Matemáticas I Tema 4. Trigonometría I Índice. Introducción. Medida de un ángulo. Razones trigonométricas.. Funciones inversas. Obtención del ángulo...................... 4.. Circunferencia goniométrica............................. 5... Signo de las razones trigonométricas.................... 6... Reducción de ángulos al primer cuadrante................. 7... Reducción de ángulos al primer giro..................... 8 4. Relaciones entre las razones trigonométricas 8 4.. Simplificar expresiones trigonométricas....................... 9 4.. Demostración de igualdades trigonométricas.................... 0 4.. Resolver ecuaciones trigonométricas sencillas.................... 5. Resolver triángulos rectángulos 6. Resolver triángulos cualesquiera 4 6.. Teorema del seno................................... 4 6.. Teorema del coseno.................................. 4 7. Ejercicios del tema 4 7.. Problemas de triángulos graduados de menor a mayor dificultad......... 5 7.. Problemas de triángulos rectángulos y no rectángulos............... 6
. Introducción La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. En el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría para la construcción de las pirámides En los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.c. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos sobre una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que utilizó para r. Tres siglos después, el astrónomo Claudio Ptolomeo utilizó r = 60 pues los griegos adoptaron el sistema numérico base 60 de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Ptolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. En su libro de Astronomía, el Almagesto, mostraba ejemplos de cómo utilizar dicha tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo V III los astrónomos árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría, tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas El Occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller Königsberg, llamado Regiomontano. A principios del siglo XV II, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos y, gracias a esto, los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados del siglo XV II, los científicos Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron el Cálculo diferencial e integral. Por último, en el siglo XV III, el matemático suizo Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y, además, definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.. Medida de un ángulo Para indicar la medida de un ángulo usaremos dos unidades: Si se divide la circunferencia en 60 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos ( ) y un minuto tiene 60 segundos ( ). o 60 60
El ángulo central, que se encuentra en una circunferencia, con un arco que tiene la misma longitud que el radio, decimos que mide radián ( rad). Una circunferencia completa mide π rad La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes se deduce de la medida del ángulo completo en ambas unidades: 60 o π rad = 80 o π rad = α(o ) α(rad) = 80o π Ejercicio. Expresa en grados los siguientes radianes: 9π 0 rad, 5π rad, 4π 9 rad, 5π rad. Razones trigonométricas Las razones trigonométricas de un ángulo α son las relaciones matemáticas que existan entre los lados de un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos agudos es α. Definición. Definimos las funciones seno, coseno, tangente y sus inversas; cosecante, secante y cotangente como sigue: sen α = cos α = tan α = Funciones Cateto opuesto = a Hipotenusa c Cateto contiguo = b Hipotenusa c Cateto Opuesto Cateto contiguo = a b Inversas cosec α = sen α = a/c = c a sec α = cos α = b/c = c b cot α = tan α = b/a = a b
