Estadística 1 ESTADÍSTICA 09-10. Hoja 9 1. Para contrastar si una moneda está trucada o no, se lanza 12 veces. se concluye que no es correcta si se observan 0,1,11 ó 12 caras. a) Plantea el contraste de hipótesis y la región crítica, adecuadas al enunciado. b) Cuál es el nivel de significación del contraste? c) Determinar la potencia del contraste si la probabilidad de sacar cara en la moneda fuera de 0,6. 2. Se considera buena la edición de un libro si el número medio de erratas por página no supera el 0.1 (H 0 ). Dadas las pruebas de imprenta, se eligen 10 páginas al azar, y se rechazan las pruebas si se observan 2 o más erratas. Se supone que el número de erratas por página sigue una distribución de Poisson. Qué nivel de significación tiene el contraste? Con qué probabilidad aceptaremos un libro si realmente tiene una media de 0.2 erratas por página? H 0 : θ =2 3. Sea X una v. a. cuya distribución depende de un parámetro θ. Se desea realizar el contraste. H 1 : θ =1 Para ello se utiliza un estadístico T cuya distribución es exponencial de parámetro θ y se fija una región crítica: C = {(X 1,X 2,...,X n )/T (X 1,X 2,...,X n ) 1} a) Calcular α y β. b) Si el valor observado del estadístico es 2, qué decisión se tomaría? Razonar la respuesta. Calcular el p-valor de esta prueba. 4. Una compañía de productos para el consumidor está desarrollando un nuevo champú, y está interesada en la altura de la espuma (en mm). La altura de la espuma tiene una distribución normal con una desviación estándar de 20 mm. La compañía desea probar H o : μ 175 contra H 1 : μ>175, utilizando los resultados obtenidos con n =10muestras. a) Encuentra la probabilidad α de error tipo I si la región crítica es x > 185. b) Cuál es la probabilidad del error de tipo II si la verdadera altura promedio de la espuma es 195 mm? c) Si la media muestral es x = 190, aqué conclusión puede llegarse? cuál es la probabilidad de observar un promedio muestral tan grande o mayor que 190 mm si la verdadera altura promedio es de 175 mm? (p-valor).
Estadística 2 5. Un fabricante está interesado en el voltaje de salida de una fuente de alimentación utilizada en un ordenador personal. Se supone que el voltaje de salida tiene una distribución normal con desviación estándar 0.25 V. El fabricante desea probar H 0 : μ =5V contra H 1 : μ 5V, utilizando para ello n =8unidades. a) Encuentra el valor de α que corresponde a la región de aceptación: 4.85 x 5.15. b) Calcula la potencia que tiene la prueba para detectar un voltaje de salida promedio de 5.1 V. c) Cuál debe ser la región crítica si el fabricante desea que la probabilidad de error tipo I sea α =0.05? 6. Se sabe que la duración, en horas, de un foco de 75 watts tiene una distribución normal con una desviación estándar de σ =25horas. Se toma una m.a.s. de 20 focos, la cual resulta tener una duración promedio de x = 986 horas. a) Existe evidencia que apoye la afirmación de que la duración promedio del foco es menor de 1000 horas? Utilice α =0.05. b) Cuál es el p-valor para la prueba anterior? c) Cuál es el valor de β para la prueba del apartado (a) si la verdadera duración promedio del foco es 975 horas? 7. Se ha realizado un estudio para comparar el nivel de colesterol entre hombres y mujeres. Para ello se seleccionan dos muestras, una de 61 hombres y otra de 49 mujeres. La media de la primera muestra resultó ser de 167.16 mg/dl y la cuasi-desviación típica 30mg/dl. Para la muestra de mujeres los valores respectivos fueron 178.12 mg/dl y 32 mg/dl. Se supone que el nivel de colesterol, tanto en hombres como en mujeres, sigue una distribución normal. a) Obtener un intervalo de confianza al nivel 0.05 para el cociente de las varianzas. b) Hay suficiente evidencia estadística para afirmar, al nivel 0.05, que el nivel medio de colesterol es más alto en las mujeres que en los hombres? 8. Para el conjunto de todos los cigarrillos comercializados actualmente, el contenido medio de nicotina por cigarrillo es mayor o igual que 1.5 mg. Una compañía de tabaco mantiene que ha descubierto una nueva técnica de curación de las hojas de tabaco que hace que el contenido medio de nicotina por cigarrillo sea menor que 1.5 mg. Para contrastar esta afirmación se analizó una muestra de 20 cigarrillos producidos con hojas curadas con esta nueva técnica; a) qué conclusión podría sacarse, al nivel de significación del 5 %, si el contenido medio de nicotina para estos 20 cigarrillos resultó ser de 1.32 mg. con una desviación típica de 0.75 mg.?
