UNIDAD 7: Geometría analítica en el plano ACTIVIDADES-PÁG. 14 1. El valor de a es 1 a.. Las ecuaciones de las rectas son: a) x + 7 = 0 b) x + = 0. El baricentro de un triángulo de vértices A (x 1, 1), B (x, ) C (x, ) tiene de coordenadas: x1 x x 1 G, En nuestro caso queda 1 G,. 4. Calculemos las longitudes de los lados del triángulo: d P, Q 4 d P, R 6 d Q, R 0 El perímetro mide: Perímetro 4 6 16,1 u. l. ACTIVIDADES-PÁG. 169 1. Podemos resolver el problema mediante ecuaciones, pero es un camino mu complicado. Intentaremos representar la situación: Las condiciones del problema nos muestran que si toda la cuadrilla trabajó durante la mitad del día en la finca grande sólo la mitad de la cuadrilla el otro medio día. Entonces la mitad de la cuadrilla vendimió la tercera parte de la finca grande en medio día, es decir, x. Luego en la finca pequeña durante media día 114
vendimiaron el equivalente a la finca grande, es decir, x x, luego quedó sin vendimiar 6 finca pequeña que la vendimió un trabajador al día siguiente. x de la 6 Si un trabajador vendimia x en un día se vendimiaron el campo grande 6 x x todos los trabajadores en 1 día, entonces el primer día se hicieron: 6 6 Es decir, en la cuadrilla había 8 vendimiadores. x x x 6x x 8x x 8 6 6 6 6 6 6 x más el pequeño. Ha que ver que x x 1 1. ( x 1) ( x 1) Al ser x primo x x 1 o 1 4 x 1 4 x 1 En ambos casos, x 1 4 1.. Hacemos el siguiente diagrama: Páginas numeradas 1-9 10-99 100-999 1000-10 Dígitos usados 9 180 700 100 Total dígitos 9 180 + 9 180 + 9 + 700 = 889 889 + 100 En total hacen falta: 889 + 100 = 989 dígitos. 100 dígitos son páginas, entonces hacen falta 999 + = 104 páginas. El libro tiene 104 páginas. 4. Por medio de ensao error dirigido se obtiene: Con la información referida a los Rees (R) las Damas (D) llegamos a que puede ser RDD o DRD. Con la información referida a los Corazones (C) las Picas (P) llegamos a que puede ser PCP o PPC. Juntamos los resultados obtenidos llegamos a que la solución es: Re de Picas Dama de Picas Dama de Corazones. 11
ACTIVIDADES-PÁG. 171 1. Procedemos como en el apartado de vectores en el plano operaciones entre ellos obtenemos:. Seguimos los pasos: a) Repite los primeros apartados de la construcción de vectores. b) Con la herramienta Ángulo, dibuja el ángulo entre los dos vectores. c) Arrastra el punto B o el punto C observa cómo varía el valor del ángulo. 116
. i) Los pasos a seguir son: a) En el Campo de Entrada introduce los puntos P = (, 4) Q = (-, 6). b) Dibuja el segmento PQ muestra su valor. También puede dibujarse el vector de extremos P Q determinar su longitud. c) Arrastra el punto P o el punto Q observa cómo cambia el valor de la distancia. ii) Seguimos los pasos indicados: a) En el Campo de Entrada introduce la recta r x + 4 = 1. b) Arrastra el origen de coordenadas para dejarlo como aparece en el dibujo. c) En el Campo de Entrada, introduce el punto P = (7, 8) muestra su valor. d) Dibuja una recta perpendicular desde P a r. Halla el punto Q, intersección de las dos rectas. e) Oculta la recta perpendicular. Dibuja el segmento PQ muestra su valor. f) Arrastra