LICENCIATURA EN ESTADÍSTICA Asignatura: Probabilidad Contenido: Variables Aleatorias Bidimensionales Curso 2005/2006 Hoja de Problemas 7 1. (Feb 98) Sean U, V y W variables aleatorias incorreladas y con idéntica varianza. Obtener el coeficiente de correlación entre X = U + V e Y = U + W. 2. (Sep 98) Sean X 1,X 2,...,X n variables aleatorias independientes con distribuciones geométricas de parámetros p 1,p 2,...,p n, respectivamente. Comprobar si Y n =min{x 1,X 2,...,X n } es también una variable aleatoria geométrica. Nota: La función de masa de la distribución geométrica de parámetro p es: P (X = k) =(1 p) k p, k =0, 1, 2,... 3. (Feb 99). Se lanza un dado repetidas veces. Cuál es la probabilidad de que aparezca el primer 5 antes que el primer 6? 4. (Sep 99). Tenemos 2N bolas numeradas del 1 al 2N. Se extraen k bolas con reemplazamiento. Obtener la distribución de la v.a. ξ, que representa el mayor de los números extraidos. Si el máximo pertenece a [1,N], una persona gana un número de unidades monetarias igual al valor del máximo; en caso contrario gana 2N max. Calcular la función de distribución de la v.a. η que representa la ganancia de dicha persona. 5. (Feb 00) Tras varios años, Rick e Ilsa se citan para tomar algo en el Rick s American Cafe. Pero ambos, quizás por temor, quizas por antiguos resentimientos o por mera impaciencia solo esperarán 15 minutos a la otra persona. Supongamos que la hora de llegada de cada uno son variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas entre 8p.m y 9p.m. Cuál es la probabilidad de que se encuentren en el Rick s American Cafe?.Sin embargo, la primera persona que llega, al oir la música de Sam y su Astimegoesby estará dispuesta a esperar lo que sea. Cuánto es el tiempo medio que tendrá que esperar la primera persona que llega hasta que llegue la segunda?. 6. (Feb 00) Sean X 1,X 2,...,X n variables independientes, cada una distribuida de acuerdo a una distribución de Bernoulli con parámetro π (i.e X 1,X 2,..., X n iid B(1,π)). Definamos S 0 =0y S n = X 1 + X 2 +... + X n si n 1. (a) Encontrar la distribución de S n para cualquier n 1. (b) Sea N distribuida de acuerdo a una Poisson con parámetro λ y asumir que N es independiente de X 1 + X 2 +... + X n. Encontrar la distribución de S N. 7. (Feb 00) Se considera el siguiente juego: Participar cuesta una cantidad fija c que se ha de pagar de antemano y el juego consiste en acertar el número de caras que se obtendrán al lanzar una moneda 10000 veces, llamemos S a esta variable aleatoria. Para adivinar el valor de S el jugador puede eligir 101 números naturales cualesquiera. Si S está entre ellos el jugador gana 10000 pesetas, si no está pierde la misma cantidad. Se pide: (a) Indicar cuál es la elección de números más recomendable para el apostante. (b) Calcular la probabilidad de ganar utilizando esos números (utilizar el teorema central del límite). (c) Se dice que un juego de apuestas es justo si la esperanza de ganancia para el jugador es cero. A partir de la probabilidad de ganar hallada en el apartado anterior, calcular el valor de c que hace que el juego sea justo. 8. (Sep 00) Determinar la esperanza y la varianza de la suma de 50 números aleatorios independientes si cada uno de ellos sigue una distribución uniforme en el intervalo (0,1). Qué distribución aproximada seguirá la suma?
