosγ = γ = cos 78 1.10.4 PRODUCTO ESCALAR EN Sean a= ( x x x x ) y b= ( y y y y ) en n :,,,..., n n,,,..., n dos vectoes ab = x y+ x y+ x y+ + x y 1 1 2 2 3 3... n n Ejemplo: sean los vectoes u m= y n= ( 3, 5, 1) ( 6, 7, 3) u g Calcula: mn u mn= g 3, 5, 1 g 6, 7, 3 = 3 g 6 + 5 g 7 + 1 g 3 = 18 + 35 + 4 = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se obseva que el esultado es un escala po eso esta opeación se le llama también de esta foma. 20
1.10.4.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR uv g = uvcosα El poducto escala ente dos vectoes es igual la multiplicación de las magnitudes de cada uno de los vectoes po el coseno del ángulo ente ellos. Si el ángulo que foman ente ellos es de 90º entonces se le da el nombe de vectoes otogonales y la intepetación geomética queda de la siguiente foma: ab= g 0 21
Si el ángulo que foman ente ellos es de 0º se les da el nombe de vectoes paalelos y la intepetación geomética queda de la siguiente foma: ab g = ab Con la intepetación geomética también se puede halla el ángulo ente dos vectoes despejando la fomula, la cual queda así: ab g cosα = α = cos ab ab g 1 ab Ejemplo: sean los vectoes m= ( 3, 1) y n= ( 6, 3) calcula el ángulo ente ellos. ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) u 3, 1 6, 3 18 + 3 15 cosα cos cos 3 + 1. 6 + 3 10. 45 450 1 1 = α = = = 2 2 2 2 1.11 PROYECCIONES EN 2 Poyecta un vecto sobe oto es taza una pependicula desde la punta de un vecto hacia oto fomando así un eflejo de él. 22
Paa enconta la poyección de un vecto analíticamente se utiliza la fómula: poy a a b = b b! Ejemplo: Sean los vectoes m= ( 3, 2) y n= ( 5, 4) el ángulo ente ellos. u b calcula " $ poy m $ = $ n " $ $ # # " 15+8% $ 'i 5, 4 # 34 & % ' ( ) ' 2 ' i ( 5, 4) = % ' ' & & 34 i ( 5, 4 " ) = 115 46% $, ' # 34 17 & ( 3, 2)i 5, 4 ( ) = 23 5 2 + ( 4) 2 1.12 PRODUCTO VECTORIAL Esta opeación solo se puede tabaja con vectoes en 3 y tiene este nombe poque su esultado es un vecto, también suele se llamada Poducto Cuz Sean a= ( x, x, x ) y b= ( y, y, y ) entonces se define el poducto vectoial como: dos vectoes en 3, a b= x y y x i x y y x j+ x y y x k (.. ) $ (.. ) $ (.. ) $ 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 23
u Sean los vectoes m= ( 3, 5, 1) y n= ( 6, 7, 3) calcula: u m n= i j+ k = i+ j k ( 15 7) $ ( 9 6) $ ( 21 30) $ 8$ 15 $ 51 $ La magnitud de este vecto epesenta también el áea de un paalelogamo que foman dos vectoes en un plano de tes dimensiones. u m n = + + = + + = ( ) 2 2 2 8 15 51 64 225 2601 2890 24
TALLER 2. UNIDAD 1 u 5 3 m= 5,3 y n=, 3 2 1. Sea ( ) u a) m+ n u b) m n u c) 2m+ 3n d) θ u u m + m e) m + n encuente: 2. Dados los vectoes $ 1 $ 2 3 = 4$ i+ 3j k y s= $ i k$ 2 3 2 calcula: a) + s b) ( uu ) g ( 2 s ) + s g s c) ( ) ( ) d) s e) s 3. Calcula el poducto ente los dos vectoes dados y el ángulo ente ellos u 2 a) p= 2$ i y s= $ j 3 b) o= 3$ i+ 2$ j y q= 2 2$ i 3$ j u c) f = 3.7$ i+ 4.6$ j k$ y z= 0.7$ i 3.5k$ d) k = $ i+ $ j k$ y l = $ i $ j k$ 4. Detemine si paes de vectoes dados son otogonales o paalelos u a) p= 3$ i + 5 $ j ; s= 6$ i 10$ j 25
u b) m= 2$ i 3 $ j ; n= 9$ i + 6$ j c) u= 2$ i 4 $ j ; v= $ i + 3$ j d) = 7 $ i ; s= 23$ j u 5. Dados los vectoes p= 3$ i + 5 $ j ; s= 6$ i 10$ j ; k = $ i+ $ j k$ ; l = $ i $ j k$ a) P oy k l u b) P oy p s 1.13 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 3 En el espacio( ) se puede la ecuación de la ecta y el plano utilizando la misma base teóica que lo visto en 2 1.13.1 VECTORES EN EL ESPACIO Sean dos puntos en el espacio m= ( a, b, c) y n= ( d, e, f ) entonces se puede halla un vecto deteminado po estos dos puntos de la siguiente foma: uuu ) ) mn = e a f b g c = e a i + f b j + g c k ) este vecto (,, ) ( ) ( ) ( ) tiene el sentido dependiendo del punto inicial y el punto final, en este caso nuesto punto final es m y el punto final es n Ejemplo: Sean los puntos en el espacio m= ( 1, 2, 3) y n= ( 2, 5, 4) calcula el vecto uuu mn Definido po estos dos puntos. 26
uuu ) ) ) mn = 2 1, 5 2,4 3 = 1, 7,7 = i 7j + 7k ( ( ) ( )) ( ) 1.13.2 ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO A continuación se muestan vaios tipos de ecuaciones en el espacio tales como: 1.13.2.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Paa halla esta ecuación se necesita un punto sobe la ecta L y un vecto paalelo a dicha ecta. ( XYZ,, ) = ( abc,, ) + t( x, x, x) abc,, Coodenadas de un punto sobe la ecta x, x, x Componentes de un vecto paalelo a la ecta t es un escala que se hace más gande o pequeño el vecto paalelo a la ecta. 1.13.2.2 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Estas ecuaciones se obtienen extendiendo la ecuación vectoial de la ecta de la siguiente foma: X = a+ tx Y = b+ tx Z = c+ tx 2 3 1 27
