CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 3 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES 1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA UNIDAD La Unidad trata los siguientes puntos: Lectura y escritura de números decimales positivos. Interpretación de información dada con esos números. Orden y representación en la recta numérica. Cuocientes expresados como números decimales. Transformación de fracciones en decimales y de números decimales finitos en fracciones. Determinación y aplicación de procedimientos de cálculo de adiciones y sustracciones de números decimales. Determinación y aplicación de procedimientos de cálculo de multiplicación y división de decimales. Multiplicación y división de un número natural o decimal por una potencia de 10. Resolución de problemas que involucran multiplicaciones y divisiones con número decimales. 2. DURACIÓN APROXIMADA 6 semanas. 3. CONTENIDOS - Interpretación de números decimales - Fracciones y números decimales - Adición y sustracción de números decimales - Multiplicación y división de números decimales 4. APRENDIZAJES ESPERADOS 4.1 Interpretación de números decimales En el nuevo marco curricular se introducen los números decimales en 5º año. Allí se interpretan, se discuten sus relaciones con las fracciones y se establecen procedimientos de adición y sustracción. Dado que los actuales estudiantes que están este año en 6º año no tuvieron esos contenidos en 5º, se hace necesario tratarlos ahora como una forma de transición al nuevo marco curricular. Por tal motivo, iniciamos esta unidad introduciendo los números decimales. Se espera que los estudiantes puedan leer y escribir números decimales hasta el milésimo (primer aprendizaje esperado), que interpreten información dada en términos de números decimales (segundo aprendizaje esperado), y que puedan comparar números decimales y establecer relaciones de orden entre ellos (tercer aprendizaje APRENDIZAJES ESPERADOS Interpretación de números decimales Leen y escriben números decimales hasta el milésimo. Interpretan información cuantitativa en que se emplean números decimales. Establecen relaciones de orden entre números decimales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1
4.2 Fracciones y números decimales Números decimales y fracciones constituyen dos lenguajes mediante los cuales es posible cuantificar partes de una unidad. Es necesario, por lo tanto, que los estudiantes puedan establecer las equivalencias entre ambos lenguajes. Los números decimales finitos pueden transformarse fácilmente en fracciones utilizando potencias de 10 como denominadores (primer aprendizaje Esto se desprende de la propia definición de números decimales. Los números decimales aparecen como una forma de expresar el resto en divisiones no exactas (segundo aprendizaje La relación que existe entre la notación de fracciones y la operación de división abre la posibilidad de expresar una fracción como número decimal utilizando el procedimiento de dividir el numerador por el denominador (tercer aprendizaje APRENDIZAJES ESPERADOS Fracciones y números decimales Expresan como fracción decimales finitos. Expresan como número decimal el cuociente en divisiones no exactas. Transforman fracciones en números decimales. 4.3 Adición y sustracción de números decimales Dado que los números decimales se rigen por el principio de valor de posición, al igual que los números naturales, los procedimientos de adición, sustracción, multiplicación y división de números decimales son los mismos que los estudiantes conocen para los números naturales. Solo se hace necesario prestar atención a la posición de la coma. Aquí se introducen los procedimientos de adición y sustracción (primer aprendizaje Luego se analiza la posibilidad de utilizar estos procedimientos para completar secuencias de números decimales basadas en una regla aditiva, es decir, sumando o restando siempre una misma cantidad (segundo aprendizaje El dominio de procedimientos de cálculo permite resolver situaciones problemáticas que involucran números decimales (tercer aprendizaje APRENDIZAJES ESPERADOS Adición y sustracción de números decimales Emplean procedimientos de cálculo para sumar o restar números decimales. Completan secuencias de números decimales generadas mediante una regla aditiva. Resuelven problemas con contextos reales que involucran números decimales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2
