6Soluciones a los ejercicios y problemas

Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 6 cm de altura, se situó a, m de la verja y tomó las medidas indicadas. Cuánto mide la casa? Pág. 0, m m, m h a, m,6 m m, m a,,6,8 m +,, h 8 h 6,,8,68 m,8, Altura de la casa:,68 +,6, m 7 Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas AP km, PM 7, km y MN km. (MN es paralela a AB). Halla la distancia AB. A B M N P A km M 7, km km N B Los triángulos APB y MPN son semejantes. Por tanto: AB 8 AB km 7, 7, P Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

8 El perímetro de un triángulo isósceles es 6 m, y el lado desigual mide m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m. Pág. m h m Altura del triángulo: h 7 8 h m Área 68 m Razón de semejanza 96 m 6 Área del triángulo semejante 68 78 cm ( ) 9 Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden m, 8 m y m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 9 m. Perímetro del triángulo ABC: + 8 + 86 m Razón de semejanza: 9 86 Lados del triángulo PQR: 6 cm; 8 cm; cm 0 Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 8 m y 08 m. Si el lado desigual del primer triángulo es m, cuál es el perímetro del segundo? 08 Razón de semejanza:, 8 Lado desigual del segundo:, 8 cm Altura del segundo: 08 8 h 8 h cm Lados iguales del segundo: + 9 8 cm Perímetro del segundo: 8 + + 8 cm m 8 m De un cono de radio cm hemos cortado otro cono de radio cm y altura cm. Calcula el volumen del cono grande. Calculamos la altura del cono grande, : 8 7, cm Volumen πr h π 7, 6,π cm cm cm cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

Calcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 8 cm y cm y su altura es cm. Pág. 8 cm Calculamos la altura de la pirámide menor, : 7 8 + 60 7 8 60 8 0 cm Volumen de la pirámide grande (0 + ) 86,67 cm Volumen de la pirámide pequeña 8 0 6,67 cm Volumen del tronco de pirámide 86,67 6,67 860 cm En un cono de 0 cm de radio hemos inscrito un cilindro de radio cm y altura, cm. Halla la altura del cono. 0 8 + 7,6 0 8 8 6 7,6 8 9,6 cm Altura del cono: 9,6 +, cm, cm cm + cm +, cm 0 cm Tenemos un cono inscrito en una esfera de radio cm. Cuál será el radio de la base del cono si su altura es cm? A cm cm R B 8 cm Por el teorema de la altura, en el triángulo rectángulo ABC se verifica: C R 8 8 R 0,8 cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

En una esfera de cm de radio hemos inscrito un cono de altura cm. Calcula su área lateral. Radio de la esfera: cm DC 0 8 cm Calculamos el radio del cono utilizando el teorema de la altura en el triángulo ABC: A cm Pág. D r B r 8 8 r,7 cm Generatriz del cono: g +,7 8 g 8,98 cm Área lateral del cono: πrg π,7 8,98 79π cm C 6 En una esfera de cm de diámetro se inscribe un cono cuya generatriz mide 0 cm. Calcula el volumen del cono. Para calcular la altura del cono, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo ABC: A h D C 0 r B 0 h 8 h,7 cm Radio del cono: r 0,7 8 r 9,09 cm V CONO π 9,09,7,8π cm 0 cm 7 Sobre una esfera de 0 cm de radio se encaja un cono de0 cm de altura. Halla el área del casquete esférico que determina el cono. Para hallar, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo ABC: A 0 cm 0 C 0 B 0 (0 + ) 8 00 0 + + 0 00 0 8 0 ± 0 Altura del casquete 0 0 0 cm 0 No vale. 0 cm Área del casquete πrh π 0 0 00π cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 7 Pág. Completa la tabla para cada ecuación y representa la recta correspondiente (hazlo en tu cuaderno). a) y 0 8 y b) y 8 y a) 6 0 6 b) 6 0 6 y 6 0 6 y 0 6 Representa gráficamente. a) y b) + y c) y + d) y e) + y f ) y 0 a) b) 0 y 0 y c) c) 0 y a) b) d) e) f ) 0 y 0 0 y 0 0 y f ) d) e) Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 8 Pág. Representa gráficamente y escribe la solución. a) + y y b) y + / y / a) y 8 0 y 0 y 0 y 8 y 0 Solución: ; y y b) y + 8 0 y y y 8 0 y Solución: ; y y + Representa gráficamente. a) y + y 0 b) y 6 0 + y + 0 a) y 8 0 y y y 8 0 y 0 Solución: ; y y b) y 6 8 0 y 0 6 y 0 y 8 y 6 Solución: 0; y y Unidad 7. Sistemas de ecuaciones

