UNIVERSIDAD NAIONAL EXERIMENTAL OLITENIA ANTONIO JOSÉ DE SURE VIERRETORADO BARQUISIMETO DEARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMIA ONTROL DE ROESOS QUÍMIOS rof: Ing. (MSc). Juan Enrique Rodríguez. Octubre, 03
Índice omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación Dieño de controladore por retroalimentación
ONTROL DE ROESOS QUÍMIOS omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación 3
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación ara un itema de egundo orden: La función de tranferencia para un proceo de egundo orden e: Y G M olocando eta expreión en la ecuación. Gp* Y G * Y recordando que para el problema D() = 0, tenemo A p Y Donde : A A A ζ *Y * * S * * A G G A *Y ζ A d d S * *D De lo anterior no damo cuenta de que la repueta a lazo cerrado de un itema de egundo 4 orden con control proporcional tiene la iguiente caracterítica:
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación Sigue iendo de egundo orden La ganancia etática diminuye. Tanto el periodo natural y el factor de amortiguamiento decrecen. Eto implica que un proceo obreamortiguado, con control proporcional y el valor apropiado de, puede llegar a er ubamortiguado (ocilatorio). onidere la poibilidad de un cambio en ecalón unidad en el punto de conigna [e decir, y Y S () = /]. entonce Y * A A A Dependiendo del valor de ζ A ara (ζ A > ) e obreamortiguada, o ara (ζ A = ) e críticamente amortiguado, o ara (ζ A <) e amortiguado Independientemente del valor particular de ζ, el valor máximo de y(t) etá dada por el teorema de valor final. Aí: * lim*y A 0 * En conecuencia, no damo cuenta de nuevo la preencia del offet: * offet * * 5
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación El aumento en la velocidad de la repueta del itema y la diminución en el offet, caracterítica amba muy deeable, a expena de obreimpulo elevado (errore máximo) y repueta ocilante. or lo tanto, como c aumenta, caua que ζ diminuya: Toda la caracterítica anteriore e ponen de manifieto en la figura. 6
7 omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación En eta ección repetimo un análii imilar al anterior, pero utilizando una integral en lugar de un controlador proporcional. Sin abrumar a la repetición de manipulacione algebraica, no limitaremo nuetra atención a lo itema de primer orden olamente. ara el problema conidere que, Y p () = / y D() = 0. Entonce: Efecto del control integral en la repueta de un proceo controlado ara un proceo de primer orden tenemo: y por una acción de control integral imple, Sutituyendo en la ecuación. G p p p G I *Y ζ Y o *Y * * Y S S I I I I * * ζ * * Donde
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación La acción de control integral olo e epera que haga que la repueta del itema de lazo cerrado ea má lenta. Examinemo el comportamiento dinámico del itema de circuito cerrado cuando e aplica un cambio el et point en un ecalón unitario. Aí, tenemo que: Y * ζ La forma de la repueta y(t) depende del valor de ζ [(obreamortiguado, críticamente amortiguado, o ubamortiguado), pero el valor final de la repueta e puede encontrar dede el teorema de valor final. lim *Y lim 0 0 Ademá offet 0 ζ Eto indica que el efecto má caracterítico de la acción integral e: Acción de control integral elimina cualquier offet. 8
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación Dede la iguiente ecuación, ζ * I * e oberva que a medida que aumenta c, el factor de amortiguamiento ζ diminuye. La conecuencia de la diminución de ζ on: (a) En general la repueta e mueve, de un lento obreamortiguado a má rápido, pero el comportamiento ocilatorio e amortiguado. (b) La repueta del obreimpulo y el índice de decaimiento en lazo cerrado ambo aumentan. or lo tanto, llegamo a la concluión de que podemo mejorar la repueta de la velocidad del lazo cerrado a expena de mayore deviacione y ocilacione má larga, como e puede ver en la figura. 9
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación Efecto de la acción de control derivativo ara una acción de control derivativo olo, tenemo: G * Suponiendo de nuevo por implicidad que G m = G f =, la repueta del lazo cerrado de un itema de primer orden con la acción de control de la derivada etá dada por: Y Y o D * * *D * *Y * *D * * *D * *Y * * La ecuación anterior, conduce a la iguiente obervacione obre lo efecto que tiene la acción de control derivativo obre la repueta de lazo cerrado de un itema: l. El control de la derivada no cambia el orden de la repueta.. Dede la ecuación anterior, etá claro que la contante de tiempo eficaz de la repueta a lazo cerrado e ( + p D ) e decir, mayor que. Eto ignifica que la repueta del proceo controlado e má lento de lo que e el proceo original de primer orden. D S S 0
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación Aumiendo de nuevo que G m = G f =, la repueta a lazo cerrado e: Y Y * * * D *Y * *D * * o *D * * * D *Y El periodo natural de la repueta de lazo cerrado igue iendo el mimo. La diminución en la velocidad de la repueta y el aumento de la amortiguación demotrar que: la acción de control derivativo produce un comportamiento má robuto para el proceo controlado. S S
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación Efecto de la accione de control compueto Aunque el control proporcional e puede uar olo, eto e cai nunca e el cao para la accione de control integral o derivada. En u lugar, controladore proporcional integral (I) y proporcional-integral-derivativo (ID) on lo controladore habituale que emplean. Efecto del control I La combinación de lo modo de control proporcional e integral conduce a lo iguiente efecto obre la repueta de un itema de circuito cerrado:. El orden de la repueta aumenta (efecto de modo integral).. El offet e elimina (efecto de modo integral). 3. A medida que aumenta, la repueta e vuelve má rápida [efecto de lo modo proporcional e integral] y má ocilatorio a lo cambio en el punto de conigna, e decir, el obreimpulo e incrementa la relación de decaimiento o aentamiento (efecto de modo integral). ara valore grande de c, la repueta e muy enible y puede conducir a la inetabilidad. 4. omo I, diminuye, para la contante, la repueta e má rápida pero má ocilatoria con alto obreimpulo y relación de decaimiento (efecto de modo integral).