4.4 Multiplicación y división de números decimales Al igual que en el caso de la adición y sustracción, los procedimientos de cálculo de multiplicaciones y divisiones en que intervienen número decimales no presentan grandes diferencias con los respectivos procedimientos con números naturales. Se estudia la multiplicación de un número decimal por una potencia de 10 (primer aprendizaje esperado) y la división de un número natural o decimal por una potencia de 10 (segundo aprendizaje Se analizan los procedimientos de cálculo escrito y con calculadora de multiplicaciones y de divisiones, y la conveniencia de verificar los resultados obtenidos mediante redondeos y cálculo aproximado (tercer y cuarto aprendizaje Al igual que sucede con la multiplicación y división de fracciones, al operar con números mayores que 0 pero menores que 1 se obtienen resultados que contradicen propiedades de estas operaciones que son válidas para los números naturales. Así, en la multiplicación si uno o los dos factores son números menores que 1, entonces el producto es menor que uno o ambos factores. Y en la división, si el divisor es menor que 1, entonces el cuociente es mayor que el dividendo (quinto aprendizaje Y una vez más, el dominio de procedimientos de cálculo permite la resolución de problemas en que intervienen cantidades expresadas como números decimales (sexto aprendizaje 5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS 5.1 Fracciones y números decimales Tanto las fracciones como los números decimales cumplen la función de permitir cuantificar cantidades que corresponden a partes de una unidad. Las fracciones surgieron hace unos 4.000 años en Egipto. Los números decimales, en cambio, son mucho más jóvenes: tienen menos de 500 años de antigüedad. APRENDIZAJES ESPERADOS Multiplicación y división de números decimales Conocen y aplican un procedimiento para multiplicar mentalmente un número decimal por una potencia de 10. Conocen y aplican un procedimiento para dividir mentalmente un número natural o decimal por una potencia de 10. Efectúan multiplicaciones que involucran números decimales empleando procedimientos de cálculo mental, escrito o con calculadora, y verifican el resultado usando aproximaciones. Efectúan divisiones que involucran números decimales empleando procedimientos de cálculo mental, escrito o con calculadora, y verifican el resultado usando aproximaciones. Identifican casos en que el producto de una multiplicación puede ser menor que uno de sus factores o que ambos, y casos en que el cuociente de una división puede ser mayor que el dividendo. Resuelven problemas que involucran multiplicación o división de números decimales. En la práctica cotidiana y en la literatura científica las fracciones han ido perdiendo terreno y han ido siendo reemplazadas cada vez más por los números decimales. A diferencia de las fracciones, los números decimales se basan en el mismo principio de valor de posición que constituye un rasgo e de los números naturales. Por este motivo, los procedimientos de cálculo para los números decimales son prácticamente los mismos que para los números naturales. La única diferencia está en la necesidad de ubicar la coma en el caso de los números decimales. Los procedimientos de cálculo con fracciones, en cambio, difieren bastante de los respectivos procedimientos utilizados con números naturales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3
Como es fácil constatar, las calculadoras y los computadores trabajan sin dificultad con números decimales, pero no con fracciones. De hecho, salvo algunas calculadoras especializadas, la mayoría de las calculadoras transforma las fracciones en números decimales y opera con estos, dando el resultado en notación decimal y no en notación de fracciones. En este nivel es importante que los estudiantes comprendan que se trata de dos formas de decir lo mismo y puedan transformar un lenguaje en el otro en casos simples. Para transformar una fracción en número decimal nos basamos en la equivalencia que existe entre las fracciones y la operación de división. De acuerdo con esta equivalencia, si en una fracción dividimos el numerador por el denominador, obtendremos como cuociente un número decimal que es equivalente a dicha fracción. Para la operación inversa, transformar un número decimal en fracción, debemos distinguir dos casos: (a) si el número decimal tiene una cantidad finita de cifras decimales, entonces encontramos una fracción equivalente escribiendo como numerador el número decimal sin su coma y como denominador la potencia de 10 que corresponda al número de cifras decimales, (b) si el número decimal tiene una cantidad infinita de cifras decimales, la situación es un tanto más compleja y no se trata en este nivel. Como sabemos, un número decimal con un número infinito de cifras decimales solo tiene equivalencia como fracción si presenta un conjunto de cifras decimales que se repite indefinidamente, es decir, si estamos en presencia de un número decimal periódico o semiperiódico. En caso contrario, el número decimal no puede escribirse como fracción. En otras palabras, se trata de un número irracional. 