PÁGINA Pág. E cuaciones sencillas Resuelve mentalmente. a) + b) 6 c) 7 + 0 d)7 e) + f) 9 g) + h)9 i) 9 a) b) 9 c) d) e) 6 f) g) h) 6 i) 7 Resuelve. a) + b)7 0 7 c) 9 9 7 d) e) 6 f) 8 + g) 6 0 h) + + 8 i) + 7 6 j) 9 6 7 k) + + l) + 7 8 + m) 6 + + n) + + 9 ñ) + 6 7 o) + +7 0 + + a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) Es una identidad. Tiene infinitas soluciones. o) Incompatible. Sin solución. Quita paréntesis y resuelve. a) 6( + ) 9 b)8 8 ( ) c) + ( ) 8 ( ) d) ( + 6) + (7 ) e) 7( + ) (6 ) f) ( + ) + 7 8 g) ( + ) ( ) + 7 a) 6 + 6 9 8 8 b) 8 8 + 8 0 8 6

c) +0 8 + 8 8 d) 6 + 7 8 8 8 8 e) 7 0 8 6 8 f) 0 + 7 8 8 8 8 8 8 Identidad. Infinitas soluciones. g) 0 8 + 7 8 8 0 8 + 8 8 Incompatible. No tiene solución. Pág. E cuaciones de primer grado con denominadores Quita denominadores y resuelve. a) + b) + + 6 c) 7 d) + 7 0 6 0 e) 7 + + f) + + 8 8 6 6 6 a) + 8 b) 0 + 6 + 6 8 c) 0 8 d) 0 + 8 0 8 6 e) 8 8 + + 8 8 0 6 8 Sin solución. f) + + 8 + + 8 Identidad. Tiene infinitas soluciones. Elimina los paréntesis y los denominadores y resuelve. a) ( ) b) ( ) 6 6 c) d) ( ) ( ) 6 a) 8 b) ( ) 6 8 0 6 8 c) 8 8 0 8 8 d) 8 6 8 6

6 Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ( + ) b)( ) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) + 8 6 e) f) ( + ) ( 0) ( ) 7 7 a) + 8 + 0 8 0 b) 6 + 8 6 8 + 8 c) + 8 8 6 +8 8 6 8 d) + 8 9 8 + 8 6 7 e) 8 6 8 f) 9( + ) 8 9 9 8 Pág. 7 Elimina denominadores y resuelve. a) b) + c) + d) + e) f) + + g) + h) + i) + j) + k) + 6 l) 7 a) ( ) 8 + 8 b) ( + ) 6 8 6 8 c) 6 ( ) 6 + 8 6 + 6 + 8 d) 6 + 8 7

e) 8 Pág. f) 0 + ( ) + 0 8 0 + 6 + 0 8 6 g) 8 + ( ) 8 8 + 6 8 h) 6 0 0 ( + ) 8 6 0 0 8 i) ( + ) 8 8 j) ( ) + ( ) ( ) 8 + 6 0 8 k) 7( + ) ( 6) 8 7 + + 0 8 8 l) ( ) ( ) ( ) 8 + 9 8 8 Resuelve estas ecuaciones: a) + 7 b) + ( + ) + 0 c) ( ) + ( ) ( ) d) ( + ) + ( ) a) ( ) ( + ) 7 8 8 7 8 8 Incompatible. No tiene solución. b) 0 + ( + ) ( + ) 8 0 + + 8 c) 8( )+9( ) ( ) 8 8 + 9 9 8 d) + + 8 + + 0 0 8 7 7 PÁGINA 9 Resuelto en el libro de teto. 0 Elimina denominadores, con las indicaciones que se ofrecen, y resuelve. a) + Multiplica ambos miembros por. b) Multiplica por 0. c) Multiplica por ( ). d) + Multiplica por ( ).