Estadística 3 b) Hasta el momento actual, además, la desviación típica del contenido de nicotina se ha probado que es 0.7. Los datos recogidos para estos 20 cigarrillos corroboran este valor? c) La compañía sigue, a pesar de todo, convencida de la verdad de su afirmación y en su empeño por probarlo, decide duplicar el tamaño de la muestra recogida y volver a repetir el estudio. Si aceptamos que σ=0.7, cuál sería el p-valor de la nueva prueba si la media muestral se mantiene en 1.32 mg.? 9. Un banco compara las cuentas corrientes de dos sucursales A y B. Para ello selecciona 41 y 61 clientes al azar en A y B respectivamente y observa que el saldo medio de las cuentas es de 2030 euros con una desviación típica de 400 euros en A y de 1830 euros con una desviación típica de 300 euros en B. Supongamos que el saldo medio en una cuenta corriente sigue una distribución normal. a) Construir un intervalo de confianza para el cociente de las varianzas de los saldos de las cuentas corrientes de las dos sucursales a nivel α =0.02. b) Se puede afirmar que el saldo medio en A y en B es diferente? Calcular el p-valor y decidir a nivel α =0.02. c) Entre qué dos valores se puede situar el saldo medio de las cuentas de A con una confianza del 90 %? Puede admitirse que el saldo medio de las cuentas de A sea de 2000 euros?. d) Uno de los objetivos del banco es que al menos el 20 % de los nuevos clientes contraten una tarjeta de crédito. En la sucursal B se sabe que de los últimos 36 nuevos clientes, 6 contrataron tarjeta, se puede probar que en esa sucursal no se cumplen los objetivos al nivel α =0.05? 10. Se efectuó un estudio para determinar la diferencia de salarios entre Ingenieros Técnicos que trabajan en centros públicos e Ingenieros Técnicos que trabajan en centros privados. Una muestra de 19 ingenieros de centros públicos mostró en 9 meses de trabajo un salario medio de 3014 euros con una desviación de 84 euros; mientras que una muestra de 13 ingenieros de centros privados mostró en 9 meses un salario medio de 3160 euros y una desviación de 78 euros. Se supone que las distribuciones de los salarios son normales. a) Construir un intervalo de confianza para el cociente de las varianzas de los salarios con un nivel de confianza 1 α =0.99. b) Contrastar con evidencia estadística, a nivel α =0.01, la hipótesis de que el salario medio de los ingenieros de centros privados excede al de centros públicos en más de 75 euros. Calcular el p-valor. c) Entre qué dos valores se puede situar la varianza del salario de los ingenieros que trabajan en centros públicos, con una confianza del 90 %? Puede admitirse que la desviación típica del salario de estos ingenieros es de 90 euros?
