Espacios vectoriales y bases

Capítulo 7 Espacios vectoriales y bases En los capítulos anteriores conocimos y trabajamos con conjuntos distinguidos, a saber, los números reales R, el plano R, el espacio R, en forma general para n N, el espacio R n, y para m, n N los espacios de las matrices de orden m por n con entradas reales, M m n (R). Vimos, que en estos conjuntos están definidas dos operaciones, la suma y la multiplicación por un escalar. Denotemos con V a cualquiera de los conjuntos R, R, R, R n y M m n (R). Para dos elementos cualesquiera pertenecientes a V, v y v, el elemento v + v V y denota su suma y, si λ R, denotamos λ v V el elemento que resulta de multiplicar el elemento v por el escalar λ. Además se satisfacen las siguientes propiedades:. Si v, v V, y λ R, entonces v + v V y λ v V.. Si v y v V, v + v = v + v.. Si v, v y v V, entonces (v + v ) + v = v + (v + v ).. Existe un único elemento en V que llamamos el cero de V, lo denotamos con V tal que v + V = v. 5. Para cada v V, existe un único elemento que llamamos v, tal que v + ( v ) = V

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES 6. Si λ R, y v, v V entonces, λ (v + v ) = λ v + λ v. 7. Si λ, µ R y v V entonces, (λ + µ) v = λ v + µ v. 8. Si λ, µ R y v V entonces, (λµ) v = λ(µ v ). 9. Para cualquier v V se tiene que v = v. Definición 7.: Espacio vectorial real Un espacio vectorial real es un conjunto V para el que están definidas dos operaciones, la suma de sus elementos y la multiplicación de un elemento de V por un escalar real, tal que se cumplen las propiedades a 9 listadas. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores. Ejemplo 7.. El siguiente conjunto es también espacio vectorial real. {[x, x ] R x x = } En cada espacio vectorial real, existen subconjuntos que por sus características también cumplen con las propiedades a 9 listadas, a ellos los llamamos subespacios. Definición 7.: Subespacio de un espacio vectorial real Si V es un espacio vectorial real, un subconjunto W V es un subespacio de V, si W es en sí mismo, un espacio vectorial real con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas para V. Ejemplo 7.. Ejemplos de subespacios son:. En el plano R, una recta cualquiera L que pasa por el origen.. En el espacio R, cualquier recta o plano que contenga al origen.

. Para cualquier espacio vectorial real V, son subespacios el propio V y el conjunto { V }, cuyo único elemento es el elemento neutro (el elemento cero), les llamamos el subespacio total y el subespacio trivial respectivamente.. Para M n n (R), n N, el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n, el subconjunto que consta de las matrices diagonales es un subespacio. 5. Para M n n (R), n N, el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n, el subconjunto que consta de las matrices triangulares superiores (inferiores) es un subespacio. Definición 7.: Subespacio generado Si V es un espacio vectorial real y {v, v, v,..., v s } es un conjunto de s elementos de V, s N, entonces el conjunto W V, que consta de todas las combinaciones posibles de estos elementos, W = {λ v + λ v + + λ s v s λ i R; i =,..., n} es un subespacio de V y se llama el subespacio generado por el conjunto de vectores v, v, v,..., v s. En efecto, verificaremos la propiedad. Observe que usaremos que cada elemento de W está en V y que en V se cumplen las propiedades a 9. Sean λ v +λ v + +λ s v s y µ v +µ v + +µ s v s dos combinaciones lineales, entonces (λ v + λ v + + λ s v s ) + (µ v + µ v + + µ s v s ) = (λ + µ)v + (λ + µ )v + + (λ s + µ s )v s. Por lo tanto la suma de dos combinaciones lineales es una combinación lineal y es un elemento de W. Si λ R y λ v + λ v + + λ s v s W, entonces λ(λ v + λ v + + λ s v s = (λλ )v + (λλ )v + + (λλ s )v s. Por lo tanto la multiplicación de un escalar por una combinación lineal es un elemento de W.

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES El resto de las propiedades se satisfacen ya que lo hacen en V. Observación 7.. Si V es un espacio vectorial real, y si W V, para determinar si W es un subespacio, basta verificar que se cumplen las siguientes propiedades: El elemento V W. Si w y w W, entonces w + w W. Si λ R y w W, λw W. Ejemplos de subespacios generados por un conjunto de vectores son: Ejemplo 7... En el espacio R : (a) El conjunto de todas las combinaciones lineales de un vector no nulo [a, b] t, describe la ecuación vectorial de una recta L generada por él. L es un subespacio de R. L = {[ x x ] R [ x x ] [ a = λ b ] } ; λ R. (b) El conjunto de todas las combinaciones lineales de dos vectores no colineales [a, b] t y [d, e] t, describe a todo R, el es un subespacio. R = {[ x x. En el espacio R : ] R [ x x ] [ a = λ b ] [ d + γ e ] } ; λ, γ R. (a) El conjunto de todas las combinaciones lineales de un vector no nulo [a, b, c] t, describe la ecuación vectorial de una recta L generada por él, L es un subespacio de R.

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES 5 L = x x x R x x x = λ a b c ; λ R. (b) El conjunto de todas las combinaciones lineales de dos vectores no colineales [a, b, c] t y [d, e, f] t, describe la ecuación vectorial del plano P generado por ellos y P es un subespacio de R. P = x x x R x x x = λ a b c + γ d e f ; λ, γ R. Ejemplos de subespacios generados por un conjunto de vectores de especial importancia son los siguientes. Ejemplo 7.. En el espacio M n (R), si A M m n (R) es tal que el sistema homogéneo AX = m, tiene infinidad de soluciones, su conjunto solución es el subespacio generado por el Sistema fundamental de soluciones, como vimos en el capítulo de Sistema de Ecuaciones Lineales. Ejemplo 7.5. Sea A una matriz de orden m s y b M m (R), consideremos el sistema AX = b. Si b es tal que el sistema es consistente, sabemos de lo visto en el capítulo 5 que b es una combinación lineal de las columnas de la matriz A. Si W es el espacio en M m (R) generado por las columnas de A entonces W consiste de las b M m (R) para los cuales el sistema Ax = b es consistente. Los dos ejemplos anteriores asocian a una matriz A M m n (R), dos subespacios, que llamamos espacios fundamentales de A. A ellos les dedicamos la siguiente sección de este capítulo. 7. Espacios fundamentales A una matriz A M m n (R) se le asocian los siguientes subespacios, se llaman: Espacio Nulo de A, se denota por EN(A).

