SEMANA 1
ÍNDICE NÚMEROS REALES... 3 APRENDIZAJES ESPERADOS... 3 INTRODUCCIÓN... 3 NÚMEROS REALES (R)... 5 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES... 5 LA RECTA NUMÉRICA... 8 CONJUNTOS E INTERVALOS... 9 OPERACIONES CON CONJUNTOS... 10 INTERVALOS... 10 VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA... 11 EXPONENTES Y RADICALES... 12 EXPONENTES ENTEROS... 13 NOTACIÓN EXPONENCIAL... 13 EXPONENTES CERO Y NEGATIVOS... 14 LEYES DE LOS EXPONENTES... 14 LEYES DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS... 15 NOTACIÓN CIENTÍFICA... 15 DEFINICIÓN DE LA RAÍZ N-ÉSIMA... 16 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES N-ÉSIMAS... 16 COMENTARIO FINAL... 17 REFERENCIAS... 17 2
NÚMEROS REALES APRENDIZAJES ESPERADOS Esta semana usted aprenderá o reforzará las operaciones básicas que se realizan en matemáticas con los números reales: suma, resta, multiplicación y división. En particular, operaciones con fracciones y radicales. INTRODUCCIÓN El trabajo se iniciará con un repaso de los números reales, ecuaciones y el plano coordenado. Es probable que usted ya esté familiarizado con los conceptos, pero es útil hacer una revisión para ver cómo estas ideas trabajan juntas para resolver problemas y modelar o describir situaciones del mundo cotidiano. Se puede ver cómo todas estas ideas se usan en la siguiente situación real: suponga que a un individuo le pagan 8 mil pesos por hora en su trabajo. Lo que interesa saber es cuánto dinero recibe. Para describir ese salario se emplean los números reales. En efecto, se usan los números reales todos los días, por ejemplo, para describir cuál es la estatura, cuánto dinero ganan las personas, qué tanto frío o calor hace, etcétera. En álgebra, se expresan las propiedades de los números reales mediante letras que representan números. Una propiedad importante es la propiedad distributiva: A (B+C)=AB+AC Para encontrar el sentido de esta propiedad, se puede volver a citar el salario de 8 mil pesos por hora, si se trabaja 6 horas un día y 5 horas el siguiente. El salario de los dos días se puede determinar de dos maneras distintas: 8 (6 + 5) O bien, 8 mil pesos por 6 + 8 mil pesos por 5 y ambos procedimientos dan la misma respuesta. Esta y otras propiedades de los números reales constituyen las reglas para trabajar con los números, es decir, son reglas del álgebra. También se puede determinar el salario para cualquier número de horas mediante una fórmula. Si usted trabaja horas, entonces su salario es miles de pesos, donde se encuentra mediante la fórmula algebraica: Entonces, si trabaja 10 horas, el salario será miles de pesos. 3
Una ecuación es un enunciado escrito en el lenguaje del álgebra que expresa un hecho con respecto a una cantidad desconocida. Por ejemplo, cuántas horas se necesitaría trabajar para obtener 60 mil pesos? Para responder esta pregunta es necesario resolver la ecuación: Se aplican las reglas del álgebra para encontrar. En este caso se dividen ambos miembros de la ecuación por 8, de modo que = 60/8 = 7,5 horas. 4
NÚMEROS REALES (R) Para comenzar a entender se partirá con un repaso de los tipos de números que constituyen el sistema de los números reales. En primer lugar, los números naturales son: 1, 2, 3, 4, Los enteros están formados por los números naturales junto con los negativos y el cero:,-3,-2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, Los números racionales se construyen al formar cocientes con los enteros. Por lo tanto, cualquier número racional, se puede expresar como: Donde y son números enteros y. Ejemplos son: Recuerde que la división por cero es indeterminada, por lo que expresiones como y no están definidas. También hay números reales, como, que no pueden ser expresados como un cociente de enteros y, por lo tanto, se llaman números irracionales. Se puede demostrar que, con diferentes grados de dificultad, estos números son también irracionales: El conjunto de todos los números reales se denota mediante el símbolo. Cuando se usa la palabra número sin calificativo, se entiende que se refiere a un número real. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Desde siempre se sabe que 2 + 3 = 3 + 2 y que 5 + 7 = 7 + 5 y que 513 + 87 = 87 + 513 y así sucesivamente. En álgebra, se expresan estos hechos, que son infinitos, mediante la expresión: Donde y son dos números cualquiera. En otras palabras, es una manera concisa de decir que cuando se suman dos números, no importa el orden en que se sumen. Este hecho, se conoce como propiedad conmutativa de la suma. Según Stewart (1999), las propiedades de los números reales son: 5