Para recodar cómo calcular las funciones anteriores, lo mejor, es practicar: Ejercicio. a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden: a = cm y b = 4 cm. b) En un triángulo rectángulo, uno de sus catetos mide a = 6 cm y la hipotenusa h = 0 cm. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos. c) Compara los resultados de los anteriores apartados y obtén conclusiones. d) Halla las razones trigonométricas del ángulo de la figura:.. Funciones inversas. Obtención del ángulo Las razones trigonométricas permiten también conocer: la medidad de alguno de los lados del triángulo rectángulo. el valor de alguno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. Ejemplo. Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo, con un ángulo de 45 o y cateto opuesto de 0 cm. Solución: Usando la definición de seno: sen 45 o = cateto opuesto a 45o hipotenusa = 0 hipotenusa 0 = hipotenusa = sen 45 = 0 o = 0 cm Ejemplo. Halla la medida del ángulo α en el triángulo de la imagen. Solución: Usando la definición de coseno: cos α = cateto contiguo hipotenusa =, 5 5, = 0, 6707769 0, 67 Como cos α = 0, 67, entonces α = arc cos 0, 67 47, 695 o Ejercicio. a) Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo con un ángulo de 0 o y cateto contiguo de 0 cm. b) Calcula el cateto contiguo en un triángulo rectángulo con un ángulo de 60 o y cateto opuesto de 0 cm. 4
.. Circunferencia goniométrica En una circunferencia de radio uno con su centro en el origen 0 = (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesiano. Los ángulos se sitúan en la circunferencia del siguiente modo: Su vértice, en el centro. Uno de los lados, coincidiendo con el semieje positivo del eje OX. El otro lado, donde corresponda, abriéndose el ángulo en el sentido opuesto a las agujas del reloj. Se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliar. Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación: x + y = = radio = hipotenusa Ejemplo. Con ayuda de la circunferencia goniométrica, podemos obtener de manera exacta las razones trigonométricas de algunos ángulos (los más usuales) del primer cuadrante. A continuación, encontraremos los valores de sen 0 o, sen 60 o, cos 0 o y cos 60. Lo haremos con la ayuda de un triángulo equilátero de lado u. Para el ángulo de 60 o : sen 60 o = cos 60 o = = = cosec 60 o = sec 60 o = = = tg 60 o = Para el ángulo de 0 o : = cotg 60 o = 5
sen 0 o = = cosec 0 o = = cos 0 o = = sec 0 o = = tg 0 o = = cotg 0 o = = Ejercicio 4. Halla, de manera análoga, las razones trigonométricas de un ángulo de 45 o. (Indicación: utiliza un triángulo rectángulo e isósceles).... Signo de las razones trigonométricas Si hacemos la correspondencia de ángulo-punto de la circunferencia, podemos deducir el signo de las razones trigonométricas del ángulo, sin más que identificar el cuadrante en el que se encuentra dicho punto. Ejercicio 5.. Indica el signo que tienen las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, identificando el cuadrante en el que se encuentran: a) 66 o b) 75 o c) 4 o d) 8 o e) 5 o f) 0 o. Si cos α =, qué podemos decir del ángulo α? 6
... Reducción de ángulos al primer cuadrante Ángulos complementarios α y 90 o α Ángulos que difieren en 80 o 80 o + α Ángulos suplementarios α y 80 o α Ángulos opuestos α y α Ángulos que difieren en 90 o α y 90 o + α Ejercicio 6. Halla, sin usar la calculadora, las razones trigonométricas de los ángulos siguientes: a) 0 o d) 5 o b) 5 o e) 50 o c) 00 o f) 05 7
... Reducción de ángulos al primer giro Como cualquier ángulo α α + 60 o n, las razones trigonométricas del ángulo α + 60 o n coinciden con las de α. Ejemplo 4. Calcula el equivalente en el primer giro, del ángulo 797 o Para reducir al primer giro, el ángulo 797 o, se realiza la división 797 o : 60 o = 797 o = 60 o 7 + 77 o La razones trigonométricas de 797 o coinciden con las de 77 o [0, 60 o ]. Ejercicio 7.. Reduce al primer giro los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 60 o : a) 70 o c) 900 o b) 000 o d) 745 o. Expresa los siguientes ángulos, expresándolos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de πrad: a) π rad c) 60πrad 4 b) 65π 5π rad d) 4 rad 4. Relaciones entre las razones trigonométricas A veces se necesita obtener el valor de una razón trigonométrica de un ángulo conociendo otra de sus razones. Por ello, es conveniente contar con expresiones que relacionen entre sí las razones de un ángulo dado. Estas relaciones se pueden deducir de las propiedades de los triángulos rectángulos. En la figura se representa en la circunferencia goniométrica un ángulo α y sus razones trigonométricas. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo BOA se obtiene la Fórmula Fundamental de la Trigonometría: sen α + cos α = = sen α + cos α = Aplicando el teorema de Tales a los triángulos semejantes BOA y QOP se obtiene la relación: AB OB = P Q OQ sen α = cos α = tg α = tg α = sen α cos α Si dividimos los dos miembros de la primera relación por cos α, se obtiene: sen α + cos α = = sen α cos α + cos α cos α = cos α = + tg α = sec α 8
Análogamente, dividiéndolos por sen α, se obtiene: Ejercicio 8. sen α + cos α = = sen α sen α + cos α sen α = sen α = + cotg α = cosec α. Si el sen α = y α es un ángulo del tercer cuadrante (α III) hallar el resto de razones trigonométricas.. Calcular sen α, sabiendo que tg α = III). y que α es un ángulo del tercer cuadrante (α. Calcular α sabiendo que sen α = y 90o < α < 70 o 4. Calcula las restantes razones trigonométricas, sabiendo que: a) cos α = 4 5 y 0 o < α < 90 o c) sen α = 5 y 90 o < α < 80 o b) cotg α = y 90 o < α < 80 o d) sec α = y 70 o < α < 60 o 5. Si tg α = y α I, halla razonadamente las siguientes razones trigonométricas: 4 ( ) π a) tg (90 o α) c) tg α ( π ) b) tg (π alpha) d) sen + α 6. Sabiendo que sen α = 0, 4, halla razonadamente las siguientes razones trigonométricas: ( ) π a) sen (90 o α) c) tg α ( π ) b) cos (π α) d) sen + α 7. Cuánto vale el coseno del ángulo cuyo seno es igual a su tangente? 4.. Simplificar expresiones trigonométricas Usando las relaciones entre las razones trigonométricas tenemos que ser capaces de escribir de manera más sencilla las expresiones que tengamos, intentando que aparezcan la menor cantidad de razones trigonométricas. Ejemplo 5. Simplifica sen α sen α tg α = sen α tg α = sen sen α α cos α = tg α sen α cos α sen α = cos α 9
Ejercicio 9. Simplifica las siguientes expresiones: cos α ( cos x)( + cos x) a) (Sol. + sen α) d) (Sol. sen x) sen α sen x b) sen α + sen α cos α (Sol. sen α) e) cos x cos x (Sol. tg x) sen x sen x c) cos x cos x tg x cos x (Sol. 0) f) ( + cos x) ( + cos x) + sen x (Sol. 0) 4.. Demostración de igualdades trigonométricas Para demostrar que una igualdad es cierta para cualquier ángulo hay que utilizar las fórmulas conocidas y seguir una de las siguientes estrategias: Desarrollar uno de los miembros hasta conseguir llegar al otro. Normalmente se hace con el más grande. Desarrollar ambos miembros hasta conseguir la misma expresión. Cambiar la igualdad por otra equivalente más sencilla o que se sepa ya que es cierta. Se hace despejando o utilizando fórmulas conocidas. Ejercicio 0. Demuestra las siguientes identidades: a) sen α tg α = cos α b) cos α sen α = cosec α c) + cot α = sen α d) sen α + sen α cos α = sen α ( e) sen α cos α tg α + ) = f) sen 4 α cos 4 α = sen α cos α tg α g) cos α sen α cos 4 α sen 4 α = h) cos α sen α sen α cos α = i) sen α = j) (sen α + cos α) = + tg α cos α + cot α k) tg α sen α = tg α sen α l) cos α + sen α = + tg α sec α sen α + cotg α m) tg α + cosec α = cos α n) sec α + cos α sec α cos α = + cos4 α cos 4 α Ejercicio. Demuestra que son ciertas las siguientes igualdades, para cualesquiera valores de los ángulos que en ellas aparecen: a) sec α + cosec α = sec α cosec α sen α cos α d) cos α sen α = tg α tg α b) tg α + cot α = sec α cosec α e) cot α cos α = cot α cos α c) sen α cos β = sen β cos α f) sen α cos α tg α cotg α sec α cosec α = Ejercicio. Demuestra que cualquiera que sea el ángulo α se verifica la siguiente relación: tg α tg α = sen α cos α cos α sen α 0
4.. Resolver ecuaciones trigonométricas sencillas Ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que aparecen las razones trigonométricas actuando sobre un ángulo que es la incógnita, y que hay que despejar. El valor de la incógnita puede darse en grados o radianes. Debemos comprobar las soluciones, por si nos aparece alguna extraña (no sería solución). Para resolver ecuaciones trigonométricas la ecuación hay que transformarla en otra, de manera que obtengamos una sola razón trigonométrica (seno, coseno, tangente,...) de un único ángulo, igualada a un número. De ahí se deduce el valor del ángulo. Para ello si hay más de una razón trigonométrica, hay que conseguir una única razón, usando las fórmulas trigonométricas conocidas. Habitualmente, tienen infinitas soluciones: todas las que se encuentren en la primera vuelta a la circunferencia, más, vueltas completas, que se indican sumando múltiplos de 60 o (+60 o k, k N, si respondemos en grados) o múltiplos de π ( +πk, k N, si respondemos en radianes). Suele ser suficiente con dar la solución en [0 o, 60 o ]. De ahora en adelante, la siguiente tabla nos será de gran ayuda. Lejos de memorizarla, lo mejor es entender cómo se construye utilizando la raíz cuadrada. sen cos 0 o = 0 rad 0 o = π/6 rad 45 o = π/4 rad 60 o = π/ rad 90 o = π/ rad 0/ = 0 / = / / / 4/ = 4/ = / / / = / 0/ = 0 / = / / / = / / / = tg 0/ = 0 Ejercicio. Partiendo de la circunferencia goniométrica, puedes acotar las funciones seno y coseno? Ejemplo 6. Resuelve las siguientes ecuaciones:. cos x = Puesto que ya tenemos el coseno despejado, lo primero es averiguar qué ángulo α I satisface cos α =. Buscamos en nuestra tabla y encontramos que: α = 60 o = π/. Ahora bien, si cos x 0 = x II, o x III. Puesto que se trata de buscar todas las soluciones posibles (de eso se trata cuando resolvemos una ecuación), tomaremos primero x II y después x III. cos x = x II = x = π π/ = π/ + πk = con k Z x III = x = π + π/ = 4π/ + πk. sen x = cos 60 o.
Como sen (90 o α) = cos α y cos (90 o α) = sen α, podemos tomar el que más nos interese. En este caso, podemos tomar 60 o = 90 o 0 o y luego cos 60 o = cos (90 o 0 o ) = sen 0 o = sen x = x = 0 o + 60k = x = 5 o + 80 o k = π/ + πk rad Aunque parece que hemos encontrado la solución, debemos preguntarnos si es posible que estemos pasando algo por alto. Cómo podemos manipular sen 0 o para obtener más soluciones? Es decir, podemos encontrar un ángulo, que no esté en el primer cuadrante, que cumpla sen α = sen 0 o? Es evidente que, si existe otro, será en el segundo. Probemos:. cos x sen x = 0. sen 0 o = sen (80 o 0 o ) = sen 50 o = sen x = x = 50 + 60 o k = x = 75 o + 80 o k = 5π/ + πk rad Puesto que aparece cos x y sen x, podemos usar sen x + cos x = y despejar el que más nos interese. Por ejemplo, sen x = cos x. Si sustituimos en la ecuación: cos x sen x = 0 = cos x ( cos x) = 0 = 4 cos x = = cos x = 4 cos x = { 0 o + 60 o k = π/6 + πk rad / = x = 0 o + 60 o k = π/6 + πk rad = cos x = ± = cos x = { 50 o + 60 o k = 5π/6 + πk rad / = x = 0 o + 60 o k = 7π/6 + πk rad Si nos fijamos en la imagen, vemos que los ángulos 0 o + 60 o k y 0 o + 60 o k están separados un ángulo de 80 grados o π radianes. Luego, estas dos soluciones se pueden unir en una, quedando: x = 0 o + 80 o k = π/6 + πk rad Pasa lo mismo con la soluciones 50 o +60 o k y 0 o +60 o k. Podemos unirlas de la misma manera, quedando: x = 50 o + 80 o k = 5π/6 + πk rad