6 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Espacio Columna de A o Rango de A, se denota por EC(A). Espacio Renglón de A, se denota por ER(A). Lo primero que haremos será comprender de cuales elementos constan y aprenderemos a dar una descripción explícita de cada uno de ellos. 7.. Espacio Nulo Sea A M m n (R). A = a a... a n a a... a n.... a m a m... a mn Definición 7.: Espacio Nulo Sea A M m n (R). El espacio nulo de la matriz A, EN(A), es el conjunto de vectores X M n (R), tal que: EN(A) = {X M n (R) AX = m }. Es decir, EN(A) es el conjunto solución del sistema homogéneo AX = m. Observación 7.. El espacio nulo de A constará de un solo vector, es decir, EN(A) = { n } cuando el sistema homogéneo asociado a la matriz A tenga solución única. El espacio nulo de A constará de una infinidad de vectores cuando el sistema homogéneo asociado a la matriz A, tenga infinidad de soluciones.

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES 7 La siguiente observación es consecuencia de la estructura del conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos en el capítulo, Sección.6.. Observación 7.. Si A M m n (R), EN(A) M n (R), es en efecto un subespacio de M n (R), ya que cumple con las propiedades: El vector X = n M n (R) siempre es solución del sistema homogéneo, puesto que A =. Si X y X EN(A), entonces X + X EN(A), puesto que si AX = n y AX = n entonces, A(X + X ) = AX + AX = n + n = n. Si λ R y X EN(A), A(λX) = λax = λ n = n, es decir, cualquier múltiplo escalar de una solución del sistema homogéneo es solución del sistema. Observación 7.. Dada una matriz A M m n (R), para describir precisamente EN(A) basta encontrar el conjunto solución del sistema homogéneo asociado a la matriz A, que es el conjunto de combinaciones lineales de los vectores que pertenecen a un sistema fundamental de soluciones. Ejemplo 7.6. Encontrar EN(A) para A =. Solución

8 EN(A) = CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES { [ x X = x ] M (R) AX = n }. Es decir [x, x ] t EN(A) significa que [ x x ] =. Recuperamos el sistema que representa, x + x = x = = por lo que x = x =. Obtenemos que EN(A) = { } = Ejemplo 7.7. Encontrar EN(A) cuando A = 5 {[ ]}. Solución Al resolver por el método de eliminación de Gauss-Jordan el sistema homogéneo inducido por A, AX =, llegamos a la matriz reducida 5 R = 5 Como R tiene dos pivotes y una variable parámetro, el sistema homogéneo tiene infinidad de soluciones: x = 5 x y x = 5 x. Haciendo x = t, el conjunto solución del sistema homogéneo asociado a la matriz A, es decir, EN(A) es:

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES 9 EN(A) = x x x 5 = t 5 t R En este ejemplo EN(A) { }, sus elementos son los vectores colineales al vector v = [ 5, 5, ]t, que también podemos ver como todas las combinaciones lineales que podemos formar con v. Observe que también EN(A) está generado por w = [,, 5] t. Ejemplo 7.8. Encontrar el espacio nulo de la matriz A para A = 8 Solución Resolvemos el sistema homogéneo AX =, aplicando las operaciones R R R, R R R y R R R tenemos que A es equivalente por filas a la matriz escalonada R = Esta matriz R tiene pivotes y dos variables parámetro. ecuaciones Ahora, las x + x + x + x = ; x + x = son equivalentes a las siguientes: x = x x x x = x, de donde, x = x x = ( x ) x x = x x x = x x

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Hacemos x = s y x = t tenemos que el espacio nulo de A, que es el conjunto solución del sistema AX =, se describe como: para todo s, t R. EN(A) = EN(A) = x x x x x x x x x x x x s t = t s t s t = t s + + t = s + t s, t R s, t R Observe que un sistema fundamental de soluciones para AX = es, (7.) Proposición 7.. EN(A) es el subespacio generado por los vectores del sistema fundamental de soluciones.

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES 7.. Espacio Columna Demos la definición de este espacio. Definición 7.5: Espacio Columna o Rango de una matriz Sea A M m n (R). El Espacio Columna de A o Rango de A, es el subespacio de M m (R) generado por las columnas de A, lo denotamos EC(A). EC(A) = {x Col (A) + + x n Col n (A); x, x,... x n R}. Si b M m (R) y b EC(A), entonces el sistema AX = b es consistente, ya que existen λ,..., λ n R con λ Col (A) + + λ n Col n (A) = b. Sea A M m n (R), A = a a... a n a a... a n.... a m a m... a mn y b = Conforme a la definición, un vector b EC(A), si es una combinación lineal de las columnas de A, es decir, existen x, x,... x n números reales tal que, b b. b m x a a. + x a a. + + x n a n a n. = b b. (7.) a m a m a mn b m Realizando la suma del lado izquierdo de (??) obtenemos el sistema de ecuaciones lineales, x a + x a + + x n a n = b x a + x a + + x n a n = b.. x a m + x a m + + x n a mn = b m

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Sea X = x x. x n, entonces este sistema es, AX = b. Obtenemos una segunda definición para el espacio columna, Definición 7.6: Segunda definición del Espacio Columna Sea A M m n (R). El Espacio Columna de A o Rango de A, EC(A) M m (R), es el conjunto. EC(A) = {b M m (R) existe X M n (R) para el cual AX = b} Los elementos de EC(A) son todos los vectores b M m (R) para los cuales el sistema AX = b es consistente. Observación 7.5. Para un vector b M m (R) cualquiera, se tiene que b EC(A) si y sólo si, el sistema AX = b es consistente. Observemos que cada vector columna, Col j (A) para j =..., n, pertenece a EC(A). Para mostrar esto, para cada j =,..., n sean e j M n (R) tal que. e j =, el vector que tiene en la j-ésima entrada y el resto de sus. entradas igual a cero, se tiene A e j = Col j (A).

