El conectivo OR y la diferencia simétrica de conjuntos Memo Garro Enero 2018 Resumen Definimos la diferencia simétrica usual de conjuntos mediante el conectivo OR Y. También conocido comunmente como disyunción exclusiva. Probamos que es una operación asociativa a partir de la misma propiedad de Y. Estimamos que vale la pena hacer la prueba de la propiedad asociativa de mediante este camino basado puramente en la lógica propocional, puesto que, aun cuando en la literatura hay diversas pruebas, todas ellas parecen algo menos simples de lo que hacemos aquí. Sirva este texto además como un ejemplo de escritura con L TE. Índice Lógica proposicional y álgebra de conjuntos............... 1 Propiedades de los conectivos _ y ^................... 4 Propiedades de los conectivos ñ y ô................... 5 El conectivo OR: Y............................ 6 La diferencia simétrica de conjuntos.................... 8 Lógica proposicional y álgebra de conjuntos Recordemos que las operaciones elementales del álgebra de conjuntos: unión Y, e intersección, se defininen a partir de los conectivos de la lógica binaria _ ( o, or ) y ^ ( y, and ), del modo siguiente: Definición 1. Dados dos subconjuntos y B de un conjunto (el universo local), la unión e intersección de y B, respectivamente, son los subconjuntos de 1
definidos por Y B : tx P : x P _ x P Bu, B : tx P : x P ^ x P Bu. La interpretación mediante diagramas de Venn es típicamente como se muestra en la figura. B B Y B B Unión e intersección de los subconjuntos y B. El complemento y la diferencia de conjuntos se definen de forma similar. Definición 2. Sean y B subconjuntos de un conjunto. El complemento de es el conjunto c : tx P : x R u. La diferencia de y B es el conjunto z B : tx P : x P ^ x R Bu. Es usual escribir z B tx P : x R Bu. La figura siguiente muestra los diagramas de Venn para estas operaciones. B c z B El complemento de, c ; y la diferencia de menos B, z B 2
Observación 1. Note que Y por otra parte, c z. z B B c. El estudiante debería ser capaz de probar estas afirmaciones. Observación 2. Conviene precisar qué sentido damos al símbolo R. Rigurosomante, cuando escribimos x R queremos decir px P q donde es el símbolo para la negación lógica. En consecuencia, como bien sabemos, las propiedades del álgebra de conjuntos dependen de las propiedades lógicas de _ y ^. sí que lo primero que haremos en estas notas será revisar algunas de las propiedades lógicas de tales conectivos. Pero para poder hacer un síntesis completa de la lógica proposicional es necesario ocupar otros dos de los conectivos usales: la implicación (o condicional) ñ, y la doble implicación (bicondicional o equivalencia): ô. Por lo que también revisaremos brevemente estos conectivos. Primero recordemos las tablas de valores de verdad que definen a estos cuatro conectivos: p q p _ q p ^ q p ñ q p ô q 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 Observamos que la disyunción _ es verdadera (con valor de verdad 1) si y sólo si, al menos uno de los valores de verdad de sus proposiciones componentes es verdadera. En cambio, la conjunción ^ es verdadera si y sólo si, ambas componentes son verdaderas. La tabla de ñ nos dice que, en cuanto a la lógica propocional se refiere, una relación condicional es falsa (valor de verdad 0) si y sólo si, el antecedente es verdadera (valor 1) y el concecuente falso (valor 0). Mientras que el bicondicional es verdadero (valor 1) si y sólo si, las proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad. Por último, la negación:, está definida mediante la tabla p p 1 0 0 1 Observe que la negación invierte los valores de verdad. 3