Ejercicio 4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x cos x = Sol. { 60 o + 80 o k = 5π/ + πk rad 0 o + 80 o k = π/ + πk rad { 56, o + 80 o k = 0, π + πk rad b) tg x cotg x = 0 Sol. 5 o + 80 o k = π/4 + πk rad c) sen x + cos x = Sol. { 90 o + 80 o k = π/ + πk rad 0 o + 80 o k = πk rad d) sen x = { 60 o + 60 o k = π/ + πk rad Sol. 0 o + 60 o k = π/ + πk rad 90 + 80 o k = π/ + πk rad { e) cos x + sen x = Sol. 0 o + 60 o k = 7π/6 + πk rad 0 o + 60 o k = π/6 + πk rad { 90 o + 80 o k = π/ + πk rad f) cos x sen x + = 0 Sol. { 80 o k = πk rad g) tg x tg x = 0 Sol. 45 o + 80 o k = π/4 + πk rad { 0 o + 60 o k = π/ + πk rad h) cos x sen x + 5 cos x + = 0 Sol. 40 o + 60 o k = 4π/ + πk rad 5. Resolver triángulos rectángulos Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos. Un triángulo rectángulo cumple el teorema de Pitágoras y siempre conocemos un ángulo (el recto). Las preguntas clave para resolver un triángulo: Cuáles son los datos? Cuál es el elemento desconocido? Qué razón trigonométrica relaciona los elementos conocidos y desconocidos? Ejercicio 5. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, sabiendo: a) La hipotenusa mide 8 cm y el ángulo A = 47 o b) Los catetos b = 9, cm y a = 4, cm c) La hipotenusa mide 6, 4 cm y el cateto b =, 8 cm d) Un cateto b = 0, 5 cm y el ángulo B = 60 o
6. Resolver triángulos cualesquiera Existen unas fórmulas que nos permiten resolver directamente triángulos cualesquiera, sin necesidad de utilizar la estrategia de la altura para descomponerlos en dos triángulos rectángulos. A continuación os enunciamos, dos teoremas, a modo de herramienta, para resolver triángulos que no podamos resolver mediante las herramientas básicas que nos proporcionan las razones trigonométricas. 6.. Teorema del seno En cualquier triángulo de ángulos Â, B y Ĉ y lados a, b y c se cumple que: a sen  = b sen B = c sen Ĉ Cuándo podemos hacer uso del Teorema del seno? Cuando tengamos la situación de la imagen, ya sea porque directamente nos piden resolver el triángulo, o porque sea el escenario de un problema en el que nos pidan calcular una distancia o un ángulo. 6.. Teorema del coseno En cualquier triángulo de ángulos Â, B y Ĉ y lados a, b y c se cumple que: a = b + c bc cos  b = a + c ac cos B c = a + b ab cos Ĉ Cuándo usaremos la herramienta que nos proporciona el Teorema del coseno? Si nos fijamos en la primera de las tres identidades, por ejemplo, vemos que, dados los tres lados, a, b y c, podemos sacar el ángulo Â. De la misma manera podemos obtener el ángulo B. Para Ĉ, hacemos uso de  + B + Ĉ = 80o. Siempre que no podamos hacer uso del Teorema del seno, nos debemos preguntar si, el Teorema del coseno nos puede servir para resolver el triángulo o el problema de trigonometría. 7. Ejercicios del tema. Demuestra que son ciertas las siguientes igualdades, para cualesquiera valores de los ángulos que en ellas aparecen: 4
a) + tg α cotg α = tg α cos α cos α(cos α sen α) e) = cos α cos α sen α sen α cos α b) sen α = cos α f) sen α cos α = sen 4 α cos 4 α cos α + sen α tg α c) + sec α tg α sec α = cosec α sen α g) cot α sen α cot α cosec α = 0 sen α + cos α tg α cos α sen α sen α cos α d) = tg α h) = cos α cos α cos α(cos α sen α). Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x = b) cos x = ( x ) c) tg = d) cos x = 4 e) cos x = sen 0 o f) cos x sen x = sen x g) sen x cos x = h) sen x + cos x = 5 4 i) tg x = sen x j) cos x = k) sen x = l) cos x sen x = 0 m) tg x tg x + = 0 n) cos x sen x + 5 cos x + = ñ) sen x sen x = o) tg xsec x = p) cos (4x π) = q) sen x + = cos x sen x 7.. Problemas de triángulos graduados de menor a mayor dificultad. Si tu sombra es la mitad de tu altura, qué ángulo forman los rayos de Sol con el horizonte? [Solución: 6, 46 o ]. Queremos fijar un poste de, 5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. a) A qué distancia del poste sujetaremos el cable? [Solución: 4, 7 m] b) Cuál es la longitud del cable? [Solución: 5, 45 m]. Los lados de un romboide miden y 0 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. Cuánto mide su altura? Y su área? [Solución : alura = 0, 9 m y área = 07, 85 cm ] 4. Dado un trapecio isósceles de base mayor 7 cm, base menor 8 cm y altura 8 cm. Calcula el ángulo que forma el lado oblicuo con la base mayor. [Solución: 75, 96 o ] 5. Calcula el área de un pentágono regular de 5 m de lado. [Solución: 87 m] 6. En una circunferencia de 9 cm de radio inscribimos y circunscribrimos sendos hexágonos regulares. Calcula el área de la superficie comprendida entre ellos. [Solución:, 67 m] 5