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES Observación 7.6. Si A M m n (R), el Espacio Columna EC(A) es un subespacio de M m (R), ya que satisface las siguientes propiedades: El vector m M m (R) es un elemento de EC(A) ya que A n = m. Por lo tanto, m EC(A). Si b y b EC(A), entonces los sistemas AX = b y AX = b son consistentes. Así, el sistema AX = b + b es consistente puesto que existen X, X M n (R) tal que A(X + X ) = AX + AX = b + b. Si b EC(A), cualquier múltiplo escalar de b EC(A). En efecto, existe X M n (R) con AX = b, así, De donde, λb EC(A). AλX = λax = λb. Es importante poder describir geométricamente al espacio columna. Por ejemplo, si consideramos una matriz A de orden no nula, sabemos que EC(A) es el subespacio de M (R) generado por las columnas de A o el conjunto de vectores b M (R) para el cual el sistema es consistente. EC(A) puede ser una recta, un plano, o inclusive todo M (R). Veamos a través de los siguientes ejemplos como determinar lo anterior. Ejemplo 7.9. Encontrar EC(A) cuando A es la matriz del ejercicio??, A =. 5 Solución Para encontrar EC(A) vamos a utilizar la descripción que obtuvimos para EN(A). De lo realizado en el ejemplo??, sabemos que EN(A) { }, y que

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES EN(A) = X R X = x x x = t 5 5 ; t R Si X EN(A), tenemos AX =. Este sistema homogéneo lo podemos representar como la combinación lineal de las columnas de A siguiente, x 5 + x + x = Sustituimos los valores de cada componente de X, obtenemos: 5 t 5 + 5 t + t = (7.) La igualdad en (??) se cumple para cualquier valor de t R. Esto nos dice que podemos encontrar una combinación lineal de las columnas de A igualada al vector cero con al menos un coeficiente distinto de cero. Hacemos por ejemplo t =, tenemos la combinación lineal de los vectores columna de A: 5 5 5 + = De la última expresión, despejemos al vector Col (A) = = 5 5 + 5. (7.) Observe que Col (A) no es indispensable para describir EC(A) ya que por la definición de EC(A), EC(A) = a + b + c ; a, b, c R 5

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES 5 remplazamos al vector EC(A) = a 5 + b utilizando (??) + c 5 5 + 5 ; a, b, c R simplificando, hacemos d = a + c 5 y e = b + c obtenemos que 5 EC(A) = d + e ; d, e R 5 En este ejemplo, EN(A) tiene infinidad de soluciones y hemos encontrado una forma más sencilla de describir al espacio columna de A, EC(A). Lo hicimos dando el valor t = al único parámetro que aparece en la descripción del conjunto solución del sistema homogéneo AX =. Al hacerlo pudimos expresar la tercera columna de A en términos de la primera y la segunda columnas. Otra cuestión que observar, en el ejemplo??, la matriz escalonada que se obtuvo tiene los pivotes en la primera y la segunda columnas y en la tercera columna a la variable parámetro y, las columnas que generan a EC(A), son las mismas columnas en las que se encuentran los pivotes de la matriz escalonada obtenida al encontrar EN(A). Veamos otro ejemplo: Ejemplo 7.. Encontrar el espacio columna de la matriz A para A = 8 Solución Con lo hecho en el ejemplo anterior, sabemos que debemos encontrar EN(A) y con ello encontrar EC(A). En el ejemplo?? encontramos que

6 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES EN(A) = X M (R) ; Encontremos EC(A). x x x x = s + t ; s, t R Tenemos ya el conjunto solución del sistema homogéneo AX =, por lo que se cumple x + x + x 8 + x = sustituyendo los valores de cada x i, i =,,,. que encontramos en (??), obtenemos ( s t) + t + s Hagamos s = y t = en (??), obtenemos, + = 8 8 + t = (7.5) por lo que el vector en la tercera columna de A es múltiplo escalar del vector que está en la primera columna 8 = Hagamos s = y t = en (?? ), obtenemos + =

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES 7 por lo que el vector en la cuarta columna de A es una combinación lineal de los vectores que corresponden a las columnas primera y segunda de A, así = + EC(A) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores en las columnas de A, EC(A) = x + x + x 8 + x x, x, x, x R al reemplazar las expresiones de los vectores columna Col (A) y Col (A) nos queda: EC(A) = r + s r, s R En este ejemplo, EN(A) tiene infinidad de soluciones y hemos encontrado una forma más sencilla de describir al espacio columna de A, EC(A). Lo hicimos dando primero los valores t =, s = y luego los valores t =, s = a los dos parámetros que aparecieron en la descripción del conjunto solución del sistema homogéneo AX =. Al hacerlo, pudimos expresar la tercera columna de A en términos de la primera y, a la cuarta columna de A, en términos de la primera y la segunda columnas. Otra cuestión que observar es, en el ejemplo??, la matriz escalonada que se obtuvo al resolver el sistema homogéneotiene dos pivotes en la primera y la segunda columnas y en la tercera y cuarta columnas a las variables parámetro. Las columnas con las que se describe a EC(A), son las mismas columnas en las que se encuentran los pivotes de la matriz escalonada obtenida al encontrar EN(A). En los ejemplos anteriores se han descrito explícitamente los espacios nulos y los espacios columna de dos matrices. Permítanos insistir en lo siguiente: En el ejemplo?? y en el??

