. Imaginen un tubo hueco hoizontal de longitud L, con cagas positivas +Q y +Q en los extemos. Una bolita cuyo diámeto es igual al del tubo y con caga +Q, puede movese sin ozamiento po el inteio del tubo. a) Hallen la posición de equilibio de la bolita. b) Es el equilibio estable? Po qué? c) Seía estable el equilibio si no existiese el tubo? d) Si la caga de la bolita fuea negativa, seía posible enconta una posición de equilibio? Q Solución: a) L b) Si; c) No; d) Si, peo seía un equilibio inestable. Q + Q. Una caga puntual positiva q = -9 C está situada en el oigen de coodenadas y ota caga puntual negativa q = x -8 C, está situada sobe el eje de odenadas a m del oigen. Deteminen: a) La intensidad de los campos elécticos ceados po cada una de las cagas mencionadas, en el punto A de coodenadas (,,) m. b) Las componentes del campo total existente en A. Solución: a) E =.5N / C FUNDAMENTOS DE FÍSICA II PIME CUSO DEL GADO EN FÍSICA. CUSO 6/7 Tema : CAMPO ELÉCTICO, E = 36N/ C ; b) ( 9.94 i + 6. j )N/ C 3. Una baa de longitud L tiene una densidad de caga positiva y unifome, λ y una caga total Q. Calculen el campo eléctico en un punto P situado fuea de la baa y sobe su eje a una distancia d de un extemo. kq Solución: E = i d(l + d) 4. Calculen el campo eléctico ceado po el conducto de la figua en el punto O. La densidad lineal de caga es λ= n ϕ (C/m). Datos: = m, n=5 6 unidades del sistema intenacional. Kn π Solución: E = i + j O ϕ 5. Cuato cagas iguales de q = nc, se encuentan en los vétices de un cuadado de lado L = cm. Las cagas se van dejando en libetad una a una siguiendo el sentido de las agujas del eloj y de manea que se pemita que cada caga alcance su velocidad límite a una gan distancia del cuadado antes de libea la siguiente. a) Detemínese la enegía potencial del sistema de cagas en su configuación inicial. b) Detemínese la enegía cinética final de la pimea caga libeada. c) Detemínese la enegía cinética final de la segunda caga libeada. d) Detemínese la enegía cinética final de la tecea caga libeada. e) Detemínese la enegía cinética final de la cuata caga libeada. f) Compáese la suma de todas las enegías cinéticas anteioes con la enegía potencial de la configuación inicial. Solución: a) 4,88. -5 J; b),44. -5 J; c),54. -5 J; d) 9, -6 J; e) J; f) 4,88. -5 J 6. En la figua se muesta un dispositivo fomado po tes cotezas esféicas concénticas inicialmente descagadas. Los adios son, y 3 cm. Al conducto intemedio se le pactica un pequeño oificio a tavés del cual pasa un hilo metálico que conecta el conducto inteno con el exteno. Si al conducto intemedio se le coloca una caga Q = 4 μc, calculen: a) Potencial eléctico en cada una de las esfeas. b) Caga inducida en el conducto de adio. Solución: a) V( 3 )= V( )=. 5 V y V( )= 6,5. 5 V; b) q=- μc 3 =3 = =
7. (*) Examen (-): Dos placas paalelas sepaadas una distancia d = 5 cm están unifomemente cagadas con cagas iguales y de signo opuesto. Colgando de un hilo muy fino en el cento ente las placas se coloca un objeto pequeño de masa m = 5 g y con caga Q = 7 nc. Si el hilo que sostiene el objeto foma un ángulo de º con la vetical, calcula: a) densidad supeficial de caga en las placas, b) difeencia de potencial ente las placas y c) tensión T del hilo. Solución: a) σ=8 μc/m, b) V= 57.5 KV, c) T=.56 N 8. (*) Examen (-) : Una esfea maciza