Capítulo 3. Leyes Lógicas

Capítulo 3. Leyes Lógicas por G 3 Agosto 2014 Resumen Mostraremos en estas notas algunas de las llamadas leyes lógicas usuales, por el camino largo y aburrido, mediante tablas de verdad. Hay también una breve discusión sobre tautologías y absurdos, y definimos equivalencia de proposiciones. 1. Tautologías y Absurdos Anotamos la definición primordial. Definición 1. Decimos que una proposición compuesta es una tautología si su valor de verdad es siempre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes. Un absurdo, por el contrario, es una proposición compuesta cuyo valor de verdad es siempre F, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones componentes Una proposición compuesta que no es tautología ni absurdo, es decir, sus valores de verdad dependen de los valores de verdad de las proposiciones componentes, es contingente. Notación. Usamos la letra mayúscula T para denotar una tautología y una letra mayúscula A para denotar un absurdo. 1

Probamos algunos ejemplos. Antes, queremos advertir que de aquí en adelante, cuando usamos las literales p, q, r, s, etc., nos referimos a proposiciones, por lo que obviamos tener que estar escribiendo a cada momento, cuál es el sentido de tales literales. No debe ser difícil al lector recordar esta advertencia. Proposición 1. [(p q) (q r)] (p r) es tautología. Demostración. Queremos probar que esta implicación es siempre V, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Podemos construir una tabla de valores de verdad. Pero ello es muy largo y aburrido. Así que procedemos de la siguiente manera: La única forma en que tal implicación es falsa es cuando (1) (p q) (q r) es V y (2) p r es F. Lo primero ocurre sólo si las proposiciones p q y q r son ambas V, o equivalentemente, si p y q son ambas V, y si q es V entonces r es V. Lo cual implica que p y r son V. Mientras que lo segundo ocurre sólo si al menos una de las proposiciones p y r son F. Vemos entonces que ambos casos son incompatibles. Por lo tanto ((p q) (q r)) (p r) es tautología. Sin embargo, en lo anterior, incluir la hipótesis (p r) es esencial. Proposición 2. (p q) (p r) y (p q) (p r) son contingentes. Demostración. Para ver que (p q) (p r) es contingente, basta observar que tal implicación es V, si p ó q son F, y es V, si p, q y r son V. Lo mismo se puede ver con (p q) (p r). Observación. En general, una implicación p q es tautología si, y sólo si, p es F o bien q es V. Equivalentemente, p q es absurdo si, y sólo si, p es V y q es F. Proposición 3. p (q p) es tautología. Demostración. Podemos hacer tablas, pero ello nos resulta cansado, así que procedemos como sigue: Queremos probar que la implicación p (q p) es 2

siempre V. Así que lo único que nos interesa es ver si tal implicación puede ser F. Pero para que sucediera F, debería cumplirse que p es V y q p es F. Pero observe que ello es absurdo, pues si p es V, la implicación q p es V, sin importar el valor de q. La forma en que procedimos, en las pruebas de las proposicines 1 y 3 anteriores, es típica cuando queremos evitar el uso de tablas. Hacemos en seguida una descripción más específica de cómo hacer esto. Observación. En general, para probar que p q es tautología sin el uso de tablas, hay dos formas típicas de proceder: Modo 1: Probar que los casos p es V y q es F son incompatibles. Modo 2: Probar que si p es V, entonces q es V. Note que ello impide que los casos p es V y q es F coexistan. Obviamente ambos formas son equivalentes. El uso de una u otra forma depende de como sea más fácil, según el caso particular. Proposición 4. [(p q) (q r)] (p r) es tautología. Demostración. Para no hacer una tabla procedemos así: Supongamos que (p q) (q r) es V. Entonces p q y q r son ambos V. Luego, si p r es F entonces, se sigue que r es F y p es V, y por tanto q es V. Pero ello significa que q r es F, lo cual es contradictorio. Así, p r es V. La proposición anterior dice que la implicación es un conectivo transitivo. Vemos ahora cómo las implicaciones tautológicas se heredan transitivamente. Proposición 5. Si p q y q r son ambas tautologías, entonces p r es tautología. Demostración. Supongamos que p q y q r son ambas tautologías. La única forma en que p r es F, es cuando p es V y r es F. Pero si p es V, se sigue que q es V, de donde r es V. Así que los casos p es V y r es F son incompatibles. Se sigue que p r es tautología. Probamos a continuación un par de hechos generales relativos a tautologías y absurdos, casi triviales. 3

