En ee capíulo e inicia el eudio del movimieno. Aquí no e iene ineré en la propiedade de lo objeo ni en la caua de u movimieno; el objeivo conie ólo en decribir analizar el movimieno de un puno en el epacio. Depué de definir la poición, velocidad aceleración de un puno, e conidera el cao má encillo: el movimieno a lo largo de una línea reca. Poeriormene e muera la manera en que el movimieno de un puno a lo largo de una raecoria arbiraria e exprea analiza uando divero iema coordenado. a n a a línea mueran la raecoria eguida por parícula ubaómica que e mueven en un campo magnéico. a parícula con raecoria curva ienen ano componene de aceleración angenciale como normale.
22 Capíulo 13 Movimieno de un puno 13.1 Poición, velocidad aceleración ANTECEDENTES Si alguien oberva a la gene que e encuenra denro de una habiación, por ejemplo un grupo de perona en una fiea, podrá percibir la poicione en relación con la habiación. Alguna perona earán en el fondo de la habiación, ora en medio del cuaro, ecéera. a habiación e u marco de referencia. Para preciar ea idea e puede inroducir un iema de coordenada careiana con u eje alineado con la parede del cuaro como en la figura 13.1a epecificar la poición de una perona (en realidad, la poición de algún puno de la perona, por ejemplo u cenro de maa) indicando la componene del vecor de poición r en relación con el origen del iema coordenado. Ee iema de coordenada e un marco de referencia conveniene para lo objeo en la habiación. Si alguien eá enado en un avión, podrá percibir la poicione de lo objeo denro del avión en relación con ée. En al cao, el inerior del avión e u marco de referencia. Para epecificar de manera precia la poición de una perona denro del avión, e puede inroducir un iema de coordenada careiana que eé fijo en relación con el avión mida la poición del cenro de maa de una perona epecificando la componene del vecor de poición r en relación con el origen (figura 13.1b). Un marco de referencia e implemene un iema coordenado que e adecuado para epecificar poicione de puno. Se recomienda familiarizare por lo meno con la coordenada careiana. En ee capíulo e analiza oro ejemplo a lo largo del libro e coninúa el eudio de lo marco de referencia. Se puede decribir la poición de un puno P en relación con un marco de referencia dado con origen mediane el vecor de poición r dede haa P (figura 13.2a). Suponga que P eá en movimieno repeco al marco de referencia ecogido, de manera que r e una función del iempo (figura 13.2b). o anerior e exprea mediane la noación r r(). a velocidad de P repeco al marco de referencia dado en el iempo e define como v = dr d r1 + 2- r12 = lím : 0, (13.1) x r (a) z Figura 13.1 Marco de referencia conveniene para epecificar poicione de objeo (a) en una habiación; (b) en un avión. z r (b) x
13.1 Poición, velocidad aceleración 23 P P r (a) (b) P( ) r( ) r() r( ) P() r() (c) Figura 13.2 (a) Vecor de poición r de P repeco a. (b) Movimieno de P repeco al marco de referencia. (c) Cambio en la poición de P de a. donde el vecor r( ) r() e el cambio de poición, o deplazamieno de P, durane el inervalo de iempo (figura 13.2c). Aí, la velocidad e la razón de cambio de la poición de P. a dimenione de una derivada e deerminan como i fuera una proporción, por lo que la dimenione de v on (diancia) (iempo). El marco de referencia uado uele er obvio, e llamará implemene v a la velocidad de P. Sin embargo, recuerde que la poición la velocidad de un puno pueden epecificare ólo con repeco a un marco de referencia. berve en la ecuación (13.1) que la derivada de un vecor con repeco al iempo e define exacamene igual que la derivada de una función ecalar. Por lo anerior, la derivada de un vecor compare alguna propiedade de la derivada de una función ecalar. Se uarán do de ea propiedade: la derivada con repeco al iempo, o derivada del iempo, de la uma de do funcione vecoriale u w e v( ) v() v() v( ) v( ) v() d du 1u + w2 = d d + dw Figura 13.3 d, Cambio en la velocidad de P dede haa. la derivada repeco al iempo del produco de una función ecalar f una función vecorial u e d1fu2 d a aceleración de P repeco al marco de referencia dado en el iempo e define como a = d = = df d u + f du d. lím :0 v1 + 2 - v12, (13.2) donde v( ) v() e el cambio en la velocidad de P durane el inervalo de iempo (figura 13.3). a aceleración e la razón de cambio de la velocidad de P en el iempo (la egunda derivada repeco al iempo del deplazamieno), u dimenione on (diancia) (iempo) 2. Se ha definido la velocidad la aceleración de P en relación con el origen del marco de referencia. Se puede demorar que un puno iene la mima velocidad aceleración en relación con cualquier puno fijo en un marco de referencia dado. Sea un puno fijado de manera arbiraria, ea r el vecor de poición de a P (figura 13.4a). a velocidad de P relaiva a e v dr d. a velocidad de P R r (a) r (b) r r Figura 13.4 (a) Vecore de poición de P relaivo a. (b) Vecor de poición de relaivo a. P P