conductoa, de adio = 9 cm, se caga mediante una bateía de fem ξ= V. a) Qué caga adquiee la esfea y como se epate esa caga? Cuál es la densidad de caga? b) La esfea anteio se intoduce dento de una esfea metálica hueca descagada, de adio inteio = 8 cm y adio exteio 3 = 7 cm. Hay caga en alguna pate de la esfea hueca? Si es así Cuál es su valo? Cuál es la densidad de caga? c) Se conecta a tiea la esfea hueca (po su pate extena). Hay caga en alguna pate de la esfea hueca? Si es así Cuál es su valo? Cuál es la densidad de caga? d) Se desconecta la esfea hueca de tiea y se extae la esfea maciza de su inteio. Hay caga en alguna pate de la esfea hueca? Si es así Cuál es su valo? Cuál es la densidad de caga? Solución: a) Q=nC, unifome en la supeficie de la esfea de adio, σ=9,8 nc/m, b) Q=-nC en la supeficie inteio con σ=-,46 nc/m y Q=nC en la supeficie exteio con σ=,9 nc/m, c) Q=-nC en la supeficie inteio con σ=-,46 nc/m, d) Q=-nC en la supeficie exteio con σ=-,9 nc/m 9. Se tiene una coteza esféica metálica descagada de adios = cm y 3 = cm, unida a tiea. En su inteio se intoduce una esfea metálica cagada con -6 C y de adio = 6 cm. a) Calcúlese el campo en cualquie punto del espacio. b) Calcúlese el potencial en todos los puntos del espacio. c) epeséntese gáficamente ambas funciones. Solución: a) E = en <, << 3 y 3 ; Q u E() = k en ; b) 3 ( < 3 y 3 ): V=; ( < ): V V() Q Q = k k ; (< ) V() = 6. 4. Examen (Jun. -): Una esfea unifomemente cagada tiene un potencial de 45 V en su supeficie. A una distancia adial de cm de esta supeficie, el potencial es 5 V. a) Suponiendo que la esfea es conductoa, cuánto valen el adio de la esfea, la caga y el potencial en su cento y la caga total de la esfea? b) Si la esfea fuese dieléctica, de pemitividad la del vacío, y con la misma caga peo distibuida unifomemente en su inteio cuánto vale su adio y el potencial en su cento? Solución: a) =. m, Q cento =, Q total =Q supef = 5 nc, V cento= 45 V; b) =. m, V= 675 V. Calculen el campo eléctico ceado po un cilindo infinito de adio, cagado con una densidad de volumen ρ, a las distancias: a) > b) < c) Conocido el esultado anteio, con los datos que apaecen en a) y b) c) la figua, calculen el campo en cualquie punto P del inteio de P una cavidad cilíndica infinita de adio a pacticada en el cilindo a anteio a una distancia del cento de este último. ρ ρ ρ Solución: a), b) ; c)
. (*) Examen (-3): Considea una lámina infinita de espeso d que tiene una caga positiva ρ po unidad de volumen. a) Calcula el campo eléctico E en las difeentes egiones del espacio dento y fuea de la lámina. b) Calcula el potencial en todas las egiones. c) Dibuja de una foma cualitativa, en función de la distancia, y, al plano cental de la placa, el campo eléctico, el potencial. d) Una patícula de masa m y caga q (q > ) se encuenta a una distancia l (l > d) del plano cental de dicha lámina. Qué velocidad debemos impimi a la patícula paa que sea capaz de llega hasta la supeficie de la lámina? Nota: Tome oigen de potenciales en el plano cental de la lámina. ρ z Solución: a) (dento de la lámina): y ( j) d ρ (fuea de la lámina): d ( j), b) (dento de la lámina): ρ y x O y (fuea de la lámina): ρ d ρ d y +, ρ d m d) q ( l d ) / 3. (*) En un espacio vacío de m 3, ente las placas de un condensado plano paalelo, deseamos tene acumulada una enegía potencial electostática de J. a) Qué campo eléctico seá necesaio cea? b) Qué campo eléctico seá necesaio cea paa tene en el mismo volumen una densidad de enegía doble de la anteio? Solución: a).. 