UNIVESIA POLITÉCNICA E CATAGENA eprtmento de Mtemátic Aplicd y Estdístic Fundmentos Mtemáticos Curso 2008/09. Integrción Múltiples 1. L integrl doble. Supongmos que tenemos un rectángulo en 2 de l form = [, b] [c, d] = {(x, y) : x b, c y d}. enotmos por un prtición P del rectángulo nterior un prtición de cd uno de los intervlos que lo compone, es decir P será de l form P 1 P 2 donde y P 1 = { = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b} P 2 = {c = y 0 < y 1 < y 2 <... < y m 1 < y m = d}. Est prtición permite dividir el rectángulo en los siguientes subrectángulos {[x i 1, x i ] [y j 1, y j ] : i = 1,..., n, j = 1,..., m}. efinición 1 d un función f : [, b] [c, d] y un prtición P que denotremos con l notción nterior, se define l sum superior y sum inferior de f respeto de l prtición P los siguientes vlores y donde y n m S(f, P) = M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) i=1 j=1 n m s(f, P) = m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) i=1 j=1 M ij = sup{f(x, y) : (x, y) [x i 1, x i ] [y j 1, y j ]} m ij = inf{f(x, y) : (x, y) [x i 1, x i ] [y j 1, y j ]}. Ests sums representn dos números, el primero de ellos myor o igul y el segundo menor o igul, respectivmente, que el volumen que encierr l superficie z = f(x, y) y el plno z = 0 en. Si tommos cd vez más puntos en ls prticiones, se observ que ls sums superiores y ls inferiores se proximn cd vez más. 1
efinición 2 d un función f : = [, b] [c, d]. Se define l integrl superior de f en el rectángulo como f = ínf{s(f, P) : P es un prtición de } y se define l integrl inferior como f = sup{s(f, P) : P es un prtición de }. Se dice que l función f es integrble iemnn en si su integrl superior coincide con su integrl interior. Al vlor obtenido se le denomin integrl de f en y se denot por f o f(x, y) dx dy. icho de un form menos forml, l integrl es el volumen que encierr l superficie z = f(x, y) y el plno z = 0 en (teniendo en cuent que el volumen por debjo de dicho plno se considerrá negtivo). El siguiente teorem nos permite reducirnos resolver integrles en un vrible. Teorem 3 (Fubini) Se f : un función continu en el rectángulo = [, b] [c, d]. Entonces d ( b ) b ( d ) f = f(x, y)dx dy = f(x, y)dy dx. c Hst hor hemos definido l integrl sobre rectángulos, pero en 2 podemos tener muchs más regiones sobre ls que integrr. Cómo definimos llí l integrl? Lo podemos hcer de l siguiente mner. Si tenemos un región cotd y consideremos un rectángulo con, entonces dd f :, considermos l nuev función F : definid como { f(x, y) si (x, y), F (x, y) = 0 si (x, y) /. En est situción, diremos que f es integrble sobre l región cotd si F es integrble sobre el rectángulo, y definiremos en tl cso l integrl doble de f en como f(x, y) dx dy = F (x, y) dx dy. Proposición 4 ds dos funciones integrbles f, g : 2 y λ, µ. Entonces (i) λf + µg es integrble en, y (λf + µg)(x, y) dx dy = λ c f(x, y) dx dy + µ g(x, y) dx dy. (ii) Si f(x, y) g(x, y) pr todo (x, y) entonces f(x, y) dx dy g(x, y) dx dy. 2
(iii) Si = 1 2 y 1 2 tiene medid (áre) nul, entonces f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy + f(x, y) dx dy. 1 2 Vemos hor unos tipos de recintos sobre los que tenemos métodos pr clculr l integrl de un función definid hí. efinición 5 Un recinto 2 se dice de tipo I si es de l form = {(x, y) : x b, g 1 (x) y g 2 (x)} donde < b, y g 1, g 2 : [, b] son funciones continus. Un recinto 2 se dice de tipo II si es de l form = {(x, y) : c y d, h 1 (y) x h 2 (y)} donde c < d, y h 1, h 2 : [c, d] son funciones continus. Teorem 6 (Fubini) Se = {(x, y) : x b, g 1 (x) y g 2 (x)} un recinto de tipo I y se f : un función continu. Entonces ( b ) g2 (x) f(x, y) dx dy = f(x, y)dy dx. g 1 (x) Si = {(x, y) : c y d, h 1 (y) x h 2 (y)} es de tipo II, entonces ( d ) h2 (y) f(x, y) dx dy = f(x, y)dx dy. c Not 1 Si un recinto es de mbos tipos podemos integrr en culquier orden. Sin embrgo, l cmbir el orden de integrción tenemos que cmbir tmbién ls funciones continus que precen en ls definiciones de mbos tipos por lo que los límites de integrción cmbin. Observción 7 Combinndo l Proposición 4 prtdo (iii) y el Teorem 6 podremos clculr