1.13.2.3 ECUACIONES SIMÉTRICAS Estas ecuaciones se obtienen despejando el escala de las ecuaciones paamética y luego igualando. X a Y b Z c = t ; = t ; = t al iguala obtenemos : x x x X a Y b Z c = = x x x Nota: Las ecuaciones paaméticas y siméticas de la ecta no son únicas poque los puntos que se toman siempe son abitaios y esto define estas ecuaciones siempe de manea difeente dependiendo de los puntos que se tome Ejemplo: Dado los puntos P= ( 3, 2, 6) y Q= ( 3, 1,7 ) sobe una ecta dada halla las ecuaciones vectoial, paaméticas y siméticas de la misma. Como paa halla las ecuaciones de la ecta se necesita un punto y un vecto paalelo a ella entonces pimeo se encuenta el vecto con los dos puntos dados. uuu PQ = ecuaciones. ( 6, 3,13) Luego se escoge el punto P y se hallan las Ecuación vectoial: ( XYZ,, ) = ( 3,2, 6) + t( 6, 3,13) Ecuaciones paaméticas: 28
X = 3 6t Y = 3 3t Z = 6+ 13t Ecuaciones siméticas X 3 Y 3 Z + 6 = = 6 3 13 1.13.3 ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO De la misma manea que se hallaon las ecuaciones de la ecta en el espacio también se puede halla las del plano especificando un punto en el espacio y un vecto que es otogonal a todos los vectoes definidos en el plano, a este vecto se le llama vecto nomal ( n ). 1.13.1 PLANO Sea Q un punto en el espacio y sea n un vecto dado difeente de ceo. Entonces el conjunto puntos Z paa los que se cumpla uuu 3 que: QZ g n = 0 constituye un plano en esto sucede poque los uuu vectoes QZ y n son otogonales Los planos se denotan genealmente po el símbolo π 29
1.13.2 ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO Sea Q ( a, b, c) n= ( x, x, x ) si Z ( e, f, g) = un punto fijo sobe el plano con vecto nomal = es oto punto en el plano entonces uuu uuu hallamos un vecto QZ = ( e a, f b, g c) y como QZ y n son uuu otogonales tenemos que QZ g n = 0y esto implica que: ( ) ( ) ( ) x e a x f b x g c 1 + 2 + 3 = 0 En este caso e, f, g quedan fijos. 1.13.3 ECUACIÓN CARTESIANA DEL PLANO Paa esta ecuación necesitamos el vecto nomal n= ( x, x, x ) un vecto fomado po el punto oigen y el punto fijo tomado uuu OQ = a 0, b 0, c 0 = a, b, c De esta manea en el plano ( ) ( ) definimos la ecuación de la siguiente foma: y Donde: xa 1 + xb 2 + xc 3 = d d = xa+ x b+ xc= OQ uuu gn Ejemplo: Dado el punto ( 2, 3,5) nomal n = ( 1, 3, 5) Q = en el plano y un vecto halla la ecuación del plano. Pimeo se halla: d = 1.2 + 3. 3 5.5 = 2 9 25 = 32 Entonces la ecuación del plano: 30
e+ 3f 5g = 32 e+ 3f 5g+ 32= 0 Es la ecuación del plano TALLER 3. UNIDAD 1. 1. Halla las ecuaciones paaméticas de las ectas que pasan po: a) A=(2, 0, 5) y B= ( 1, 4, 6) b) M=(5, 1, 7) y N=(9, 3, 1) c) P=(1, 0, 3) y Q=(1, 4, 3) d) R=(0, 2, 3) y S=(0, 2, 1) 2. Calcula tes vectoes fomados po los siguientes puntos. 3. Obtén las ecuaciones paaméticas, la ecuación en foma continua y las ecuaciones implícitas de la ecta que pasa po estos puntos: ( 5, 3, 7) y (2, 3, 3) 4. Halla las ecuaciones paaméticas y la ecuación implícita del plano que pasa po P= (1, 7, 2), Q = (4, 5, 0) y R = (6, 3, 8). a) Halla otos tes puntos del plano. b) Calcula n paa que A (1, n, 5) petenezca al plano. 5. Halla las ecuaciones de los siguientes planos: a. Deteminado po el punto A=(1, 3,2) y po los u p= 2,1,0 y v= 1,0,3 vectoes ( ) ( ) 31
b. Pasa po el punto P=(2, 3, 1) y cuyo vecto nomal es n = ( 5, 3, 4) 1 c. Pependicula a la ecta x y + = = z y que pasa po el 2 1 3 punto (1, 0, 1). 6. Escibe la ecuación del plano que pase po los puntos (0, 0, 0), (2, 2, 0) y (1, 1, 2). 7. Halla la ecuación del plano que pasa po los puntos A (1, 3, 2) y B ( 2, 5, 0) y es paalelo a la ecta: 32
UNIDAD II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES m n Y MATRICES Unidad 2 33
En esta unidad se petende: Conoce las matices y ealiza opeaciones. Utiliza las matices como heamientas en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Resolve sistemas de ecuaciones utilizando los métodos de Gauss, Gauss Jodan e invesa 2.1 COMPETENCIAS A DESARROLLAR: Identifica la notación maticial paa escibi sistemas de ecuaciones lineales y esolvelos. Calcula las opeaciones fundamentales con matices. Realiza actividades de aplicación utilizando la definición maticial poblemas 2.2 SISTEMAS DE ECUACIONES m n Los sistemas de ecuaciones lineales con m-ecuaciones n- vaiables son expesiones de la foma: a x + a x + a x +... + a x = b 11 1 12 2 13 3 1n n 1 a x + a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 a x + a x + a x +... + a x = b 31 1 32 2 33 3 3n n 1.... =..... =..... =. a x + a x + a x +... + a x = b m1 1 m2 2 m3 3 mn n n Estos sistemas tienen tes tipos de soluciones: 34
solución única donde cada vaiable tiene un único valo esto sucede cuando m= n solución infinita cuando cada vaiable tiene infinitos valoes esto sucede si m< n no tiene solución cuando el esultado es una ecuación degeneada es deci, 0 eal) = k donde k es un escala( númeo Nota: puede sucede que al esolve un sistema de ecuaciones nos dé una ecuación de la foma: 0= 0esto significa que en el sistema hay dos ecuaciones iguales, y podemos elimina una de las ecuaciones y tabaja con la ota. Ente estas ecuaciones se pueden ealiza opeaciones que nos pueden ayuda más adelante en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. 2.2.1 OPERACIONES ENTRE ECUACIONES L m n : L Intecambio de una ecuación po ota, L ; L son ecuaciones m n L + L Suma de una ecuación con ota kl Multiplicación de un escala po una ecuación; m k es un escala(númeo eal) kl m n + L Multiplicación de un escala po una ecuación y se le suma ota ecuación m n 35