omportamiento dinámico de lo proceo controlado por retroalimentación Efecto del control ID La combinación de lo tre modo de control conduce a una repueta de lazo cerrado que tiene en general la mima caracterítica dinámica cualitativa como la reultante del control I. Vamo ahora a decribir el beneficio principal introducido por la acción de control derivativa. Hemo vito que la preencia de un control integral e ralentiza la repueta de lazo cerrado de un proceo. ara aumentar la velocidad de la repueta de lazo cerrado, podemo aumentar el valor de la ganancia c del controlador. ero el aumento de uficiente c con el fin de tener velocidade aceptable, la repueta e hace má ocilatoria y puede conducir a la inetabilidad. La introducción del modo derivativo aporta un efecto etabilizador en el itema. En la figura reume el efecto de un controlador ID en la repueta de un proceo controlado. Oberve que aunque el aumento de, conduce a repueta má rápida, el obreimpulo e mantiene cai el mimo y el tiempo de etablecimiento e má corto. Ambo on reultado del control de la acción derivativa. 3
ONTROL DE ROESOS QUÍMIOS Dieño de controladore por retroalimentación 4
Dieño de controladore por retroalimentación En eta clae no enfrentamo a la iguiente do pregunta: ómo eleccionamo el tipo de controlador de retroalimentación (e decir,, I o ID), y cómo no ajutamo a lo parámetro del controlador eleccionado (e decir,, I, D ) con el fin de lograr una repueta "óptima" para el proceo controlado?. Eta do pregunta, aí como lo método que conducen a u reolución, e definirá a continuación: regunta : Qué tipo de controlador por retroalimentación e debe utilizar para controlar un determinado proceo? Dado que hemo decidido de alguna manera utilizar el control I, todavía tenemo que eleccionar el valor de la ganancia y el tiempo de repoición I. En la clae anteriore, e demotró muy claramente que eto do parámetro tienen un efecto importante en la repueta del proceo controlado. Aí, la egunda pregunta de dieño: regunta : ómo eleccionamo lo mejore valore para lo parámetro de ajute de un controlador de retroalimentación? Eto e conoce como el problema de optimización del controlador. (tuning) ara reponder a eta do pregunta de dieño tenemo que tener una medida cuantitativa con el fin de comparar la alternativa y eleccionar el mejor tipo de controlador y lo mejore valore de u parámetro. Aí, la tercera pregunta de dieño urge : 5
Dieño de controladore por retroalimentación regunta 3 : Qué criterio de deempeño debemo utilizar para la elección y el ajute del controlador? Hay una variedad de criterio de rendimiento que podríamo utilizar, tale como: Mantener la deviación máxima (error) lo má pequeño poible. Lograr tiempo de etabilización corto. Minimizar la integral de lo errore hata que el proceo e ha aentado a u punto de ajute. Etudiemo ahora la pregunta anteriore con má detalle y proporcionaremo la directrice iniciale para el dieño de un controlador de retroalimentación. Repueta de un itema al cambio de ecalón unitario con ningún control, y vario tipo de controladore de retroalimentación. 6
Dieño de controladore por retroalimentación riterio de funcionamiento imple Empezamo con lo criterio de deempeño ya que tenemo que etablecer alguna bae para la comparación de lo dieño alternativo del controlador, y porque u elección contituye la principal dificultad durante el dieño de un itema de retroalimentación. onideremo do diferente itema de control por retroalimentación produciendo do repueta a lazo cerrado que e muetran en la figura. La repueta A, ha alcanzado el nivel de operación deeada má rápidamente que la repueta B. Si el criterio para el dieño del controlador había ido, volver al nivel deeado de la operación tan pronto como ea poible, entonce, claramente, no gutaría eleccionar el controlador que da el lazo cerrado con la repueta A. ero, i nuetro criterio había ido, mantener lo má pequeña poible la máxima deviación o volver al nivel deeado de la operación y etar cerca de él en el menor tiempo, entonce, habríamo elegido el otro controlador. 7