8 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES A = 5 EN(A) = {X R AX = } = X R X = t EC(A) = d 5 + e ; d, e R 5 5 ; t R El número de incógnitas en AX = es igual a, es igual al número de columnas de A. Hay infinidad de soluciones del sistema homogéneo, hay una variable parámetro y por lo tanto hay un solo vector que genera al espacio nulo. Al resolver el sistema AX =, el número de pivotes en la matriz escalonada R equivalente por filas a A, es, que es el número de vectores con el que describimos a EC(A), más precisamente, las columnas que utilizamos para describir a EC(A) son las columnas de A en donde se encuentran los pivotes de la matriz escalonada R equivalente por filas a A. En los ejemplos?? y?? A = 8 EN(A) = {X R ; AX = } = X R ; x x x x = s + t ; r, t R

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES 9 EC(A) = r + s ; r, s R El número de incógnitas en AX = es igual a. Hay infinidad de soluciones del sistema homogéneo, hay dos variables parámetro y por lo tanto hay dos vectores que generan al espacio nulo. Al resolver el sistema AX =, el número de pivotes en la matriz escalonada R equivalente a A es, que es el número de vectores con el que se describe EC(A). Las columnas que utilizamos para describir a EC(A) son las columnas de A en donde se encuentran los pivotes de la matriz escalonada R equivalente por filas a A. En los dos últimos ejemplos, encontramos que había infinidad de soluciones en el sistema homogéneo, en el caso general: Sea A M m n (R), tal que el sistema AX = m tiene infinidad de soluciones. Para encontrar EC(A) consideramos el espacio nulo de A: EN(A) = {X M n (R) ; AX = m }. Resolvemos el sistema homogéneo mediante el método de eliminación de Gauss (Gauss-Jordan). Llamamos R a la matriz escalonada (escalanoda reducida). Como hay infinidad de soluciones, hay s pivotes y n s variables parámetro en la matriz R y cualquier solución del sistema homogéneo está descrita mediante los parámetros. Escribimos el sistema AX = m, como combinación de las columnas de A. En esta combinación lineal, sustituimos cada una de las variables x i para i =,..., n, con el valor obtenido en términos de los parámetros. Para cada parámetro, le asignamos el valor igual a y al resto los

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES hacemos igual a cero. Obtendremos que n s vectores columnas de A, los que corresponden a las columnas de R en donde están las variables parámetro, quedan descritos en términos de los vectores columna de A que corresponden a las columnas de R en donde aparecen los s pivotes. Utilizamos las expresiones obtenidas para los n s vectores columnas y las sustituimos en la combinación lineal de la que partimos. Simplificamos reagrupando términos para describir EC(A), como el conjunto de combinaciones lineales de las columnas de la matriz A correspondientes a las columnas de la matriz R en donde se encuentran los pivotes. Proposición 7.. Sea A M m n (R), si el sistema AX = m tiene infinidad de soluciones, entonces, EC(A) está generado por los vectores columna de A, correspondientes a las columnas pivote de la matriz escalonada (escalonada reducida) R, que se obtiene al resolver el sistema AX = m, por alguno de los métodos de eliminación. Hemos podido describir a EC(A) cuando AX = m tiene infinidad de soluciones. Qué sucede si AX = m tiene una única solución? unos ejemplos: Veamos Ejemplo 7.. Encontrar EC(A) si A es la matriz del ejemplo??, A =. {[ ]} Solución Vimos que EN(A) = {X R ; AX = } =. Escibimos a AX = como combinación lineal de las columnas de A.

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES x + x = Como la única solución es x = y x =, tenemos que + =. y por lo tanto no podemos expresar uno de los vectores columna de A en términos del otro. Si la solución del sistema homogéneo es única, ninguno de los vectores columna de A es colineal al otro y los dos vectores columna se necesitan para describir a EC(A) : EC(A) = x + x ; x i R, i =,. Ahora, los vectores b que pertenecen a EC(A) son aquellos para los cuales el siguiente sistema tiene solución x + x = b x = b = b El sistema AX = b es consistente y tiene solución única si b =. Dado b = [b, b, ] t, la solución del sistema A[x, x, x ] t = [b, b, ] t, es: x = b b, x = b. En consecuencia, EC(A) = es el plano xy en R. Ejemplo 7.. Encontrar los espacios EC(A) y EN(A) cuando A = 5 Solución La matriz asociada A es equivalente por filas a la matriz R = 5.

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Observemos que R es equivalente a la matriz identidad de orden y por lo tanto A es invertible. Esto significa que cualquier sistema AX = b es consistente. Lo que equivale a que cualquier b R pertenece al espacio columna, es decir EC(A) = R. El método que utilizamos en los ejemplos?? y?? no nos es útil en este ejemplo. Si lo utilizamos nos produce una igualdad del tipo: + + 5 = de la que no podemos deducir algo. Tenemos que no podemos expresar una columna de A en términos de las otras y así: EC(A) = r + s + t 5, ; r, s, t R = R Observación 7.7. En los ejemplos?? y??, para cada una de las matrices dadas, se obtuvo que EN(A) es el espacio nulo y que EC(A) se construye con todas las combinaciones lineales posibles de los vectores columna de A en cada caso. En cada uno de los ejemplos el número de incógnitas del sistema homogéneo es igual al número de columnas pivote. La solución en el sistema homogéneo es única, hay cero variables parámetro. El número de pivotes en las matrices escalonadas es igual al número de columnas de cada matriz necesarias para describir EC(A).

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES Proposición 7.. Sea A M m n (R). Si el sistema AX = m tiene solución única, entonces la matriz escalonada R, obtenida al resolverlo por algún método de eliminación, tiene n pivotes y EC(A) está generado por todos los vectores columna de A, correspondientes a las columnas pivote de R. 7.. Espacio Renglón Empezamos con la definición: Definición 7.7: Espacio Renglón Sea A M m n (R). El espacio renglón de A, se denota ER(A), es el espacio generado por los vectores renglón de la matriz A, es decir, sus elementos son combinaciones lineales de los vectores renglón de A. ER(A) = {v M n (R) ; v = x R (A)+x R (A)+ +x m R m (A, ) para x, x,... x m R}. Llevamos a la matriz A a una matriz escalonada R mediante operaciones elementales de renglón. Sabemos que los renglones de R son resultado de combinaciones lineales de los renglones de A y recíprocamente, por lo que ER(A) = ER(R), Si t es el rango de R como matriz escalonada (R tiene t m renglones distintos de cero), cualquier combinación lineal: x R (A) + x R (A) + + x m R m (A), para x, x,... x m R puede expresarse como combinación lineal de los renglones distintos de cero de R, (la matriz A y R son equivalentes por filas): x R (R) + x R (R) + + x t R t (R), para x, x,... x t R De donde el espacio renglón está generado por los vectores renglón de la matriz escalonada R obtenida al escalonar la matriz A. Ejemplo 7..