el punto P o haz doble-clic en la Ventana Algebraica sobre la recta, modifícala observa cómo cambia el valor de la distancia. iii) Realizamos las etapas que siguen: a) En el Campo de Entrada introduce las rectas r1: 4x + = 1 r: 4x + = 0. b) Dibuja un punto P sobre la recta r1. Traza la perpendicular por P a la recta r. Halla el punto Q, intersección de las dos rectas. c) Oculta la recta perpendicular. Dibuja el segmento PQ muestra su valor. d) Arrastra cualquiera de la rectas, el punto P o haz doble-clic en la Ventana Algebraica sobre la rectas, modifícalas observa cómo cambia el valor de la distancia. 117
ACTIVIDADES-PÁG. 17 1. a) El extremo del vector es el punto de coordenadas (8, 4). b) El origen del vector es el punto de coordenadas (4, - 8).. Las soluciones de los diferentes apartados son: a) v 6 ; w ; u 1 17 b) cos v, w ; cos, u 6 6 v = 1 6 6 ; cos w, u 6 c) v, w 48º 10 47 v, u 11º 18 6 w, u 9º 9 d) v w u (, 1) e) v = (1, ) = (, 1). f) Un vector normal a w (, 4) es n ( 4, ).. La solución de cada apartado es: a) v w v w cos v, w 4 6 cos 4º 1 16, 97 b) v w v w cos v, w cos 60º 4, c) v w (, 4) ( 1, ) 16 d) v w (, 4) (1, 0) 1 9 4. Existen tres soluciones que son los puntos D 1 (, 4); D (- 4, - ) D (4, 0).. Ha dos valores posibles: x 1 = - con 1 = 9 x = - con = - 9. 118
6. Las soluciones son los vectores unitarios,,. 7. La demostración aparece a continuación: Como v w son unitarios, entonces v w 1. Calculemos el producto escalar de ( v w ) por ( v w): v w v v w w v w 0 ( v w). Al ser su producto escalar nulo, podemos decir que son ortogonales. 8. El vector que une los vértices A B es v (, 4). AB Mediante los vectores perpendiculares paralelos al vector v AB (, 4) obtenemos las dos soluciones del problema como se observa en el dibujo. Cualquiera de los dos cuadrados tiene de lado unidades de área uc 119
9. Las ecuaciones de las rectas aparecen en la tabla: Ecuación Vectorial Ecuaciones paramétricas Ecuación continua Ecuación general Ecuación explícita a) (x, ) = (4, - ) + t (- 1, ) x 4 t t x 4 1 x + - 10= 0 = - x + 10 b) u (4, 6) (x, ) = (-, - ) + t (4, 6) x 4t 6t x 4 6 x - 4 = 0 x c) u (1, ) (x, ) = (-, 4) + t (1, ) x t 4 t x 4 1 x - + 1 = 0 = x + 1 d) (x, ) = (0, 0) + t (1, 1) x t t x x -+ = 0 = x 1 1 e) u (, 0) (x, ) = (1, - ) + t (, 0) x 1 t x 1 + = 0 = - 0 10. Dos puntos de esa recta son P (0, 4) Q (4, -). Un vector director pude ser v (4, 6) o v (, ). Con estos datos obtenemos las ecuaciones: x t Ecuación vectorial: ( x, ) (0, 4) t (, ) Ecuaciones paramétricas: 4 t Ecuación continua: x 4 Ecuación explícita: x 4 1 11. Las ecuaciones de las rectas pedidas son: Eje OX: Pasa por el punto (0, 0) uno de sus vectores directores es v (1, 0). La ecuación será: = 0. Eje OY: Pasa por el punto (0, 0) uno de sus vectores directores es v (0, 1). La ecuación será: x = 0. 10