e) + Multiplica por ( ). f) Multiplica por ( ). g) + 6 Multiplica por ( ). ( ) Pág. a) + 6 8 b) 0 8 0 c) ( ) 8 d) + ( ) 8 e) + ( ) 8 f) 0 ( ) 0 8 g) + 6 8 7 8 7 9 P roblemas para resolver con ecuaciones de primer grado Calcula, primero, mentalmente y, después, con la ayuda de una ecuación. a) Si a un número le sumas, obtienes. De qué número se trata? b)si a un número le restas 0, obtienes 0. Qué número es? c) Un número,, y su siguiente, +, suman. Cuáles son esos números? d)en mi clase somos 9 en total, pero hay tres chicos más que chicas. Cuántos chicos y cuántas chicas hay en la clase? a) + 8 b) 0 0 8 0 El número es. El número es 0. c) +( + ) 8 6 d) Chicas 8 +( + ) 9 8 Los números son 6 y 7. Chicos 8 + En la clase hay chicas y 6 chicos. Busca un número cuyo doble más tres unidades sea igual a su triple menos cinco unidades. + 8 8 El número es 8. Dividiendo un número entre tres, se obtiene el mismo resultado que restándole 6. De qué número se trata? 6 8 El número es.

Multiplicando un número por, se obtiene el mismo resultado que sumándole. Cuál es ese número? + 8 El número es. Pág. 6 Si al triple de un número se le suman y el resultado se divide entre, da 9. Cuál es ese número? + 9 8 7 El número es 7. 6 La suma de dos números es 67, y su diferencia, 9. Cuáles son esos números? Un número 8 Otro número 8 + 9 +( + 9) 67 8 7; + 9 9 Los números son 7 y 9. 7 Calcula el número natural que sumado a su siguiente da 7. EL NÚMERO 8 SU SIGUIENTE 8 + +( + ) 7 8 78 El número es 78. 8 La suma de tres números consecutivos es. Cuáles son esos números? ( ) + +( + ) 8 Los números son, y 6. 9 Si a la cuarta parte de un número se le restan tres unidades, se obtiene su quinta parte. Calcula dicho número. 8 60 El número es 60. 0 Teresa es siete años mayor que su hermano Antonio y dos años menor que su hermana Blanca. Calcula la edad de cada uno sabiendo que entre los tres suman años. ANTONIO 8 7 TERESA 8 BLANCA 8 + ( 7) + +( + ) 8 Antonio tiene 7 7 6 años. Teresa tiene años. Blanca tiene + + años.

Una ensaimada cuesta 0 céntimos más que un cruasán. Tres cruasanes y cuatro ensaimadas han costado 6 euros. Cuál es el coste de cada pieza? Pág. 7 Cruasán 8 Ensaimada 8 + 0 + ( + 0) 600 8 80 Un cruasán cuesta 80 céntimos y una ensaimada 90 céntimos. Narciso ha comprado en las rebajas dos pantalones y tres camisetas por 6. Cuál era el precio de cada artículo, sabiendo que un pantalón costaba el doble que una camiseta? Camiseta 8 Pantalón 8 + 6 8 Una camiseta cuesta y un pantalón 6 Reparte 80 entre tres personas, de forma que la primera reciba el triple que la segunda, y esta, el doble que la tercera. PRIMERA PERSONA 8 6 SEGUNDA PERSONA 8 TERCERA PERSONA 8 6 + + 80 8, La tercera persona recibe, La segunda, 6, La primera 6, 86,67 PÁGINA Tres agricultores reciben una indemnización de 00 000 por la epropiación de terrenos para la construcción de una autopista. Cómo han de repartirse el dinero, sabiendo que el primero ha perdido el doble de terreno que el segundo, y este, el triple de terreno que el tercero? 6 + + 00 000 8 0 000 Primer agricultor 8 60 000 Segundo agricultor 8 0 000 Tercer agricultor 8 0 000 En la caja de un supermercado hay 0 euros repartidos en billetes de, 0, 0 y 0 euros. Sabiendo que: Hay el doble de billetes de que de 0. De 0 hay la misma cantidad que de 0. De 0 hay seis billetes más que de 0. Cuántos billetes de cada clase tiene la caja?

