UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ENSAYO N 3 DOCENTE: Ing. Patricio Puchaicela ALUMNA: Andrea C. Puchaicela G. CURSO: 4to. Ciclo de Electrónica y Telecomunicaciones AÑO LECTIVO: 2008-2009
CAPITULO 3 ALGUNAS LEYES DE PROBABILIDAD Introducción En estadística existe el uso de variables, que son términos que pueden adquirir cualquier valor, como el caso de las variables aleatorias en donde sus valores son escogidos al azar. Marco Teórico 3.1 Variables Aleatorias Una variable se dice que es aleatoria, si los posibles valores que puede tomar son determinados por el azar. En otras palabras se sabe qué valores puede tomar la variable pero no se tiene certeza de su ocurrencia, sólo se sabe que puede ocurrir con una cierta probabilidad. En una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualesquiera puede enfermar o no (eventos), pero no se sabe cuál de los dos eventos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme. Las variables aleatorias se clasifican en: 1. Discretas: aquellas que resultan de contar el número de casos en los que el evento de interés ocurre, por ejemplo: numero de hijos de una familia, número de veces que llega una paciente al servicio de emergencia, etc. 2. Continuas: aquellas que resultan producto de una medición, por ejemplo: el peso, el nivel de hemoglobina, etc. 3.2 Densidades de Probabilidad Discreta Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32. 3.3 Esperanza y Parámetros de una Distribución La esperanza es un parámetro de la distribución es una medida de tendencia central. Si X es discreta: Si X es continua µ = E(X) = xi.p(xi) µ = E(X) = x.f(x).dx
La esperanza E(x) no es un resultado que esperararíamos cuando X se observa sólo una vez. Pero si observáramos un gran número de observaciones independientes de X el promedio de esos resultados estará cerca de E(x). En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufrir una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6, demuestre que la utilidad esperada en dicha operación es de $400. Primero definimos la variable aleatoria X = utilidad en operación comercial µ = E(X) = xi.p(xi) E(X) = 1000*0,6+(-500)*0,4 E(X) = 400 3.4 Distribución Geométrica y la Función Generadora de Momentos La distribución geométrica es la distribución de probabilidad del número X necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto {1, 2, 3,...}. Si lanzamos una moneda hasta que veamos la primera cruz? Cuantas veces necesitamos lanzarla Sea X el número de veces que necesitamos lanzar. Luego X _G (0,8). P(X = 5) = 0,2 4 0,8 = 0,00128 Rta: X es la distribución geométrica 3.5 Distribución Binomial La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número "n" de veces un experimento, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre: 0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido éxitos La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo: Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? "k " es el número de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)
"n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10 "p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5 La fórmula queda: P (x = 6) = 0,205 Rta: Se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda. 3.6 Distribución Binomial Negativa La distribución binomial negativa se utiliza para calcular la probabilidad de que una variable del tipo binomial con probabilidad p obtenga el éxito número k en en intento número x. La función de densidad es: P(X=x) = Comb(x-1,k-1)* p^k * (1-p)^(x-k) para x=k,k+1,k+2,... 3.7 Distribución Hipergeométrica Es el número de éxitos alcanzados cuando una muestra aleatoria n sea sacada, sin reemplazo de una población N donde existen S unidades con las características que denota éxito. S e utiliza para describir varias variables discretas. Ejemplo : En el servicio de planificación familiar de un Centro Materno Infantil están esperando ser atendidos las pacientes. Calcular la probabilidad de que 5 pacientes sean usuarias de método hormonal oral de una muestra de 25 pacientes, seleccionados al azar de un total de 100 pacientes. de los cuales 15 pacientes presentan antecedentes de haber tenido falla de este método alguna vez. muestra éxito 5 tamaño muestra 25 Población. éxito 15 Tamaño población 100 p (x =5 ) 0.1738 Rta: Hay una probabilidad de 0.1738 y de encontrar 5 pacientes que sean usuarias de método hormonal oral. En una media de 25 pacientes extraídas al azar de un total de 100 pacientes en el que se sabe que hay 15 que hayan tenido falla de este método alguna vez.
3.8 Distribución de Poisson La distribución de Poisson parte de la distribución binomial, es cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson: Se tiene que cumplir que: "p " < 0,10 "p * n " < 10 La distribución de Poisson s deduce: El número "e" es 2,71828 "l" = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo) "k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando. La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. Cuál es la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos? P (x = 5) = 4,602 Rta: La probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recién nacidos es del 4,6%. Conclusiones: La estadística nos proporciona las distribuciones discretas que son una herramienta que nos permiten determinar el valor de la probabilidad. Además estas leyes nos permiten el cálculo de probabilidades de una manera más sencilla y rápida. Cada distribución se rige en fórmulas que facilitan la obtención de los resultados.