Propiedades de los conectivos _ y ^ El conectivo _ es asociativo. Esto es, las proposiciones p _ pq _ rq y pq _ pq _ r son lógicamente equivalentes. Y lo que queremos decir con esta última frase es que la proposición rp _ pq _ rqs ô rpp _ qq _ rs (1) es siempre verdadera (valor 1), independientemente de los valores de verdad de las componentes p, q y r. Para comprobarlo es suficiente hacer la tabla de valores de verdad: p q r [ p _ ( q _ r )] ô [( p _ q ) _ r ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 sí es como comprobamos, fehacientemente, que la proposición (1) es siempre verdadera sin importar los valores de sus componentes. unque laborioso, hacer una tabla es un método que nos proporciona con toda certeza cuáles son los valores de verdad de cualquier proposición compuesta (i.e. aquella que está formada a partir de otras proposiciones mediante conectivos). Una proposición compuesta cuyos valores de verdad no dependen de sus componentes se llama ley lógica o tautología. Una equivalencia es un caso particular de ley lógica. El estudiante recordará de sus cursos básicos que, cuando una ley lógica involucra el condicional ñ, entonces hablamos de una regla o ley de inferencia. Los modelos clásicos de razonamientos modus ponens y modus tollens, son ejemplos de reglas de inferencia de uso cotidiano en las matemáticas. Usualmente ocupamos el símbolo para denotar que dos proposiciones son equivalentes. Por ejemplo, para decir que (1) es siempre verdadera, simplemente escribimos p _ pq _ rq pp _ qq _ r. Note, por último, que dos proposiciones son (lógicamente) equivalentes si tienen la misma tabla de valores de verdad. Ello es así porque el bicondicional es verdadero si y sólo si, las proposiciones involucradas tienen los mismos valores de verdad. En diversas situaciones es muy útil tener en cuenta esta observación. 4
Enunciamos en seguida algunas de las propiedades de _ y ^, las cuales puede comprobar el estudiante usando tablas. Leyes conmutativas (i) p _ q q _ p. (ii) p ^ q q ^ p. Leyes asociativas (i) p _ pq _ rq pp _ qq _ r. (ii) p ^ pq ^ rq pp ^ qq ^ r. Leyes distributivas (i) p _ pq ^ rq pp ^ qq _ pp ^ rq. (ii) p ^ pq _ rq pp ^ qq _ pp ^ r. Leyes de De Morgan (i) pp _ qq p ^ q. (ii) pp ^ qq p _ q. Idempotencia p p. Propiedades de los conectivos ñ y ô El condicional tiene una equivalencia fundamental: p ñ q pp ^ qq (2) La cual, como antes, podemos comprobar con una tabla: p q q ( p ñ q ) ô ( p ^ q ) 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 De aquí podemos derivar otra equivalencia del condicional: p ñ q p _ q. (3) 5
Para comprobarla, en lugar de hacer una tabla, usamos otras equivalencia ya enunciadas y la equivalencia (2), del modo siguiente: p ñ q pp ^ qq (es la equivalencia (2) ya probada) p _ q (es una ley de De Morgan) p _ q (idempotencia de la negación) De donde concluimos la equivalencia (3). Desde luego también podríamos hacer una tabla para llegar a la misma conclusión. unque eso sería más aburrido. Conviene hacer un pequeño comentario antes de seguir. Observe que el último paso ha consistido en remplazar q por su equivalente, que es q misma. Reemplazar una proposición por una proposición equivalente dentro de cualquier poposición compuesta, está perfectamente permitido, puesto que cualesquiera dos propopociones equivalentes tienen, por definición, la misma tabla de valores de verdad. Por otro lado, observe que la ralación de equivalencia es transitiva, esto es, si dos proposiciones son equivalentes a una tercera, entonces aquellas son equivalentes. De ahí que la conlusión de todo el procedimiento anterior es justamente la equivalencia (3). Por otra parte, el bicondicional tiene una representación equivalente en términos del condicional y la disyución: p ô q pp ñ qq ^ pq ñ pq. (4) Si esta equivalencia no resulta obvia, al menos deber ser intuitivamente clara. Como sea, podemos comprobar su validez con una tabla: p q ( p ô q ) ô [( p ñ q ) ^ ( q ñ p )] 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 El conectivo OR: Y Existe una operación lógica (conectivo) que generalmente en los cursos de la facultad, no se expone dentro de las operaciones lógicas básicas. Se trata de la disyunción excluyente, denotada por Y. También conocida en inglés como OR, como una especie de abreviatura de exclusive or. La tabla de valores que define a Y es cómo sigue: p q p Y q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 6