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Encontrar el espacio renglón de la matriz B si B = 8. Solución Llevamos B a una forma escalonada R mediante las operaciones elementales: R R R, R R R, R R R, R R, R R R, R R. B = 8 R = ER(B) = {v M (R) ; v = x [,, ] + x [,, ]; x, x R}. ER(B) es un plano en R. Observación 7.8. En el ejemplo?? hemos encontrado ER(B). Observe que es un subespacio generado por los dos vectores renglón de la matriz escalonada R, donde se encuentran sus pivotes. Sabemos que EC(B) también está generado por dos vectores, los vectores en la primera y segunda columnas de B, que son los correspondientes a las columnas de R en donde se encuentran los pivotes. El espacio ER(B) M (R), mientras que, EC(B) M (R). Claramente son diferentes, sin embargo, concluimos que el número de vectores que requerimos para generar ER(B) es el mismo que el número de vectores para generar a EC(B) ya que ambos están determinados por el número de pivotes de la matriz R.

7.. ESPACIOS FUNDAMENTALES 5 Observación 7.9. Como sabemos que los vectores renglón de una matriz A, son los vectores columna de su matriz transpuesta A t, el espacio que genera el conjunto de vectores renglón de A, coincide con el espacio que genera el conjunto de los vectores columna de A t. Se tiene que: ER(A) = EC(A t ). Recordemos que en capítulos anteriores vimos que podemos ver los vectores en R n ya sea como vectores renglón o como vectores columna ya que tenemos las correspondencias biyectivas M (R) M n (R); R n M n (R) R n M n (R) x. x n X X t [x,, x n ] ; Los espacios M n (R) y M n (R) como espacios de matrices son diferentes, sin embargo con ellos hemos descrito al espacio R n. Ejemplo 7.. Verificar ER(B) = EC(B t ) para B la matriz en el ejemplo??. Solución La matriz B en?? es B = 8 Observamos que la matriz transpuesta de B, B t, es la matriz A del ejemplo??. Tenemos que B t = A. A = 8

6 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Tenemos que verificar ER(B) = EC(B t ) = EC(A). En?? encontramos EC(A), EC(A) = v M (R) ; v = r Por otro lado de?? obtuvimos, + s ; r, s R ER(B) = {v M (R) ; v = x [,, ] + x [,, ]; x, x R}, Interprtemos a ER(B) y a EC(A) como planos en R y calculemos el vector normal de cada uno de ellos. El vector normal de EC(A) es el vector [6,, ] = [,, ]. El vector normal de ER(B) es el vector [,, ]. Vemos que los vectores normales de los dos planos son colineales y los dos planos contienen al origen. La ecuación normal del plano ER(B) es x x + x =. La ecuación normal del plano EC(A) es 6x + x x =. Ambas ecuaciones representan el mismo plano En R, los espacios ER(B) = EC(B t ) = EC(A) son el mismo. 7. Bases En las secciones anteriores vimos que para determinar el espacio nulo, el espacio columna y el espacio renglón de una matriz A M m n (R), bastaba con encontrar para cada uno de ellos, un conjunto de vectores B que los generaran. En los ejemplos?? y?? vimos que para describir EC(A), no eran necesarios todos los vectores columna, que bastó con un subconjunto de ellos. En particular, en el ejemplo??, la matriz tiene tres columnas. A = 5

7.. BASES 7 Para determinar EC(A) solamente necesitamos la primera y la segunda columnas de la matriz A, ya que la tercera columna resultó ser combinación lineal de las otras dos. El conjunto B = 5,. es un conjunto mínimo de generadores para EC(A). Algo similar pasó en el ejemplo??, para la matriz A = 8 En este caso la matriz tiene cuatro columnas. Al determinar EC(A) solamente requerimos la primera y la segunda columna, ya que la tercera y la cuarta columnas son combinación lineal de la primera y de la segunda. En este caso el conjunto que encontramos fue B =,. Algo diferente sucedió en el ejemplo?? en donde la matriz A fue A = 5 Aquí la matriz tiene tres vectores columna y los tres fueron necesarios para describir EC(A) ya que no pudimos remplazar a ninguno de ellos y B =,,. 5 Por qué en unos casos al describir EC(A) se pueden omitir algunos vectores columna y en otros no es posible? La respuesta a esta pregunta está en el espacio EN(A). Es decir, en la naturaleza del conjunto solución del sistema homogéneo inducido por la matriz A, que puede tener infinidad de soluciones o tener solución única.

8 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Si el sistema homogéneo tiene infinidad de soluciones, hay variables parámetro, y estas nos permiten remplazar a ciertos vectores. Este fue el caso en los ejemplos?? y??. Si el sistema homogéneo tiene solución única, todas las variables corresponden a pivotes, no hay variables parámetro y no es posible remplazar a vector columna alguno. Este fue el caso en el ejemplo??. 7.. Independencia lineal y dependencia lineal Dada una matriz A M m n (R), queremos hacer explícitas las condiciones para determinar cuáles columnas de A son suficicentes para generar EC(A). Por los ejemplos anteriores sabemos que estas condiciones tienen relación con el espacio nulo de A. Definición 7.8: vectores linealmente independientes en M m (R) Dado un conjunto de s vectores {v, v,..., v s } M m (R). Definimos la matriz A M m s (R), tal que Col i (A) = v i donde i =,..., s. A = [v v v s ]. Decimos que {v, v,..., v s }, es un conjunto de vectores linealmente independiente si el sistema homogéneo AX = m tiene solución única, y por lo tanto la única solución es X = m. Definición 7.9: vectores linealmente dependientes en M m (R) Dado un conjunto de s vectores {v, v,..., v s } M m (R). Definimos la matriz A M m s (R), por Col i (A) = v i donde i =,..., s. A = [v v v s ]. Decimos que {v, v,..., v s }, es un conjunto de vectores linealmente dependiente si el sistema homogéneo AX = m tiene infinidad de soluciones.