6 V/m; b) 3. 6 V/m 4. Un condensado plano tiene sus amaduas de 5 cm sepaadas 5 mm, ente ellas se establece una difeencia de potenciales V = V. Al intecala una lámina dieléctica la difeencia de potencial es solamente V= V. Se pide: a) Capacidad del condensado después de intoduci el dieléctico y su pemitividad elativa. b) La caga q i inducida sobe cada caa del dieléctico y el campo eléctico ente las láminas del condensado. Solución: a) C=77 pf, χ=; b) q i =8.85. -8 C, E=. 5 V/m 5. (*) Un condensado está fomado po dos discos metálicos plano paalelos de = cm de adio, colocados en el vacío a d = mm de distancia. a) Si se caga el condensado a V = 36 V, calculen el campo eléctico ente las amaduas, la caga de cada disco y la enegía total del condensado. b) Después de cagado se conecta con hilos conductoes uno de los discos con ota amadua de un condensado descagado de igual capacidad y el oto disco con la ota amadua del mismo. Cuánto vale la nueva difeencia de potencial V ente las amaduas y cuál es la enegía del conjunto de los dos condensadoes? Solución: a) E =.8. 6 V/m, q=± μc, U = 3.6. -3 J; b) V = 8 V, U =.8. -3 J
6. (*) Un condensado plano fomado po dos placas de supeficie S sepaadas po una distancia d se caga con una caga Q o conectándolo a una bateía de V o voltios. A continuación se desconecta de la bateía quedando, po lo tanto, aislado. a) Manteniendo el condensado aislado, se intoduce ahoa ente las placas del condensado y paalela a las mismas una plaquita metálica de espeso d (d < d). Calcúlese en estas condiciones la caga Q de las placas y la difeencia de potencial V ente las mismas. b) epita la opeación anteio peo intoduciendo ahoa una plaquita de dieléctico de pemitividad elativa y de iguales caacteísticas. Cuál seán ahoa los valoes de Q y V? d V Solución: a) V = V ; b) = V d d d d 7. Se tienen dos distibuciones planas e indefinidas de caga, la pimea densidad supeficial σ, situada en el plano x = -5, y la segunda densidad supeficial -σ, situada en l plano x = +3. Calcula: a) El campo eléctico en las tes egiones que se definen así: I (x < -5), II (-5< x< 3) y III ( x >3). b) La difeencia de potencial ente los puntos A (-7, 9, ) y B (8, -6, ). c) La enegía electostática almacenada dento de una esfea de adio, centada en el punto (-, -4, ). σ 3σ σ Solución: a) E I= i, E II= i, EIII = i ; b) 7 σ πσ σ ; c) y egión I egión II egión III x = -5 σ x= 3 x 8. Una esfea hueca con caga q y adio a está ecubieta con una capa dieléctica esféica de adio exteio b y pemitividad. El conjunto está inmeso en un medio de extensión infinita de pemitividad b, tal y como se muesta en la figua. Si los dos medios dielécticos son simples (homogéneos, lineales a e isótopos), calcula a) Los vectoes campo D, E y P en todo punto del espacio b) Las densidades supeficiales de caga de polaización y eal en = a, = b y = b c) Las cagas totales de polaización de ambas egiones dielécticas Solución: a) q D() u = en >a; D= en <a; q E ( ) = u 4π en >b; q E() = u en a<<b; E= en <a; 4π 4π o q P() = u en >b; o q P() = u en a<<b; P= en <a. 4π 4π b) q σ P = en =a ; q 4πa q σp = en =b; P 4πb 4πb σ = en =b; q σ = en =a; 4πa σ = en =b y =b; c) q total, = y q total, = (no se puede cea caga, el dieléctico sigue siendo neuto: en el existe + q i = q ). 