H. Itkur funcions-iii -/ 6 ASÍMPTOTES. Les asímptotes a una funció són rectes que donen una idea sobre el comportament de la funció quan les variables s apropen a l'infinit. Donada la corba y f(, direm que un punt P(,y s'allunya indefinidament sobre la corba P P és de la corba y f( i i/o y tendeien a ±. La recta r és una asímptota a yf( d(p,r. P TIPUS I CÀLCUL DE LES ASÍMPTOTES. Donada la corba y f( diem que: La recta a és una asímptota vertical f( ±. a± Observem que les asímptotes verticals, sols poden eistir en els punts de discontinuïtat de la funció. P( Quan f(, sols hi poden haver asímptotes verticals en els zeros de Q(. Q( La recta y a és una asímptota horitzontal f( a o f( a. - Es clar que, com a molt, hi ha dues asímptotes horitzontals. Una si anem cap a + i l'altra per a -. P( Si f( sols hi ha una única asímptota horitzontal quan rau P( rau Q(. Q( La recta y m + n és asímptota obliqua f( m i n (f( - m f( o m i n (f( - m - - Observeu que les asímptotes horitzontals són un cas particular de les obliqües, el que correspon a m. Es clar que com a molt hi ha dues asímptotes obliqües, una per + i l'altra per -. P( Si f( sols hi ha una única asímptota obliqua quan rau Q( rau P(+. Q(
H. Itkur funcions-iii -/ 6 Eemples : y Verticals: Com és un quocient de polinomis, és contínua a tots els reals ecepte quan - L'únic punt de discontinuïtat és el -, per tant sols cal mirar per -. el és una ( discontinuïtat evitable no hi ha asímptota vertical. / /4 ± és una asímptota vertical. Horitzontals : Com / y - és asímptota horitzontal Obliqües: no en té ja que asímptotes horitzontals. y 3 ( + Verticals: L'únic punt de discontinuïtat és el -, per tant sols cal mirar per -. 3 - ( + ± - és asímptota vertical Horitzontals : 3 Com ( + no té asímptota horitzontal
H. Itkur funcions-iii -3/ 6 3 y Obliqües: m ( + 3 3 3 n - - ( + ( + per tant la recta y - és una asímptota obliqua. DERIVADA D'UNA FUNCIÓ EN UN PUNT. Donada la funció f:(a,b R i (a,b, diem que: yf( f és derivable en eistei f( - f( - d'aquest it, en diem la derivada de f en i el representem per f '( o y ' ( o (df / d (. Si anomenem increment de - i increment de y y f( -f( f '( f( + - f( Δy Eemple: Calculem a partir de la definició, la derivada de y en el punt d'abscissa 7. y'(7 7 ( 7 ( + 7 7 7 7 ( 7 ( + 7 7 y' (7 7 ( 7 ( + 7 7 + 7 7
H. Itkur funcions-iii -4/ 6 FUNCIÓ DERIVADA - DERIVADES SUCCESSIVES. Donada la funció f:(a,b R, diem que: f és derivable a l'interval (a,b és derivable a tots els punts de l'interval. Si una funció és derivable a l'interval (a,b, podem considerar una altra funció que assina a cada el valor de la derivada de f en aquest (a,b R derivada de f en f '( d'aquesta funció en diem funció derivada de f i la representem per: f ':(a,b R f '( Observeu que f ' és una funció real de variable real i, per tant, pot ser (no n'està pas obliada que siui derivable. Si f ' és derivable a l'interval (a,b, podrem parlar de la derivada de f ' que en direm derivada seona o f ". f ":(a,b R derivada de f ' en el punt f " torna a ser una funció real de variable real i si és derivable a tot (a,b, podrem trobar la seva funció derivada, la (f "' que anomenarem derivada tercera o f "'. I aií, en eneral, es definei la derivada n-èssima com la derivada de la (n--èssima derivada: f n ( f (n- '. CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS DERIVABLES. f:(a,b R (a,b f derivable en f contínua en. És a dir: f derivable f contínua. Demostració: f derivable en f '( R. f( - f( Calculem el ( f( - f( ( - - per ser el it del producte, el producte dels its f( - f( ( - f '(. -
H. Itkur funcions-iii -5/ 6 Per tant : f derivable en (f( - f( f( f( f contínua en. Per veure-ho, n'hi ha prou en trobar una funció contínua en un punt i no derivable en aquest punt. Per eemple, la funció valor absolut. és contínua en el punt i no és derivable en. - < és contínua en, i. + - - no és derivable en + - - - - - - Límits laterals diferents no eistei it funcional no derivable en. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DE LA DERIVADA. La derivada d'una funció en un punt és iual al pendent de la recta tanent a la funció en aquest punt. És a dir: f:(a,b R (a,b f derivable en f '( pendent de la recta tanent en (,f(. Demostració: Considerem el punt A(,f(.
