CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 4 de Julio de Primera parte Ejercicio. Se considera el recinto plano R := ½(x, y) R : x 3, y x3 3 Otener los volúmenes de los sólidos de revolución V, otenido al girar dicho recinto R alrededor del eje OX, y V, otenido al girar R alrededor de la recta x = a, con a>3. ¾. Solución. Usando el método de los discos, el volumen V es Z 3 µ x 3 Z 3 V = π = π 3 3 x7 = π 9 7 = π 35 7 = 43 7 π. x 6 9 Usando el método de las capas, elvolumenv es Z 3 V =π (a x) x3 3 ax 4 3 =π 4 3 x5 5 3 µ a3 4 =π 4 3 35 5 3 µ a =π3 3 4 3 5 µ 5a =π3 3 7 (5a ) = π.
Ejercicio. Calcular la integral Z (x + a) x para los valores de a y, con a + >, que la hagan convergente. Solución. En x = a y x =, el integrando no está definido. Saemos que > a, luego a / [, ) por lo que la integral no es impropia en x = a. En primer lugar, consideramos las integrales impropias Z + Z I = (x + a) x, I = + (x + a) x. Para analizar la convergencia de I, calculamos lim x + (x + a) x (x ) p = lim x + (x + a) x = a + >, (x ) p si p =/. Entonces, I es convergente porque la integral es convergente. Z + x Para analizar la convergencia de I, calculamos lim x (x + a) x x p x p = lim x (x + a) x =, si p =3/ >. En consecuencia, I es convergente y la integral I + I converge para todos los valores de a y, tales que a + >.
Para calcular la integral, usamos el camio de variale x = t, con t>. Entonces, Z Z k (x + a) x =lim Z k =lim (x + a) x t (a + + t ) t dt. Dado que a + >, elegimos c tal que a + = c ycalculamos Z k lim dt (a + + t ) = Z k c lim = c lim arctan = c lim arctan = c π π =. a + /c + t dt c µ k t c µ k c 3
Ejercicio 3. Se considera la serie de potencias n= n (n +). Otener su intervalo de convergencia, analizando el comportamiento en los extremos. Calcular su función suma en el interior de dicho dominio. Indicación: Para determinar la suma, descomponer en fracciones simples el coeficiente del término general. Solución. El radio de convergencia de la serie de potencias es R = lim a n n = lim (n +)(n +3) =. n n (n +) a n+ En el extremo x =, la serie tiene el mismo carácter que la serie convergente n= Entonces, la serie en el extremo x = converge asolutamente y el intervalo de convergencia es [, ]. Para calcular la suma de la serie en los puntos x <, descomponemos n. n (n +) = A n + B n + = =(A + B) n +A = A =, B =. En consecuencia, n= à n (n +) = X n X. n + n= n= Saemos que la suma de la serie geométrica es t n =, <t<. t Z x n= n= n= Si x [, ) entonces integrando en el intervalo [,x], otenemos à X µz x t n dt = t n + Z x dt = n + = dt = ln ( x). t n= 4
Si x (, ] entonces integrando en el intervalo [x, ], otenemos Z à X t n + Z Z dt = x n + = x x t dt = du =ln( x). +u n= n= En consecuencia, para todo x (, ), n= n = X + = ln ( x). n + n= Sea x (, ) tal que x 6=. Entonces n= n + = x n= = x µ x 3 = x à X + n + 3 + x4 4 n= xn + + n + n x x = µ ln ( x) x x x = ln ( x). x x Finalmente, la suma de la serie, para x (, ) tales que x 6=, es n= n (n +) = µ + ln ( x) + ln ( x). x x 5
CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 4 de Julio de Segunda parte Ejercicio 4. Se considera la ecuación de ondas w tt = c w xx, donde c es una constante real y la función incógnita es w = w (x, t). Transformarla mediante el camio de variales u = x + ct, v = x ct. Integrar la ecuación que resulta para w (u, v) yproarque donde f y g son funciones aritrarias. w (x, t) =f (x + ct)+g (x ct), Solución. Usando la regla de la cadena para derivar, otenemos w t = cw u cw v, w x = w u + w v. Derivando de nuevo las anteriores ecuaciones w tt = c (w uu w uv + w vv ), w xx = w uu +w uv + w vv. Entonces, la ecuación de ondas w tt = c w xx se transforma en c (w uu w uv + w vv )=c (w uu +w uv + w vv ), que equivale a 4w uv =. Por tanto, la ecuación transformada es w uv (u, v) =. Integrando respecto a v, otenemos w u = F (u). Integrando esta última ecuación respecto a u, se tiene w (u, v) =f (u) +g (v), donde f (u) =F (u). En consecuencia, queda proado que w (x, t) =f (x + ct)+g (x ct). 6
Ejercicio 5. Otener los extremos asolutos de la función f (x, y) =xy en el recinto R := (x, y) R :4x + y 4 ª. Solución. Para otener los puntos críticos del interior de R, resolvemos el sistema f (x, y) =(y, x) =(, ), oteniendo el punto P =(, ). La matriz hessiana es µ µ fxx f H (x, y) = xy =. f yx f yy Oservemos que el punto P es un punto de silla porque det H = <. La frontera de R se define con la restricción g (x, y) =4x + y 4=. Usando el criterio de los multiplicadores de Lagrange, determinamos los puntos solución del sistema f (x, y) =λ g (x, y), resolviendo y =8λx, x =λy, 4x + y 4=. Multiplicando la primera ecuación por x y la segunda por y, otenemos 8λx =λy λ 4x y =. Entonces λ =, oien4x = y. Si λ =tenemos que x = y =no satisface la tercera ecuación, por lo que 4x = y. Sustituyendo en la tercera ecuación, y =4, luego y = ±. Por tanto 4x =, lo que implica que x = ± ±. Así, hemos otenido en la frontera de R los puntos à P =, Ã,P 3 =,, à P 4 =, Ã,P 5 = Los valores de la función en dichos puntos son,. f (P )=f (P 5 )=, f (P 3 )=f (P 4 )=. Entonces,elmáximoasolutosealcanzaenP y P 5, mientras que el mínimo asoluto se alcanza en P 3 y P 4. 7
Ejercicio 6. Sea S la superficie formada por las cinco caras superiores del cuo x, y, z. Sea F el campo vectorial F (x, y, z) =(xy,, z ). Hallar rot F nds, donde n representa el vector normal exterior al cuo. S Solución. Sea T la cara inferior del cuo V =[, ] [, ] [, ]. El teorema de la divergencia de Gauss afirma que el flujodesalidadeuncampoatravésde S T coincide con la integral triple de la divergencia del campo, es decir Z rot F nds = div (rot F ) dy dz =, S T V porque div (rot F )=. Entonces rot F nds = rot F nds. S T A continuación, calculamos el rotacional del campo F, i j k rot F = F = D x D y D z =(,, x). xy z Una parametrización de T es T (x, y) =(x, y, ), x, y, y el correspondiente vector normal exterior a T es n =(,, ) T. Entonces Z Z Z rot F nds = xdy = dy =, T lo que implica que S rot F nds =. 8