Estadística 4 11. Una empresa supone que una llamada telefónica logra acelerar más que una carta el cobro de cuentas morosas. Dos grupos de morosos fueron contactados por sendos métodos y se registró el tiempo transcurrido (en días) entre el envío de la carta o la llamada telefónica y la recepción del pago. Carta 10 8 9 11 11 14 10 Teléfono 7 4 5 4 8 6 9 Suponiendo que el tiempo trascurrido sigue una distribución normal, a) Construye un intervalo de confianza para el cociente de varianzas con α =0,02 b) Se puede suponer que las varianzas son iguales? Razonar la respuesta. c) Se puede demostrar estadísticamente la suposición de la empresa a nivel α =0.02? Calcular el p-valor del contraste. 12. Se recogen 15 medidas del tiempo (en segundos) de aceleración de 0 a 100Km/h de un vehículo y se obtienen los siguientes datos: 10,9 9,63 6,5 11,06 11,39 9,76 12,52 7,68 9,25 12,40 9,84 10,45 7,67 8,77 9,63 Suponiendo que el tiempo de aceleración sigue una distribución normal, a) Obtener un intervalo de confianza del 95 %, para el tiempo medio de aceleración del vehículo. b) Se puede afirmar que el tiempo medio de aceleración del vehículo es de 10 segundos? c) Si la varianza poblacional coincide con la varianza de la muestra obtenida, y queremos estimar la media con un error menor que 0.75 al nivel del 95 % qué tamaño de muestra se debería tomar? d) El fabricante afirma que la variabilidad en los tiempos de aceleración es menor que 3.15 seg. se puede demostrar estadísticamente esta afirmación? Plantea y resuelve el contraste adecuado a nivel α = 0.01. e) Calcular el p-valor del contraste anterior. 13. En la EUP se tiene la sensación de que existen diferencias en cuanto al número de créditos que aprueban los alumnos por curso, en término medio, y de que este número depende de la titulación. Se ha realizado un estudio para comparar estos valores en las titulacones de Mecánica y Química. Para ello se han encuestado a 19 alumnos de la espaecialidad de Mecánica, respecto del número de créditos superados el año anterior, obteniéndose una media de 60.28 créditos, con una desviación estándar de 1.68 créditos y a 13 alumnos de la especialidad de Química, obteniéndose una media de 63.2 créditos con desviación 1.56. Se supone que en ambas especialidades, el número de créditos superado por curso sigue una distribución normal.
Estadística 5 a) Construir un intervalo de confianza para el cociente de varianzas de los salarios con un nivel de confianza 1 α =0.99. b) Contrastar con evidencia estadstica, a nivel α =0.01, la hipótesis de que el número medio de créditos superado por curso por los alumnos de la especialidad de Química supera en 0.2 al de los alumnos de la especialidad de Mecánica.. Calcula el p-valor. c) Entre qué dos valores se puede situar la varianza del número de créditos superado por los alumnos de la especialidad de Mecánica, con una confianza del 90 %? Puede admitirse que la desviación típica del número de créditos superados de estos alumbnos es de 1.8? 14. El espesor (en mils) de la película de plástico que recubre un sustrato sigue una distribución normal y se cree que está influenciado por la temperatura con la que se aplica el recubrimiento. Se recubren 12 sustratos a una temperatura de 125 o F lo que da como resultado un espesor promedio del recubrimiento de x 1 =103.5 y una cuasidesviación estándar de ŝ 1 =10.2. Se recubren otros 15 sustratos, independientes a los anteriores, a 150 o F y se tiene que x 2 =99.7 y ŝ 2 =9.4. Inicialmente se sospechaba que el aumento en la temperatura del proceso reducía el espesor promedio del recubrimiento. Los datos demuestran estadísticamente esta afirmación?. Calcula el p-valor de la prueba que utilices. 