Billetes de 0 8 Billetes de 0 8 + 6 Billetes de 0 8 +6 Billetes de 8 ( + 6) 0 + 0( +6)+0( + 6) + ( + 6) 0 8 0 En la caja hay 0 billetes de 0, 6 billetes de 0, 6 billetes de 0 y billetes de. Pág. 8 6 Se han repartido 00 litros de gasóleo, a partes iguales, en dos barriles. Cuántos litros se han de pasar de uno al otro para que el segundo quede con el triple de cantidad que el primero? (0 ) 0 + 8 Se han de pasar litros. Así, el primer barril quedará con l y el segundo con 7 l. 7 Un hortelano siembra la mitad de su huerta de pimientos; la tercera parte, de tomates, y el resto, que son 00 m, de patatas. Cuál es la superficie total de la huerta? SUPERFICIE DE LA HUERTA 8 PIMIENTOS 8 / TOMATES 8 / PATATAS 8 00 m + + 00 8 00 La huerta tiene una superficie de 00 m. 8 Resuelto en el libro de teto. 9 Un padre tiene 8 años, y su hijo,. Cuántos años han de transcurrir para que el padre tenga solo el doble de edad que el hijo? HOY DENTRO DE AÑOS PADRE 8 8 + HIJO + 8 + ( + ) 8 6 Han de transcurrir 6 años. 0 La edad de doña Adela es seis veces la de su nieto Fernando, pero dentro de 8 años solo será el cuádruple. Qué edad tiene cada uno? HOY DENTRO DE 8 AÑOS ADELA 6 6 +8 FERNANDO +8 ( + 8) 6 + 8 8 Fernando tiene años y Adela, 7 años.

Roberto tiene el triple de edad que su hija Nuria. Calcula la edad de cada uno sabiendo que dentro de años la edad del padre será solamente el doble que la de la hija. Pág. 9 HOY DENTRO DE AÑOS NURIA + ROBERTO + ( + ) + 8 Nuria tiene años, y Roberto, 6. Un ciclista sube un puerto a km/h y, después, desciende por el mismo camino a km/h. Si el paseo ha durado 0 minutos, cuánto tiempo ha invertido en la subida? TIEMPO DE SUBIDA 8 (horas) TIEMPO DE BAJADA 8 (horas) DISTANCIA RECORRIDA SUBIENDO 8 DISTANCIA RECORRIDA BAJANDO 8 ( ) 8 7 ( ) 0 En la subida ha invertido 7 horas. Es decir, 7 h h minutos. 0 0 60 Dos ciclistas parten simultáneamente; uno, de A hacia B, a la velocidad de km/h, y el otro, de B hacia A, a 6 km/h. Si la distancia entre A y B es de 0 km, cuánto tardarán en encontrarse? TIEMPO HASTA EL ENCUENTRO 8 (horas) DISTANCIA RECORRIDA POR EL PRIMERO 8 DISTANCIA RECORRIDA POR EL SEGUNDO 8 6 +6 0 8 Tardan en encontrarse tres cuartos de hora. Dos trenes se encuentran, respectivamente, en las estaciones de dos ciudades separadas entre sí km. Ambos parten a la misma hora, por vías paralelas, hacia la ciudad contraria. Si el primero va a 70 km/h, y el segundo, a 9 km/h, cuánto tardarán en cruzarse? 70 +9 8 Tardan en encontrarse h. Es decir, h 8 h 8 minutos. 60

