Operaciones y funciones con Derive: A ROW [n,...] A COL [n,...] APPEND(A, B) CHARPOLY(A, λ) EIGENVALUES(A) Submariz formada por las filas de A indicadas. Submariz formada por las columnas de A indicadas. Añade bajo A las filas de B (A y B marices con el mismo n o de columnas). Polinomio caracerísico de A en la variable λ. Auovalores de A.. Sean T : IR 6 IR 6 una ransformación lineal, B w, w, w, w 4, w, w 6 una base de IR 6 y A la mariz de T respeco de la base B. 6 7 7 4 A : 8 6 6 7 9 a) y b) Obener el polinomio caracerísico de A, y los auovalores de A indicando su muliplicidad. El polinomio caracerísico de A es P(λ) : CHARPOLY(A, λ) λ(λ 4λ 4 + λ + λ 4λ 8) y los auovalores EIGENVALUES(A) [,, ] La muliplicidad de λ es m y, para obener la del reso, basa con facorizar el polinomio FACTOR(P(λ), λ, Real) λ(λ + ) (λ ) luego λ con m y λ con m. (También puede obenerse dividiendo el polinomio por facores λ + y λ.) c) Denoemos por λ el auovalor de A con mayor valor absoluo. Alguno de los vecores de abajo verifica que T (v ) λ v? v w + w + w w w 4 w 6 v w + w w + w 6 λ y, para comprobar la igualdad, basa hacerlo con las coordenadas en una base, es decir, si [T (v )] B [v ] B. Como [T (v )] B A[v ] B se reduce a comprobar si A[v ] B [v ] B : 7 A[v] B A 7 Luego NO es ciero en el primer caso y SÍ en el segundo. 4 A[v] B A Maemáicas I [xxv]
d) Para cada uno de los espacios caracerísicos asociados a los auovalores, V (λ), obener las coordenadas, en la base B, de los vecores de una base. Los espacios caracerísicos V (λ) se definen como V (λ) v IR 6 : T (v) λv v IR 6 : A[v] B λ[v] B v IR 6 : [T (v)] B λ[v] B v IR 6 : (A λi)[v] B luego las soluciones del sisema (A λi)x son las coordenadas, en la base B, de los vecores de V (λ). Tomando una base del espacio de soluciones, endremos lo pedido. Para faciliar las cosas consruimos la función: En V (): soluciones de (A I)x, luego de Am()x ROW REDUCE(Am()) Am(λ) : A λ IDENTITY MATRIX(6) x x x x4 x Compleando con la ecuación, el vecor [,,,,, ] es base del espacio de soluciones. En V (): soluciones de Am()x ROW REDUCE(Am()) x x x x4 [ ] x Compleando con las ecuaciones x x y, los vecores [,,,,, ] y [,,,,, ] forman una base del espacio de soluciones. En V (): soluciones de Am()x ROW REDUCE(Am()) x x x x4 x Compleando con x4 x4, ] x [ x y ], la base del espacio ] de soluciones la forman los vecores [,,,,,,,,,,, y [,,,,,. e) Se cumplen odas las condiciones del eorema de diagonalización? Diagonaliza? Si se cumplen, pues m + m + m 6 y luego SÍ diagonaliza la mariz A. dim V () m dim V () m dim V () m f) Si A es diagonalizable obener la mariz P y la mariz diagonal D, ales que P AP D. Maemáicas I [xxvi]
Para enconrar P basa con colocar como columnas las coordenadas, en la base B, de los vecores de las bases de los espacios caracerísicos halladas en el aparado anerior: P : D : P A P g) Si A es diagonalizable y B es la base formada por los vecores de abajo B (,,,,, ), (,,,,, ), (,,,,, ), (,,,,, ), (,,,,, ), (,,,,, ) Respeco a que base B la mariz de T es la diagonal D? la mariz P es la mariz del cambio de base, de la base B en la base B. Conocida B, la mariz Q del cambio de base de B a la base canónica es: Q : luego P : Q P 7 es la mariz del cambio de base de B en la base canónica. Como, por columnas, esá formada por las coordenadas de los vecores de B en la base canónica, las columnas de P son los vecores de la base B.. Sea V un espacio vecorial, B u, u,..., u n una base de V y, un produco inerno definido en V. Enonces, si v λ u + λ u + + λ n u n y w µ u + µ u + + µ n u n, u, u u, u u, u n µ ( ) u, u u, u u, u n µ v, w λ λ λ n....... [v ] B M [w] B u n, u u n, u u n, u n µ n La mariz M se denomina mariz del produco inerno asociada a la base B. a) Qué caracerísica reseñable debe de ener M? Como el produco inerior es conmuaivo, v, w w, v, lo más reseñable es que la mariz M debe ser simérica. También, como w, w > si w, los elemenos de la diagonal deben ser posiivos. b) Si B es una base oronormal para ese produco, cómo es M? Si B es oronormal, u i, u i y, si j k, u j, u k. Luego M se reduce a la idenidad (M I ). c) La mariz M de la derecha, no puede ser la mariz de un produco inerno en IR. Por qué? En la diagonal aparecen ceros. Luego sería u, u con lo que u pero el no puede formar pare de una base. M Maemáicas I [xxvii]
d) Consideremos la forma cuadráica en IR, dada por Q(x) x M x en la base canónica. Obener una mariz diagonal para Q y la base a la que esá asociada. Mediane operaciones elemenales en las filas y columnas de M conseguiremos una mariz diagonal. Repiiendo esas mismas operaciones sólo sobre las columnas de la idenidad conseguiremos la mariz del cambio de base. Hacer operaciones en las columnas de la mariz es lo mismo que hacer operaciones en las filas de la mariz raspuesa y, como la mariz es simérica, hay que hacer las mismas operaciones por filas que por columnas para conseguir ceros. Luego podemos usar la orden PIVOT para hacer operaciones en las filas y volver a usar PIVOT sobre la raspuesa de la obenida, ya que las operaciones a realizar son las mismas. En efeco, 4 4 4 4 M:PIVOT(M,,) 4 y como M 4 4 9 4 9 al hacer PIVOT(M,,) se realizarán las mismas operaciones que anes (la primera columna de M es igual a la primera columna de M ). Junando ambas operaciones en una sola, haríamos PIVOT( PIVOT(M,,),,) es decir, usando M fc para indicar operaciones en fila o columnas: M PIVOT M f Mf PIVOT (Mf ) f M fc En nuesro caso, ambién deseamos hacer sobre la idenidad las mismas operaciones que en las columnas de M. Para ello, debemos junar I con M después de hacer las operaciones en las filas, pero anes de hacer las operaciones en las columnas; el proceso sería algo como eso: [ ] M PIVOT APPEND Mf M f I [ Mf I ] ] PIVOT [(Mf ) f (I ) f Expresado con operaciones: ( ( ) ) Gr : PIVOT APPEND PIVOT(M,, ), I,, de donde se obienen las nuevas marices M fc : Gr ROW [,,, 4, ] I c : Gr ROW [6, 7, 8, 9, ] [ Mfc I c ] ROW M fc ROW I c Si la operación no es pivoar sino inercambiar filas, las operaciones a realizar serán ( ( ) ) Gr : SWAP ELEMENTS APPEND SWAP ELEMENTS(M,, ), I,, Realizando odo el proceso compleo (las operaciones se deallan después), obendremos: M I () 4 4 4 4 9 M () I 4 4 4 9 4 M I Maemáicas I [xxviii]
() 8 7 Donde M (4) I 8 7 8 8 8 4 M4 () I4 8 7 47 6 6 8 4 8 7 D P () Gr : PIVOT(APPEND(PIVOT(M,, ), I),, ) M : Gr ROW [,,, 4, ] I : Gr ROW [6, 7, 8, 9, ] () Gr : SWAP ELEMENTS(APPEND(SWAP ELEMENTS(M,, ), I),, ) M : Gr ROW [,,, 4, ] I : Gr ROW [6, 7, 8, 9, ] () Gr : PIVOT(APPEND(PIVOT(M,, ), I),, ) M : Gr ROW [,,, 4, ] I : Gr ROW [6, 7, 8, 9, ] (4) Gr4 : PIVOT(APPEND(PIVOT(M,, ), I),, ) M4 : Gr4 ROW [,,, 4, ] I4 : Gr4 ROW [6, 7, 8, 9, ] () Gr : PIVOT(APPEND(PIVOT(M4, 4, 4), I4), 4, 4) D : Gr ROW [,,, 4, ] P : Gr ROW [6, 7, 8, 9, ] Obenemos la mariz diagonal D y la mariz P del cambio de base de la nueva a la canónica (la fijada previamene). Como la base inicial es la canónica, los vecores de la nueva base son las columnas de P. e) Q se clasifica como: Indefinida, pues iene elemenos posiivos y negaivos en D. Maemáicas I [xxix]