kl m n + αl Multiplicación de un escala po una ecuación y se le suma la multiplicación de oto escala po ota ecuación; α es un escala(númeo eal) Ejemplo: dado el sistema de ecuación lineal 4x + 3x 2x = 1 : L 1 x + x + x = 0: L 2 5x + 2x 2x = 3 : L 3 Se ealizan las siguientes opeaciones 3 L2 : x1 x2 x3 3 3 3 = 0 2L + L : 7x1+ 7x2 3x3= 2 1 2 L : L 1 3 5x + 2x 2x = 3 x + x + x = 0 4x + 3x 2x = 1 2L1+ 3L : 2 5x1+ 9x2 x3= 2 A continuación se muesta el método paa esolve sistemas de ecuaciones lineales 2.2.1 1 MÉTODO DE GAUSS (ELIMINACIÓN GAUSSIANA) Este método consiste en i eliminando ecuaciones y vaiables utilizando opeaciones ente ecuaciones, hasta llega a una sola ecuación con una vaiable, que luego se eemplaza en las ecuaciones anteioes paa calcula las otas incógnitas. 36
Ejemplo 1: 4x + 3x 2x = 1 : L 1 x + x + x = 0: L 2 5x + 2x 2x = 3 : L 3 Se eliminan ecuaciones y vaiable paa llega a dos ecuaciones con dos vaiables utilizando las siguientes opeaciones: 4L + L 2 1 7x + 2x = 1 : L 2 3 4 5L + L 2 3 7x + 3x = 3 : L 2 3 5 Se utilizan las dos ecuaciones obtenidas paa convetilas en una solución con una sola vaiable. 1L + L 4 5 x = 2 x = 2 3 3 Se emplaza x en 3 L 4 1 4 3 7x2 + 2( 2) = 1 7x2 + 4= 1 x2= = 7 7 Se emplaza x y 3 x en 2 L 2 3 11 11 11 x1 + 2= 0 x1+ = 0 x1 = x1 = 7 7 7 7 Se obseva que el sistema tiene solución única 11 3 sol =,,2 7 7 37
Ejemplo 2: 2x + 3x x = 0: L 1 6x 5x + 7x = 0 : L 2 Se eliminan ecuaciones y vaiable paa llega a una ecuación con una sola vaiable utilizando la siguiente opeación: 3L + L 1 2 14x + 10x = 0 : L 2 3 3 Se obseva que sólo queda una sola ecuación peo con dos vaiables esto significa que una vaiable debe depende de ota esto confima que como m< nel sistema tiene infinita soluciones. Se despeja en este caso la vaiable de meno subíndice. 10 5 14x + 10x = 0 14x = 10x x = x x = x 4 2 2 3 2 3 2 3 2 3 Se eemplaza x en 2 L 1 5 15 13 2x1+ 3 x3 x3 = 0 2x1+ x3 x3 = 0 2x1+ x3= 0 2 2 2 13 13 2 13 2x1 = x3 x1 = x3 x1 = x3 2 2 4 13 5 sol = x3, x3, x3 4 2 Ejemplo 3: 2x + x = 0: L 1 2 1 x + 3x = 1 : L 1 2 2 3x x = 3 : L 38
Se eliminan ecuaciones y vaiable paa llega a dos ecuaciones con dos vaiables utilizando las siguientes opeaciones: 2L + L 2 1 7x = 2 : L 2 4 3L + L 2 3 10x = 6 : L 3 5 Se tabaja con las dos ecuaciones obtenidas paa convetila en una sola con una sola vaiable. 10L + 7L 4 5 0= 32 Como se obseva el esultado es una ecuación degeneada esto quiee deci que el sistema no tiene solución. TALLER 1. UNIDAD 2 Resolve los siguientes sistemas de ecuaciones po el método de eliminación Gaussiana 1. x + x 2x = 1 x + x = 5 2 3 3x + 2x x = 0 3. x + x + 2x = 1 1 2 4 x + 5x + x = 0 2x 2x 2x = 3 2 3 4 2. 4x + 8x 4x = 1 x 2x + x = 0 39
4. 3x + x = 12 1 2 x + 5x = 10 1 2 2x 2x = 3 2 2 5. x + 10 x + 2 x + 4x = 8 4 2x + 5x + x + 2x = 4 4 2.3 MATRIZ Una matiz es una odenación de vectoes llamados vectoes filas o vectoes columnas, estas matices se nomban con letas mayúsculas y sus elementos con letas minúsculas de la siguiente foma: A= a el subíndice ij significa la fila y la comuna de la ubicación del elemento. ij El númeo de vectoes filas y vectoes columnas deteminan el tamaño de una matiz que en foma genea se simboliza como: m ndonde m es el númeo de vectoes filas y n es el númeo de vectoes columnas 3 5 3 4 6 5 2 3 3 5 3 4 6 5 3 2 1 33 40
2.4 OPERACIONES ENTRE MATRICES Como las matices son compuestas po vectoes filas y vectoes columnas y con los vectoes podemos hace algunas opeaciones, entonces, podemos hace estas mismas opeaciones ente matices: 2.4.1 SUMA DE MATRICES Paa suma matices hay que tene en cuenta una condición necesaia: que tengan el mismo tamaño. Después de obseva esto se suman como los vectoes, componente a componente. Ejemplo: Sean las matices 3 5 3 3 1 2 A= y B = 4 6 5 1 0 6 A+ B=? 2 3 2 3 calcula! A+ B = # "! # 3+ 3 # " 4 +1 ( ) 3 5 4 6 5+1 6 + 0 3 $! 5 & + 3 1 2 # % " 1 0 6 3+ 2 $! & 5+ ( 6) & = 0 # 5 % " $ & = % 6 5 6 1 $ & % 2 3 41
2.4.2 MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Paa multiplica un escala po una matiz solamente multiplicamos el escala po cada uno de los elemento de la matiz. Ejemplo: dada la matiz 3 5 3 A = 4 6 5 y el escala 1 k = 2 calcula 1 2 A 1 1 3 5 3 3/2 5/2 3/2 A =. 2 2 4 6 5 = 2 3 5/2 2.4.3 PRODUCTO DE MATRICES Paa pode multiplica matices se debe tene en cuenta una condición necesaia paa pode ealizase dicha opeación: El númeo de columna de la pimea matiz debe se igual al númeo de filas de la segunda matiz. La multiplicación de matices se hace multiplicando cada una de las filas de la pimea matiz po cada una de las columnas de la segunda matiz, como son vectoes filas po vectoes columnas se debe tabaja con la definición de multiplicación de vectoes: componente a componente y los esultados se suman. Ejemplo: 42