Bisectriz 1 er er cuadrante: Pasa por el punto (0, 0) forma un ángulo de 4º con el eje OX, es decir: m = tg 4º = 1. La ecuación será: = x. Bisectriz o o cuadrante: Pasa por el punto (0, 0) forma un ángulo de 1º con el eje OX, es decir: m = tg 1º = - 1. La ecuación será: = - x. 1. La posición relativa de los pares de rectas es: a) Secantes b) Coincidentes c) Paralelas ACTIVIDADES-PÁG. 17 1. Los vectores directores normales son, respectivamente: a) u (, 4) n (4, ) b) u ( 1, 4) n (4, 1) c) u ( 1, ) n (, 1) d) u ( 1, 1) n (1, 1) 14. Los ángulos de las rectas son: a) 0º b) 81º 1 c) 90º 1. Los valores del parámetro a en cada caso son: a) a = 4 b) a c) 16. El perímetro del rectángulo mide 0 unidades lineales. a 17. La distancia del punto A (, ) a la recta r : x - 1-4 = 0 es: d 1 4 1 1 A, r 1 unidad lineal. 1 18. La longitud del lado del cuadrado es la distancia que separa a las rectas paralelas r: 4x + - = 0 s: 8x + 6 + 7 = 0. 11
Esta longitud es la distancia entre el punto P (, - 1) perteneciente a la recta r, la recta s: 8 6 ( 1) 7 17 d P, s 1, 7. 8 6 10 El área del cuadrado es 1,7 =,89 unidades cuadradas. 19. Las rectas pedidas son: a) Paralela: 7x = 0 Perpendicular: x + 7 = 0 b) Paralela: x + + 1 = 0 Perpendicular: x + 7 = 0 c) Paralela: x + - = 0 Perpendicular: x + 14 = 0 0. El punto de intersección es (-, ). La recta es x + = 0. 1. El valor de m en cada uno de los apartados es: 6 a) El valor de las pendientes de las rectas es m1 m. Si son paralelas las pendientes m deben coincidir: 6 m 1 m m 10. m 6 b) El valor de las pendientes de las rectas es m1 m. Si son perpendiculares sus m pendientes cumplen m 1 m = - 1: 6 18 m 1 m 1 1 m. m c) No existe ningún valor de m para que sean coincidentes. d) Si el punto P (6, ) pertenece a la recta 6x + m = 1, se cumplirá: 6 + m = 1, es decir, m = - 7.. La recta mediatriz es x 4 + 9 = 0.. El punto es P (, -4). 4. El punto de la recta que equidista de los dos del enunciado es (0, 4).. El punto proección es (0, - ). 6. El punto de la recta x + 1 = 0 más cercano al origen de coordenadas es (, ). 1
ACTIVIDADES-PÁG. 174 7. a) La ecuación de la recta que pasa por los vértices A (-, ) B (1, 6) es: 6 x 1 x x x 0 La mediatriz del lado AB pasa por su punto medio M (- 1, 4) es perpendicular al lado AB. Su ecuación es: 4 = - (x + 1) = - x + x + - = 0. b) La mediana desde C es la recta que pasa por C (4, - ) M (- 1, 4). Su ecuación es: 4 x 4 1 4 7 ( x 4) 7x 1 0. c) La altura desde el vértice C (4, - ) pasa por este punto es perpendicular a la recta AB. Su ecuación es: + = - (x 4) = - x + 1 x + 1 =0. El punto, P, de corte de la altura con el lado AB es la solución del sistema: x x P (, ). x 1 8. La solución queda: a) El simétrico del punto B (, ) respecto del origen de coordenadas es B (-, - ). b) El simétrico del punto A (4, - 1) respecto de la recta x + 7 = 0 es A (6, ). 9. Las respuestas son: a) Todas las rectas paralelas a la dada tiene por ecuación x + 4 + K = 0. Basándonos en esto, calcularemos el valor de K que cumpla las condiciones dadas. Tomamos un punto de la recta x + 4 1 = 0, por ejemplo P (- 1, 1), entonces: ( 1) 4 4 1 K K 1 K 1 1 K K 14 16 Ha dos rectas paralelas que disten unidades de la dada son las rectas de ecuaciones: x + 4 + 14 = 0 x + 4 16 = 0 1