1) Propiedades conmutativas: a), cuando se suman dos números, no importa el orden. b), cuando se multiplican dos números no importa el orden. 2) Propiedades asociativas: a), cuando se suman tres números no importa cuáles se suman primero. b), cuando se multiplican tres números no importa cuáles se multiplican primero. 3) Propiedades distributivas: a) b), cuando se multiplica un número por una suma de dos números, se obtiene el mismo resultado al multiplicar el número por cada uno de los términos y luego sumar los resultados. La propiedad distributiva se aplica siempre que se multiplica un número por una suma. Ejemplos de la propiedad distributiva: a) b) En el último paso los paréntesis se eliminan porque, de acuerdo con la propiedad asociativa, no importa el orden de la suma. El número cero es especial para la adición, se le llama elemento neutro, porque para cualquier número real. Todo número real tiene un negativo, que cumple. La sustracción es la operación inversa a la adición. Para restar un número de otro, simplemente se suma el negativo de ese número. Por definición: Para combinar los números reales que contienen negativos, se utilizan, las siguientes propiedades. Propiedades de los negativos: 1. 2. 3. 4. 6
5. 6. La propiedad 6 establece el hecho intuitivo de que es el negativo de. La propiedad 5 se usa a menudo con más de dos términos: Ejemplos de las propiedades de los negativos: Sean y números reales. a) b) El número uno es especial para la multiplicación, se le llama elemento neutro, pues para cualquier número real. Todo número real diferente de cero tiene un inverso,, que cumple. La división es la operación inversa de la multiplicación. Para dividir un número se multiplica por el inverso de ese número. Si, entonces, por definición: Se escribe simplemente como. Se refiere a como el cociente de y o bien, como la fracción de con ; es el numerador y es el denominador (o divisor). Para combinar los números reales aplicando la operación de división se usan las propiedades siguientes: Las propiedades de las fracciones son: 1), cuando se multiplican fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores. 2), cuando se dividen fracciones, se invierte el divisor y se multiplica. 3) cuando se suman fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores. 4), cuando se suman fracciones con denominadores diferentes, se busca un denominador común. Luego se suman todos los numeradores. 7
5) se anulan los números que son factores comunes en el numerador y en el denominador. 6) Si, entonces. Multiplicación cruzada. Por lo regular, cuando se suman fracciones con denominadores diferentes altos, no se usa exactamente la propiedad 4. En lugar de eso, se vuelven a escribir las fracciones de modo que tengan el denominador común más pequeño posible (con frecuencia más pequeño que el producto de los denominadores) y luego se aplica la propiedad 3. Este denominador es el mínimo común denominador (MCD). Ejemplo: Al factorizar cada denominador en sus factores primos se tiene: Se encuentra el MCD efectuando el producto de todos los factores que hay en estas factorizaciones y se usa Ia potencia más alta de cada factor. Por consiguiente, el MCD es: Entonces: LA RECTA NUMÉRICA Los números reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta, como se muestra en la figura: La dirección positiva, hacia la derecha, se señala por medio de una flecha. Se escoge un punto de referencia 0 arbitrario, llamado origen, el cual corresponde al número real 0. Dada una 8
unidad conveniente de medición, cada número positivo se representa por un punto en la recta a una distancia de unidades a Ia derecha del origen y cada número negativo se representa mediante un punto a unidades a la izquierda del origen. El número asociado con el punto se llama coordenada de P y la recta recibe el nombre de eje coordenado o de recta de los números reales o simplemente recta real. Con frecuencia se identifica el punto con su coordenada y se piensa que un número es el inicio de la recta numérica. Los números reales están ordenados. Se dice que es menor que y se escribe si es un número positivo. Desde el punto de vista geométrico, esto quiere decir que queda a la izquierda de en la recta numérica. Es lo mismo que decir que es mayor que y escribir. El símbolo (o ), quiere decir que o y se lee como es menor que o igual que. Por ejemplo, las siguientes son desigualdades verdaderas: 1) 2) 3) 4) CONJUNTOS E INTERVALOS Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se denominan elementos del conjunto. Si es un conjunto, la notación: significa que es un elemento que pertenece a y quiere decir que no es un elemento de. Por ejemplo, si representa el conjunto de los enteros, entonces, pero. Algunos de los conjuntos se pueden describir acomodando sus elementos dentro de corchetes. Por ejemplo, un conjunto que consiste en todos los enteros positivos menores que 7, se expresa como: También se puede escribir en la notación de conjuntos: Que se lee es el conjunto de todas las tales que es un entero y. 9