24 Capíulo 13 Movimieno de un puno relaiva al origen e v dr d. Se deea demorar que v v. Sea R el vecor de a (figura 13.4b), de modo que r r R. Como el vecor R e conane, la velocidad de P relaiva a e v = dr d = dr d - dr d = dr d = v. a aceleración de P relaiva a e a d, la aceleración de P relaiva a e a d. Como v v, a a. Aí, la velocidad aceleración de un puno P relaiva a un marco de referencia dado no dependen de la ubicación del puno de referencia fijo uado para epecificar la poición de P. RESUTADS Poición a poición de un puno P en relación con un iema coordenado epecífico, o marco de referencia, con origen puede decribire mediane el vecor de poición r de a P. r P Velocidad a velocidad de P relaiva a en el iempo e la derivada de la poición r con repeco a (la razón de cambio de r). dr v. (13.1) d Aceleración a aceleración de P relaiva a en un iempo e la derivada de la velocidad v con repeco a (la razón de cambio de v). a. (13.2) d Un puno iene la mima velocidad aceleración relaiva a cualquier puno fijo en un marco de referencia dado. 13.2 Movimieno en línea reca ANTECEDENTES Ee ipo imple de movimieno e analiza primordialmene para que ued obenga experiencia ane de paar al cao general del movimieno de un puno. Sin embargo, en mucha iuacione prácica lo ingeniero deben analizar movimieno en línea reca, como el movimieno de un vehículo obre un camino reco o el movimieno de un pión en un moor de combuión inerna. Decripción del movimieno Conidere una línea reca que paa por el origen de un marco de referencia dado. Se upone que la dirección de la línea relaiva al marco de referencia eá fija (por ejemplo, el eje x de un iema de coordenada careiana paa por el origen
13.2 Movimieno en línea reca 25 iene una dirección fija en relación con el marco de referencia). Se puede epecificar la poición de un puno P obre una línea reca repeco a por medio de una coordenada medida a lo largo de la línea que va de a P. En la figura 13.5a e define a como poiiva hacia la derecha, por lo que e poiiva cuando P eá a la derecha de negaiva cuando P eá a la izquierda de. El deplazamieno de P durane un inervalo de iempo de 0 a e el cambio de poición () ( 0 ), donde () denoa la poición en el iempo. Al inroducir un vecor uniario e que e paralelo a la línea que apuna en la dirección poiiva de (figura 13.5b), e poible ecribir el vecor de poición de P repeco a como r e. Como la magniud la dirección de e on conane, de d 0, por lo que la velocidad de P repeco a e v = dr d = d d e. Se puede ecribir el vecor velocidad como v ve, obener la ecuación ecalar v = d d. a velocidad v de un puno P a lo largo de la línea reca e la razón de cambio de u poición. berve que v e igual a la pendiene en un iempo de la línea angene a la gráfica de como una función del iempo (figura 13.6). a aceleración de P repeco a e a = d = d 1ve2 = d d e. Al ecribir el vecor de aceleración como a ae e obiene la ecuación ecalar a = d = d2 d 2. a aceleración a e igual a la pendiene en el iempo de la línea angene a la gráfica de v como una función del iempo (figura 13.7). Con la inroducción del vecor uniario e, e han obenido ecuacione ecalare que decriben el movimieno de P. a poición queda epecificada por la coordenada, la velocidad la aceleración eán regida por la ecuacione v = d (13.3) d a = (13.4) d. Aplicando la regla de la cadena del cálculo diferencial, e poible ecribir la derivada de la velocidad con repeco al iempo como d = d d d, con lo que e obiene una expreión alernaiva para la aceleración que frecuenemene reula úil: a = (13.5) d v. v r (a) (b) P P Figura 13.5 (a) Coordenada de a P. (b) Vecor uniario e vecor de poición r. Figura 13.6 a pendiene de la línea reca angene a la gráfica de conra e la velocidad en el iempo. Figura 13.7 a pendiene de la línea reca angene a la gráfica de v conra e la aceleración en el iempo. 1 1 a v e