Proposición 6. Si T es una tautología, entonces T es un absurdo. Si A es un absurdo, entonces A es una tautología. Demostración. T es siempre V, por lo tanto T es siempre F. Por otro lado, A es siempre F, por lo tanto A es siempre V. Proposición 7. Si T es una tautología, entonces p T y p T son ambas tautologías. Si A es un absurdo, entonces p A es un absurdo y A p es tautología. Demostración. Dado que T es siempre V, se sigue que p T y p T son siempre V. Ahora, como A es siempre F, se sigue que p A es siempre F, mientras que A p es siempre V. Si a caso alguien no se siente convencido con las pruebas dadas hasta aquí, puede fácilmente confeccionar las tablas de verdad. Suerte!!! Enunciamos otros ejemplos triviales. Proposición 8 (Ley del tercero excluido). Para toda proposición p, p p es tautología y p p es absurdo. Demostración. Haciendo tablas, p p V V F F V V p p V F F F F V Proposición 9. Para cualquier proposición p, las proposiciones p p y p p, son tautologías. Demostración. Son obvias, pero por si las moscas escribimos las tablas p p V V V F V F p p V V V F V F 4

2. Proposiciones Equivalentes Definición 2. Si p q es una tautología, entonces diremos que p y q son (lógicamente) equivalentes, y usamos la notación p q. Observación. A partir de la tabla de, se sigue que dos proposiciones son equivalentes si, y sólo si, tienen la misma tabla de valores de verdad. Por tanto, p q si, y sólo si, q p. Observación. De ese mismo hecho se sigue que si T es una tautología y T p, entonces p es también una tautología. Lo mismo puede decirse si cambiamos tautología por absurdo Observación. Se sigue también que las equivalencias se heredan transitivamente: Dos proposiciones equivalentes a una tercera, son equivalentes. Esto es, si p q y q r, entonces p r. Observación. El ejemplo más trivial es el hecho de que p p. Proposición 10. p q (p q) (q p). Demostración. Queremos probar que (p q) ((p q) (q p)) es tautología. Podemos comprobarlo a partir de la tabla de valores. (p q) ((p q) (q p)) V V V V V V V V V V V V F F V V F F V F V V F F V V F V V V V F F F V F V F V F V F V F Ahora damos otro argumento sin tablas. Queremos probar que p q y (p q) (q p) tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos que p q es V. Entonces p y q tienen la misma tabla. Es decir, ambos son V o bien ambos son F. Note que en cualquier caso p q y q p son ambas V. Así, (p q) (q p) es V. Por otro lado, si (p q) (q p) es F, entonces al menos una de las implicaciones p q y q p es F. En todo caso, los valores de p y q difieren, y por tanto p q es F. 5

Observación. Cuando queremos probar una equivalencia p q, sin usar tablas, podemos proceder según alguna de las formas siguientes: Modo Uno: Paso 1). Suponemos que p es V, y entonces probamos que q debe ser V. Paso 2). Suponemos que q es F, y entonces mostramos que p debe ser F. Modo Dos: Paso 1). Suponemos que p es V, y entonces probamos que q debe ser V. Paso 2). Suponemos que q es V, y entonces probamos que p debe ser V. Note que ambos métodos son también formas de probar que p y q tienen la misma tabla de valores de verdad. Mostramos ahora el criterio para afirmar cuándo dos proposiciones son equivalentes. Proposición 11. La proposición p q es una tautología si, y sólo si, ambas proposiciones p q y q p son tautologías. Demostración. Podríamos hacer una tabla, pero preferimos sólo imaginarla. Asumiendo entonces que p q es tautología, se sigue que p y q tienen la misma tabla de valores de verdad. Por tanto es obvio que p q y q p son ambas tautologías. Recíprocamente, supongamos que p q y q p son ambas tautologías. Esto significa que si p es V, entonces q es V, y si q es V, entonces p es V. Ello implica a su vez que si p es F, entonces q es F (de otro modo, se seguiría que p es F, una contradicción), y análogamente, si q es F, entonces p es F. Por tanto, p y q tienen la misma tabla de valores de verdad, así que p q es tautología. Podemos usar también la Proposición 6 para sintetizar lo que hemos dicho arriba del modo siguiente: Dado que p q tiene la misma tabla que (p q) (q p), se sigue que si p q es V, entonces p q y q p son V. Y recíprocamente, si p q y q p son ambas V, entonces p q es V. Y así se sigue de inmediato lo que queremos demostrar. Probamos un hecho más, bastante remarcable, pues establece una forma equivalente de la implicación. 6