Dieño de controladore por retroalimentación ara toda la aplicacione de control de proceo, e pueden ditinguir: riterio de funcionamiento en etado etacionario: El criterio principal para el rendimiento del etado etable e por lo general el error cero en el etado etacionario. riterio de rendimiento de la repueta dinámica: La evaluación del comportamiento dinámico de un itema de circuito cerrado e baa en do tipo de criterio comúnmente utilizado:. riterio que utilizan ólo en alguno punto de la repueta. Son má imple, pero ólo aproximado.. Lo criterio que utilizan en toda la repueta a lazo cerrado e de tiempo t = 0, hata t = muy grande. Eto on má precio pero también má engorroo para u uo. Lo criterio de rendimiento imple e baan en alguna caracterítica de la repueta a lazo cerrado de un itema. Lo má citado on: Sobreimpulo Tiempo de ubida Tiempo de etablecimiento Relación de aentamiento Frecuencia de ocilación de la repueta tranitoria 8
Dieño de controladore por retroalimentación or lo tanto podemo dieñar el controlador con el fin de tener obreimpulo mínimo, o tiempo mínimo de etablecimiento, y aí uceivamente. Hay que detacar, in embargo, que una caracterítica imple no bata para decribir la repueta dinámica deeada. or lo general, e neceario que má objetivo e cumplen (e decir, reducir al mínimo el exceo, minimizar el tiempo de etablecimiento, etc). De todo lo criterio de rendimiento anteriore, la relación de aentamiento ha ido el má popular. En concreto, la experiencia ha demotrado que una relación de aentamiento 0.5 A 4 e una compenación razonable entre un rápido tiempo de ubida y un razonable tiempo de etabilización. Ete criterio e conoce generalmente como el criterio de la relación de un cuarto aentamiento. Repueta de razón de aentamiento de un cuarto mediante el método de ganancia última Ete método, uno de lo primero, que también e conoce como método de circuito cerrado o ajute en línea, lo propuieron Ziegler y Nichol, en 94; conta de do pao, al igual que todo lo otro método de ajute: ao. Determinación de la caracterítica dinámica o peronalidad del circuito de control. 9
Dieño de controladore por retroalimentación ao. Etimación de lo parámetro de ajute del controlador con lo que e produce la repueta deeada para la caracterítica dinámica que e determinaron en el primer pao -en otra palabra, hacer coincidir la peronalidad del controlador con la de lo demá elemento del circuito. En ete método, lo parámetro mediante lo cuale e repreentan la caracterítica dinámica del proceo on: la ganancia última( U ) de un controlador proporcional, y el período último(t U ) de ocilación. ara la repueta que e deea del circuito cerrado, Ziegler y Nichol epecificaron una razón de aentamiento de un cuarto. La razón de aentamiento (diminución gradual) e la razón de amplitud entre do ocilacione uceiva; debe er independiente de la entrada al itema, y depender únicamente de la raíce de la ecuación caracterítica del circuito. En la figura, e muetran la repueta típica de razón de aentamiento. 0
Dieño de controladore por retroalimentación Una vez que e determinan la ganancia última y el período último, e utilizan la fórmula de la tabla iguiente, para calcular lo parámetro de ajute del controlador con lo cuale e producen repueta de la razón de aentamiento de un cuarto. Ganancia proporcional Tiempo de integración Tiempo de derivación Tipo de controlador I D roporcional U / --- --- roporcional-integral I U /, T U /, --- roporcional-integral- Derivativo ID U /,7 T U / T U /8 Determinación de la ganancia última de un controlador La ganancia del controlador a la que el circuito alcanza el umbral de inetabilidad e de gran importancia en el dieño de un circuito de control con retroalimentación. Eta ganancia máxima e conoce como ganancia última. Se determinará el criterio de etabilidad para itema dinámico y e exponen do método para calcular la ganancia última: la prueba de Routh y la ubtitución directa.
