4. APLICACIONES LINEALES

Transcripción

1 Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 4. APLICACIONES LINEALES 4.1. DEFINICION DE APLICACIÓN LINEAL 4.2. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UNA APLICACIÓN LINEAL 4.3. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL 4.4. CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES LINEALES 4.5. OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES SUMA DE APLICACIONES LINEALES PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACIÓN LINEAL PRODUCTO DE APLICACIONES LINEALES Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

2 Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 4. APLICACIONES LINEALES 4.1. DEFINICION DE APLICACIÓN LINEAL Sean los espacios vectoiales ( + ) ( k + ) o ( + ) ( k + ) E,,,,, y F,,,,, o definidos sobe un cuepo k. El espacio vectoial E se llama espacio oigen o de salida de la aplicación lineal f. Po ota pate, F es el espacio final o de llegada o imagen de la aplicación lineal f. Se denomina aplicación lineal f, mofismo u homomofismo ente espacios vectoiales a toda aplicación f : E F x f x ( ) que cumple la siguiente condición: x, y E α, β k f α o x + β o y = α o f x + βo f y Esta condición es equivalente a: 1. f x + y = f x + f y 2. f α o x = αo f x ( ) ( ) condiciones que se obtienen en los casos α = β = 1 (la pimea) y β = 0 (la segunda) 4.2. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UNA APLICACIÓN LINEAL Sean dos espacios vectoiales E y F definidos sobe un cuepo k de dimensiones dim( E) = n y dim( F) = m y f : E F una aplicación lineal. U = u, u,,u V = v, v, K, v de F, se define Dadas dos bases { K } de E y { } 1 2 n 1 2 m matiz asociada a la aplicación lineal f especto a las bases U de E y V de F, a la matiz denotada po A = f cuyos elementos son las imágenes de los vectoes de una ( ) U,V base, como la U del espacio vectoial E, calculadas especto a la base V. A = f = f u,f u,,f u ( ) ( ( 1) ( 2 ) K ( n )) U,V U,V ( f ) U,V a11 a12 L a1n a a L a L L L L a a L a n = m1 m2 mn U,V Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

3 Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal donde a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n f ( u 1), f ( u 2 ) = =, KK, f ( un ) = V V V L L L a a a n1 V n2 V mn V La columna i de la matiz A ( f ) U,V vecto f ( u i ) calculadas especto a la base V. Popiedades de las matices asociadas a una aplicación lineal = coesponde a las coodenadas del Sean los espacios vectoiales ( + ) ( k + ) o ( + ) ( k + ) E,,,,, y F,,,,, o definidos sobe un cuepo k y U, T dos bases del espacio vectoial E y V, W dos bases de F y la aplicación lineal f : E F. a) La igualdad y = f x ( ) y1 f11 f12 f13 L f1p x1 f 2 21 f22 f23 f y L 2p x2 y f 3 = 31 f32 f33 L f 3p x 3 L L L L L L L y f n n1 fn2 fn3 f np x L n = p U,V U y = f x F de un vecto x E. En notación abeviada ( y) f ( u ),f ( u ),f ( u ), KK,f ( u ) ( x) Esta igualdad pemite calcula la imagen ( ) Esta imagen es igual: al poducto de dos matices. La pimea es la matiz asociada a l aplicación lineal f ente las bases U y V, la segunda es la matiz de las componentes del vecto x especto a la base U. En notación abeviada ( y) = f ( x) = ( f ) ( x) b) ( f ) = ( V) ( f ) ( T ) T,W W U,V U ) U V V U,V U Siendo ( T la matiz de cambio de base de T a U en el espacio vectoial E y ( V ) W la matiz de de cambio de base de V a W en el espacio vectoial F. Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

4 Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal 4.3. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL Dados los espacios vectoiales ( + ) ( + ) o ( + ) ( + ) aplicación lineal f : E F, se definen: E,, k,,,, F,, k,,, o y la Núcleo de f al conjunto: N f = Ke f = x E / f x = 0 = f 0 1 { F} ( F ) Imagen de f al conjunto: Im f = f x F / x E = f E Consecuencias { } ( ) ( ) ( ) Sea f : E F una aplicación lineal. Entonces a) Si A es un subespacio vectoial de E ( A E ) entonces ( ) F, f ( A) F f A es subespacio de En consecuencia, como E es un espacio vectoial entonces Im ( f ) f ( E) subespacio vectoial de F. -1 b) Si B es un subespacio de F entonces ( ) 1 Puesto que N ( f ) = f ( 0 F ) y { 0F} = es un f B es subespacio vectoial de E. es un subespacio vectoial de F, entonces se cumple que N ( f ) es un subespacio vectoial de E. c) Si U es una base de del subespacio vectoial A entonces f ( U) es una base del subespacio vectoial f ( A ). En consecuencia, elegida una base U del espacio vectoial E, entonces f ( U ) es una base de f ( E) = Im ( f ). d) Si E y F son espacios vectoiales de dimensión finita: dim ( E ) = dim( F ) = n, entonces: dim N( f ) + dim Im( f ) = n. Cálculo de los subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal Paa calcula los subespacios vectoiales N ( f ) e Im ( f ), asociados a una aplicación lineal ente espacios vectoiales finitos, f : E F se aplican los siguientes métodos. Se eligen dos bases: U una base de E y V base de F. Se halla ( f ) U,V matiz asociada a f en las bases U y V. Cálculo de Las ecuaciones del ( ) lineales A x = 0. N f se calculan esolviendo el sistema de ecuaciones Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