Proposición 12. p q (p q). Demostración. Lo que queremos probar es que (p q) (p q) es tautología. Es decir, que las proposiciones a la derecha e izquierda de la doble implicación tienen la misma tabla. Podríamos hacer las tablas, pero preferimos sólo imaginarlas. Pues bien, p q es V, cuando p es V y q es V, o bien, cuando p es F. En cualquier caso, p q es F, y por tanto, (p q) es V. Por otro lado, si p q es F, entonces p es V y q es F, lo que significa que p q es V, y por lo tanto (p q) es F. Esto significa, en efecto, que p q tiene la misma tabla que (p q), como queríamos. Observación. Con esta equivalencia podemos entonces reintrerpretar la implicación del modo siguiente: p q es V si, y sólo si, la verdad de p no coexiste con la verdad de q. Proposición 13. p q (p q) Demostración. Si hacemos una tabla, (p q) (p q) V F V V F V V V V V F V V V F F F V V V V F F V F F F V F F V F También podemos proceder como sigue: Queremos probar que p q y (p q) tienen la misma tabla. Pero note que p q es V si, y sólo si, p y q tienen distintos valores de verdad, en cuyo caso p q es F y por tanto (p q) es V. Hacemos una última observación cuya prueba es trivial. Proposición 14. Si T es una tautología y A es un absurdo, entonces para cualquier proposición p, p T T, p T T, A p T y p A A. 7

3. Leyes Lógicas Es habitual denominar ciertas tautologías como leyes lógicas. Ello se debe a que es constante su uso y conviene referirse a ellas con algún nombre. Aunque en sentido estricto, toda tautología es una ley lógica. Estudiamos en lo que sigue solo algunas de las llamadas leyes lógicas más comunes. En esta sección, algunas pruebas están hechas con tablas y con las propias leyes que se han de ir enunciando y probando. Un lector aburrido debería intentar otras pruebas sin usar tablas. Ley 1 (Involución o Doble Negación). p ( p). Demostración. p ( p) V V V F V F V F V F Ley 2 (Idempotencia). p p p y p p p. Demostración. p (p p) V V V V V F V F F F p (p p) V V V V V F V F F F Ley 3 (Simplificación). (p q) p es Tautología. Demostración. (p q) p V V V V V V F F V V F F V V F F F F V F 8

Ley 4 (Adición). p (p q) es Tautología. Demostración. p (p q) V V V V V V V V V F F V F V V F V F F F Ley 5 (Conmutatividad). p q q p y p q q p Demostración. (p q) (q p) V V V V V V V V F F V F F V F F V V V F F F F F V F F F (p q) (q p) V V V V V V V V V F V F V V F V V V V V F F F F V F F F Ley 6 (Exportación). p (q r) (p q) r. Demostración. Por tabla de valores de verdad, (p (q r)) ((p q) r) V V V V V V V V V V V V F V F F V V V V F F V V F V V V V F F V V V V F V F V V F F V F F V V V V V F F V V V F V V F F V F F V V F F V F V V V F F F V V F V F V F V F F F V F Podemos también proceder del siguiente modo: 9

Hay que mostrar que las proposiciones p (q r) y (p q) r tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos pues que (p q) r es V. Hay dos casos. Primero, p q es V y r es V. Entonces p, q y r son V, de donde p (q r) es V. Segundo, p q es F (no importa el valor de r). Entonces al menos una de las proposiciones p y q es F. Si sucede que p es F, entonces obviamente p (q r) es V. Si sucede que q es F, entonces q r es V, y por tanto p (q r) es V, sin importar el valor de p. Ahora supongamos que p (q r) es F. Entonces p es V y q r es F. Por lo tanto, p es V, q es V y r es F. Así, p q es V y r es F. Se sigue que (p q) r es F. Ley 7 (Reemplazo o Sustitución). Sean q y r proposiciones tales que q r. Entonces q r, y para toda proposición p p q p r y p q p r. Demostración. Dado que q r tanto p como r tienen la misma tabla de verdad. Esto debería ser suficiente para convencernos de las equivalencias que dicta la proposición. Pero por si a caso, escribimos la tabla de valores de verdad solo para la equivalencia p q p r: (p q) (p r) V V V V V V V V F F V V F F F F V V F F V F F F V F F F Lo mismo podemos hacer para mostrar q r y p q p r Se sigue de aquí una versión un poco más general de esta ley. Proposición 15 (Reemplazo o Sustitución). Si p p y q q, entonces p q p q y p q p q. 10

