MARICES Una matriz, es un arreglo de números en filas y columnas. a a a A a a a a a a fila a a a a a columna a Los números de la matriz se llaman elementos de la matriz, por ejemplo a representa el elemento dos-tres, es decir se encuentra en la fila y la columna a representa el elemento tres-tres, es decir se encuentra en la fila y la columna 0 Por ejemplo en la siguiente matriz tenemos: F 4 5 0 6 f elemento delasegunda fila y tercer columna f 0 elemento dela tercera fila y segundacolumna La dimensión de una matriz menciona primero el número de filas y después el número de columnas, así por ejemplo en la matriz anterior tenemos que su dimensión es de (tres por tres) ya que tiene filas y tres columnas. 8 6 La matriz 0 4, tiene como dimensión (dos por tres) ya que tiene dos filas y tres columnas. Ejercicio.- Realiza las siguientes operaciones tomando en cuenta la siguiente matriz 0 B 4 5 0 6 a) 5B 7B b) B 5B B 7 B d) B 8B c) 8
OPERACIONES CON MARICES 8 SUMA Y RESA Para sumar dos matrices, éstas deben de tener la misma dimensión. Consideremos las dos matrices A y B siguientes. 4 0 5 A B 6 0 8 7 6 4 0 5 A B 6 0 8 7 6 La forma de sumar o restar dos matrices consiste en realizar la suma o la resta de cada término de la primer matriz con su término de la segunda matriz colocado en la misma posición, o sea el término a con el término b, y así con todos los demás términos, observa lo siguiente. 4 0 5 4 A B 8 6 7 0 6 0 6 Para la resta tenemos análogamente: 4 0 5 AB 6 0 8 7 6 4 ( ) 0 5 7 6 AB 8 6 7 0 6 6 6 MULIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MARIZ Para multiplicar un escalar (número no matriz) por una matriz, se multiplica dicho escalar por todos y cada uno 0 5 de los elementos de la matriz, por ejemplo consideremos la matriz A y el escalar 5, entonces 5A 8 7 6 representa la multiplicación del escalar 5 con la matriz A. 0 5 5 0 5 5A 5 8 7 6 40 5 0 4 4 Ahora consideremos la matriz E 0, y el escalar, entonces tenemos 5 4 4 6 ( ) E 0 5 0 6 0
MULIPLICACIÓN DE MARIZ POR MARIZ Para multiplicar matrices éstas deben cumplir que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. A B una matriz de dimensión R x x A B una matriz de dimensión R x4 4x x Bueno, veamos un ejemplo del producto de una fila por una columna. Multipliquemos la matriz fila 4 4 x4 por la matriz columna 0 x 4 4x 5 4x 4 ()(4) (4)( ) 4 se suman 0 ()(0) 5 ( )(5) 4 resulta una matriz de dimensión Recuerda que el resultado es una matriz de x, es decir un número. Ahora, si tenemos dos matrices: 4 4 5 0 A y B 0 x x Al multiplicarlas se obtiene una matriz de x de la siguiente forma. 4 4 5 0 E E E AB 0 E E E x x x En donde 4 E 4 6 6 0 Primer columna de B Primer fila de A 5 E 4 0 E 0 4 0 9 9 x dimensión de la matriz resultante 8
E 4 0 4 0 4 84 E E 5 0 5 0 5 0 0 0 0 0 El resultado es entonces: AB 0 9 4 5 0 DEERMINANE DE UNA MARIZ DE Dada una matriz cuadrada, es decir con número de filas igual al número de columnas, su determinante se define de la siguiente manera. a a Si A entonces su determinante, denotado por det A es: a a Ejemplo.- Si tenemos a la matriz a a det( A) ( a )( a ) ( a )( a) a a 7 4 A, su determinante es: 5 Este signo de menos siempre se pone, es de formula 7 4 det( A) 4 0 6 5 0 4 5 Ejemplo.- Ejemplo. Si tenemos a la matriz B su determinante es: 4 7 5 det( B) 5 ( ) 47 4 7 DEERMINANE DE UNA MARIZ DE DIMENSIÓN Para el cálculo del determinante de un matriz de x, el procedimiento es parecido al de la matriz de x, en el sentido de MULIPLICAR cruzado primero de izquierda a derecha y después de derecha a izquierda, veamos un ejemplo práctico del cálculo de un determinante. 4 Si tenemos la matriz A 5 0 Su determinante queda: 0 6