5.2 Números decimales y números naturales Una de las grandes ventajas de los números decimales reside en el hecho que la notación de números decimales obedece al mismo principio de valor de posición que rige la formación de los números naturales. En efecto, tanto en los números naturales como en los números decimales el valor representado por cada dígito depende de su posición en el número y se determina multiplicando el dígito por una potencia de 10. En los números naturales, la última cifra a la derecha es la cifra de las unidades. El dígito que ocupa esa posición conserva su valor. O dicho de otra forma, su valor se multiplica por 10 0. Si nos movemos hacia la izquierda, el exponente de la potencia de 10 que multiplica al dígito va aumentando de 1 en 1. En los números decimales, la posición de referencia sigue siendo la posición de las unidades. Pero aquí, la posición de las unidades no es la última a la derecha sino la que está inmediatamente a la izquierda de la coma. El dígito que ocupa esa posición multiplica su valor por 10 0. El exponente de la potencia de 10 que multiplica al dígito va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda y va disminuyendo de 1 en 1 hacia la derecha, de modo que los dígitos que están a la derecha de la coma multiplican su valor por una potencia de 10 de exponente negativo. En este nivel no hablamos todavía de potencias de 10 de exponente 0 o negativo. Diremos que el dígito que ocupa la posición de las unidades conserva su valor y los que ocupan posiciones a su derecha dividen su valor por una potencia de 10 cuyo exponente va aumentando de 1 en 1 hacia la derecha. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4
5.3 Operaciones con números decimales Como ya hemos subrayado, los números decimales se construyen sobre la base del mismo principio de valor de posición que rige en los números naturales. Una de las consecuencias de este hecho es que los procedimientos de cálculo son muy similares para ambos conjuntos numéricos. Al tratar los procedimientos de cálculo, en necesario subrayar: (a) que en ambos casos, la posición de referencia es la posición de las unidades, pero en los números decimales esta posición no es la última de la derecha sino la que está inmediatamente a la izquierda de la coma. (b) en los procedimientos de cálculo escrito de adición y sustracción, los números deben ordenarse de modo que la posición de las unidades de uno queden debajo de las unidades del otro. Esto implica que en los números decimales la coma queda debajo de la coma. (c) en los procedimientos de cálculo escrito de multiplicación y división, no hay diferencias entre números naturales y números decimales, excepto por el hecho que en algún momento hay que determinar cuál será la posición de la coma en el resultado. Por lo tanto, lo único nuevo que es necesario aprender son las reglas que permiten determinar la posición de la coma. 6. DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL DE TRABAJO PARA EL AULA GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) LA PARTE ENTERA DE LOS NÚMEROS DECIMALES Esta guía propone actividades destinadas a ejercitar algunas ideas básicas acerca de los números decimales. Se llama la atención a la unidad de medida en que está expresado el número, se discrimina entre parte entera y parte decimal en un número decimal y se interpreta la información que entrega la parte entera (por ejemplo, en el número decimal 25,82 la parte entera es el número natural 25 y nos dice que el número decimal en cuestión está entre 25 y 26 unidades). Se busca una interpretación para el resultado que una calculadora muestra para una división no exacta. GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) EL VALOR DE POSICIÓN EN LOS NÚMEROS NATURALES En esta guía se actualizan conocimientos relativos al principio de valor de posición en los números naturales como preparación para una mejor comprensión del valor de posición en los números decimales. GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) EL VALOR DE POSICIÓN EN LOS NÚMEROS DDECIMALES En las actividades de esta guía se ejercita la interpretación del valor representado por cada dígito en los números decimales. Al mismo tiempo se muestra la posibilidad de interpretar las cifras de la parte decimal en términos de unidades de medida más pequeñas. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5
GUÍA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL) DESCOMPOSICIÓN, INTERPRETACIÓN Y LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES Esta guía resume e integra los conocimientos alcanzados en las guías anteriores poniendo énfasis en la interpretación de información cuantitativa dada con números decimales. Se presenta la descomposición de un número decimal en términos de un número natural más una única fracción que represente la parte decimal. Para consolidar la interpretación de la cantidad representada se muestran distintas formas de acotar el valor del número decimal (26,528 está entre 26 y 27, entre 26,5 y 26,6 o entre 26,52 y 26,53). Por último se ejercita la lectura y escritura de números decimales. GUÍA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO GRUPAL) RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS DECIMALES En esta guía se presentan y ejercitan procedimientos de comparación de números decimales. Esto no solo es un objetivo en sí mismo sino que contribuye a consolidar la comprensión de estos números. GUÍA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO INDIVIDUAL) EL CUOCIENTE DE DIVISIONES NO EXACTAS Hasta ahora, las divisiones no exactas tenían como resultado una combinación de cuociente y resto. Los números decimales abren la posibilidad de expresar el resto como parte decimal de un número decimal. La guía