Sean las matices calcula AB. 1 2 3 1 2 A= y B = 2 3 1 0 6 2 2 2 3 Se multiplica cada vecto fila po cada vecto columna convitiéndolos todos en vectoes filas. ( 1, 2 ).( 3,1) = 3 + 2 = 5 ( 1, 2 ).( 1, 0) = 1+ 0 = 1 ( ) ( ) ( ) ( 2,3 ).( 3,1) = 6 + 3 = 9 ( 2,3 ).( 1,0 ) = 2 + 0 = 2 ( ) ( ) ( ) 1, 2. 2, 6 = 2 + 12 = 14 2,3. 2, 6 = 4 + 18 = 22 Los esultados se ubican según la fila y la columna que se están multiplicando. TALLER 2. UNIDAD 2 Dada las siguientes matices: 43
2 4 1 0 3 1 2 2 4 A= ; B= ; C = ; D= 3 2 2 3 2 5 6 3 2 0 1 1. AB. 2. 2A 2B A+ C. A C 3. ( ) ( ) 4. 2 2 A + B 5. BD+. DB. 6. 2 AC. + BD. Dada las siguientes matices halla el valo de la matiz halla el valo de la matiz X en cada ecuación. 1 0 2 4 2 4 A ; C ; D = = = 2 3 3 2 3 2 7. 2A+ 3C+ 2X = D A + 3C + D = X 1 1. AC. X = DC. 9. 2 8. 2 2 10. AC. + DC = 3X C 2 2 2 1 2.4.4 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de ecuación de la foma: 44
a x + a x + a x +... + a x = b 11 1 12 2 13 3 1n n 1 a x + a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 a x + a x + a x +... + a x = b 31 1 32 2 33 3 3n n 1.... =..... =..... =. a x + a x + a x +... + a x = b m1 1 m2 2 m3 3 mn n n Se puede expesa po medio de una MATRIZ AMPLIADA que consiste en coloca los coeficientes de las vaiables y los téminos independientes dento de la matiz teniendo en cuenta que cada columna epesenta cada vaiable. a a a... a b a a a a b..... a a a a b 11 12 13 1n 1 21 22 23 2n 13 m1 m2 m3 mn n Ejemplo 1: Paa el sistema 2x + + x = 1 1 4 4x 3x = 1 1 2 2 3 x + x = 2 45
La matiz ampliada es: 2 0 0 1 1 0 4 3 0 1 1 1 0 0 2 La Matiz ampliada 2 3 5 0 1 7 8 2 0 4 3 1 El sistema que epesenta esta matiz es: 2x + 3x + 5x = 0 x + 7x + 8x = 1 4x 3x = 2 2 3 Teniendo en cuenta que los sistemas de ecuaciones lineales se pueden conveti en matices veemos unas opeaciones ente filas que son impotantes paa más adelante en la solución de sistemas de ecuaciones. 2.4.5 OPERACIONES ENTRE FILAS f m n kf m : f Intecambio de una fila po ota fila, f ; f son filas Multiplicación de un escala po una fila; k es un escala(númeo eal) kf m n + f Multiplicación de un escala po una fila y sumale ota fila m n 46
2.5 MÉTODO DE GAUSS-JORDÁN Consiste en educi po filas la matiz utilizando opeaciones ente filas, hasta convetiía en una matiz de diagonal unos y los demás téminos iguales a ceos. 1 0 0... 0 b1 0 1 0 0 b13..... 0 0 0 1 b n Esto con el fin de que luego de pasalo a sistema de ecuaciones de nuevo queden las siguientes soluciones x x... x 1 1 2 2 n = b = b = b n Ejemplo: esolve el siguiente sistema de ecuaciones lineales po el método de Gauss-Jodán 2x + 3x + 5x = 0 x + 7x + 8x = 1 4x 3x = 2 2 3 Pimeo se conviete a matiz ampliada 47
2 3 5 0 1 7 8 1 0 4 3 2 Se ealizan opeaciones ente filas paa llega a la matiz de diagonal 1 y los demás elementos iguales a ceo: 2 3 5 0 1 7 8 1 f1: f 2 1 7 8 1 2 3 5 0 0 4 3 2 0 4 3 2 1 7 8 1 1 7 8 1 21 2 17 17 0 4 3 2 0 4 3 2 2 f1+ f2 f2 1 17 f2 f2 0 17 21 2 0 1 1 0 11 3 17 17 7 f2+ f1 f1 4 f2+ f3 f3 0 1 21 2 17 17 0 0 135 26 17 17 48
1 0 11 3 17 17 17 135 f3 f2 0 1 21 2 17 17 0 0 1 26 135 7 11 17 f 1 0 0 135 3+ f1 f 1 21 17 f3+ f2 f2 0 1 0 16 45 0 0 1 26135 La solución del sistema es única 7 16 26 sol =,, 135 45 135 Ejemplo 2: Resolve el sistema de ecuación x + x + 2x + 2x = 3 4 x + x + x = 1 1 2 4 3 x 3x 4x = 2 2 3 4 Se conviete a matiz ampliada 1 1 2 2 3 1 1 0 1 1 0 3 2 4 2 49
Se ealizan opeaciones ente filas paa llega a la matiz de diagonal 1 y los demás elementos iguales a ceo: 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1. f1 f 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 3 2 4 2 0 3 2 4 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 3 2 0 3 2 4 2 0 3 2 4 2 1f1+ f2 f2 1 2f2 f2 0 2 2 3 4 0 1 1 2 1 1 1. f2+ f1 f 0 1 2 1 1 3. f2+ f3 f3 0 1 1 3 2 2 0 0 1 1 4 2 1. f3+ f1 f1 1. f3+ f2 f2 1 0 0 0 3 0 1 0 1 2 0 0 1 1 4 2 El sistema tiene infinitas soluciones y se epesenta de la siguiente foma: 50
x 1 = 3 x + x = 2 x = 2 x 2 4 2 4 1 1 x + x = 4 x = 4 x 2 2 3 4 3 4 Luego la solución del sistema es: 1 sol = 3, 2 x4, 4 x4 2 Ejemplo 3: Resolve el sistema de ecuaciones. x 2x + 3x = 8 2x + 3x + 4 x = 10 3 x 6x + 9x = 2 Pimeo se conviete a matiz ampliada 1 2 3 8 2 3 410 3 6 9 2 Se ealizan opeaciones ente filas paa llega a la matiz de diagonal 1 y los demás elementos iguales a ceo: 51
1 2 3 8 1 2 3 8 2 f1+ f2 f2 3 f1+ f3 f 3 2 3 4 10 0 7 2 6 3 6 9 2 0 0 0 22 El s una ecuación tiene solución poque nos da una ecuación degeneada 0 = 22 Ejemplo 4: Resolve el siguiente sistema de ecuación 3x x = 4 1 2 2x + 3x = 5 1 2 6x 2x = 8 1 2 Se conviete a matiz ampliada 3 1 4 2 3 5 6 2 8 Se ealizan opeaciones ente filas paa llega a la matiz de diagonal 1 y los demás elementos iguales a ceo: 52
1 4 3 1 4 1 3 3 1 f 3 1 f1 2 3 5 2 3 5 6 2 8 6 2 8 1 4 1 3 3 2 f1+ f2 f2 6 f1+ f3 f3 0 11 23 3 3 0 0 0 Se obseva que se ha eliminado una ecuación y la matiz queda de la foma: 1 4 1 3 3 0 11 23 3 3 Nos queda un sistema 2 2 Que se puede segui esolviendo utilizando opeaciones ente filas 1 4 4 7 1 3 3 3 1 1 11 1 2 2 3 3 1 0 f f f2+ f3 f3 3 11 0 11 23 0 1 23 0 1 23 3 3 11 11 Se obseva que el sistema de ecuaciones tiene solución única 7 23 sol =, 11 11 ACTIVIDAD 3 DE LA UNIDAD 2 Resolve los siguientes sistemas de ecuaciones po el método de Gauss-Jodán 53