9. (Feb 01)SeanX 1,X 2,... variables aleatorias i.i.d. con E [X k ]=µ y σ 2 = Var[X k ] <. Se definen las sumas parciales S n = P n i=1 X i, con S 0 =0. Sea N una variable aleatoria positiva, entera e independiente de las variables X i. Considerar la suma aleatoria S N = P N i=1 X i. (a) Demostrar que y, por tanto, (b) Demostrar que y concluir que, y (c) Utilizando la siguiente notación: demostrar que, E [S N N] =µn E [S N ]=µe [N] E S 2 N N = σ 2 N + µ 2 N 2 E SN 2 = σ 2 E [N]+µ 2 E N 2 Var[S N ]=σ 2 E [N]+µ 2 Var[N] ϕ X (t) =E e itx, t R γ X (z) =E z X, z (0, 1) E e its N N = ϕ X1 (t) N y establecer una expresión para ϕ SN (t). 10. (Feb 01) Demostrar que no existen variables aleatorias X, Y y Z tales que Corr(X, Y )=Corr (Y,Z) =Corr(Z, X) = 1. 11. (Feb 01) Considera una máquina que opera sin fallar durante un tiempo aleatorio X. Cuando falla se repara, lo cual requiere un tiempo aleatorio Y. Suponer que X e Y son independientes y exponencialmente distribuidas con parámetros λ y µ, respectivamente. Calcular la densidad de Z = X X+Y, que es la proporción de tiempo que la máquina permanece funcionando. 12. (Sep 01) Lanzamos tres dados y sean X 1,X 2 y X 3 los resultados del primero, segundo y tercer dado respectivamente. Si X = min (X 1,X 2,X 3 ) e Y =max(x 1,X 2,X 3 ), describir la distribución conjunta de (X, Y ). 13. (Sep 01) (a) Si Z 1,Z 2 son variables aleatorias independientes N (0, 1). cuál es la distribución conjunta de W 1 = (Z 1 + Z 2 ) / 2 y W 2 = (Z 1 Z 2 ) / 2?, Son W 1 y W 2 independientes? (b) Si X 1,X 2 son variables aleatorias independientes N(µ, σ 2 ), cuál es la distribución conjunta de W 1 = (Z 1 + Z 2 ) / 2 y W 2 = (Z 1 Z 2 ) / 2?, Son W 1 y W 2 independientes? 14. (Feb 02) Lanzamos n+1 veces un dado, calcular el número esperado de veces que el resultado de un lanzamiento es mayor que el resultado del lanzamiento anterior. 15. (Feb 02) Se desea hacer un pronóstico de una variable Y que sea función lineal de una variable observable X. Es decir, si observamos que X = x pronosticaremos para Y el valor a + bx. Si el criterio de bondad del pronóstico es hacer mínima la esperanza de los errores al cuadrado, E h(y a bx) 2i (a) Demuestra que con este criterio de optimización a y b tienen que ser, cov (X, Y ) a = E [Y ] E [X] V (X) b = cov (X, Y ) V (X) (b) Calcular a y b para el caso en el que (X, Y ) es una variable aleatoria con densidad, ½ 1 f (x, y) = 2 e x si x<y<x; x>0 0 en el resto.