9. (*) Examen (3-4): Un condensado de placas cuadadas paalelas de áea cm y sepaación ente placas d = 5 cm, está cagado con Q = 8.9x -7 C. Al coloca un mateial dieléctico que llena el espacio ente las placas, la intensidad del campo eléctico en su inteio es de.4x 6 V/m. Calcula: a) La pemitividad eléctica elativa del mateial. b) La densidad supeficial de caga inducida en cada una de las caas del mateial dieléctico. c) El campo eléctico ceado po las cagas inducidas en el dieléctico. d) La enegía eléctica almacenada en el condensado. Solución: a) 7.4; b) 7.6. -5 C/m ; c) 8.6. 6 V/m; d) 3.. - J
. (*) Un campo eléctico en el vacío tiene simetía esféica y su valo (componente adial), en unidades SI, viene dado po: 6 E = a paa a E = paa a Donde a = m. Se pide: a) La caga total enceada en el inteio de la esfea conductoa de adio a con cento en el oigen. Cómo explica el esultado? b) El potencial en el oigen de coodenadas si la supeficie esféica de adio a está a potencial nulo. c) La enegía eléctica almacenada en el inteio de la esfea de adio a. Solución: a) q enc = C; b) 8.8. +3 V; c) 6.7. -3 J. (*) Una esfea maciza de adio = cm tiene distibuida unifomemente en su volumen una caga Q = nc. Concéntica con ella hay una supeficie esféica de adio = cm con una caga Q también distibuida unifomemente sobe la supeficie. El esto del espacio está vacío. a) Calcula el campo electostático en todas las egiones del espacio. b) Calcula el potencial electostático en todo punto del espacio. c) Calcula la enegía electostática almacenada en el sistema. d) Cómo se modifica el valo del campo eléctico en la egión ente y si dicha egión se llena completamente con un mateial dieléctico de pemitividad elativa =? Solución: a) ( ): E = ; ( < < ): E()= 9/ - N/C; ( < ): E() = 9. 4 N/C; b) ( ): V() = V; ( < < ): V() = (9/ -45) V; ( < ): V() = (9-4,5. 4 ) V; c) 3.5 μj; d) / veces el que había en el vacío.. Dos esfeas conductoas muy pequeñas y de adios iguales se encuentan sepaadas 5 cm en un plano hoizontal y tienen una caga total de μc. Existe una fueza atactiva ente ellas de N. Calculen: a) La caga de cada una de ellas. b) El campo eléctico y el potencial eléctico en el cento de la línea que une las dos cagas. c) En un momento deteminado se ponen en contacto las dos esfeas, cómo quedaá distibuida la caga cuando vuelvan a sepaase 5 cm?; cuál seá la fueza ente ellas en esta última situación? Solución: a) q = 5 μc, q = -5. μc; b) 33. 6 V/m, 7,. 6 V; c) q =q = μc, 36 N 3. En cieta egión del espacio, el potencial eléctico viene dado po: V = 5x 3x y + yz (en unidades SI). a) Calcule las expesiones de las componentes x, y y z del campo eléctico en dicha egión. b) Cuál es el módulo del campo en el punto P de coodenadas (,, -) m? c) El punto P y el P, de coodenadas (,, -3) m, están unidos po un conducto ígido, po el que se puede move, sin ozamiento, una esfea pequeña de g, que tiene una caga q desconocida. Cuando se abandona en eposo dicha esfea en el punto P, se obseva que llega a P con una velocidad de 5 m/s. Cuál es el signo de la caga?, y su valo? No considee el campo gavitatoio. Solución: a) (6xy 5) i + (3x z ) j 4yzk ; b) 5 N/C; c) -.7. -3 C 4. (i) La intensidad de coiente en un hilo vaía con el tiempo, según la elación: Ι (t) = 3t + Donde Ι se mide en ampeios y t en segundos. a) Cuántos culombios pasan po una sección tansvesal del hilo en el intevalo compendido ente y 5 segundos? b) Cuál es la intensidad media duante el mismo intevalo de tiempo? Solución: a) 3 C; b) 33 A (ii) (Cuestión Examen (-3): Un alambe de cobe de m de lago y de adio.8 mm (sección.. -6 m ) posee.78. 