7. El ángulo de elevación de una cometa sujeta con una cuerda de longitud 80 m es α = 0 o. El viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ángulo de elevación es B = 60 o. a) Cuál es la altura de las cometas en ese instante? [Solución: 40 m] b) Y la longitud de la cuerda que sujeta la segunda cometa? [Solución: 46, 9 m] 8. Desde el lugar donde me encuentro, la visual a la torre de una Iglesia forma un ángulo de 5 o con la horizontal. Si me alejo 5 m más de la torre, el ángulo es de 4 o. Cuál es la altura de la torre? [Solución: 5, 64 m] 9. Desde el lugar donde me encuentro la visual de una torre forma un ángulo de o con la horizontal. Si me acerco 5 m, el ángulo es de 50 o. Cuál es la altura de la torre? [Solución: 9, 70 m] 0. Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura: a) Calcula la altura del árbol. [Solución:, 09 m] b) A qué distancia está Pablo del árbol? [Solución:, 09 m]. Se desea calcular la altura de una torre de televisión. Para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo como ángulos de elevación 60 o y 45 o respectivamente. Sabiendo que la distancia AB es de 6 m y que la torre está situada entre los dos puntos, halla la altura de la torre. [Solución: 79, 88 m]. Dos edificios distan entre si 50 m. Desde un punto que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 5 o y 0 o. Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo? [Solución: 98, 7 m]. Una escultura está colocada sobre un pedestal de, 5 m de altura. Desde un punto del suelo se ve la escultura bajo un ángulo de 4 o y el pedestal bajo un ángulo de 8 o. Calcula la altura de la escultura. [Solución:, 66 m] 4. Calcula el área de un rombo en función del lado y de uno de sus ángulos agudos. 7.. Problemas de triángulos rectángulos y no rectángulos. Calcula los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 80 cm y 5 cm, y la altura 64 cm. [Solución: 75 o 8 54 y 04 o 5 ]. Resuelve un decágono regular cuyo radio mide 6 4 m. [Solución: Ángulo interior = 44o, lado =, 96 m] 6
. Calcula el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 0 m, y forman entre ellos un ángulo de 70 o. [Solución: 4886, 4 m ] 4. Calcula el área de un triángulo isósceles del que se sabe que el lado desigual mide 4 m y el ángulo desigual 45 o. [Solución: 9, 66 m ] 5. Sabiendo que dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 4 cm y 6 cm y que forman un ángulo de 45 o, halla su área. [Solución: 6, 97 cm ] 6. La diagonal de un pentágono regular mide cm. Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita. [Solución: 6, 8 cm] 7. Halla la diagonal de un pentágono regular cuyo lado mide 6 cm. [Solución: 0, 94 cm] 8. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 o y el ángulo en C es de 80 o A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? [Solución: a C 79 Km y a A 85, 84 km] 9. Halla la base de un triángulo isósceles cuya altura mide cm, siendo el ángulo opuesto a la base de 0 o. Calcula también el área. [Solución: Base =, 8 cm y Área =, cm ] 0. Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 0 m y 5 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70 o. Si deseáramos vallar la finca, cuántos metros de valla necesitaríamos? [Solución: 55, 49 m]. Las diagonales de un romboide miden 0 cm y cm, y el ángulo que forman es de 48 o 5. Calcula la medida de los lados: [Solución: 4, 59 cm y 0, 05 m]. Un foco sujeto en lo alto de un edificio ilumina una zona de la calle de 7 m de anchura bajo un ángulo de 0 o. El rayo de luz más próximo al muro forma con este un ángulo de 0 o. Calcula la altura del edificio. [Solución: 0, 56 m]. Si el ángulo A de un triángulo mide 45 o y el B mide 60 o, calcula la longitud del lado b, sabiendo que la del lado a, es 6 6 cm. [Solución: 8 cm] 4. Calcula la distancia del punto A al punto inaccesible C, al otro lado del río. [Solución: 77, 07 m] 7