16. (Feb 02) En una cadena de producción cada pieza, independientemente de la demás, es aceptable con probabilidad p o es defectuosa con probabilidad 1 p. La inspección consiste en sortear, cada vez e independientemente de los sorteos anteriores, si una pieza se somete al control de calidad o no. Si la probabilidad de que una pieza se controle es p 0. Hallar la distribución del número de piezas defectuosas producidas hasta que se detecta una pieza defectuosa. Calcular la función generatriz asociada a la variable anterior y su media. 17. (Feb 02) Sean X, Y variables aleatorias independientes distribuidas como N µ, 3σ 2 y N µ, σ 2, respectivamente. Contestar verdadero o falso y explicar por qué. (a) P (X Y )=P (Y X) (b) P (X µ +1)=P (Y µ +1) (c) P (X µ) =P (Y µ) (d) P ( X µ σ) =P ( Y µ <σ) 18. (Sep 02) A lanza una moneda hasta que obtiene la primera cara. Entonces, B lanza la moneda hasta que obtiene la primera cara. Hallar el número esperado de lanzamientos y la z-transformada asociada a la variable, número total de lanzamientos. 19. (Sep 02) Tomamos dos puntos al azar del intervalo (0, 1). Hallar la función de densidad del mayor de los valores obtenidos. 20. (Sep 02) Sean X e Y variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas. Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que Y? 21. Supongamos que X e Y tienen densidad conjunta f(x, y) =1para0 < x, y < 1. Encontrar P (XY z) 22. Supongamos que un punto (X, Y ) es elegido al azar del circulo x 2 +y 2 1. Encontrar la densidad marginal de X. 23. Supongamos que X, Y tienen función de densidad conjunta f(x, y). Son X e Y independientes si: f(x, y) =xe x(1+y) para x, y 1? f(x, y) =6xy 2 para x, y 0 y x + y 1? f(x, y) =2x + y cuando 0 <x<1 e 0 <y<1? f(x, y) =(x + y) 2 (x y) 2 cuando 0 <x<1 e 0 <y<1? En cada caso f(x, y) =0en otro caso. 24. Supongamos que X 1,..., X n son exponenciales (λ) independientes. Muestra que min{x 1,..X n } = exponencial(nλ) 25. Supongamos que X 1 y X 2 tienen función de densidad conjunta: f(x 1,x 2 )= λm+n+2 x m 1 x n 2 m!n! e λ(x1+x2) Encontrar la función de densidad conjunta de Y 1 = X 1 + X 2 y Y 2 = X 1 /(X 1 + X 2 ) y mostrar que Y 1 e Y 2 son independientes. 26. Supongamos X e Y son independientes y tienen función de distribución geométrica con parametro p. Encontrar la distribución de X + Y. 27. (Sep 00) Tenemos una linterna que usa dos pilas y una caja con 4 pilas nuevas. Cada pila tiene una duración que se distribuye según una exponencial(λ) de forma independiente. Calcular la distribución del número de horas T que podemos usar la linterna. 28. Supon que X = Poisson(λ) e Y = Poisson(µ) son independientes. Encontrar P(X = m/x + Y = n). 29. Supongamos que X e Y tienen función de densidad conjunta f(x, y) =6x cuando x, y > 0 y x + y<1. Encontrar la función de densidad marginal de X y la función de densidad marginal de Y cuando X = x. 30. Supon que X > 0. Es E(1/X) = 1/E(X)?. Muestra la prueba o un contra ejemplo. 31. Supongamos que X = poisson(λ) e Y = poisson(µ) son independientes, y sea Z = X + Y. Encontrar E(X/Z) y var(x/z). 32. Supongamos que X 1,...X n son independientes con E [X i ] = µ y var(x i )=σ 2. Encontrar la E(X 1 +.. + X n ) 2.