Un ciclista sale de cierta población, por carretera, a la velocidad de km/h. Hora y media después, sale en su búsqueda un motorista a km/h. Cuánto tardará en darle alcance? Tiempo hasta el alcance 8 Distancia recorrida por el motorista 8 Distancia recorrida por el ciclista 8 + + 8 ( ) La moto tarda una hora en alcanzar al ciclista. ( ) Pág. 0 6 Un camión sale por carretera de cierta ciudad a 60 km/h. Diez minutos después sale en su persecución un coche que tarda quince minutos en darle alcance. A qué velocidad iba el coche? Distancia del camión 8 60 60 Distancia del coche 8 60 60 8 00 60 60 La velocidad del coche era de 00 km/h. PÁGINA 7 Se han pagado 66 por una prenda que estaba rebajada un %. Cuál era el precio sin rebaja? PRECIO ORIGINAL 8 REBAJA 8 00 ECUACIÓN 8 66 00 66 8 7 00 El precio sin rebaja era de 7. 8 Laura ha comprado una falda y una blusa por 66. Ambas tenían el mismo precio, pero en la falda le han hecho un 0% de rebaja, y en la blusa, solo un %. Cuánto costaba originalmente cada prenda? 0,80 + 0,8 66 8 0 Cada prenda costaba 0.

9 Un inversor ha obtenido un beneficio de 6 por un capital colocado al % durante tres años. A cuánto ascendía el capital? 6 8 00 00 El capital ascendía a 00. Pág. 0 Un fabricante de queso ha mezclado cierta cantidad de leche de vaca, a 0, /l, con otra cantidad de leche de oveja, a 0,80 /l, obteniendo 00 litros de mezcla a un precio medio de 0,70 /l. Cuántos litros de cada tipo de leche empleó? CANTIDAD (l ) PRECIO ( /L ) COSTE ( ) VACA 0, 0, OVEJA 00 0,8 0,8 (00 ) MEZCLA 00 0,7 0,7 00 0, + 0,8(00 ) 0,7 00 8 00 Se han mezclado 00 litros de leche de vaca con 00 litros de leche de oveja. Qué cantidad de café de 7,0 /kg se ha de mezclar con 8 kg de otra clase superior de 9,0 /kg para obtener una mezcla que salga a un precio medio de 8,0 /kg? CANTIDAD (kg) PRECIO ( /kg) PRECIO ( ) CAFÉ A 7,0 7, CAFÉ B 8 9,0 8 9, MEZCLA +8 8,0 8,( +8) 7, + 8 9, 8, ( + 8) 8 6 Se han de utilizar 6 kg del café más barato. Para delimitar en una playa una zona rectangular, el doble de larga que de ancha, se han necesitado 8 m de cinta. Cuáles son las dimensiones del sector delimitado? + + + 8 8 La zona medirá m Ò 8 m. La amplitud de uno de los ángulos de un triángulo es grados mayor y 8 grados menor, respectivamente, que las amplitudes de los otros dos ángulos. Calcula la medida de cada ángulo. +( +8)+( ) 80 8 7 8 8 0' Los ángulos miden: 7 8 0' + 8 + 8 76 0' 0'

La altura de un trapecio mide cm y la base mayor es 6 cm más larga que la base menor. Calcula la longitud de cada una de esas bases sabiendo que el área del trapecio mide 6 m. cm + 6 A B + b h Pág. +( +6) 6 8 0 Las bases del trapecio miden 0 cm y 6 cm, respectivamente. Calcula el perímetro de esta finca, sabiendo que el área mide 00 m. 6 m 8 m +6 00 8 m Perímetro + + 8 + + 6 + 0 8 m 6 Resuelto en el libro de teto. 7 Un estanque se alimenta de dos bocas de agua. Abriendo solamente la primera, el estanque se llena en 8 horas y, abriendo ambas, en horas. Cuánto tarda en llenarse si se abre solamente la segunda boca? 8 + 8 m Si se abre solamente la segunda boca, el estanque tarda en llenarse 8 minutos. h h y 8 Un grifo llena un depósito en 0 minutos. Si se abre a la vez un segundo grifo, el depósito se llena en 0 minutos. Cuánto tardaría en llenarse solo con el segundo grifo? + 8 60 0 0 El segundo grifo llena el estanque en 60 min h.