integrles en recintos más generles. En muchos csos, ddo un recinto podremos dividirlo en un cntidd finit de recintos de tipo I o tipo II de form que cd nuev prte sólo coincid con otr en l fronter. Clculndo l integrl sobre cd uno de estos trozos y sumándo los resultdos obtenidos, obtendrímos l integrl en el recinto principl. Como hemos visto, l integrl doble nos permitirá clculr volúmenes de ciertos sólidos. Sin embrgo tmbién nos servirá pr clculr áres. Efectivmente, ddo 2 tenemos que Áre() = 1 dx dy. Esto es cierto y que l integrl nos drá el volumen del prism de bse y ltur 1 por lo que su volumen será precismente el áre de l bse. h 1 (y) 3
2. L integrl triple. L form de definir l integrl triple es similr l integrl doble. En est ocsión se define primero sobre prlelípedos de l form = [, b] [c, d] [r, s] = {(x, y, z) 3 : x b, c y d, r z s}. Un prtición de es hor un prtición de los 3 intervlos que lo definen. L sum superior es de l form n m p S(f, P) = M ijk (x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 ) i=1 j=1 k=1 donde los x i, y j y z k son los puntos que definen l prtición P y siendo M ijk = sup{f(x, y, z) : (x, y, z) [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1, z k ]}. e form nálog se define l sum inferior. L integrl superior de f es de nuevo el ínfimo de ls sums superiores y l integrl inferior es el supremo de ls sums inferiores. L función f es integrble cundo l integrl superior e inferior coinciden y en tl cso l vlor obtenido es l integrl de f en y se denot por f o f(x, y, z) dx dy dz. Al igul que hcímos en 2 vribles, pr definir un integrl de 3 vribles sobre regiones cotds más generles lo que se hce es extender l definición de dich función hst un prlelípedo [, b] [c, d] [r, s] dándole el vlor 0 fuer de l región inicil y hciendo l integrl cundo se pued sobre l nuev función. Teorem 8 (Fubini) Se f : = [, b] [c, d] [r, s] continu. Entonces s ( d ( b ) ) f = f(x, y, z)dx dy dz r c siendo l iguldd ciert tmbién l relizr en orden distinto ls integrles iterds. Pr funciones de 2 vribles estudimos integrles en 2 tipos de regiones que estbn relcionds y que l definición er l mism intercmbindo el ppel de l x y l y. En este cso, l tener 3 vribles si hcemos lgo similr nos dn hst 6 tipos de regiones y en tods ells el Teorem de Fubini vuelve ser válido. Por comodidd vmos enuncirlo sólo pr un tipo de regiones pero tengmos en cuent que podemos hcer lo mismo intercmbindo los ppeles de ls vribles. Teorem 9 (Fubini) Se f : un función continu donde Entonces = {(x, y, z) 3 : x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x), φ 1 (x, y) z φ 2 (x, y)}. f = b ( ( ϕ2 (x) ) ) φ2 (x,y) f(x, y, z)dz dy dx. ϕ 1 (x) φ 1 (x,y) Al igul que podímos usr l integrl doble pr clculr áres, l integrl triple nos permite clculr volúmenes. Efectivmente, ddo 3 tenemos que V olumen() = 1 dx dy dz. 4
3. Teorem del cmbio de vrible. Un vez definids l integrl doble y triple, culquier puede imginr cul es l definición de l integrl en n-vribles. En est sección vmos enuncir un teorem pr el cso n genérico (y sí no tendremos que enuncirlo 2 veces pr ls vribles que hemos estudido) y por tnto si decimos que x n será porque es de l form x = (x 1, x 2,..., x n ) y si en un integrl sobre n prece sólo dx será porque está reperesentndo dx 1 dx 2... dx n. Si tenemos un función f : n, l derivd de l función f respecto l vrible x i se representrá como f(x) x i. efinición 10 Se f : n n y se. Se define l mtriz jcobin de f en el punto como l mtriz de tmño n n tl que pr 1 i, j n el elemento situdo en l fil i y column j es l derivd en de l función coordend i-ésim de f respecto l vrible x j, es decir f 1 f 1 f 1 x 1 f 2 J(f) = x 1. f n x 1 x 2 f 2 x 2.... f n x 2. f n x n x n f 2 x n Teorem 11 Sen A y B dos subconjuntos de n con volumen, se f : A integrble y se T : B A un plicción que cumpl (i) T dmite derivds prciles, (ii) T es biyectiv, (iii) det J(T )(b) 0 pr todo b B. Entonces se tiene que f = f T det(j(t )). A B 3.1. Coordends polres en 2. Uno de los cmbios más hbitules es el cmbio coordends polres, que viene ddo por l plicción (x, y) = T (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ) donde ρ represent l distnci l origen y θ es el ángulo que form el vector socido l punto con el eje OX. 5