OPERACIONES CON CONJUNTOS Si y son conjuntos, entonces la unión es el conjunto que consta de todos los elementos que estén en o en o en ambos, Ia intersección de y de es el conjunto que consiste en todos los elementos que están tanto en como en. En otras palabras, es la parte que es común a y a. El conjunto vacío, denotado por es el conjunto que no contiene elementos. Ejemplo de unión e intersección de conjuntos: Si y, determine los conjuntos Solución: y es el conjunto de elementos que están tanto en como en. es el conjunto formado por los elementos comunes tanto a como a. no tienen elementos en común, por lo que su intersección es vacía. INTERVALOS Ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presentan con mucha frecuencia en matemática y corresponden geométricamente a segmentos lineales. a) Si, entonces el intervalo abierto desde hasta consta de todos los números entre y y se denota con. El intervalo cerrado desde hasta comprende los extremos y se denota con. Usando la notación de conjuntos, se escribe: Observe que el paréntesis en la notación de los intervalos y los círculos abiertos en la gráfica de la figura indican que los extremos están excluidos en el intervalo. Por otro lado, los corchetes y los círculos llenos de la tabla indican que los extremos están incluidos. Los intervalos pueden incluir solo un punto extremo o se podrían prolongar hasta el infinito en una dirección o en ambas direcciones. En Ia siguiente tabla se ilustran algunos de los tipos posibles de intervalos: 10
Fuente: Material elaborado para este curso Costa, T. 2012. VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA El valor absoluto de un número, denotado por, es la distancia desde hasta cero sobre la recta de los números reales. La distancia es siempre positiva o cero, de modo que para cada número. Se debe tener en cuenta que es positiva cuando es negativa y, entonces, se tiene la siguiente definición: Definición de valor absoluto: Si es un número real, entonces el valor absoluto de es Ejemplos de determinación de los valores absolutos de números: a) 3 = 3 b) c) 0 = 0 d) (puesto que ) Propiedades del valor absoluto: a) Por ejemplo. El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero. b). Por ejemplo. Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto. 11
c). Por ejemplo 2 5 = 2 5. El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. d) el valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos. Cuál es la distancia entre los números -2 y 11? Fuente: Material elaborado para este curso: Costa, T. 2012. Como se ve en la figura la distancia entre -2 y 11 es 13. Se llega a esto luego de determinar que De acuerdo con esta observación se entiende lo siguiente: Definición de distancia entre puntos de la recta de los números reales: Si y son números reales, entonces la distancia entre los puntos y en la recta numérica es: De acuerdo con la propiedad distributiva de los negativos se infiere que. Esto confirma que, como es de esperarse, la distancia de a es la misma que Ia distancia de a. Ejemplo: La distancia entre los números 8 y 2 es: EXPONENTES Y RADICALES En esta sección se dará el significado de expresiones como en las cuales el exponente es un número racional. Para hacerlo, es necesario recordar algunos hechos con respecto a los exponentes, radicales y raíces -ésimas de enteros. 12
EXPONENTES ENTEROS Por lo regular, un producto de números idénticos se expresa mediante la notación exponencial. Por ejemplo, 5 5 5 se escribe como. NOTACIÓN EXPONENCIAL Si es un número real cualquiera y es un entero positivo, entonces la potencia -ésima de es: Donde al lado derecho aparece como factor veces. El número se denomina base y es el exponente. Ejemplos de notación exponencial: a) b) c) Existen varias reglas útiles para trabajar con la notación exponencial. Para descubrir la regla de la multiplicación. Se observa el siguiente ejemplo: por : Al multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes. En general, para cualquier número real y los enteros positivos y, se tiene: Donde el primer paréntesis de la segunda parte de la igualdad tiene factores, el segundo paréntesis tiene factores y la tercera igualdad tiene factores. Entonces, se puede afirmar que: Esta regla es válida incluso cuando y sean cero o enteros negativos. Por ejemplo: Pero esto solo puede suceder si. Entonces: 13