33. (Feb 98) Dada la variable bidimensional (X, Y ) con densidad: ½ k f(x, y) = 2 e ky si 0 <x<y, 0 en el resto (a) Hallar la probabilidad del suceso {(X, Y ) [0, 1] [0, 1]}. (b) Probar que X y Y X son independientes. (c) Hallar la esperanza condicionada de Y/X. 34. (Feb 98) La probabilidad de que un huevo de un determinado insecto de origen a un nuevo insecto es p. En una flor, el número de huevos puestos por estos insectos sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. (a) Calcular la distribución del número de insectos que nace en una flor. (b) Se ha observado una florysehavistoqueelnúmerodeinsectosque han nacido en ella ha sido n. Encontrar la distribuciń del número de huevos que había en esa flor. 35. (Feb 98) Sean X 1,...,X n,... v.a. independientes idénticamente distribuidas con función de densidad P n Sea X i=1 n = Xi n. f(x) =e x+θ I [θ, ] (x) (a) Estudiar la convergencia en probabilidad de X n. (b) Demostrar que min{x 1,...,X n } θ en probabilidad. (c) Obedece (X n ) n IN a la ley fuerte de los grandes números?. 36. (Sep 98) Sea (X, Y ) una variable aleatoria que se distribuye según una normal bidimensional. Comprobar que una condición necesaria y suficiente para que X +Y y X Y sean independientes es que V (X) =V (Y ). 37. (Feb 99) Dada la v.a. (X, Y ) con densidad f(x, y) =( 1 2 )e x si x<y<xyx>0 0enelresto. (a) Hallar las curvas de regresión. (b) Sean U = X + Y, V = X + Y. Son incorreladas?. Son independientes?. 38. (Feb 99) Supongamos que un aparato consiste en dos partes principales, una radio y un altavoz. El tiempo transcurrido hasta que falle la radio es exponencial de media 1000 horas, mientras que el tiempo transcurrido hasta que falle el altavoz es exponencial de media 500 horas. Ambos tiempos son independientes. Se pide, (a) Probabilidad de que la radio falle antes que el altavoz; (b) El tiempo medio transcurrido hasta que falle el aparato; (c) Si disponemos de una radio de repuesto y al fallar la primera la reemplazamos inmediatamente por la segunda, cuál es la probabilidad de que tengamos un funcionamiento continuado de radio superior a 2000 horas?. Nota: La función de densidad de una v.a. exponencial: f(x) =θe θx si x>0 39. (Feb 99) Sea (X, Y ) v.a. tal que X es discreta con distribución de Poisson de parámetros λ, e Y/X = x es normal de media x 2 2x y varianza σ 2. Calcular momentos de primer y segundo orden de la conjunta incluida la covarianza. Nota: La función generatriz de momentos de la Poisson es: M X (θ) =e λ(eθ 1). 40. (Feb 99) Estudiar la convergencia en probabilidad, casi seguro y en media cuadrática de la sucesión de variables aleatorias independientes {X n } n N definidas: 1 n con probabilidad 2 n X n = 0 con probabilidad 1 1 µ k Q Nota: Lim (1 1 k 2 n ) =0. n=1 n con probabilidad n 1 2 n
41. (Sep 99) Sea la variable aleatoria Y = X 2 + U, donde X es una variable aleatoria simétrica respecto al origen y las variables aleatorias X y U son independientes, continuas y tienen varianza finita mayor que cero. Cuáles de las siguientes opciones son correctas?. Razonar las respuestas. (a) X e Y son independientes. (b) X e Y son incorreladas. (c) U e Y son independientes. (d) U e Y son incorreladas. Nota: Obsérvese que si X es simétrica respecto al origen se verifica que E [X] =E X 3 =0. 42. (Sep 99) Sean X e Y v.a independientes y con la misma función de densidad, f(x) =e x si x>0 0 en el resto. Estudiar si son independientes las v.a U = X + Y y V = X (X+Y ). 43. (Sep 99) Sean {X n } n N una sucesión de variables aleatorias con distribución uniforme en el intervalo ( n, n). Converge en ley?. 44. (Sep 99) Un búho se encuentra en la copa de un árbol. A una cierta distancia se encuentran tres ratones que han de pasar cerca del árbol para entrar en su guarida. Si corren en grupo, la probabilidad de que cada uno seavistoporelbúhoesde0.2; en cuanto ve algún ratón, se lanza sobre el k (k+1) grupo, y la probabilidad de cazar es, siendo k el número que logró ver. Calcular la probabilidad de que todos los ratones consiguieran llegar a la guarida. Y si se sabe que el búho cazó Cuál es la probabilidad de que hubiese visto dos ratones exactamente?. 