Dieño de controladore por retroalimentación
Dieño de controladore por retroalimentación riterio de etabilidad La repueta de un circuito de control a una cierta entrada e puede repreentar mediante: r,r,...,r n c t c r t rt rn t b e b e... b e término de entrada t n donde : elaalida del circuito o variable controlada on lo eigenvectore o racie de la ecuación caracteritica del circuito ara raíce reale: Si r < 0, entonce e rt 0 conforme t ara raíce compleja: r = σ + iω e rt = e σt (co ωt + i en ωt), Si σ < 0, entonce e σt (co ωt + i en ωt) 0 conforme t En otra palabra, para que el circuito de control con retroalimentación ea etable, toda la raíce de u ecuación caracterítica debe tener número reale negativo o número complejo con parte reale negativa. Si ahora e define el plano complejo como una gráfica de do dimenione, con el eje horizontal para la parte real de la raíce y el vertical para la parte imaginaria, e puede hacer el iguiente enunciado gráfico del criterio de etabilidad (ver figura) 3
Dieño de controladore por retroalimentación ara que el circuito de control con retroalimentación ea etable, toda la raíce de u ecuación caracterítica deben caer en la mitad izquierda del plano, que también e conoce como plano izquierdo. ) Método: rueba de Routh: La prueba de Routh e un procedimiento para determinar el número de raíce de un polinomio con parte real poitiva in neceidad de encontrar realmente la raíce por método iterativo. ueto que para que un itema ea etable e requiere que ninguna de la raíce de u ecuación caracterítica tenga parte real poitiva, la prueba de Routh e batante útil para determinar la etabilidad. 4
Dieño de controladore por retroalimentación La mecánica de la prueba de Routh e puede preentar como: dado un polinomio de grado n, a n,a n- a,...,a n n,a a 0 n- n-... a a 0 donde on lo coeficiente del polinomio, e debe determinar cuanta raice tienen parte real poitiva ara realizar la prueba, primero e debe preparar el iguiente arreglo: Fila a n a n- a n-4 a 0 Fila a n- a n-3 a n-5 a 0 0 Fila 3 b b b 3 0 0 Fila 4 c c c 3 0 0 Fila n d d 0 0 0 Fila n+ e 0 0 0 0 0 En el cual lo dato de la fila 3 a la n+, e calculan mediante: b c a b n *a *a n3 n a a b a n n n *a *b n3 b c a b n *a *a n5 n4 a a b a n n n *a *b n5 3 etc etc 5
Dieño de controladore por retroalimentación Y aí, uceivamente. El proceo e continúa hata que todo lo término nuevo ean cero. Una vez que e completa el arreglo, e puede determinar el número de raíce con parte real poitiva del polinomio, mediante el conteo de la cantidad de cambio de igno en la columna extrema izquierda del arreglo; en otra palabra, para que toda la raíce del polinomio etén en el plano izquierdo, todo lo término en la columna izquierda del arreglo deben tener el mimo igno. Ejemplo: Determinación de la última ganancia de un controlador de temperatura mediante la prueba de Routh: X() + Y() G H c G() - H() Solución: ) Determinar la ecuación de tranferencia con la retroalimentación, utilizando lo iguiente X() + - b a c H() G() Y() a X b b Y*H Y a *c*g 6
) Sutituyendo cada uno de eo término, y dejando la función expreado en X, Y, G y H, reulta: Y c*g F X c*g *H 3) Luego utituyendo la funcione de tranferencia decrita anteriormente, tenemo Y c* F X 3 c 4) Aplicando la prueba de Routh c+ 3* c 3 0 b 3 0 b *0 c 5) Se concluye ara que toda la raíce etén en el emiplano izquierdo de, por lo tanto el itema ea etable, entonce: c 0 c ara valore menore de -, el itema e inetable ara valore mayore de -, el itema e etable ara valore iguale a -, el itema e críticamente etable 7
Ejemplo: Determinación de la última ganancia de un controlador de temperatura mediante la prueba de Routh: G H H V *G *G *G 0 S 0,06 3 ; V donde G ; G S 0 50 30 Ahora e debe reordenar la ecuación en forma polinómica: 0 30 3 900 3 El iguiente pao e preparar el arreglo de Routh donde : 40 50*0,06* 43 0,80* 0 0 3 900 43 0 40 +0,80 0 760-70 40 0 0 0 (+0,80 ) 0 0 8
Dieño de controladore por retroalimentación b c Donde: a b n *a *a n3 n a n a b a n n *a *b n3 40* 43-900* 0,80 40 760-70 * 40 760-70 40 0,80 40 760-70 40 *0 0,80 ara que el circuito de control ea etable, todo lo término de la columna izquierda deben tener el mimo igno, poitivo en ete cao, y para eto e requiere que: En la fila : 760-70* 0 3,8 En la fila 0 : +0,80* 0 -,5 El límite uperior de la ganancia del controlador e la ganancia última que e buca: U = 3,8 %/% 9