7.. BASES 9 Ejemplo 7.5. Determinar si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente. S = 5,,. Solución Construimos la matriz A cuyas columnas son los vectores en S. A = 5 Observe que A es la matriz del ejemplo?? y en este ejemplo, encontramos que el conjunto solución del sistema homogéneo tiene infinidad de elementos. Concluimos que S es linealmente dependiente.. Proposición 7.. Dado un conjunto de s vectores {v, v,..., v s } M m (R). Este conjunto es linealmente dependiente si y solamente si al menos uno de ellos es combinación lineal de los restantes. Ejemplo 7.6. Determinar si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente. S =,, 5. Solución Como antes, construimos la matriz A, A = 5

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Observe que A es la matriz del ejemplo?? y en este ejemplo, encontramos que el sistema homogéneo tiene solución única. Concluimos que S es linealmente independiente. Ejemplo 7.7. Sea v M m (R) donde v es un vector no nulo. Entonces {v} siempre es linealmente independiente. v v v =. Solución Sea A = v v. v m v m, que es una matriz de orden m. Construimos el sistema homogéneo asociado a A. Sea x M (R), el sistema es Ax = v v. v m x = xv xv. xv m =. = m Esta igualdad obliga a que xv i = para toda i =,... m. Como para algún i, v i, pues v, entonces se debe tener que x =. Por lo que el sistema homogéneo tiene solución única, de donde, {v} es linealmente independiente. En resumen, para una matriz A M m n (R) : Si EN(A) { n }, los vectores columnas de A son linealmente dependientes. (Hay infinidad de soluciones para el sistema homogéneo.) Si EN(A) = { n }, los vectores columnas de A son linealmente

7.. BASES independientes. (Hay una única solución del sistema homogéneo.) La definición de independencia lineal para cualquier espacio vectorial real V es: Definición 7.: vectores linealmente independientes Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores {v, v,..., v s } V. Decimos que {v, v,..., v s }, es un conjunto de vectores linealmente independiente si dada una combinación lineal de los vectores con coeficientes reales que es igual al vector cero: x v + x v + + x s v s = V se tiene que x = x = = x s =. Esto es equivalente a que la única solución de la ecuación x v + x v + + x s v s = V es la trivial. Definición 7.: vectores linealmente dependientes Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores {v, v,..., v s } V. Decimos que {v, v,..., v s }, es un conjunto de vectores linealmente dependiente si no es linealmente independiente. Es decir, existe una combinación lineal de los vectores con coeficientes reales igual al vector cero, con al menos un coeficiente distinto de cero: Existe x v + x v + + x s v s = V, con al menos un x i. Ejemplo 7.8.

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES En cualquier espacio vectorial real V, un vector v V siempre es linealmente independiente. Solución Sea λ R, V v V. Supongamos que el linealmente dependiente, por lo que tenemos la combinación lineal λv = V, con el único coeficiente λ, multiplicamos por λ, obtenemos v = λ V = V. Lo que no es posible ya que el vector es no nulo por hipótesis. Ejemplo 7.9. Para la matriz dada, verifique que el sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo AX = es un conjunto linealmente independiente. 5 A = 5 Solución Reducimos a la matriz A mediante operaciones elementales para obtener la matriz reducida R. 6 5 7 6 6 R = 5 8 8 5 55 5 6 6 Hay tres variables pivote y tres variables parámetro. El conjunto solución consta de los vectores [x, x, x, x, x 5, x 6 ] t M 6 (R) tal que x x x x x 5 x 6 = r 6 6 + s 5 6 + t 7 r 8 s 5 8 r 5 6 s 55 6 t 5 r s t = r 6 6 8 5 6 + s 5 6 5 8 55 6 + t 7 5.

7.. BASES Recuerde que el sistema fundamental de soluciones es el conjunto de vectores con los que expresamos cualquier solución, consideremos cualquier combinación lineal de estos vectores igual al vector cero, r 6 6 8 5 6 + s 5 6 5 8 55 6 + t 7 5 = es lo mismo que r 6 6 + s 5 6 + t 7 r 8 s 5 8 r 5 6 s 55 6 t 5 r s t = Para que se dé la igualdad, necesariamente debe suceder que r = s = t =. Proposición 7.5. Sea A M m n (R) tal que EN(A) { n }, es decir, hay infinidad de soluciones para el sistema homogéneo. Entonces un sistema fundamental de soluciones siempre es un conjunto linealmente independiente. 7.. Conjuntos de generadores Abordaremos el problema siguiente: Dado un subespacio W de un espacio vectorial real V, queremos encontrar un conjunto de generadores para W. Es decir, queremos encontrar {v, v, v,..., v s } V tal que W = {λ v + λ v + + λ s v s ; λ i R; i =,..., s} Ejemplo 7..

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES En R, exprese al plano P como un subespacio generado por un conjunto de vectores. x P = x R ; x + x + x =. x Solución Para hacer lo que nos pide el ejemplo, basta encontrar una ecuación vectorial para P como lo hicimos en el capítulo. Tomemos los puntos O(,, ), P (,, ) y Q(,, ) en P. Sabemos que los vectores OP = y OQ = yacen en el plano P, su producto cruz es OP OQ = [,, 8] que es colineal a la normal de P. Una ecuación vectorial para el plano P está dada por P = x x x R ; x x x = s El plano P está generado por el conjunto:, + t ; s, t R. Observe que para un subespacio podemos encontrar muchos conjuntos de vectores diferentes que lo generan. Ejemplo 7.. Encontrar un conjunto diferente de generadores para el plano del ejemplo??

7.. BASES 5 Solución Tomemos ahora en el plano del ejemplo??, los puntos P (5,, ) Q(,, ) y R(,, ). Encontrando los vectores fijos equivalentes a P Q y P R, damos otra ecuación vectorial para P. P = x x x R ; 5 = s + t ; s, t R. x x x Por lo que el siguiente conjunto también genera al plano P. Ejemplo 7.. 5,. Encontrar un conjunto de generadores para EN(A) y EC(A) cuando A = 7 Solución Encontramos primero EN(A). LLevamos a la matriz a una forma reducida mediante las operaciones R R +R, R R R, R R R, R R + R. R = Recuperamos el sistema y obtenemos 5 EN(A) = x = 5x, x = x. x x x R ; x x x = t 5 ; t R

