TEMA 9. TRIGONOMETRÍA 1. LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA. La trigonometría es la parte de las matemáticas que se encarga de la medida de los lados y los ángulos de un triángulo. ÁNGULO Un ángulo en el plano es la región determinada por dos semirrectas con origen común O. Para designar ángulos, se suelen utilizar letras griegas: α, β, δ O α DIFERENTES TIPOS DE ÁNGULOS - Ángulo nulo: Es el que coinciden las dos semirrectas. - Ángulo recto: Las dos semirrectas son perpendiculares. - Ángulo llano: Las dos semirrectas están sobre la misma recta. MEDIDA DE ÁNGULOS Vamos a estudiar dos tipos de unidades que se utilizan para medir ángulos: los grados sexagesimales y los radianes. En el sistema sexagesimal, la circunferencia se divide en 360 partes y cada una de ellas corresponde a un grado y se denota como 1º. Si se divide un grado en 60 partes iguales, obtenemos un minuto, que se designa como 1. Y la 60-ava parte de un minuto es un segundo, 1. Ejemplos: - 34º 45 31 se lee 34 grados, 45 minutos y 31 segundos. (Se puede expresar todo en grados si nos ayudamos de la calculadora: 34,7586º) - Un ángulo recto mide 90º - Un ángulo llano mide 180º - La circunferencia completa mide 360º Otra forma de medir los ángulos es utilizar el sistema radial. El radián se define como el ángulo central de la circunferencia tal que la longitud del arco que abarca es igual al radio. Se denota por 1 rad. 1
En circunferencias de diferentes radios, el ángulo correspondiente a un radián es el mismo, por ello es válido como medida de ángulos. Sabemos que la longitud de la circunferencia de radio r es 2πr, es decir, 2π radios, por lo tanto, 2π radianes. A partir de aquí, podemos calcular la equivalencia entre grados sexagesimales y radianes mediante una regla de tres, ya que: 360º 2π radianes 180º π rad. Ejemplo: 60º = π/3 rad 2π/3 rad = 120º 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO AGUDO Sobre un ángulo agudo α, construimos un triángulo rectángulo ABC, y damos las siguientes definiciones: Seno de α = sen α = longitud cateto opuesto longitud hipotenusa BC AB Coseno de α = cos α = longitud cateto contiguo longitud hipotenusa AC AB Tangente de α = tg α = longitud cateto opuesto longitud cateto contiguo BC AC Estos valores se denominan razones trigonométricas del ángulo α. Las razones trigonométricas definidas anteriormente no dependen del triángulo elegido para calcularlas, ya que si elegimos otro triángulo más grande o más pequeño, sus lados serán proporcionales y por las propiedades de la semejanza, los cocientes entre los lados serán iguales. 2
Conociendo la razón trigonométrica también es posible conocer el ángulo al que corresponde. Se denomina arcoseno, arcocoseno, arcotangente, y se escribe arc sen α, arc cos α, arc tg α, Ejemplo: cos 60º = 0,5 arc cos 0,5 = 60º 3. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las funciones trigonométricas satisfacen las siguientes relaciones: a. -1 sen α 1 b. -1 cos α 1 c. sen 2 α + cos 2 α = 1 d. sen tg cos Observa que no existe la tangente de 90º ni de 270º, ya que en esos ángulos tienen el seno nulo y no se puede dividir por 0. Ejemplo: Si sabemos que sen α = 0.3, podemos calcular las demás razones trigonométricas. Veamos: De la expresión sen 2 α + cos 2 α = 1 0.3 2 + cos 2 α = 1 0.09 + cos 2 α = 1 cos 2 α = 1 0.09 = 0.91 cos α = 0. 91 = 0.953 De la expresión tg sen cos 0.3 tg 0. 0.953 314 4. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN LOS DIFERENTES CUADRANTES sen + cos - tg - sen + cos + tg + sen - cos - tg + sen - cos + tg - 5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS R resolver un triángulo es encontrar las medidas de sus tres lados y de sus tres ángulos a partir de algunos de ellos que son conocidos. Para ello, tendremos en cuenta: 3