5 Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal Una base del subespacio vectoial de soluciones de dicho sistema es una base N f. del ( ) Cuando el N ( f ) = { 0 } entonces la aplicación f es INYECTIVA. Cálculo de Im f utilizando la ecuación En pime luga se obtiene la dimensión de ( ) dimensional dim N ( f ) + dim Im ( f ) = dim( E). Una base de Im ( f ) se obtiene a pati de las columnas de ( f ) U,V, que son pecisamente las imágenes de los vectoes de una base de E: f u,f u, K,f u. Esta afimación es consecuencia del apatado 3 del 1 V 2 V n V apatado 4. Cuando la dim Im ( f ) = dim( F) SOBREYECTIVA. entonces la aplicación f es SUPRAYECTIVA o 4.4 CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES LINEALES a) Cuando E F y la aplicación lineal f es inyectiva, a f se la llama MONOMORFISMO. b) Cuando E F y la aplicación lineal f es supayectiva o sobeyectiva, a f se la llama EPIMORFISMO. c) Cuando E F y la aplicación lineal f es biyectiva, a f se la llama ISOMORFISMO. Entonces se dice que los espacios vectoiales E y F son isomofos. d) Cuando E = F y la aplicación lineal f es inyectiva o supayectiva, a f se la llama ENDOMORFISMO. e) Cuando E = F y la aplicación lineal f es biyectiva, a f se la llama AUTOMORFISMO OPERACIONES CON APLICACIONES LINEALES Suma de aplicaciones lineales Sean los espacios vectoiales ( + ) ( + ) o ( + ) ( + ) E,, k,,, y F,, k,,, o una base U de E y ota V de F y las aplicaciones lineales f y g de E en F. La aplicación f + g es la aplicación lineal de E en F dada po A se le llama aplicación lineal suma de las aplicaciones lineales f y g. El conjunto ( ( ) + ) ( + ) L E, F,, k,,, o es el espacio vectoial de las aplicaciones lineales ente dos espacios vectoiales E y F. Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

6 Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal La matiz de la aplicación lineal suma de dos aplicaciones f y g es la suma de las matices asociadas a las aplicaciones lineales de f y de g ente las bases U y V.,,, PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACIÓN LINEAL Sean los espacios vectoiales ( + ) ( + ) o ( + ) ( + ) E,, k,,, y F,, k,,, o una base U de E y ota V de F y la aplicación lineal f de E en F y sea el escala α k. Se denomina poducto del escala α po la aplicación lineal f a la aplicación lineal que a cada vecto x E hace coesponde α f ( x ) F. Esta aplicación lineal se la denota po α o f. Entonces: f ( x ) = f ( x ), x α o α E α k La matiz del poducto del escala α po la aplicación lineal f es el poducto de α po la matiz asociada a f ente las bases U y V.,, PRODUCTO DE APLICACIONES LINEALES Sean tes espacios vectoiales ( E, + ),(, +, ), o, ( F, + ),(, +, ), ( G, + ),( k, +, ), o y sean las bases U = { u 1,u 2, KK,up} E, { 1 2 n} = { KK }. Sean las aplicaciones lineales : y :, W w,w,,w G 1 2 m k k o y V = v,v, KK,v F y Se denomina composición o poducto de las aplicaciones f y g a la aplicación de E en G que a un vecto x Ε hace coesponde g f ( x ). Se debe obseva que la expesión se escibe en oden inveso a como se aplica. Pimeo se aplica al vecto x la aplicación f, dando como esultado la imagen y = f ( x) F y a esta imagen consideada como nuevo oigen, se le somete a la aplicación g esultando la imagen final h( x) = g f ( x) G. La aplicación h : x h( x) = g f ( x) ecibe el nombe de aplicación compuesta o poducto de las aplicaciones lineales. La composición o poducto de dos o vaias aplicaciones lineales es una aplicación lineal. Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez

7 Heamientas infomáticas paa el ingenieo en el estudio del algeba lineal Es de destaca que el poducto de aplicaciones no es conmutativo:. En la páctica puede ocui que una de las dos aplicaciones ó no exista. La matiz de un poducto de aplicaciones lineales es igual al poducto de las matices asociadas a ellas en las bases consideadas.,,., Mª Isabel Eguia Ribeo Mª José González Gómez