6 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES EN(A) está generado por v = 5. Observe que para cualquier λ, λv también genera a EN(A). Ahora encontremos un conjunto de generadores para EC(A). Sabemos que un conjunto de generadores para EC(A) es,,. 7 Nos proponemos dar otro conjunto de generadores con menos elementos puesto que al ser EN(A) los vectores columna forman un conjunto linealmente dependiente. Como conocemos EN(A) tenemos que y por lo tanto 5 5 + + 7 = = Concluimos que para generar a EC(A) nos basta el conjunto,. 7.. Bases de espacios En lo que hemos estudiado trabajamos con ejemplos de espacios vectoriales reales y algunos de sus subespacios. Una propiedad importante de cualquier espacio vectorial es que tienen conjuntos de generadores con un número mínimo de elementos, a los que llamaremos bases. Lo escribimos en plural puesto que mostraremos que no son únicas. 7

7.. BASES 7 Definición 7.: Base de un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores B = {v, v,..., v s } V. Decimos que B = {v, v,..., v s }, es una base para V si: El conjunto B = {v, v,..., v s } genera a V. El conjunto B = {v, v,..., v s } es linealmente independiente. Damos algunos ejemplos. Ejemplo 7.. Ejemplos de bases para V = R.. B = {[ Solución ] [, ]} es una base, se llama la base canónica. B genera a R y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuación [ x x ] [ = x ] + x [ ] tiene solución única para todo valor de x, x R, puesto que la matriz asociada es la identidad de orden, I.. B = {[ Solución ] [, ]} es una base. B genera a R y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuación [ x x ] [ = x ] + x [ ]

8 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES tiene solución única para todo valor de x, x R, puesto que la matriz asociada al sistema es [ ] cuyo determinante es 7 y es equivalente a I. Ejemplo 7.. Ejemplos de bases para V = R.. B = Solución,, es una base, se llama la base canónica. B genera a R y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuación x x x = x + x + x tiene solución única para todo valor de x, x, x R, puesto que la matriz asociada al sistema es la identidad de orden, I.. B =,, es una base. Solución B genera a R y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuación x x x = a + b + c tiene solución única para todo valor de x, x, x R, puesto que la matriz asociada al sistema es

7.. BASES 9 cuyo determinante es 6 y es equivalente a I. Ejemplo 7.5. Ejemplo de base para V = R n. B = {e, e,..., e n } los vectores definidos después de la observación?? es una base, se llama la base canónica. Solución B genera a R n y es un conjunto linealmente independiente, ya que la ecuación x. x n = x e + x e + + x n e n siempre tiene solución única para x,..., x n R, pues su matriz asociada es I n. Ejemplo 7.6. Ejemplos de bases para V = M (R).. Una base para V = M (R) es, B = {[ ] [, ] [, ] [ ]}. Solución [ ] x x B genera a M (R). Si M x x (R), debemos encontrar a, b, c, d R y una combinación lineal tal que [ x x x x ] [ = a ] [ + b ] [ + c ] [ + d ] que equivale a [ x x x x ] [ ] a b = c d

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES La igualdad entre las dos matrices se da, si en cada una de las entradas se da la igualdad, de donde, al resolver el sistema, obtenemos que tiene única solución: a = x, b = x, c = x, d = x. [ x x x x ] = x [ ] + x [ ] + x [ ] + x [ ]. B es linealmente independiente. Si tenemos una combinación lineal de elementos de B igualada al vector cero, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a + b + c + d = Como obtuvimos que la solución es única para cualquier x, x, x, x necesariamente a = b = c = d =.. Otra base para V = M (R) es, B = {[ Solución ] [, ] [, ] [ ]}. B genera a M (R) y es un conjunto linealmente independiente ya que la ecuación [ x x x x ] [ = a ] [ + b ] [ + c ] [ + d ] es lo mismo que [ x x x x ] [ a + b c d = c + d a b ] que es un sistema con incógnitas a, b, c y d cuya matriz asociada es

7.. BASES cuyo determinante es por lo que es equivalente a I. De donde la ecuación siempre es consistente y tiene solución única. En los ejemplos de bases que hemos presentado tenemos que la ecuación que nos permite verificar que un conjunto de vectores es una base, tiene como matriz asociada a una matriz cuadrada. Ejemplo 7.7. Consideremos en R el conjunto del ejemplo??. Veremos que S no es una base. Solución S = Consideramos la ecuación x x = a x cuya matriz asociada es 5, 5 + b, 5. + c cuyo determinante es igual a cero y por ende la ecuación no siempre es consistente, y cuando lo es, tiene infinidad de soluciones. Observe además que la matriz cuyas columnas son los vectores en S es tal que su espacio nulo es distinto de cero por lo que S es un conjunto linealmente dependiente y EC(A) no es todo R. Ejemplo 7.8. Consideremos en R el conjunto S =,, Veremos que S no es una base. Solución, 7.

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Consideramos la ecuación x x x = a + b cuya matriz asociada es A = 7 + c. + d Recordando lo estudiado en el capítulo, como el sistema inducido por la matriz A tiene ecuaciones y incógnitas, el sistema homogéneo tiene infinidad de soluciones. Por lo que el conjunto S es linealmente dependiente y no es una base. Sin embargo el conjunto S es un conjunto de generadores como veremos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 7.9. Para la matriz A = 7 Encontrar bases para los espacios ER(A), EN(A) y EC(A). Solución LLevamos a la matriz A mediante las operaciones elementales R R R, R R R, R R + R, R R + R R R R, R R, R R R a su forma reducida R. Tenemos R =... ER(A) Sabemos que ER(A) está generado por los renglones distintos de R, por lo que ER(A) = {[x, x, x, x ] M (R) ; [x, x, x, x ] = r[,,, ] + s[,,, ] + t[,,, ]; r, s, t R}.. EC(A) Sabemos que EC(A) está generado por los vectores columna de A correspondientes a las columnas de R donde están los pivotes de R. por lo que, 7

7.. BASES x x x EC(A) = = r + s x x x M (R) ; + t 7 ; r, s, t (R) Observe que nos basta para generar R las dos primeras y la cuarta columna de A. Esto prueba que las columnas de A es un conjunto de generadores para R.. EN(A) Para encontrar EN(A), recuperamos el sistema homogéneo inducido por R, x + x = x x = x = Este sistema tiene infinidad de soluciones, x es una variable parámetro, haciendo x = t, x = x x = x x = EN(A) = x x x x M (R) ; x x x x = t ; t (R) Observación 7.. De los ejemplos, se puede observar que para un espacio vectorial real V no nulo: Existen conjuntos de generadores diferentes y que además, el número de elementos en ellos puede variar. En algunas ocasiones se pudieron omitir algunos de sus elementos

CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES conservando la propiedad de que el conjunto obtenido siguiera siendo un conjunto de generadores. Cuando el conjunto de generadores es una base no puede reducirse el número de sus elementos si se quiere conservar la propiedad de que genere. En este sentido decimos que una base es un conjunto mínimo de generadores. Existen conjuntos de vectores que son linealmente independientes, con un número distinto de elementos, por ejemplo, un conjunto con un vector no nulo es siempre linealmente independiente. Dada una base, el número de vectores en ella no puede aumentarse sin perder la propiedad de ser linealmente independientes. En este sentido decimos que una base es un conjunto máximo linealmente independiente. Convención. La base para el espacio vectorial nulo, V = { V } es el conjunto. 7.. Dimensión de un espacio vectorial En todos los ejemplos vistos encontramos que el número de elementos de la base B dada es finito. Un teorema importante del álgebra lineal establece que, dado un espacio vectorial, siempre tiene una base y que el número de elementos de una base es un invariante. Cualesquiera bases dadas, como conjuntos, pueden ser diferentes, pero el número de los elementos en cada una de ellas, siempre es el mismo. Definición 7.: Dimensión de un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial real y sea B una base para V. La dimensión de V es el número de elementos en cualquier base y se denota por dim V.

7.. BASES 5 Si el número de elementos de la base B es finito, supongamos que B = n, con n N, decimos que el espacio vectorial V es de dimensión finita y escribimos dim V = n. Si el número de elementos de la base B es infinito, decimos que el espacio vectorial V es de dimensión infinita y escribimos dim V =. La dimensión del espacio vectorial nulo, V = { V } es igual a cero. dim { V } =. Observación. El lector se ha dado cuenta que en todos los casos en los que hemos trabajado, hemos considerado espacios vectoriales de dimensión finita. Ejemplo 7... La dimensión de R es igual a.. La dimensión de R es igual a.. La dimensión de R n es igual a n.. La dimensión de M (R) es igual a. 5. La dimensión de M (R) es igual a 9. 6. La dimensión de M m n (R) es igual a mn. 7. La dimensión de M n n (R) es igual a n. 8. En el ejemplo??, encontramos bases para cada uno de los espacios ER(A), EC(A) y EN(A), por lo que sus dimensiones son: dim ER(A) =, dim EC(A) = y dim EN(A) =. Para una matriz A M m n (R), el número de los elementos de la base de EN(A) y el número de los elementos de la base de EC(A) reciben un nombre.

6 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES Definición 7.: Nulidad de una matriz A M m n (R) Para una matriz A M m n (R), la nulidad de A es la dimensión del espacio EN(A). Definición 7.5: Rango de una matriz A M m n (R) Para una matriz A M m n (R), el rango de A es la dimensión del espacio EC(A). De la Observación??, en la sección 6.. sobre el espacio renglón de una matriz A y, de la definición de dimensión de un subespacio, tenemos que, dim EC(A) = dim ER(A). Teorema 7. (Teorema del rango o de la Dimensión). Para una matriz A M m n (R), se cumple que: dim EN(A) + dimec(a) = n nulidad A + rangoa = n. Observación. Para una matriz A M m n (R), consideramos el sistema AX = b. Para resolverlo por cualquiera de los métodos de eliminación llevamos a A a una matriz R que está escalonada (escalonada reducida) por filas. En el capítulo de sistemas de ecuaciones lineales, llamamos rango A al número de renglones distintos de cero en la matriz R, que son los renglones de R en donde aparecen las variables pivotes, eso es porque el número de pivotes de R nos da la dimensión de EC(A) como hemos visto. Por otro lado, el conjunto solución de del sistema homogéneo AX = n, que es EN(A) está generado por sus sistema fundamental de soluciones, el número de vectores en este conjunto, queda determinado

7.. BASES 7 por el número de variables parámetro, el cual como hemos visto nos da la dimensión de EN(A). Es por ello que rango de A +nulidad de A = número de variables pivote + número de variables parámetro = número de variables en el sistema. Es decir, el Teorema del Rango fue establecido informalmente en el capítulo. 7..5 Ejercicios. Verifique que R n es un espacio vectorial.. Determine si el conjunto W M (R) tal que W = {[x, x ] M (R) ; x x = } es un subespacio. Haga un dibujo de los elementos de W.. Determine si el conjunto W M (R) tal que W = {[x, x ] M (R) ; x x = } es un subespacio. Haga un dibujo de los elementos de W.. Determine si el conjunto W M (R) tal que W = {[x, x, x ] M (R) ; x + x + 5x = } es un subespacio. 5. Determine si el conjunto W M (R) tal que W = {[x, x, x ] M (R) ; x + x + X = 5} es un subespacio. 6. En el espacio de matrices M n n (R), determine si el conjunto W que consta de todas las matrices invertibles es un subespacio. 7. Compruebe que los siguientes conjuntos de vectores generan el mismo subespacio de M (R). S = {[,, ], [6,, ]} y T = {[,, 6], [6, 6,, 8]}. 8. Determine si el vector [, 6, 8] pertenece al subespacio generado por el conjunto S del ejercicio anterior. 9. Para cada uno de los siguientes conjuntos determine si es un conjunto linealmente independiente o linealmente dependiente. (a) S = {[,, ], [,, ], [,, ]}

8 CAPÍTULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES (b) T = {[,, ], [,, ], [,, 5]}.. Determine los valores de λ para los cuales el conjunto de vectores siguiente es linealmente independiente o linealmente dependiente. S = {[,, λ], [,, ], [, 6, ]}. Para cada una de las siguientes matrices. (a) (b) 5 (c). Para A = i. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generen a ER(A). ii. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generen a EC(A). iii. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generen a EN(A). iv. Determine una base para ER(A) y de su dimensión. v. Determine una base para EN(A) y de su dimensión. vi. Determine una base para EC(A) y de su dimensión. vii. Compruebe el Teorema del rango para la nulidad y el rango de la matriz A. [ ], sea W = {B M (R); BA = AB}. Muestre que W es un subespacio y encuentre una base para W.