PÁGINA Pág. E cuaciones de segundo grado 9 Observa, razona y resuelve. a) 00 b) 0 c) d) e) ( ) 0 f) ( +) 0 g) ( ) 0 h)( +) 0 i) 7 0 j) + 0 k) l) a) ±0 b) ± 0 ± c) ± d) ± e) 0; f) 0; g) 0; h) 0; i) 0; 7 j) 0; k) 0; l) 0; 0 Resuelve aplicando la fórmula. a) 0 + 0 b) + 0 c) +9 + 0 0 d) + 0 e) 6 + 0 f) + 0 g) 0 + 0 h)9 +6 + 0 i) 6 + 0 j) 6 0 0 ± 00 8 a) 8 7; ± + b) 8 ; 9 ± 8 60 c) 8 Sin solución. ± 96 + 60 d) 8 ; 0 6 ± 6 0 e) 8 ; 0 ± + 6 f) 8 ; 8 7

0 ± 00 00 g) 8 ; 6 ± 6 6 h) 8 ; 8 ± 8 i) 8 Sin solución. ± + 0 j) 8 6; Pág. Resuelve, primero, mentalmente. Después, reduce a la forma general y aplica la fórmula. a) ( ) 0 b)( ) 0 c) ( ) ( 7) 0 d)( +) ( + ) 0 e) ( ) ( + 7) 0 f) ( ) ( + ) 0 a) 8 + 6 0 8 ; b) 0 + 0 8 ; c) 8 + 7 0 8 ; 7 d) + 6 + 8 0 8 ; e) + 0 8 ; 7 f) 0 8 ; Reduce a la forma general y aplica la fórmula. a) ( ) b) + + ( 0) ( ) c) ( ) ( 0 ) d) + a) 0 0 8 ; b) 0 7 0 8 0; 7 0 c) 0 7 + 0 8 Sin solución. d) 6 6 0 8 8;

P roblemas para resolver con ecuaciones de segundo grado Pág. Calcula, primero, mentalmente y, después, con una ecuación. a) Qué número multiplicado por su siguiente da? ( + ) b)la suma de los cuadrados de dos números consecutivos es. De qué números se trata? +( +) a) ;. Se trata de y ó y. b) ;. Se trata de y ó y. Si un número aumentado en tres unidades se multiplica por el mismo número disminuido en otras tres, se obtiene. De qué número se trata? ( +) ( ) +8; 8 El número puede ser 8 ó 8. Si el doble de un número se multiplica por ese mismo número disminuido en unidades, da. Qué número es? ( ) 8 6; El número puede ser 6 ó. 6 Los miembros del equipo vamos a hacer un regalo al entrenador que cuesta 80. Nos sale un poco caro, pero si fuéramos dos más, tocaríamos a dos euros menos cada uno. Cuántos somos en el equipo? N. DE COMPONENTES DEL EQUIPO 8 CADA UNO DEBE PAGAR 8 80 SI FUERAN DOS MÁS, CADA UNO PAGARÍA 8 80 + LO QUE PAGA CADA UNO LO QUE PAGARÍA CADA UNO SI FUERAN DOS MÁS 80 80 + + 80 0 8 8; 0 En el equipo hay 8 jugadores. 7 Resuelto en el libro de teto.

8 El perímetro de un rectángulo mide 00 m, y el área, 600 m. Calcula sus dimensiones. Pág. 6 600 m 0 (0 ) 600 8 0; 0 El rectángulo mide 0 m de largo y 0 m de ancho.