45. (Feb 03) Si X 1 y X 2 siguen una distribución normal bivariante con: E [X 1 X 2 ]=3.7 0.15X 2 Var[X 1 X 2 ]=0.91 E [X 2 X 1 ]=0.4 0.6X 2 Var[X 2 X 1 ]=3.64 Calcular la media y la varianza de X 1 y X 2. 46. (Sep 03) Un pequeño número de operarios supervisa una sala de telares. Cuando un telar deja de funcionar, a menos que algún operario esté desocupado (en cuyo caso será atendido inmediatamente) deberá esperar un tiempo, T. Un elemento de control colocado en cada telar registra los tiempos de espera para ser atendido. Del análisis estadístico de los datos surge que, para esa sala, el tiempo de espera es nulo con probabilidad 0.41 y, para los casos en que no es nulo, la distribución de T se aproxima suficientemente bien a una exponencial de media 10 minutos. Si un telar ha dejado de funcionar puede haber sido causado por rotura de un hilo, lo que conlleva, además, un tiempo de reparación constante de 0.7 minutos. O bien, puede haber sido una falsa parada, lo cual sucede un 10% de las veces, y no necesita reparación. Calcular: (a) Varianza de la distribución del tiempo que transcurre desde que un telar se detiene hasta que vuelve a funcionar. (b) Probabilidad de que un telar esté parado más de cinco minutos. (c) Calcular la misma probabilidad del apartado anterior para el caso en el que siempre hubiera que esperar para el arreglo de la máquina. 47. (Feb 04) Supongamos que (X, Y, Z) tiene distribución uniforme sobre {(x, y, z) :0<x<y<z<1}. (a) Dar la densidad conjunta de (X, Y, Z). (b) Dar la densidad conjunta de (X, Y ). (c) Dar la densidad de X. (d) Calcular E [Y X]. (e) Son independientes las variables? 48. (Sep 04) Un despacho tiene dos teléfonos. Durante un intervalo de tiempo dado, el número de llamadas que llegan a cada teléfono sigue una ley de Poisson de parámetros λ 1 y λ 2, respectivamente. Si el número de llamadas recibidas en un teléfono es independiente de las recibidas en el otro, hallar la probabilidad de que se reciba un total de k llamadas. Si se han recibido n llamadas en total, hallar la probabilidad de que se hallan recibido k llamadas por el primer teléfono. 49. (Sep 04) Sean A y B dossucesostalesquep (A) =1/4, P(B A) = 1/2 y P (A B) =1/2. Definamos las variables aleatorias X e Y de la siguiente forma. X =1ó 0 según que haya ocurrido o no el suceso A
e Y =1ó 0 según que haya ocurrido o no el suceso B (es decir, X e Y son los indicadores de A y B). Indicar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa: (a) X e Y son variables independientes. (b) P X 2 + Y 2 =1 = 1 4 (c) P XY = X 2 Y 2 =1 (d) La variable X está distribuida uniformemente en el intervalo [0, 1]. (e) Las variables X e Y están idénticamente distribuidas. (f) Dos sucesos A y B cualesquiera son independientes si y sólo si sus indicadores son variables independientes. 50. Si X es la suma de los puntos obtenidos al lanzar n veces un dado, hallar la media y la varianza de X. 51. Se lanza un dado hasta que aparecen dos resultados distintos. Hallar el número medio de lanzamientos que es preciso realizar. 52. (Feb 05) El jueves 27 de Enero, último día de clase de esta asignatura, estuvimos trabajando el concepto de covarianza y demostramos que dos variables independientes tienen covarianza cero... pero, os animé a que trabajarais en casa el recíproco de esta implicación, el cual no es cierto. Como podéis intuir, la primera pregunta del examen es obvia: encontrar algún contraejemplo para desmentir que covarianza nula implique independencia. 53. (Feb 05) Las variables aleatorias X y Y representan el largo y el ancho (en cm) de una hoja de acero. Si X y Y son independientes con funciones de densidad de probabilidad dadas por, ½ 1 99 <x<100. f X (x) = 0 para cualquier otro valor. ½ 1 49 <y<50. f Y (y) = 0 para cualquier otro valor. Obtener la varianza del área de la hoja de acero; es decir la varianza de XY.