H. Itkur funcions-iii -6/ 6 Per a cada d'un entorn de podem considerar el punt B (,f(. Tracem la recta r AB secant a la corba pels punts A i B. Per definició de pendent, tenim que: f( - f( pendent r AB t α. - Si fem r AB tanent en A doncs: f derivable en f contínua en f( f( B A r AB tanent en A. Per tant, quan el pendent de la secant per A i B passa a ser el pendent de la tanent en A. Amb el que: f( - f( pendent tanent pendents secants per A i B f '(. - TANGENTS I NORMALS A UNA CORBA. Si yf( és una funció derivable en un punt, la interpretació eomètrica anterior, ens permet afirmar que l'equació de la recta tanent en el punt d'abscissa és: y - f( f '( ( -. - I que l'equació de la normal en és: y - f( ( f '( Eemple: Calculem l'equació de la tanent a y 3 + en el punt d'abscissa -. Trobem en primer lloc les coordenades del punt de tanència:
H. Itkur funcions-iii -7/ 6 f(- (- 3 + (- - punt tanència (-,-. Calculem y '(-: y ' 3 + y '(- 3(- + 4. La recta buscada és y + 4( + ; i epressada en forma eplícita és: y 4 +. CÀLCUL DE DERIVADES. REGLES DE DERIVACIÓ. La derivada d una constant és. f(k constant f és derivable i f (. f( - f( k - k Ja que: f ' ( - - -. La derivada d una suma és la suma de derivades. yf( i y( derivables en y f( + ( derivable en i (f+ ( f ( + ( Ja que: (f + ' ( f( + ( - f( - - ( f( - f( ( - ( + f '( + '(. - - f( - f( - + ( - ( - La derivada d una constant per una funció és la constant per la derivada de la funció. yf( derivable en i k constant y k f( derivable en i (k f ( k f ( Ja que: k f( - k f( k ( ( f( - f( f( - f( k f ' ( k k f ' (. - - -
H. Itkur funcions-iii -8/ 6 La derivada d un producte és la derivada del primer factor per el seon més la derivada del seon per el primer. yf( i y( derivables en y f( ( derivable en i (f ( f ( ( +f( ( Ja que: (f ' ( f( ( - f( - sumant i retant f( ( f( ( - f( ( (f ' ( ( + f( ( - i traient factor comú f( ( ( - ( + ( f( - f( (f ' ( - com el it d una suma és la suma dels its: (f ' ( f( - f( ( ( ( - ( ( f( - f( - + ( ( - com el it d un producte és el producte dels its: ( - ( f( - f( (f ' ( f( + ( - - com f és contínua al ser derivable (f ( f ( ( +f( (. Propietat y( derivable en i ( derivable en, '( i ( ( Ja que: Com derivant els dos membres tenim que:,, ' +
H. Itkur funcions-iii -9/ 6 i isolant ', és a dir: ', ' La derivada d un quocient és la derivada del numerador pel denominador menys la derivada del denominador pel numerador partit tot pel denominador al quadrat. yf( i y( derivables en i (, f '( ( '( f( f( y derivable en ( i f ( ( Ja que: f, ( f, ( f ' ( ( + f(, ( f, ( '( f ' ( ( + f( ( f '( ( '( f( (.
H. Itkur funcions-iii -/ 6 TAULA DE DERIVADES. y k ctt y ' y f+ y ' f '+ ' y k f y ' k f ' y f y ' f ' + f ' f f ' - f ' y y ' _ y α y ' α α- y y ' y a y ' a ln a y e y ' e y lo a y ' y ln y ' ln a y sin y ' cos y cos y ' - sin y t y ' sec + t cos - y ct y ' - cosec - ( + ct sin y sec y ' sec t y cosec y ' - cosec ct - y arc sin y ' y arc cos y ' - - - y arc t y ' y arc cot y ' + + - y arc sec y ' y arc cosc y ' - -
H. Itkur funcions-iii -/ 6 DERIVACIÓ DE FUNCIONS COMPOSTES. REGLA DE LA CADENA. Donades f:(a,b R i :(c,d R que es puuin composar f(a,b (c,d. uf( u z(u (a,b f derivable en i derivable en f( u Ja que: of és derivable en i (of ' '(f( f '( '(y y f '(. Per definició de derivada ( f ' ( Δ z multiplicant i dividint per u z Δz Δu Δz Δu ( f ' ( Δ Δ Δ Δu Δ Δu Δ Δ com el it d un producte és el producte dels its tenim que: Δz Δu Δz Δu ( f ' ( Δ Δu Δ. Δ Δu Δ Δ Δu Com f '( substituint obtenim que: Δ Δ Δz ( f ' ( f '( Δ Δu Δz Δu Δu Δ Δ Per altra banda com f der en f contínua en quan f( f( i per tant quan u Δz Δz amb el que '(u Δ Δu Δu Δu I per tant: (of'( (u f'( (f( f '( Eemples : Si volem derivar y(4-3, podem desenvolupar el binomi o fer el seüent: De 4-6 en diem t 4-6t. Llavor la funció a derivar és yt y t t Com t 4 Tenim que y (4-3 4 8 (4-3. Si hem de derivar y ( 4 +5 Podem considerar que u 4 +5 I per tant hem de derivar la funció y u Amb el que y u u ( 4 +5 ( 4 +5 ( 4 +5 (4 3 +5.