1. 2. 3. x + x + 2x = 1 2x + 5x + x = 10 2x 2x 2x = 3 3x + 2x = 0 1 3 + 5x + x = 0 1 2 2 3 2x x = 0 x + 2x 2x = 1 2 3 4 2x + 5x + x = 9 1 2 4 x 2x 2x 2x = 3 4 4. 5. x + 4x + 2x 2x = 1 4 2x + 5x 9x + x = 9 x 4 + 2x = 5 1 2 5x + 4x = 8 2 2 2x 3x = 7 1 2 6. Un empesaio tiene tes máquinas que son empleadas en la fabicación de cuato poductos difeentes. Paa utiliza plenamente las máquinas estas estaán en opeación 8 hoas diaias. El númeo de hoas que cada máquina es usada en la poducción de cada uno de los cuato poductos está dado po Poducto 1 Poducto 2 Poducto 3 Poducto 4 Máquina 1 3 2 2 2 Máquina 2 2 2 5 0 Máquina 3 3 4 0 2 Encuente el númeo de unidades que se deben poduci de cada uno de los 4 poductos un día de 9 hoas completas. 3x 1 : Es la cantidad de hoas diaias que es usada la máquina 1 en la fabicación del poducto 1. 2x 2 : Es la cantidad de hoas diaias que es usada la máquina 1 en la fabicación del poducto 2. 54
2x 3 : Es la cantidad de hoas diaias que es usada la máquina 1 en la fabicación del poducto 3. 2x 4 : Es la cantidad de hoas diaias que es usada la máquina 1 en la fabicación del poducto 4. Como la máquina 1 debe se usada 9 hoas diaias, entonces 3x + 2x + 2x + 2x = 9 tenemos que 4 Pocediendo de foma simila paa las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente. 3x + 2x + 2x + 2x = 9 4 2x + 2x + 5x = 9 3x + 4x + 2x = 9 1 2 4 7. Detemine las coientes I1, I2 e I3 de la siguiente ed: Que se epesenta a pati del siguiente sistema de ecuaciones lineales después de habe la ley de coientes de Kichhoff utilizado 55
I + I + I = 0 7I + I 20 = 0 1 2 I + 4I + 8 = 0 2 3 2.6 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ La tanspuesta de una matiz es intecambia vectoes filas en vectoes columnas es deci si tenemos A Ejemplo: = aij ; entonces A t = aji 2 6 5 A = 1 3 4 2 3 Entonces t A 2 1 = 6 3 5 4 3 2 2.6.1 Popiedades de la tanspuesta ( ) t t t A+ B = A + B paa A y Bmatices del mismo tamaño ka ( ) t t ( AB) = ka ;donde k es un escala(númeo eal) t t t. = B. A paa A y Bmatices que cumpla la condición de la multiplicación 2.7 MATRICES CUADRADAS Las matices cuadadas son aquellas que cumplen las condición que el númeo de sus filas es igual al númeo de sus columnas, también suelen se llamadas de oden n que indica su tamaño 56
Ejemplo: 3 1 A = 2 4 2 2 ; 1 3 0 B = 4 1 5 2 9 2 33 Las matices cuadadas tienen una diagonal pincipal y una diagonal secundaia: Diagonal pincipal son los téminos a11, a22, a33,..., a nn Diagonal secundaia son los téminos a1 n,..., a33,..., a n1 2.7.1 MATRICES CUADRADAS ESPECIALES Matiz diagonal. Es una matiz cuadada cuyos elementos de la diagonal pincipal son difeentes de ceo y los demás elementos de la matiz son ceos. 57
A a11 0 0... 0 0 a 0 0.... 0 0 0 ann 22 = Esta matiz también se puede epesenta de la foma: Ejemplo: ( ) = ( ) diag A a11, a22, a33,..., ann B 2 0 0 3 0 = 0 3 0 ; C 0 4 0 0 4 33 2 2 matiz identidad. Es una matiz cuadada cuyos elementos de la diagonal pincipal son iguales a 1 y los demás elementos de la matiz son ceos. A esta matiz se nomba como donde n indica el oden de la matiz identidad. I n, I 1 0 0 1 0 = 0 1 0 ; I = 0 1 0 0 1 3 2 58
Matiz escala. Es una matiz cuadada cuyos elementos de la diagonal pincipal es un númeo eal igual. Esta matiz puede expesase como el esultado de un escala po la matiz identidad de cualquie oden Ejemplo: E 5 0 0 3 0 = 0 5 0 ; Z = 0 3 0 0 5 Matiz tiangula. Es una matiz cuadada cuyos téminos que están po debajo o po encima de la diagonal pincipal son iguales a ceos. Ejemplo: 59
Matiz simética. Es una matiz cuadada que cumple la condición que es t igual a su tanspuesta, es deci A= A Ejemplo: Estas matices tienen caacteísticas que la difeencias de las demás po ejemplos todos los elementos que están po encima de la diagonal pincipal son iguales a todos los elementos que están po debajo de esta misma. Matiz antisimética. Es una matiz cuadada que cumple la condición que es igual al opuesto de su tanspuesta, es deci A t = A, también una matiz antisimética debe tene los elementos de la diagonal pincipal iguales a ceos. Ejemplo: 60
Matiz nomal. Es una matiz cuadada que cumple la condición que conmuta con su taspuesta es deci: AA t = t A A Ejemplo: 2 4 1 A = 4 2 2 1 2 2 Vamos a poba que esta es una matiz nomal es deci que cumple con la conmutatividad. Pimeo hallamos la taspuesta de la matiz t A 2 4 1 = 4 2 2 1 2 2 Ahoa pobamos la popiedad: t AA 2 4 1 2 4 1 = 4 2 2 4 2 2 1 2 2 1 2 2 ( ) ( ) 4 + 16 + 1 8 + 8 + 2 2 + 8 + 2 20 2 8 = 8 + 8 + 2 16 + 4 + 4 4 + 4 + 4 = 2 24 4 2+ 8+ ( 2) 4+ 4+ ( 4) 1+ 4+ 4 8 4 9 61