Y esto será cierto que EXPONENTES CERO Y NEGATIVOS Si es un número real y es un entero positivo, entonces: y Ejemplos de exponentes cero y negativos: a) b) si c) Es esencial conocer las reglas siguientes para trabajar con los exponentes y las bases. En el listado siguiente, las bases y son números reales y los exponentes y son enteros. LEYES DE LOS EXPONENTES a). Para multiplicar dos potencias del mismo número, se suman los exponentes. b) Para dividir dos potencias del mismo número, se restan los exponentes. c) Para elevar una potencia a una nueva potencia, se multiplican los exponentes. d) Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada factor a la potencia. e). Para elevar un cociente a una potencia, se elevan tanto el numerador y denominador a la potencia. Ejemplos de aplicación de las leyes de los exponentes: a) 14
b) c) Al simplificar una expresión, se encontrará que se llega al mismo resultado mediante diferentes métodos. Se puede usar cualquiera de las reglas de los exponentes. A continuación se presentarán otras dos leyes que son útiles para simplificar expresiones con exponentes negativos. LEYES DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS a), para elevar una fracción a una potencia negativa, invierta la fracción y cambie el signo del exponente. b), para pasar un número elevado a una potencia desde el numerador al denominador o desde el denominador al numerador, cambie el signo del exponente. NOTACIÓN CIENTÍFICA Los científicos usan la notación exponencial para compactar la escritura de números muy grandes o de los muy pequeños. Por ejemplo, la estrella más cercana después del Sol, Alfa Centauro, está a casi 40 000 000 000 000 kilómetros. Por otro lado, la masa de un átomo de hidrógeno es de 0,000000000000000000000166 gramos. Estos números son difíciles de leer y de escribir, de modo que se expresan casi siempre en notación científica. Se dice que un número positivo está escrito en notación científica si está expresado como: Donde y es un número entero. Por ejemplo, la distancia de la Tierra a Alfa Centauro es el punto decimal se debe desplazar 13 lugares a la derecha:, el exponente 13 indica que Respecto a la masa de un átomo de hidrógeno es el punto decimal debe pasarse 24 lugares a la izquierda: g, el exponente -24 indica que 15
Ejemplos de escritura de números en notación científica: a) b) RADICALES: Ya se sabe que significa siempre que es un entero. Para dar el significado de una potencia como, cuyo exponente es un número racional, se necesita estudiar a los radicales. El símbolo significa la raíz cuadrada de, por lo tanto: Puesto que, el símbolo tiene sentido solo cuando Por ejemplo: porque y DEFINICIÓN DE LA RAÍZ N-ÉSIMA Si es un número entero positivo, entonces la raíz -ésima de se define como: si y solo si Si es par, se tiene que y. De la definición anterior se puede desprender que la expresión no siempre es cierta, solo es una proposición verdadera cuando No obstante, siempre se puede escribir. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES N-ÉSIMAS 1) 2), si es impar 3), si es par 16
Tener presente que: COMENTARIO FINAL En todos los aspectos de la vida aparecen las matemáticas y es de suma importancia aprender a operar con ellas. En este curso se estudiará cómo operar con números reales y muchas aplicaciones que hacen uso de estos, es por eso que el dominio de esta primera semana es fundamental para los contenidos venideros. Las operaciones de los números reales son la base de todas las matemáticas que se aprenderán en este curso y en otros, por tanto, es de gran importancia aprender las reglas de suma de fracciones y de los radicales. Del mismo modo, es relevante también dominar la suma, la multiplicación, la división y las raíces, entre números reales así como algunas expresiones nuevas que operan con estos números, como por ejemplo el valor absoluto, la raíz cuadrada, la notación científica, etc. REFERENCIAS Baldor, A. (2004). Álgebra. México D. F.: Publicaciones Cultural S. A. Stewart, J. (1999). Cálculo, trascendentes tempranas. México: Thomson. Purcell, E. & Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Prentice-Hall Hispanoamericana. 17