ependiendo del conjunto B que tomemos, est función podrí no cumplir ls condiciones del teorem (podrí fllr l inyectividd y por lo tnto l biyectividd) pero sin embrgo en este cso podremos plicrlo igulmente. Este cmbio nos será muy útil cundo estemos integrndo sobre círculos (o trozos de ellos, secciones circulres, etc) y que conseguiremos que el conjunto sobre el que integrr se un rectángulo con lo que podremos plicr el Teorem de Fubini (Teorem 3). Tenemos demás que ( ) det(j(t )(ρ, θ)) = cos θ ρ sen θ det = ρ = ρ. sen θ ρ cos θ Así por ejemplo si queremos clculr l integrl de un función f sobre l coron circulr A de rdio exterior r 2 y rdio interior r 1 tenemos que r2 ( 2π ) f = f(ρ cos θ, ρ sen θ)ρdρdθ = f(ρ cos θ, ρ sen θ)ρdθ dρ, A [r 1,r 2 ] [0,2π] pudiendo cmbir el orden de integrción. Si en vez de tod l coron, queremos integrr l prte comprendid entre dos ángulos debemos cmbir el intervlo [0, 2π] por el que correspond. Más ún, si considermos un región pln 2 que se expres en coordends polres de l form = {(ρ, θ) : ρ b, h 1 (ρ) θ h 2 (ρ)} siendo h 1, h 2 : [, b] funciones continus y f : es continu sobre, entonces ( b ) h2 (ρ) f(x, y) dx dy = f(ρcosθ, ρsenθ)ρdθ dρ. Podemos proceder de form similr si l región sobre l que integrr es del tipo obteniendo h 1 (ρ) = {(ρ, θ) : α θ β, g 1 (θ) ρ g 2 (θ)}, f(x, y) dx dy = β α r 1 ( ) g2 (θ) f(ρcosθ, ρsenθ)ρdθ dρ. g 1 (θ) 3.2. Coordends cilíndrics en 3. Uno de los cmbios más hbitules es el cmbio de coordends cilíndrics que viene ddo por l función (x, y, z) = T (ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sen θ, z) donde ρ represent l distnci del punto l eje OZ y θ el ángulo que form el vector ddo por ls dos primers coordends y el eje OX. 6 0
El módulo del determinnte Jcobino del cmbio es cos θ ρ sen θ 0 det(j(t )(ρ, θ, z)) = det sen θ ρ cos θ 0 = ρ = ρ, 0 0 1 sí que el cmbio será de l form f(x, y, z) dx dy dz = A B f(ρ cos θ, ρ sen θ, z) ρ dρ dθdz siendo B l expresión de l región sobre l que estmos integrndo en coordends cilíndrics. 3.3. Coordends esférics en 3. Otro cmbio hbitul es el cmbio de coordends esférics que viene ddo por l función (x, y, z) = T (ρ, θ, ϕ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ) donde ρ represent l distnci del punto l origen, θ el ángulo que form el vector (x, y) con el eje OX y ϕ es el ángulo que form el vector (x, y, z) con el plno z = 0. El módulo del determinnte Jcobino del cmbio es sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ cos θ det(j(t )(ρ, θ, ϕ)) = det sen ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ ρ cos ϕ sen θ cos θ 0 ρ sen ϕ = ρ 2 sen ϕ = ρ 2 sen ϕ, 7
sí que el cmbio será de l form f(x, y, z) dx dy dz = A B f(ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ)ρ 2 sen ϕ dρ dθ dϕ siendo B l región sobre l que estmos integrndo en coordends esférics. 4. Aplicciones. Hemos visto en ls secciones nteriores l utilidd del concepto de integrl tnto pr clculr áres como volúmenes. Vemos quí lguns plicciones más. Se 2 un lámin pesd dotd de un función de densidd de ms ρ(x, y) y se M l ms de dich lámin. Entonces M = ρ(x, y) dx dy. El centro de mss de vendrá ddo por ( ) 1 1 xρ(x, y) dx dy, yρ(x, y) dx dy. M M Los momentos de inerci de respecto de los ejes x e y son respectivmente I x = 1 y 2 ρ(x, y) dx dy, M I y = 1 M x 2 ρ(x, y) dx dy. El momento centrl con respecto l origen es I o = 1 (x 2 + y 2 )ρ(x, y) dx dy. M Tenemos plicciones nálogs si en lugr de un lámin pesd considermos un sólido pesdo B 3 con función de densidd ρ(x, y, z). Otrs plicciones similres precerán tmbién cundo en vez de l densidd consideremos otrs funciones como puede ser por ejemplo l densidd de crg. En ocsiones oímos hblr de densidd medi, crg medi, tempertur medi, etc. Estos conceptos se clculn con el promedio de ls funciones correspondientes (por ejemplo l función de densidd pr l densidd medi). d un función f : n definimos el vlor promedio de f en como 1 Prom(f, ) = f Vol() donde Vol() = 1, es decir, Vol() es el áre si estmos en 2, volúmen en 3 y un concepto nálogo pr n con n > 3. 8