Demostración. Procedemos así: p q p q q p q p p q (Reemplazo) (Comnutatividad) (Reemplazo) (Comnutatividad). Análogo para la segunda equivalencia. Enunciamos otra ley de sustitución usual en todas las matemáticas. Proposición 16 (Reemplazo o Sustitución). Si p p y q q, entonces, p q p q. Demostración. Por Reemplazo, tenemos que q q y por tanto p q p q. Luego, por la Proposición 9, Reemplazo, y nuevamente por la Proposición 9 (en ese orden), p q (p q) (p q ) p q. Ley 8 (Leyes de De Morgan). (p q) p q y (p q) p q. Demostración. Solo haremos la primera tabla. (p q) ( p) ( q) F V V V V F V F F V V V F F V F V V V F V F F V V V F V F V V F F F V V F V V F Para probar la segunda equivalencia procedemos como sigue: ( p q) ( p) ( q) p q (primera equivalencia) (Involución y Reemplazo) 11

Luego, por Reemplazo e Involución, (p q) p q. Hay entonces otro modo de entender la implicación. Proposición 17. p q p q. Demostración. p q (p q) (proposición 12) p ( q) p q. (De Morgan) (involución y reemplazo). Ley 9 (Absorción). p (p q) p y p (p q) p. Demostración. Solo haremos la primera tabla. (p (p q)) p V V V V V V V V V V F F V V F F F F V V F F F F F F V F Para la segunda equivalencia, procedemos así: Por la primera de estas equivalencias probada en la tabla, p ( p q) p, de donde, por Reemplazo e Involución, ( p ( p q)) ( p) p. Pero, ( p ( p q)) ( p) ( p q) p ( ( p) ( q)) p (p q) (De Morgan) (Involución, De Morgan y Reemplazo) (Involución y Reemplazo). Por tanto p (p q) p. 12

Ley 10 (Asociatividad). p (q r) (p q) r y p (q r) (p q) r. Demostración. Solo haremos la primera tabla. (p (q r)) ((p q) r) V V V V V V V V V V V V F V F F V V V V F F V F F F V V V F F F V V F F F F V V F F F F F F F F F V F F F F F F F F F V V F F F F V F F V F F V F F V F F F F V F V V F F V F V Para la segunda equivalencia, procedemos así: Por la primera de estas equivalencias probada en la tabla, p ( q r) ( p q) r. De donde, por Reemplazo, ( p ( q r)) (( p q) r). Pero, ( p ( q r)) ( p) ( q r) p ( ( q) ( r)) p (q r) (De Morgan) (Involución, De Morgan y Reemplazo) (Involución y Reemplazo). Análogamente se prueba ( p q) r (p q) r. Por lo tanto, p (q r) (p q) r. Ley 11 (Distributividad). (p q) r (p r) (q r) y (p q) r (p r) (q r). 13

Demostración. Solo haremos la primera tabla. ((p q) r) ((p r) (q r)) V V V V V V V V V V V V V V V V F F V V F F F V F F V V F V V V V V V V F F V V V F F F V V F F F F F F F F F F F V F F F F F F F F F F F V V F F V F F F V F V V F F V F F F F V F F F V V V V V F F V V V V V Para la segunda equivalencia procedemos como sigue: De la primera de estas equivalencias probada en la tabla, ( p q) r ( p r) ( q r), de donde, por Reemplazo, (( p q) r) (( p r) ( q r)). Pero, (( p q) r) ( p q) ( r) ( ( p) ( q)) r (p q) r (De Morgan) (De Morgan, Involución y Reemplazo) (Involución y Reemplazo). Por otro lado, (( p r) ( q r)) ( p r) ( q r) ( ( p) ( r)) ( ( q) ( r)) (p r) (q r) (De Morgan) (De Morgan y Reemplazo) (Involución y Reemplazo). Por lo tanto, (p q) r (p r) (q r). Podemos dar un argumento sin recurrir a la construcción de la tabla del modo siguiente: 14