H. Itkur funcions-iii -/ 6 DERIVADA DE FUNCIONS RECÍPROQUES. Si f:(a,b (c,d té recíproca f - :(c,d (a,b y y (a,b i y f( f derivable en i f '( f - és derivable en y i (f - ' (y. f '( Demostració: f i f - recíproques (f - f ( I(. Derivant aquesta epressió en el punt, obtenim: ( f - ' (f( f '( (f - ' (y. f '( Eemple: Càlcul de la derivada de y arc sin. Prenem sin y i y arc sin, que són recíproques entre (-π/,π/ i (-,. Llavors y '. sin ' y cos y Com cos y - sin y -, substituint: (arc sin '(. -
H. Itkur funcions-iii -3/ 6 CREIXEMENT I DECREIXEMENT. Donada f:(a,b R (a,b, diem que: f és creient en el punt per valors de propers a, els punts anteriors a tenen imates anteriors a la imate de, i els punts posteriors a tenen imates posteriors a la imate de. < f ( < f ( f és creient en δ > i - δ < f ( < f ( f és decreient en el punt per valors de propers a, els punts anteriors a tenen imates posteriors a la imate de, i els punts posteriors a tenen imates anteriors a la imate de f és decreient en δ > i - δ < < f ( > f ( f ( < f ( PROPIETAT I. f:(a,b R (a,b i f derivable en f creient en f '(. f decreient en f '(. Demostració: f creient en δ > i - δ < f( < f( < f( < f( I per tant, quan - δ, es complei que: - < < f( < f( f( - f( < - > > f( > f( f( - f( > O dit d'una altra manera, per - δ f( - f( - i f( - f( tenen el matei sine és a dir : si - δ. - f( - f( Per definició de derivada, f derivable en f ' (. - Quan fem l it, arriba un moment en que - <δ és el it d' una epressió que sempre és > el it és.
H. Itkur funcions-iii -4/ 6 Amb el que: f( - f( + f '(. - + Anàloament es demostra que: f decreient en f '(. PROPIETAT I I f:(a,b R (a,b i f derivable en f '( > f creient en. f '( < f decreient en. Demostració: Demostrarem que f '( > f creient en. Suposem f derivable en i f '( > f( - f( f '( > - Sabem que valors neatius o nuls, sols poden donar its neatius o nuls. I per tant si aquest it és positiu, cal que pels valors de suficientment propers a, el quocient f( - f( siui estrictament positiu. - f( - f( És a dir δ > i - < δ > - si - < f( - f( < δ > i - < δ δ > i - Per tant: f és creient en. si - > f( - f( > < f( < f( > f( > f( Observació: Combinant les dues propietats anteriors, tenim que: Per estudiar el creiement d'una funció, sols ens cal estudiar el sine que té la seva derivada.
H. Itkur funcions-iii -5/ 6 EXTREMS D'UNA FUNCIÓ. Donada f:[a,b] R diem que: [a,b] és màim absolut de f a [a,b] [a,b] f( és el valor mes ran de totes les imates. f( f( [a,b] és mínim absolut de f a [a,b] [a,b] f( és el valor mes petit de totes les imates. f( f( [a,b] és etrem absolut de f a [a,b] és un màim o un mínim absolut. (a,b és màim relatiu de f a (a,b δ > i (a,b - <δ f( f( per les properes a, f( és el valor mes ran de les imates. (a,b és mínim relatiu de f a (a,b δ > i (a,b - <δ f( f( per les properes a, f( és el valor mes petit de les imates. (a,b és etrem relatiu de f a (a,b és un màim o un mínim relatiu. PROPIETAT. f:(a,b R (a,b i f derivable en. etrem relatiu de f f '(. Demostració: Suposem màim de f, (si és mínim es raona de forma semblant (a,b màim δ > i (a,b - <δ f( f( f( - f(. f( - f( Per ser f derivable en f '( - eisteien els its laterals i coincideien amb f '(. Deut a que fem el it quan, arriba un moment en que - < δ. I per tant
H. Itkur funcions-iii -6/ 6 f( - f( f( - f( f '( f '(. + - - + - <δ - <δ > f( - f( f( - f( f '( f '(. - - - - <δ - <δ < És a dir, per un costat f '( i per l'altra f '( f '(.