4 potadoes de caga (un electón po cada átomo). En una instalación eléctica doméstica con este tipo de cable se ecomienda una coiente máxima de 5 A. Calcula: a) la velocidad de desplazamiento de los potadoes en este caso; b) la densidad de coiente en el alambe. Solución: a) 5.3. -4 m/s; b) 7.. 6 A/m
5. ealizamos un montaje que compende: una bateía, una esistencia y un ampeímeto; ente los bones de la bateía conectamos un voltímeto. Paa distintos valoes de la esistencia, hacemos las siguientes lectuas paa la coiente y paa la difeencia de potencial ente bones de la bateía: Ampeímeto (A) 4.7 3.5.5.45 Voltímeto (V) 5.3 6.45 7.85 8.6 a) Constuyan y estudien la cuva que epesenta la difeencia de potencial en función de la intensidad. b) Deduzcan la f.e.m de la bateía. c) Calculen la esistencia intena de la bateía. d) Montamos la anteio bateía en seie con un moto, un ampeímeto de esistencia despeciable y una esistencia = 5 Ω, que sumegimos en un caloímeto. Si impedimos que el moto gie (es deci, que desaolle una fueza contaelectomotiz), obsevamos que en 5 minutos la esistencia despende 44 cal; mientas que si pemitimos que el moto gie sólo se despenden 9 cal en el mismo tiempo. Calculen la f.c.e.m del moto. Solución: b) V; c) Ω; d) 5 V 6. (*) Una pila de de f.e.m ξ y esistencia intena i, se conecta a esta una esistencia vaiable exteio. a) Obtengan la potencia disipada po en función de su valo. b) Paa qué valo de se tansfeiá a ella la máxima potencia? ( ajuste de impedancia ) Solución: a) P = ; b) = i d a i + V 7. Dado el esquema de la figua, calculen la caga de cada C uno de los condensadoes, en el estado estacionaio. f e 3 C Datos: =4 Ω; =3 Ω; 3 = Ω; 4 = Ω; C =3 μf; C = μf; C 3 =.5 μf. Solución: Q = 8 μc; Q = 8 μc, Q 3 = 6 μc c b 8. Examen (Sep. 996-97): Dado el cicuito de la figua, tanto las bateías como el ampeímeto tienen esistencias intenas despeciables. a) Detemine la coiente que pasa po el ampeímeto y la que sale de la bateía de V b) Calcule la enegía suministada po la bateía de V en 3 s. c) Encuente el calo total disipado en dicho tiempo. d) Explica la difeencia en las espuestas de las pates b) y c). Solución: a) Ι A =4/3 A, Ι bat =/3 A; b) 3 J; c) 4 J; d) la difeencia es 8 J que es la enegía empleada en caga la bateía de V duante 3 s. 9. Examen (Pacial. 5-6): En el cento de una placa no conductoa de espeso d y de extensión infinita en las otas diecciones, existe un hueco esféico de adio a. Sobe la placa, excepto en el hueco esféico, se distibuye unifomemente una caga eléctica con densidad ρ (C/m3). Detemina: a) la intensidad de campo eléctico en el punto A situado a una distancia d/ del bode de la placa; y b) la intensidad de campo eléctico en el cento B de la esfea. 3 ρ d a Solución: a) Eneto = Eplaca, ρ + Eesfea, ρ = uy o d Vm - ; 3 ρ b) Eesfea = = 3 o (*) Os animamos a esolve aquéllos poblemas con asteisco que no se esuelvan en clase. Ω V C 3 4 Ω Ω V A + a B d z d/ x y A