4 5 0 det( A) 0 4 5 0 Ahora empecemos 6 4 5 0 det( A) 0 6 4 48 7 4 5 0 0+0+48=48 0+6+0= 4 Ejercicios Encuentra el determinante de las siguientes matrices. a) E 4 5 0 6 b) 6 R 4 4 4 8 Antes de empezar se repiten en la parte inferior, las primeras filas de la matriz. Siempre va, recuérdalo 85
86 RANSPUESA DE UNA MARIZ La transpuesta de una matriz A 5, es una matriz formada por las filas de A como columnas y por las columnas de A como filas, es decir: La primera fila de A, será la primera columna de la matriz transpuesta A 5 ranspuesta de la matriz A La segunda fila de A 5, será la segunda columna de la matriz transpuesta 5, y así sucesivamente. EJEMPLO.- Encuentra la matriz transpuesta de las siguientes matrices 7 a) E 0 5 0 E 7 5 b) 9 0 S 6 6 S 9 0 EJERCICIOS Encuentra matriz transpuesta de las matrices: 7 a) B 5 8 b) 0 D 7 c) E 4 0
MARIZ IDENIDAD La matriz identidad es una matriz con la propiedad de que al multiplicar cualquier matriz por la matriz identidad el resultado es la misma matriz. Por ejemplo consideremos la matriz; 0 E 7 5 Entonces la matriz identidad es: 0 I, ya que si multiplicamos a la matriz E por la identidad se tiene: 0 0 0 0 7 50 7 5 Como podrás observar hay diferentes matrices identidad, ya que depende de la dimensión de la matriz considerada para poder hablar de la matriz identidad, es decir si ahora tenemos una matriz de pasaría lo siguiente. A 4 5 0 La matriz identidad es: 0 0 Matriz identidad de dimensión es I 0 0 porque: 0 0 0 0 4 5 0 0 4 5 0 0 0 0 Finalmente podemos mencionar algunas matrices identidad que existen. 0 0 0 0 0 NOA: Una matriz identidad es una matriz 0 I 0 0 0 I 0 0 0,, I 4, etc. cuadrada (n x n) donde en su diagonal son 0 0 0 0 0 unos y ceros todos los demás elementos. 0 0 0 87
88 MARIZ INVERSA DE UNA MARIZ DE DIMENSIÓN a a Dada una A, su matriz inversa denotada por A, es una matriz con la propiedad de que al a a multiplicar una matriz con su matriz inversa el resultado es la matriz identidad de x, es decir: 0 AA 0 a a La inversa de una matriz de A, es una matriz formada de la siguiente manera a a a a det( A) det( A) NOA: La inversa de una matriz sólo A existe para las matrices cuadradas (n n) a a con determinante diferente de cero. det( A) det( A) 6 Ejemplo.- Encontrar la matriz inversa de la matriz A, y verificar que al multiplicar la inversa por la matriz resulta la matriz identidad. Primero encontramos el determinante de la matriz A. 6 (6)() ( )() 5 determinante diferente de cero, entonces A si tiene inversa Ahora, siguiendo la forma que debe tener la inversa, los elementos de la diagonal se intercambian a a a a a a a a ( ) a a a a y los elementos restantes sólo se les cambia el signo a a a a ( ) Finalmente todos los elementos se dividen por el determinante. a a det( A) det( A) a a det( A) det( A) En nuestro ejemplo queda: A 5 5 6 5 5 Para comprobar nuestro resultado multiplicamos a la matriz A por su inversa. 6 0 5 5 A A 6 0 5 5
Ejercicios Encuentra la matriz inversa de las siguientes matrices y comprueba tu resultado a) A 4 b) B 5 6 EJERCICIOS DE OPERACIONES CON MARICES.- En los siguientes problemas efectúa el cálculo indicado considerando a las matrices: 0 A 5, B 4, C 4 6, D 6 4 4, E 7 5 7, F 4 5 H 4 5 0 5 8 6, J 4 7 5 0, K 0 4, G 6 4 a) A b) A C c) 4A 6B d) 8E 4D e) J K 6 4 4 8 f) deth g) detf h) dete F i) D F j) B J k) m) DE F n) q) D r) G K A l) AB C H o) A D p) J K F s) D F.- Realiza el cálculo que se indica con las siguientes matrices: 0 0 0 A 4 5, B 0 5, C 0 0 7 6 0 0 4 a) AB C b) A B c) B C e) AB C f) i) B j) B C 4.- Considera las matrices A y B: A A C g) t) D E d) C B A h) k) l), 4 B encontrar: a) A B b) B A c) d) A 7B e) A 6B f) B A C 4, 89