Transformada de Fourier Joseph Fourier (1768 ~ 1830 )
Introducción Herramienta para formar cualquier función f(x) en una combinación de series de senos y cosenos en un intervalo de frecuencia. Una transformación de Fourier es una representación de una función (x) en términos de un conjunto de ondas sinusoidales. Cualquier función f(x) continua puede ser representada utilizando suficientes ondas sinusoidales con frecuencia, amplitud y fase adecuadas.
Antecedentes Números complejos R+ ii Donde R y I son números reales, y i es igual a 1 R asigna la parte real y Ila parte imaginaria del número complejo. En coordenadas polares; distancia al origen y el ángulo con el eje positivo real: R(cos θ + i sin θ)
Antecedentes Fórmula de Euler θ e i = + = cos θ i sin θ Relación entre funciones trigonométricas y funciones exponenciales iθ re Donde r es la magnitud en forma polar del número complejo, y θ el ángulo
Transformada de Fourier Si tenemos una función f(x), su transformada de Fourier se define dfi por la expresión: F( u) iπux = f ( x) e dx Donde i es el componente imaginario y u es la variable de frecuencia. Aplicando la ecuación de Euler, tenemos: F ( u) = f ( x)(cos πux i sin πux) dx
Transformadas de Fourier Teniendo F(u), podemos regresar a la función f(x) () original utilizando la inversa de la transformada de Fourier: f ( x) iπux = F( u) e du Las ecuaciones anteriores se conocen como el par de Transformadas de Fourier y existen si f(x) es continua e integrable.
Aplicaciones Procesamiento de imágenes con estructuras repetitivas: astronomía, microbiología, cristalografía, etc. Útil para identificar el componente periódico o malla (lattice) dentro de una estructura Reconstrucción, compresión, correlaciones
Utilizando la TF sobre una Imagen con patrones periódicos. La TF trata de representar todos los valores como una suma de funciones trigonométricas. La TF tiene un solo componente, representado por puntos simétricos cerca del centro de la imagen. El punto central representa el origen de la frecuencia del sistema de coordenadas.
Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir: f ( t) = ω a0 + ( ai cos( iωt) + bi sin( iωt)) i= 1 Donde el periodo P=p/w, y a 0 a 1 a i y b 1 b b i son los denominados coeficientes de Fourier. Conocida la función periódica f(t), los coeficientes se calculan del siguiente modo: a P 0 = f ( t ) P P P a i = donde i=1,,3 P P P dt f ( t)cos( iωt) dt b i = f ( t)sin( i t) dt P ω P
Ejemplo Consideremos un cristal imaginario. El cristal consiste de 3 átomos por cada celda, dos carbonos y un oxígeno. La densidad electrónica de la celda unitaria se vería así.
Ejemplo Vamos ahora a representar la gráfica original utilizando únicamente ondas sinusoidales. La primera onda tiene una frecuencia de, un pico para el oxígeno y otro para los carbonos La segunda onda tiene una frecuencia en de 3, con diferente amplitud y fase Finalmente usamos una onda de frecuencia 5, con diferente amplitud. Dos crestas alineadas con los átomos de cobre.
Ejemplo Encimando todas las ondas. La suma de las tres ondas es una buena aproximación a la celda original
Ejemplo Si ahora revisamos la transformada de Fourier a la misma celda unitaria inicial, vemos que consiste en una serie picos en, 3 y 5. Estos corresponden exactamente a las frecuencias de las ondas que utilizamos para reconstruir esta función.
Ejemplos
Transformación de una Gaussiana Aplicando la transformada de Fourier a la función: x 1 ( ) σ x e f = σ π 0.14 0.1 0.1 0.08 Función Gaussiana centrada en el origen. σ= 1 x=(-5, 5) 0.06 0.04 0.0 0 6 4 0.0 0 4 6
Transformación de una Gaussiana La transformada de Fourier de una Gaussiana es otra Gaussiana: F ( x) = π π x / σ e σ Ejemplo de un programa en JAVA aplicando en tiempo real la Transforamda de Fourier sobre una función Gaussiana. http://depa.pquim.unam.mx/~ros/fourier.class