t AA 2 4 1 2 4 1 = 4 2 2 4 2 2 1 2 2 1 2 2 + + + ( ) + + + ( ) ( ) ( ) 4 16 1 8 8 2 2 8 2 20 2 8 = 8 + 8 + 2 16 + 4 + 4 4 + 4 + 4= 2 24 4 2+ 8+ 2 4+ 4 + 4 1+ 4+ 4 8 4 9 Matiz otogonal: Es una matiz cuadada que cumple la condición, t t AA = A A = I Ejemplo: dada la matiz Z demueste que es otogonal Z 2 3 = 3 2 Aplicamos la definición ZZ. t 2 3 2 3 13 0 1 1 0 = = = 3 2 3 2 0 13 13 0 1 t Z. Z 2 3 2 3 13 0 1 1 0 = = = 3 2 3 2 0 13 13 0 1 Po lo tanto la matiz Z es otogonal 62
2.8 TRAZA DE UNA MATRIZ. La taza de es la suma de los elementos de la diagonal pincipal de una matiz cuadada. ta( A) = a11 + a22 + a33 +... + ann Ejemplo: Calculaa la taza de la siguiente matiz 3 5 4 B = 0 5 3 2 4 2 ta( B ) = 3+ 5+ ( 2) = 6 2.8.1 PROPIEDADES DE LA TRAZA a. ta( A+ B) = ta( A) + ta( B) ;donde A y B matices del mismo oden b. ta( kb) = k. ta( A) ; k es un escala ( númeo eal ) c. ( ) = ta( B.A) ;donde A y B matices ta A.B del mismo oden 63
2.9 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA Sea A y B matices cuadadas del mismo oden talque AB. = BA. = I entonces se dice que: A B 1 = ó B 1 = A Ejemplo 1: Sean las matices cuadadas 1 3 2 12 3 2 A= 3 8 6 y B= 3 1 0 2 6 3 2 0 1 Demueste que A es la invesa de B o lo contaio aplicando su definición 1 3 2 12 3 2 1 0 0 AB. = 3 8 6 3 1 0 = 0 1 0 2 6 3 2 0 1 0 0 1 12 3 2 1 3 2 1 0 0 BA. = 3 1 0 3 8 6 = 0 1 0 2 0 12 6 3 0 0 1 Queda demostado que A B 1 = ó B 1 = A 64
2.10 CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Paa calcula la invesa de una matiz cuadada debemos coloca a esta pimeo que todo en una matiz ampliada de la siguiente foma: ( AI ) Esto muesta del lado izquiedo la matiz a quien se le halla la invesa y del lado deecho la matiz identidad del mismo oden. Luego se ealizan opeaciones ente filas paa conveti la matiz dada en la matiz identidad y la matiz identidad en la invesa de la matiz dada. ( IA 1 ) Nota. Las únicas matices que tienen invesa son las matices cuadadas peo no toda matices cuadadas tienen invesa. Ejemplo 1: Dada la matiz Z 2 3 = 5 4 Calcula 1 Z Se epesenta la matiz en foma ampliada 2 31 0 5 4 0 1 Se ealizan opeaciones ente filas paa calcula conveti la matiz del lado izquiedo en matiz identidad 65
2 31 0 1/2 1 3 1 0 f1 f1 2 2 5 4 0 1 5 4 0 1 1 3 1 0 1 2 3 0 5 1 1 2 2 2 2 f + f f f 23 2 f2 2 2 0 23 5 1 0 1 5 2 2 2 23 23 4 3 3 f 2 1 0 2+ f1 f1 23 23 0 1 5 2 23 23 Luego la invesa seá: 4 3 23 23 = 5 2 23 23 1 Z Ejemplo 2: Dada la matiz C 1 3 2 = 3 8 6 2 6 3 Calcula la C 1 Se expesa en foma de matiz ampliada 1 3 2 1 0 0 3 8 6 0 1 0 2 6 30 0 1 Se ealizan opeaciones ente filas adecuadas paa halla la invesa 66
1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 3 f1+ f2 f2 2 f1+ f3 f 3 3 8 6 0 1 0 0 1 0 3 1 0 2 6 3 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 0 2 8 3 0 1 0 0 12 3 2 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 3 f2+ f1 f1 2 f3+ f1 f1 0 1 0 3 1 0 0 1 0 3 1 0 La invesa de la matiz es 1 C 12 3 2 = 3 1 0 2 0 1 Ejemplo 3. Dada la matiz D 1 3 2 = 3 1 0 2 6 4 Calcula D 1 Se expesa la matiz en foma ampliada 1 3 2 1 0 0 3 1 0 0 1 0 2 6 4 0 0 1 Se ealizan opeaciones ente filas paa halla la invesa convitiendo la matiz del lado izquiedo en identidad. 67
1 3 21 0 0 1 3 2 1 0 0 3 f1+ f2 f2 2 f1+ f3 f 3 3 1 0 0 1 0 0 10 6 3 1 0 2 6 4 0 0 1 0 0 0 2 0 1 Se obseva que la matiz D no tiene invesa ACTIVIDAD 4 UNIDAD 2 1. Demueste las popiedades de la tanspuesta a. ( ) t t t A+ B = A + B paa A y Bmatices del mismo tamaño ka b. ( ) t t c. ( AB) = ka ;donde k es un escala(númeo eal) t t t. = B. A paa A y Bmatices que cumpla la condición de la multiplicación. 2. Demueste las popiedades de la taza ta( A+ B) = ta( A) + ta( B) ; donde A y B matices del mism ta( kb) = k. ta( A) ; k es un escala ( númeo eal ) ta( A. B) = ta( B. A) ; donde A y B matices del mismo o 3. Da ejemplos de matices: a. Escala d. Antisimética b. Tiangula e. Nomal c. Simética 4. Halla la invesa de las siguientes matices a. 2 3 3 5 68
b. c. 1 5 0 2 3 9 2 1 4 " $ 0 2 2 1 $ 4 9 2 3 $ 1 4 2 3 $ # 0 2 2 1 % ' ' ' ' & d. 5 5 6 7 1 0 0 1 4 2.11 MÉTODO DE LA INVERSA PARA RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES Este método es utilizado paa esolve sistemas de ecuaciones m = nes deci que el númeo de ecuaciones sea igual al númeo de vaiables Paa utiliza este método debemos conveti pimeo el sistema de ecuación en una ecuación maticial: AX. = B Donde A es la matiz de los coeficientes de las vaiables del sistema; X es la matiz de las vaiables que petenecen al sistema y B es la matiz de las constates o téminos después del igual. a x + a x + a x +... + a x = b 11 1 12 2 13 3 1n n 1 a x + a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 a x + a x + a x +... + a x = b 31 1 32 2 33 3 3n n 1.... =..... =..... =. a x + a x + a x +... + a x = b m1 1 m2 2 m3 3 mn n n 69
a11 a12 a13... a1 n x1 b1 a21 a22 a23 a2n x2 b13 =...... am1 am2 am3 amn xn bn Después de conveti en ecuación maticial se halla la invesa de la matiz de los coeficientes paa pode halla la solución de las vaiables de la siguiente foma: X = A 1. B Ejemplo 1. Resolve el siguiente sistema de ecuaciones po el método de la invesa. 2x + 3x = 2 1 2 5x 4x = 1 1 2 Pimeo convetimos el sistema en ecuación maticial 2 3 x1 2 = 5 4 x 2 1 Ahoa se calcula la invesa de la matiz de coeficientes 70
