TEMA 7: TRIGONOMETRÍA 7.1 MEDIDA DE ÁNGULOS. RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES Dada una circunferencia, el ángulo central tiene su vértice en el centro de la misma sus lados son dos radios. Para medir ese ángulo podemos utilizar: El grado es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir el ángulo recto en 90 partes iguales. Su símbolo es º. El sistema de medida se llama sistema seagesimal, a parte del grado se utilizan las unidades minutos ( ) segundos ( ) 1º60 1 60 1º3600 El radián es la medida del ángulo central de una circunferencia cuo arco tiene la misma longitud que el radio. Su símbolo es rad. Eiste una relación entre grados radianes: 360 º 2π radianes Ejemplo: Epresa las siguientes medidas de ángulos en radianes a) 180º b) 90º Ejemplo: Epresa las siguientes medidas de ángulos en grados 2π a) rad 5 π b) rad 5 7.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo son: seno longitud del cateto opuesto a α de α longitud de la hipotenusa longitud del cateto contiguo aα cos eno deα longitud de la hipotenusa tan gente longitud del cateto opuesto a α de α longitud del cateto contiguo aα sen α cos α tan α h h Ha más razones trigonométricas (cosecante, secante, cotangente, ) pero este curso no las vamos a ver. En las calculadoras, el seno suele aparecer como sin, a la tangente la podemos escribir tan, tag o tg. a) Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los siguientes triángulos rectángulos 3 5 4 α b) 15 β 17 8 α 7.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS 0, 30, 45, 60 Y 90
0 30 45 60 90 seno coseno tangente 7.4 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En este curso vamos a estudiar tres relaciones entre las razones trigonométricas. Dado un ángulo cualquiera α se verifica: sen 2 α + cos 2 α 1 Ecuación fundamental de la trigonometría α 2 1 tan α sen 1 + tan α 2 cos α Sabiendo estas relaciones, dada una razón trigonométrica de un ángulo es posible calcular las otras dos razones. Ejemplo: Sea α un ángulo agudo, sabiendo que dos razones. sen α 0 35, calcula las otras De la relación fundamental de la trigonometría podemos deducir que: 1 senα 1 1 1 La tangente puede tomar cualquier valor real.
Ejemplo: Si tan α 1' 29, calcula las otras dos razones sabiendo que α es agudo. Hasta ahora hemos calculado razones trigonométricas de ángulos agudos, pero eisten ángulos no agudos de los cuales también podemos calcular sus razones. 7.5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera vamos a utilizar un sistema de coordenadas cartesianas una circunferencia de centro el origen de coordenadas radio 1. A esta circunferencia se le llama circunferencia goniométrica. 90 Eje Y Segundo cuadrante π180 Primer cuadrante 0 360 2π Eje X RADIO 1 Tercer cuadrante Cuarto cuadrante 270 Al dibujar un ángulo en cualquiera de los cuadrantes se puede construir un triángulo rectángulo cua hipotenusa vale siempre 1, igual que el radio. Los catetos e serán las coordenadas cartesianas, positivas o negativas dependiendo del cuadrante en el que esté el ángulo. Las razones trigonométricas no dependen del radio de la circunferencia sen α tanα h 1 h 1
Por lo que sen α tan α Primer cuadrante senα 0 0 tanα 0 Segundo cuadrante senα 0 0 tanα 0 Tercer cuadrante senα 0 0 tanα 0 Cuarto cuadrante senα 0 0 tanα 0 Ejemplo: Dado sen α0' 46 con 90º α 180º trigonométricas., calcula las otras dos razones Ejemplo: Dada tanα 3' 25 con 270º α 360º, calcula las otras dos razones trigonométricas. 3π Ejemplo: Sea 0' 82 con π α, calcula sen α tanα 2
7.5 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CIERTOS ÁNGULOS En algunos ejercicios se va a pedir calcular las razones trigonométricas de ángulos relacionados con un ángulo agudo, como por ejemplo 90 + α, 180 α, 270 + α, α, etc. Para calcular estas razones trigonométricas hacemos los mismos pasos: - Dibujamos los dos ángulos con sus elementos. - Calculamos la razón trigonométrica pedida con sus elementos. - Comparamos ese resultado con los elementos de α. - Ajustamos el signo. Para estos ejercicios utilizamos la circunferencia goniométrica. Ejemplo: Sabiendo que sen α 0' 75, calcula las razones trigonométricas siguientes con 0 α 90º : a) cos( 90 + α) b) sen( 270 α)
c) tan( 180 α) d) cos( 180 + α) Ejemplo: Sabiendo que cos α 0' 43, siendo α un ángulo agudo, calcula: a) sen( 270 + α)
b) sen( α ) c) cos( 270 + α) 7.6 CÁLCULO DEL ÁNGULO CONOCIDA LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA Para calcular el ángulo se utilizan funciones inversas a las razones trigonométricas. Dichas funciones son arcoseno, arcocoseno arcotangente, a que los ángulos son la medida de los arcos en una circunferencia.
sen α 0' 24 α es el arco cuo seno vale 0 24 cos α 0' 79 α es el arco cuo coseno vale -0 79 Para calcular α se escribe: α arcsen 0'24 α arccos( 0'79) En las calculadoras son las mismas teclas de sin, cos, tan pero en su segunda función, así que ha que darle primero a SHIFT, INV o 2nd Función Ejemplo: Calcula los ángulos de las siguientes razones: sen α 0 72 tan α 2`39 cos α 0 31 sen α 0 70 cos α 0 27 7.7 PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo. 6 β h 10 8 α
Ejemplo: Desde la ventana de su casa Juan ve un gato que está a 30m de su edificio. Si lo ve con un ángulo de 50º, a cuántos metros está la ventana del suelo? Ejemplo: En lo alto de un árbol ha un nido con un pájaro. Marta está a 40m del árbol ve el nido con un ángulo de 60º, qué altura tiene el árbol? Ejemplo: Una escalera está apoada en la pared con un ángulo de 25º. Si la altura a la que se apoa la escalera es de 3 2m, qué longitud tiene la escalera? Ejemplo: Luis abre un compás formando un ángulo de 56º. Si la distancia entre las ramas es de 9 2cm, cuánto mide cada rama? (Suponemos las ramas iguales)
Ejemplo: En un castillo, al bajar el puente, éste se queda atascado a una altura de 2 5m formando un ángulo con la horizontal de 30º cuánto mide el puente? Ejemplo: Isabel está mirando un cartel en un edificio con un ángulo de 40º. Decide acercarse 18 metros ahora lo ve con un ángulo de 65º. A qué altura está el cartel? A qué distancia inicial estaba Isabel del edificio del cartel?