o La suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Notar que como en un triángulo rectángulo tenemos un ángulo de 90º, la suma de los otros dos es también 90º. o Teorema de Pitágoras. La suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado b h Teorema de Pitágoras h 2 = a 2 + b 2 a o Las razones trigonométricas estudiadas en este tema. Veamos distintos ejemplos de resolución de triángulos rectángulos: EJEMPLO 1: CONOCIDOS UN LADO Y UN ÁNGULO Obtener la longitud de una escalera apoyada en una pared a una altura de 5m. formando ángulo de 60º con respecto al suelo. Luego calcular el ángulo que forma la escalera con la pared. La razón que nos interesa es el seno, ya que ésta relaciona el cateto opuesto (5m.) y la hipotenusa (x) Sen 60º = 5/x 3 /2 = 5/x x = aproximadamente 5,78 m. 10 que es 3 Para calcular el otro ángulo, 60º + α = 90º α = 30º EJEMPLO 2: CONOCIDOS DOS LADOS Obtener el ángulo formado por un cable que está sujeto al extremo de un poste con el suelo si mide 20 m. de longitud y está anclado a 12 m. de la base del poste. Calcular después el ángulo que forma el cable con la pared. Utilizaremos el coseno ya que es la razón que relaciona el cateto contiguo al ángulo x (12 m.) con la hipotenusa (20m.) Cos x = 12/20 cos x = 0,6 x = arc cos 0,6 x = 53,13º 4
Para calcular el otro ángulo y, le restamos 90º, como hemos hecho en el ejercicio anterior. Por lo tanto, y = 90º - 53,13º = 36,87º. Para calcular la altura del poste, aplicamos el teorema de Pitágoras. Si llamamos h a dicha altura tenemos: h 2 + 12 2 = 20 2 h = 2 2 20 12 h = 16 m. EJERCICIO 3: CÁLCULO Y USO DE LA ALTURA Se trata de trazar en un triángulo no rectángulo la altura, obteniendo así dos triángulos rectángulos que podamos resolver con los procedimientos que conocemos. En el triángulo que te presentamos conocemos los datos cuyos valores figuran explicitados y queremos calcular el valor de x. Trazamos la altura h y llamamos a y b a los segmentos en los que queda dividida la base. A partir del seno de 61º sen 61º = h/60 h = 60 sen 61º = 52.48 m. Por el teorema de Pitágoras a 2 + h 2 = 60 2 a = 29.08 m. Entonces, b = 86 a = 86 29.08 = 56.92 m. Por el teorema de Pitágoras: b 2 + h 2 = x 2 56.92 2 + 52.48 2 = x 2 x=77.42 m. EJERCICIO 4 Para calcular la altura de una montaña o un edificio alto, procedemos de la siguiente manera: desde un punto medimos el ángulo con el que vemos la cima (imaginemos en este ejemplo que es de 53º). Nos alejamos a una determinada distancia de este punto, por ejemplo, 20m. y volvemos a medir el ángulo con el que vemos la cima (en este caso 32º). Quedaría como en la figura siguiente: Utilizando las tangentes de los ángulos obtenemos un sistema de ecuaciones 5
tg 53º tg 32º y x y x 20 Que resolvemos dándonos por soluciones x = 17,46 m, y = 23,17 m. que es la altura pedida. EJERCICIOS 1. Sabiendo que cos α = ½ y sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas del ángulo α, y el mismo ángulo α sabiendo que es agudo. 2. Una persona está volando una cometa. Si sabemos que la cuerda que ha soltado mide 8 metros de longitud y el ángulo que forma con el suelo es de 45º, calcula la altura a la que vuela la cometa en ese instante. 3. Un poste está sujeto al suelo desde su extremo superior con dos cables. La distancia que separa la base de esos cables es de 90m. Si el ángulo que forman ambos cables con el suelo es de 35º y 50º respectivamente, calcula la altura del poste. 4. Desde un punto en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 80 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a otro punto desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º. Calcular la anchura del río. 5. Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º. Si avanzamos 40 metros, el ángulo pasa a ser de 60º. Calcular la altura del edificio. 6. Un árbol proyecta una sombra de 15 metros cuando el sol forma un ángulo de 25º con el horizonte. Calcular su altura. 7. Desde un punto en la orilla de un río, cuya anchura es 40 metros, se ve un poste justo enfrente. Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a otro punto desde el que se vea el poste formando un ángulo de 30º con nuestra orilla? 8. Desde un determinado punto se ve el extremos de un árbol con un ángulo de 45º y 2 metros más allá se ve con un ángulo de 30º. Calcula la altura del árbol. 6