2 3 1 0 1/2 1 3 1 0 f1 f1 2 2 5 4 0 1 5 4 0 1 1 3 1 0 1 2 3 0 5 1 1 2 2 2 2 f + f f f 23 2 f2 2 2 0 23 5 1 0 1 5 2 2 2 23 23 4 3 3 f 2 1 0 2+ f1 f1 23 23 0 1 5 2 23 23 La invesa de la matiz es 4 3 23 23 5 2 23 23 Se utiliza esta matiz paa esolve el sistema de ecuaciones de la siguiente foma: X = A 1. B 4 3 x 1 23 23 2 = x 2 5 2 1 23 23 Realizamos la multiplicación de matices x ( ) 4 3 8 3 5 23 23 2 + 23 23 23 = = = 5 1 12 23 23 + 23 23 23 1 x 2 2 10 2 Luego la solución del sistema es: 5 12 sol =, 23 23 71
Ejemplo 2. Resolve el siguiente sistema de ecuaciones x 3x 2x = 3 3x 8x 6x = 1 1 1 1 2x 6x 3x = 4 1 1 1 Convetimos el sistema en ecuación maticial 1 3 2 x1 3 3 8 6 x = 1 2 2 6 3x 3 4 Se halla la invesa de la matiz de los coeficientes 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 3 f1+ f2 f2 2 f1+ f3 f 3 3 8 6 0 1 0 0 1 0 3 1 0 2 6 3 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 0 2 8 3 0 1 0 0 12 3 2 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 3 f2+ f1 f1 2 f3+ f1 f1 0 1 0 3 1 0 0 1 0 3 1 0 La invesa de la matiz es 12 3 2 3 1 0 2 0 1 Resolvemos el sistema. x1 12 3 2 3 36 3 + 8 31 x = 3 1 0 1 = 9 1+ 0 = 10 2 x 3 2 0 14 6+ 0+ 4 2 72
Luego la solución del sistema es: sol = ( 31, 10, 2) Ejemplo 3. Resolve el siguiente sistema de ecuaciones x + 3x + 2x = 1 3x + x = 0 1 2 2x + 6x + 4x = 3 Convetimos el sistema de ecuaciones en ecuación maticial 1 3 2 x1 1 3 1 0 x = 0 2 2 6 4x 3 3 Se halla la invesa de la matiz de los coeficientes 1 3 21 0 0 1 3 2 1 0 0 3 f1+ f2 f2 2 f1+ f3 f 3 3 1 0 0 1 0 0 10 6 3 1 0 2 6 4 0 0 1 0 0 0 2 0 1 Obsevamos que la matiz no tiene invesa po consiguiente el sistema no tiene solución ACTIVIDAD 5 UNIDAD 2 Resolve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales po el método de la invesa 73
1. x 3x + 2x = 1 3x x = 0 1 2 2x + 5x x = 3 4. I 3I + 2I = 0 I I = 0 2 3 2I + 5I 4I = 0 2. 2x + 3x = 7 1 2 3x 7x = 5 2 2 5. 3V + 2V = 9 2 3 2V V 5V = 4 7V V = 3 1 3 3. R + 3R = 0 1 2 3R R = 5 2 2 6. 2I + 2I = 10 1 3 I 7I I = 0 + 6I I = 3 2 3 74
Unidad DETERMINANTES 3 La función deteminante es de gan impotancia en la solución de sistemas de ecuaciones en esta unidad se daá las base paa la obtención del objetivo pincipal que es apende oto método paa solución de sistemas de ecuaciones lineales. 75
3.1 COMPETENCIAS A DESARROLLAR Calcula deteminante y aplica sus popiedades Uso de los deteminantes paa halla la invesa de una matiz Utiliza adecuadamente el método de Came paa la solución de sistemas de ecuaciones 3.2 DEFINICIÓN DE DETERMINANTES Un deteminantes es el valo numéico que se le asigna a una de una matiz cuadada, se epesenta de la siguiente foma: A = det A 3.2.1 DETERMINANTE 2X2 Es el deteminante que se le asigna a una matiz de cuadada de oden 2 a b A= = ad. cb. c d Ejemplo: 2 3 2. ( 3) ( 4 ).3 6 12 6 4 3 = = + = 76
3.2.2 DETERMINANTES 3X3 Es el valo numéico que se le asigna una matiz cuadada de oden 3 a b c (......) (...... ) d e f = aei+ b f g+ d hc ceg+ dbi+ h f a g h i Este deteminante se debe calcula utilizando el método de Saus Ejemplo 2 3 2 ( ( ) ) ( ) 0 1 5 = 6+ 30 + 0 2+ 0+ 10 = 24 12= 26 2 1 3 3.2.3 DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR Es el valo numéico que se le asigna a una matiz de oden n 77
a 11 0 0... 0 0 a 0 0 22.... 0 0 0 ann 3.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Estas popiedades son utilizadas especialmente paa la solución de deteminante de cualquie oden. 1. Si se tiene una matiz cuadada que contenga una fila o columna de ceos su deteminante es igual a ceo. Ejemplos: 2 3 2 A = 0 0 0 Entonces el det A = 0 2 1 3 2 0 2 3 3 0 3 1 B = 5 0 4 1 6 0 1 0 ACTIVIDAD 1 UNIDAD 3 Entonces el det B = 0 1. Resolve los siguientes deteminantes: 78
a. b. c. d. e. f. 1 2 3 2 3 1 2 1, 4 1, 7 0,3 2, 4 2 6 7 0 9 3 0 0 3 2 6 7 4 9 3 2 6 7 2 6 7 4 9 3 2 6 7 0 0 7 0 9 3 2 6 7 g. h. i. j. 2 6 2 4 12 3 2 6 1 2 3 2 2 5 3 3 3 4 0 2 3 2 3 2 2 5 3 2. Resolve los siguientes deteminantes utilizando sus popiedades a. b. 3 1 0 5 0 5 2 3 0 0 2 1 0 0 0 3 3 0 0 0 5 5 0 0 1 3 2 0 2 5 9 3 c. 3 1 6 5 4 2 5 2 3 5 1 0 2 1 6 6 3 1 3 6 3 1 6 5 4 79
d. 3 1 0 5 4 2 5 0 3 5 1 0 0 1 6 6 3 0 3 6 3 1 0 5 4 e. 3 1 1 5 4 2 4 6 2 10 1 5 6 3 6 3 6 3 1 9 5 4 f. 2 4 6 2 1 7 0 7 0 0 0 6 2 4 6 2 3.4 MENORES Son los deteminantes de la matiz meno que sale de supimi una i-esima fila y una j-esima columna de ota matiz, se simboliza de la siguiente foma: M ij Ejemplo: Dada la matiz 2 4 0 B = 1 2 3 1 0 1 80
Enconta los menoes M32 y M 22 2 0 M 32 = = 2. ( 3) = 6 1 3 2 0 M 22 = = 2. ( 1) = 2 1 1 3.4.1 MENORES COFACTORES i Son los elementos A = ( ) ij + j 1. M ij 3.4.2 MATRIZ DE COFACTORES Esta matiz está compuesta po los menoes de ota matiz dada. A ij A A A... A A A A A.... A A A a 11 12 13 1n 21 22 23 2n = n1 n2 n3 nn 3.4.3 ADJUNTA DE UNA MATRIZ Es la taspuesta de la matiz de cofactoes 81