15. Un artículo publicado en el Journal of Strain Analysis compara varios métodos para predecir la resistencia al corte de vigas de placa de acero. La siguiente tabla presenta los datos para dos de estos métodos (los procedimientos de Karlsruhe y de Lehigh) cuando se aplican a nueve vigas específicas. Viga Karlsruhe Lehigh S1/1 1.186 1.061 S2/1 1.151 0.992 S3/1 1.322 1.063 S4/1 1.339 1.062 S5/1 1.200 1.065 S2/1 1.402 1.178 S2/1 1.365 1.037 S2/1 1.537 1.086 S2/1 1.559 1.052 Plantea y resuelve una prueba para determinar si existe alguna diferencia (en promedio) entre estos dos métodos. Qué hipótesis distribucionales has supuesto para la resolución del contraste? 16. Se mide el porcentaje de titanio de una aleación utilizada en piezas para vehículos espaciales. Las especificaciones exigen que la desviación estándar de dicho porcentaje sea inferior a 0.25. Se seleccionan 50 piezas
Estadística 6 al azar y se obtiene una cuasidesviación estándar muestral de s c =0.24. Contrasta si la aleación verifica las especificaciones utilizando α =0.01 (supón que el porcentaje de titanio de la aleación sigue una distribución normal). 17. Dos compañías de compuestos químicos pueden surtir materia prima. La concentración de cierto elemento en este material es importante. Se sospecha que la variabilidad de dicha concentración puede diferir entre las dos compañías. La cuasidesviación estándar de la concentración en una m.a.s. de n 1 =15lotes producidos por la compañía 1 es ŝ 1 =4.7 g/l mientras que para la compañía 2, una m.a.s. de n 2 =20lotes proporciona una ŝ 2 =5.8 g/l. Existe evidencia suficiente para concluir que las varianzas de las dos poblaciones son diferentes? Utiliza α =0.05 y supón que la concentración está distribuida normalmente. Encuentra el p-valor de esta prueba. 18. Se pueden utilizar dos pruebas analíticas diferentes para determinar el nivel de impureza en aleaciones de acero. Se probaron ocho especímenes con ambos procedimientos y los resultados fueron: Espec. Prueba 1 Prueba 2 1 1.2 1.4 2 1.3 1.7 3 1.5 1.5 4 1.4 1.3 5 1.7 2.0 6 1.8 2.1 7 1.4 1.7 8 1.3 1.6 Se puede concluir que ambas pruebas dan el mismo nivel de impureza promedio? Utiliza α =0.01. Qué hipótesis distribucionales has supuesto para la resolución del contraste? 19. En una población el peso es una v.a. con distribución N(μ, σ). (σ a) En una muestra de 10 individuos se han observado los siguientes datos (x i son los pesos de cada individuo) 10 10 x i = 621 x 2 i = 40037 i=1 i=1 Calcular un intervalo de confianza para μ al nivel del 95 %. b) En otra población, el peso sigue una distribución N(67, σ). Se plantea la hipótesis de que ambas poblaciones tienen la misma media. La muestra observada: 1) está a favor o en contra de dicha hipótesis?
Estadística 7 2) rechazaríamos la hipótesis al nivel 0.01? c) Si en las dos poblaciones anteriores se supiera que σ =12, obtener la región de rechazo de H 0 (hipótesis nula del apartado anterior) al nivel 0,01. d) De una tercera población, también con σ =12, se sospecha que la media es mayor que la de la primera población, que se considera desconocida. Para esta tercera población se han extraído 8 individuos y la media de sus pesos fue 62.5. Hay suficiente evidencia, al nivel 0.05, para afirmar tal cosa?. 20. Se inserta un remache en un agujero. Si la desviación estándar del diámetro de los agujeros es mayor que 0.01 milímetros entonces existe una probabilidad inaceptablemente grande de que el remache no entre en el agujero. Se toma una m.a.s. de n =15agujeros y se mide el diámetro de cada uno de ellos. La cuasidesviación estándar muestral de las mediciones de estos diámetros es s c =0.008 milímetros. Suponiendo normalidad en los datos: a) Existe evidencia fuerte que indique que la desviación estándar del diámetro de los agujeros es mayor que 0.01 milímetros?. Utiliza α =0.01. b) Cuál es la región crítica de la prueba anterior?