muestra y ejercita el procedimiento de cálculo que permite ir más allá de las unidades. Llama la atención asimismo a la posibilidad de que el cuociente quede expresado como un número decimal con infinitas cifras decimales. Este tema permite interpretar correctamente el resultado que entrega la calculadora para las divisiones no exactas. GUÍA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO INDIVIDUAL) MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNA POTENCIA DE 10 En esta guía se ejercita la multiplicación y división de números decimales por una potencia de 10. Se muestra que estas operaciones solo implican un desplazamiento de la posición de la coma. Se ofrecen asimismo ejemplos de transformación de unidades de medida en contextos reales, puesto que en la mayor parte de los casos estas transformaciones implican multiplicaciones o divisiones por potencias de 10. GUÍA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO INDIVIDUAL) TRANSFORMACIÓN DE FRACCIONES EN NÚMEROS DECIMALES Profundizando en la relación que existe entre fracciones y números decimales, esta guía presenta y ejercita la conversión de fracciones en números decimales. El procedimiento es bastante simple: basta dividir el numerador de la fracción por su denominador. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6
GUÍA DE TRABAJO Nº 9 (TRABAJO GRUPAL) TRANSFORMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES EN FRACCIONES Esta guía trata el proceso inverso del que se vio en la guía anterior. Esta vez se trata de convertir un número decimal en fracción. A diferencia del caso anterior, no todo número decimal puede expresarse como fracción. En este nivel sólo se estudia el caso de los números decimales que tienen una cantidad finita de cifras decimales. Como muestra la guía, en este caso el procedimiento es bastante simple y da como resultado una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Eventualmente, esta fracción puede simplificarse. Aunque los números decimales periódicos y semiperiódicos pueden convertirse en fracción, no se tratan en este nivel. GUÍA DE TRABAJO Nº 10 (TRABAJO GRUPAL) ADICIONES Y SUSTRACCIONES DE NÚMEROS DECIMALES Iniciando el estudio de las operaciones con números decimales, en esta guía se analizan y ejercitan la adición y la sustracción. El procedimiento es similar al utilizado en la adición y sustracción de números naturales. Solo hay que hacer notar que al alinear los números de modo que las unidades queden debajo de las unidades, la coma quedará debajo de la coma, pero es posible que los últimos dígitos de la derecha no queden uno debajo del otro. La guía ofrece además un conjunto de problemas que involucran adiciones o sustracciones de números decimales. GUÍA DE TRABAJO Nº 11 (TRABAJO INDIVIDUAL) MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Continuando el estudio de las operaciones con números decimales, en esta guía se trabaja la multiplicación. Nuevamente nos encontramos con procedimientos similares a los correspondientes procedimientos con números naturales. Solo hay que prestar atención a dónde debemos colocar la coma. GUÍA DE TRABAJO Nº 12 (TRABAJO INDIVIDUAL) DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES La división de números decimales requiere distinguir el caso en que el divisor es un número natural y el caso en que el divisor es un número decimal. En el primer caso, nuevamente es solo una cuestión de ubicación de la coma. Pero el segundo caso requiere de un paso previo: la amplificación de la división de modo que el divisor llegue a ser un número natural. Como en las fracciones, la amplificación, es decir, el multiplicar dividendo y divisor por un mismo número, no varía el resultado de la división. Una vez convertido el divisor en un número natural, se procede como en el caso anterior. GUÍA DE TRABAJO Nº 13 (TRABAJO GRUPAL) MÁS ACERCA DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Esta guía subraya una situación que ya se había dado en el caso de la multiplicación y división de fracciones. Consideremos la multiplicación a b, en que ambos factores son mayores que 0. Si b es mayor que 1, el producto será mayor que a. Si b es igual a 1, entonces, el producto es igual a a. Ambas situaciones son similares a lo que ocurre con los números naturales. Pero si b es menor que 1, entonces, el producto a b es menor que a, lo que no se da en la multiplicación de números naturales. La guía revisa asimismo el concepto de inverso multiplicativo aplicado esta vez a los números decimales. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 7
GUÍA DE TRABAJO Nº 14 (TRABAJO GRUPAL) SECUENCIAS DE NÚMEROS DECIMALES Finalmente, la guía nº 14 muestra algunos ejemplos de secuencias de números decimales que siguen una regla aditiva, es decir, en que se suma o se resta siempre una misma cantidad. Con el fin de resolver este tipo de problemas, la guía propone determinar primero cuánto es lo que se está sumando o restando y luego usar este dato para determinar por adición o sustracción, según sea el caso, los términos que siguen en la secuencia. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 8