A T ij A A A... A A A A A.... A A A a 11 21 31 n1 12 22 32 n2 = 1n 2n 3n nn 3.4.4 INVERSA DE UNA MATRIZ UTILIZANDO LA ADJUNTA Y DETERMINANTES Ota foma de halla la invesa de una matiz utilizando los deteminantes B 1 1 = B AdjB Ejemplo: Dada la matiz 2 4 0 B = 1 2 3 1 0 1 Halla: Menoes cofactoes A 11 + 2 3 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 2) = 2 0 1 11 11 82
A A A A A A A A 1+ 2 1 3 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 1 ( 3) ) = 1.2= 2 1 1 12 12 1+ 3 1 2 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 0 2) = 1. 2= 2 1 0 13 13 2+ 1 4 0 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 4 0) = 1. 4= 4 0 1 21 21 2+ 2 2 0 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 2 0) = 1. 2= 2 1 1 22 22 2+ 3 2 4 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 0 4) = 1. 4= 4 1 0 23 23 3+ 1 4 0 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 12 0) = 1. 12= 12 2 3 31 31 3+ 2 2 0 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 6 0) = 1. 6= 6 1 3 32 32 3+ 3 2 4 = ( 1 ). M = 1. = 1. ( 4 4) = 1.0= 0 1 2 33 33 MATRIZ DE COFACTORES B ij 2 2 2 = 4 2 4 12 6 0 ADJUNTA DE UNA MATRIZ Es la tanspuesta de la matiz de cofactoes 83
T B ij 2 4 12 = 2 2 6 2 4 0 INVERSA DE UNA MATRIZ UTILIZANDO LA ADJUNTA Y DETERMINANTES B 1 1 = B AdjB Calculo del deteminante de B 2 4 0 ( ) ( ) det B = 1 2 3 = 4 12 + 0 0 4 + 0 = 16 + 4 = 12 1 0 1 Calculo de la invesa 1 B 1 1 1 2 4 12 6 3 1 = 2 2 6 = 1 1 1 12 6 6 2 2 4 0 1 1 0 6 3 ACTIVIDAD 2 UNIDAD 3 1. Halla los cada uno de los menoes cofactoes de las siguientes 84
2 4 4 a. A = 0 3 1 0 0 3 2 4 0 b. B = 3 3 1 1 0 3 2. Calcula la matiz de cofactoes y la adjunta de las maticees del punto 1. 3. Dadas las matices, calcula los menoes cofactoes indicados 2 0 2 0 0 3 3 1 = 5 1 4 1 6 3 1 0 1 5 2 2 0 8 3 1 D= 5 1 4 0 6 3 9 0 ; B, B, B, B a. B ; B12, B14, B42, B32 b. 33 34 42 22 4. Calcula la invesa de las siguientes matices utilizando los cofactoes y la adjunta de la matiz dada. a. b. 2 4 0 B = 3 3 1 1 0 3 2 0 0 C = 3 3 0 1 0 3 c. d. 0 0 4 D = 0 3 3 1 4 3 2 0 2 0 0 3 3 1 M = 5 1 4 1 6 3 1 0 85
3.5 CALCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR Paa calcula deteminantes de oden supeio se debe peocedede de la siguiente foma: 1. Se escoge un elemento a ij = 1o en su defecto aij 0 2. Conveti en ceo los elementos que están en la columna del elemento escogido utilizando opeaciones ente filas adecuadas. 3. Elimina la fila y la columna del elemento escogido paa obtene una matiz meno utilizando el signo del coofacto. Este pocedimiento se puede ealiza tantas veces sea posible paa llega a una matiz de oden tes y pode esolve po el método de Saus antes visto Ejemplo 1: A = 2 1 0 1 3 3 2 4 1 0 3 2 0 4 1 6 1. Se escoge el elemento a 43 = 1 86
2. Se hace ceo los elementos del uno escogido 3. Se elimina la fila y la columna del uno escogido paa conveti en una matiz meno 2 1 1 7 ( ) ( ) ( ) 1 3 11 16 = 352 16 36 11+ 48+ 384 = 402 443= 845 1 12 16 Ejemplo 2: B = 2 1 0 1 4 4 3 2 4 0 1 0 3 2 0 0 4 1 6 0 5 1 3 5 0 87
En algunos casos si la fila y la columna que se elimina, el númeo escogido es difeente de 1 se debe multiplica el esultado po este númeo. 2 1 0 1 4 4 3 2 4 0 1 0 3 2 0 0 4 1 6 0 5 1 3 5 0 ( ) ( ) 6 3 4 3 2 4 0 3 14 4 4. f2+ f1 6 1 0 3 2 5. f 1 0 3 2 2+ f4 = 4* ( 1) 0 4 1 6 0 4 1 6 5 1 3 5 0 1 12 15 3 14 4 = 4* 1 * 1 4 1 6 1 12 15 ( ) ( ) ( ) = 4* 45 84 192 4 840 + 216 = 4* 231 628 = 4*397 = 1.588 Ejemplo 3: C 2 1 0 1 4 3 3 2 4 9 = 1 0 3 2 3 = 0 5 1 6 2 5 0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 4 2. f4+ f2 6 3 2 4 9 3. f 13 0 16 5 4+ f3 = 5* ( 1) 0 3 2 3 15 0 16 9 5 1 6 2 5 1 6 2 ( ) ( ) 6 6 1 1 4 = 5* 1. 1 13 88 16 5 15 16 9 ( ) ( ) ( ) ( ) = 5* 144 75 832 960+ 117+ 80 = 5* 1051 763 = 5* 288 = 1440
ACTIVIDAD 3 UNIDAD 3 Resolve los siguientes deteminantes de oden supeio 2 1 5 1 3 2 3 2 4 0 1. 1 0 0 2 0 0 5 1 6 0 5 1 0 5 0 1 3 2 1 0 1 3 0 2. 5 7 4 2 2 2 3 1 2 1 5 1 3 2 0 2 2 7 0 0 0 0 0 5 7 3 3. 4. 1 6 0 2 4 4 2 9 5 0 5 1 3 5 0 0 6 6 5 1 0 5 6 3.6 MÉTODO DE CRAMER PARA SOLUCIONAR SISTEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES n n Este método es utilizado paa esolve sistemas de ecuaciones lineales que tengan el númeo de ecuaciones igual al númeo de vaiables. 89
a x + a x + a x +... + a x = b 11 1 12 2 13 3 1n n 1 a x + a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 23 3 2n n 2 a x + a x + a x +... + a x = b 31 1 32 2 33 3 3n n 1.... =..... =..... =. a x + a x + a x +... + a x = b n1 1 n2 2 n3 3 nn n n Paa halla el valo de cada vaiable se debe pocede de la siguiente foma: Se halla el deteminante de la matiz de los coeficientes de las vaiables: Dx = a a a... a 11 12 13 1n a a a a 21 22 23 2n.... a a a a n1 n2 n3 nn Este deteminante debe se difeente de ceo, Dx 0 si este es igual a ceo,el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. 1. Halla el deteminante de la matiz que contiene los coeficientes de cada una vaiables excepto los de la vaiable que se va halla que son emplazados po los téminos independientes del sistema de ecuaciones lineales. Luego se divide cada uno de los deteminantes po el deteminante Dx hallado anteiomente. 90