Observe entonces que la disyunción excluyente es verdadera (valor 1) si y sólo si, una y solamente una de sus componentes es verdadera (valor 1). Este conectivo tiene la cualidad de aproximarse un poco más a los usos comunes del conjuntivo disyuntivo o. Cuando decimos Hoy viene Juan o viene Pedro a la ecuela, generalmente (aunque no siempre) queremos decir que hoy vendrá Juan a la escuela, o bien vendrá Pedro, pero (quizá) no esperamos que vengan ambos. Esto es parecido a la idea de la definición de Y: la verdad de una de las proposiciones componentes excluye la verdad de la otra. Se explicar así su nombre OR. hora bien, si comparamos las respectivas tablas, oservamos que Y se obtiene de negar ô. Esto es, p Y q pp ô qq. (5) Esta equivalencia nos permite derivar, sin hacer tablas, otra equivalencia fundamental: p Y q pp ^ qq _ pq ^ pq. (6) Para ello procedemos así: p Y q pp ô qq (equivalencia (5) ya justificada) rpp ñ qq ^ pq ñ qqs (equivalencia (4) del bicondicional) r pp ^ qq ^ pq ^ pqs (equivalencia (2) del condicional) pp ^ qq _ pq ^ pq (ley de De Morgan) pp ^ qq _ pq ^ pq (idempotencia de ). Por supuesto, si aún somos incrédulos, podemos hacer una tabla para comprobar la validez de (6). Por otra parte, podemos decir que OR es un conectivo bien portado. Ello es porque Y es conmutativo y asociativo. Esto es, p Y q q Y p y p Y pq Y rq pp Y qq Y r. Fácilmente (aunque laborioso) podemos comprobar estas equivalencias con tablas: p q ( p Y q ) ô ( q Y p ) 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 p q r [ p Y ( q Y r )] ô [ ( p Y q ) Y r] 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 Un ejercicio interesante es buscar un argumento para estas equivalencias sin usar tablas. Puedes querido estudiante encontrar alguno? 7
La diferencia simétrica de conjuntos Usualmente, en los cursos básicos de la facultad, se define la diferencia de conjuntos del modo siguiente: Definición 3. Sean y B subconjuntos de un conjunto. La diferencia simétrica de y B es el subconjunto de dado por B : p z Bq Y pb z q. El diagrama de Venn es como se muestra en la figura. B B Diferencia simétrica de los subconjuntos y B Generalmente se prueba una forma alternativa de la diferencia simétrica que enunciamos continuación. Teorema 1. Sean y B subconjuntos de un conjunto. Entonces B p Y Bq z p Bq. Se puede encontrar una prueba en las notas de Teoría de Conjuntos que se encuentran en la página del curso. Vamos a probar que B se puede poner en términos de Y Teorema 2. Sean y B subconjuntos de un conjunto. Entonces B tx P : x P Y x P Bu. Observación 3. Desde luego esta igualdad es intuitivamente cierta. Basta comparar la definición de (y su diagrama de Venn) y la descripcion de Y dada por la equivalencia (6). Prueba del Teorema 2. Recordemos que dos conjutos son iguales si y sólo si, tienen los mismos elementos. Por lo tanto, para probar que dos conjuntos son iguales debemos dar un argumento por el cual se pueda deducir que, dado cualquier elemento de cualquiera de los conjuntos, éste pertenece al otro. Este argumento 8
generalmente tiene la forma de equivalencias o condicionales sucesivos, los cuales se deducen jerárquicamente en orden descendente, y cuya validez se justifica a partir de la lógica propocional (o de otros resutltados ya probados). Sea pues x P (fijo y arbitrario ). Se cumple, x P B ô x P z B _ x P B z (definición de B) ô px P ^ x R Bq _ px P B ^ x R q (definición de z B y B z ) ô rx P ^ px P Bqs _ rx P B ^ px P qs (definición de x R y x R B) ô x P Y B (equivalencia (6) de Y). Lo que prueba en efecto la igualdad del teorema. Finalmente enunciamos el resultado que dio motivo a estas notas. Teorema 3. La diferencia de conjuntos es asociativa. Esto es, dados dos subconjuntos, B y C de un conjunto, pb Cq p Bq C. Demostración. El método de la prueba, no es diferente de lo que habitualmente se hace para probar la sociatividad de las otras operaciones con conjuntos: Depende únicamente de que la misma propiedad se verifica para el conectivo Y. Sea x P. Se cumple, x P pb Cq ô x P Y x P B C (Teorema 2) ô x P Y px P B Y x P Cq (Teorema 2) ô px P Y x P Bq Y x P C (Y es asociativa) ô px P Bq Y C (Teorema 2) ô x P p Bq C (Teorema 2). Lo que prueba en efecto la igualdad del teorema. También podríamos haver dicho: Para todo x P... etc 9