Para la primera equivalencia, notamos que (p q) r es V, sólo si p q y r es V, lo que implica que r es V y que alguna de las proposiciones p y q es V, en consecuencia, alguna de la proposiones p r y q r es V, y por tanto (p r) (q r) es V. Recíprocamente, si (p r) (q r) es V, entonces alguna de las proposiciones p r y q r es V, en cualquier caso, r es V y alguna de las proposiciones p y q es V, y por tanto (p q) r es V. Así que (p q) r y (p r) (q r) tiene la misma tabla y por tanto son equivalentes. Análogo para la segunda equivalencia. Ley 12 (Neutro). Sea T una tautología y sea A un absurdo. Entonces p T p y p A p. (Ver también la proposición 14). Demostración. Solo haremos la primera tabla. (p T) p V V V V V F F V V F Para la segunda equivalencia, dado que A es una tautología, entonces según la primera de estas equivalencias que acabamos de mostrar en la tabla, p A p, de donde, p ( p) ( p A) ( p) ( A) p A (Involución) (Reemplazo) (De Morgan) (Involución y Reemplazo). Ley 13 (Contra-recíproco). p q q p. 15

Demostración. Comprobamos la equivalencia con una tabla, (p q) ( q p) V V V V F V V F V V F F V V F F F V F V V V F V V V F F V F V V F V V F Podemos proceder también como sigue: p q (p q) (Proposición 9) ( ( p) q) ( q ( p)) (Involución y Reemplazo) (Conmutatividad y Reemplazo) q p (Proposición 9). De aquí se siguen algunas consecuencias importantes. Proposición 18 (Adición de Hipótesis). Si q r es una tautología, entonces p q r es tautología, para cualquier proposición p. Demostración. p q r p (q r) p T (Exportación) (q r T con T tautología, reemplazo) T (proposición 14). También podemos proceder así: p q q es tautología (simplificación), así que por la proposición 5, p q r es tautología. Proposición 19. Sean q y r proposiciones tales que la proposición q r es tautología. Entonces, para cualquier proposición p, p q p q r. 16

Demostración. Primero notamos que (q r) es un absurdo. Por otro lado, ya vimos que (q r) (q r). Así que por Reemplazo e Involución, (q r) ( (q r)) q r. De modo que q r es un absurdo. Por tanto, de la Proposición 6, p (q r) es también absurdo. Tenemos entonces, p q (p q) (r r) [(p q) r] [(p q) r] [(p q) r] [p (q r)] (p q) r (pues r r es T, usamos Neutro) (Distributividad y Reemplazo) (Asociatividad y Reemplazo) (pues p (q r) es A, usamos Neutro). Si nos imaginamos las tablas (porque no nos gusta hacerlas), también podríamos dar el siguiente argumento mucho más simple: Si q es V, entonces r es V, y por tanto q r es V, así que p q debe tener la misma tabla que p (q r). Por otro lado, si q es F, entonces es obvio que p q p q r es V. Proposición 20. Sean q y r proposiciones tales que la proposición q r es tautología. Entonces, para cualquier proposición p, las proposiciones p q p r y p q p r son ambas tautologías. Demostración. De la proposición 19 y Simplificación, p q p q r p r, son tautologías. Así, p q p r es tautología. Para la segunda implicación procedemos así: Note primero que r q es tautología, según la hipótesis y por Contra-recíproco. De modo que, por la primera parte de la proposición, ( p r) ( p q) 17

es tautología. Nuevamente, por Contrarecíproco, es tautología. Pero ( p q) ( p r), p q ( p) ( q) ( p q). (Involución y Reemplazo) (De Morgan) y también p r ( p) ( r) ( p r). (Involución y Reemplazo) (De Morgan) Así que por Reemplazo, [ ( p q) ( p r)] [p q p r], y por tanto p q p r es tautología. El lector también puede dar argumentos simples para estos hechos. Proposición 21 (Sustracción de Hipótesis). Supongamos que p q r s y q r son tautologías. Entonces p q s es tautología. Demostración. Si q r es tautología, se sigue entonces de la proposición 19 y reemplazo, p q s p q r s. Por lo que p q s es tautología puesto que p q r s lo es. 18