b) Todas las rectas perpendiculares a la dada tiene por ecuación 4x - + K = 0. Si distan 6 unidades del origen de coordenadas, se cumplirá: 4 (0) 4 0 ( ) K 6 K 6 0 K K K 0 0 Ha dos rectas perpendiculares que disten 6unidades del origen de coordenadas son las rectas de ecuaciones: 4x - + 0 = 0 4x - 0 = 0 0. El vértice C es el punto C (4, 8) el área del triángulo isósceles es 1 unidades cuadradas. 10 14 1. Las coordenadas de los puntos notables son: ortocentro,, circuncentro 4, baricentro (, ). Puede comprobarse que los puntos anteriores están sobre la recta de Euler, de ecuación 4x = 0.. Los vértices A C son los puntos A (0, 7) C (8, - 1).. El vértice C por pertenecer a la recta es C (a, - a). base d ( A., B) base altura Área a 8 altura d ( C, rab ) Operando: 1 a 8 a 0 C 0, 6 a 8 1 a 4 C 4, 1 4. La solución queda: El punto C, por pertenecer a la recta, será de la forma C (a, - a ). A la vista del dibujo se debe cumplir: V AB V 0 ( a, a ) (, ) 0 AC a 0 C (0, ). 14
. Los vértices del paralelogramo buscado son: A (4, 6); el punto B es el punto en el cual se corta la recta = x + la paralela a x + + 10 = 0, pasando por A (4, 6). Es decir: x x 0 B (1, 7) x x 10 0 C ( 1, ) x 14 x 10 0 D(, 4) El área vale unidades cuadradas. 6. El vértice C está en la intersección de la recta perpendicular a AB por B la bisectriz del 4º cuadrante. V (4, 4) la recta perpendicular tiene por vector w (4,4) pasa por B (7, 1) AB x 7 4 1 4 x 6 0 x 0 x 6 0 C (, ). El vector VBC ( 4, 4) es paralelo e igual a V AD, luego D (- 1, 1) Área del rectángulo = base altura = d (B, C) d (A, B) = = 4 4 4 ( 4) u. 7. La ecuación de la recta que pasa por los puntos M (0, 4) N (, 0) es: 0 x 4 ( x ) 4x 4 0 0 1 0 Como el lugar de la estación, punto P, está a la misma distancia de M de N, este punto estará en la mediatriz del segmento de extremos M N. La ecuación de la mediatriz es la recta perpendicular a la recta que pasa por A por B, que pasa por el punto medio del segmento de extremos M N, Q, : 1
x x 4 4 7 8 Sea 7 a, a 4 8 P un punto cualquiera de la mediatriz, su distancia al punto Q será 10 km. Imponiendo esta condición obtenemos: d ( P, Q) 10 a a 4 7 8 10 Elevamos al cuadrado operando, obtenemos la ecuación 100a 468a 77 = 0. Las soluciones son: a = 10,6 a = -,8. Con las soluciones anteriores obtenemos dos posibles ubicaciones de la estación de distribución: P 1 (10,6; 6,8) P (-,8; -,06). ACTIVIDADES-PÁG. 17 Existe una amplísima bibliografía sobre la relación entre matemáticas arte. Ofrecemos algunos textos significativos. CORBALÁN, Fernando. (010) La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. RBA. Barcelona. FERNÁNDEZ, I. REYES, M. A. (006) Geometría con el hexágono el octógono. Proecto Sur. Granada. LIVIO, Mario. (006) La proporción áurea. La historia de phi, el número más sorprendente del mundo. Ariel. Barcelona. MARTÍN CASALDERREY, F. (010) La burla de los sentidos. El arte visto con ojos matemáticos. RBA. Barcelona. MEAVILLA SEGUÍ, V. (007) Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Almuzara. Córdoba. VV. AA. (00) Geometría en los Reales Alcázares de Sevilla. Junta de Andalucía. Sevilla. VV. AA. (009) La proporción: arte matemáticas. Graó. Barcelona. VV. AA. (009) Matemáticas en la catedral de Burgos. Caja Círculo. Burgos. 16