26 Capíulo 13 Movimieno de un puno Análii del movimieno En alguna iuacione e conoce la poición de algún objeo como función del iempo. o ingeniero uan méodo como el radar la inerferomería de láer para medir poicione en función del iempo. En ee cao, con la ecuacione (13.3) (13.4) pueden obenere por diferenciación la velocidad la aceleración como funcione del iempo. Por ejemplo, i la poición del camión de la figura 13.8 durane el inervalo de iempo de 2 a 4 eá dada por la ecuación Figura 13.8 a coordenada mide la poición del cenro de maa del camión repeco a un puno de referencia. = 6 + 1 3 3 m, enonce, u velocidad aceleración durane ee inervalo de iempo on v = d d = 2 m/ a = d = 2 m/2. Sin embargo, e má común conocer la aceleración de un cuerpo que u poición, porque la aceleración de un cuerpo e puede deerminar mediane la egunda le de Newon cuando e conocen la fuerza que acúan obre él. Cuando e conoce la aceleración, con la ecuacione (13.3) a (13.5) e pueden deerminar por inegración la velocidad la poición. Aceleración epecificada como función del iempo Si la aceleración e una función conocida del iempo, e puede inegrar la relación d = a (13.6) con repeco al iempo para deerminar la velocidad en función del iempo. Se obiene v = a d + A, donde A e una conane de inegración. Depué e puede inegrar la relación d d = v (13.7) para deerminar la poición en función del iempo, = v d + B, donde B e ora conane de inegración. Para deerminar la conane A B e neceia información adicional acerca del movimieno, por ejemplo lo valore de v en un iempo dado. En vez de uar inegrale indefinida, la ecuación (13.6) puede ecribire como ad
13.2 Movimieno en línea reca 27 e inegrar en érmino de inegrale definida: v v 0 = a d. 0 (13.8) El límie inferior v 0, e la velocidad en el iempo 0 el límie uperior v e la velocidad en un iempo cualquiera. Evaluando la inegral del lado izquierdo de la ecuación (13.8), e obiene una expreión para la velocidad en función del iempo: v = v 0 + a d. 0 (13.9) Se puede ecribir la ecuación (13.7) como d v d e inegrar en érmino de inegrale definida, 0 d = v d, 0 donde el límie inferior 0 e la poición en el iempo 0 el límie uperior e la poición en un iempo arbirario. Evaluando la inegral del lado izquierdo, e obiene la poición como una función del iempo: = 0 + v d. 0 (13.10) Aunque e ha morado cómo deerminar la velocidad la poición cuando e conoce la aceleración como una función del iempo, no e recomendable memorizar reulado como la ecuacione (13.9) (13.10). Como e demorará en lo ejemplo, e recomienda que lo problema de movimieno en línea reca e reuelvan uando la ecuacione (13.3) a (13.5). Se pueden realizar alguna obervacione úile obre la ecuacione (13.9) (13.10): El área definida por la gráfica de la aceleración de P como una función del iempo de 0 a e igual al cambio en la velocidad de 0 a (figura 13.9a). El área definida por la gráfica de la velocidad de P como una función del iempo de 0 a e igual al cambio en la poición de 0 a (figura 13.9b). A menudo ea relacione pueden uare para obener una apreciación cualiaiva del movimieno de un cuerpo, en alguno cao incluo e pueden uar para deerminar u movimieno en forma cuaniaiva. a v 0 (a) Área v() v( 0 ) 0 (b) Área () ( 0 ) Figura 13.9 Relacione enre área definida por la gráfica de la aceleración la velocidad de P, cambio en u velocidad poición.
28 Capíulo 13 Movimieno de un puno Aceleración conane En alguna iuacione, la aceleración de un objeo e conane, o cai conane. Por ejemplo, i e deja caer un objeo deno, como una peloa de golf o una roca, ée no cae mu lejo, la aceleración de ee cuerpo e aproximadamene igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Sea la aceleración una conane conocida a 0. A parir de la ecuacione (13.9) (13.10), la velocidad la poición como funcione del iempo on v v 0 a 0 ( 0 ) (13.11) = 0 + v 0 1-0 2 + 1 2 a 01-0 2 2, (13.12) donde 0 v 0 on la poición la velocidad, repecivamene, en el iempo 0. berve que i la aceleración e conane, la velocidad e una función lineal del iempo. A parir de la ecuación (13.5), puede ecribire la aceleración como a 0 = d v. Ecribiendo ea expreión como v a 0 d e inegrando, v v = a 0 d, v 0 0 e obiene una ecuación para la velocidad como una función de la poición: v 2 = v 2 0 + 2a 0 1-0 2. (13.13) Aunque la ecuacione (13.11) a (13.13) pueden er úile cuando la aceleración e conane, no deben er uada en oro cao. RESUTADS Poición a poición de un puno P obre una línea reca repeco a un puno de referencia puede decribire mediane la coordenada medida a lo largo de la línea dede haa P. El deplazamieno de P durane un inervalo de iempo de 0 a e el cambio en poición () ( 0 ), donde () denoa la poición en el iempo. P Velocidad a velocidad de P repeco a en el iempo e la derivada de la poición con repeco a (la razón de cambio de ). d v. (13.3) d
13.2 Movimieno en línea reca 29 Aceleración a aceleración de P repeco a en un iempo e la derivada de la velocidad v con repeco a (la razón de cambio de v). a. (13.4) d Aplicando la regla de la cadena a d d d d e obiene una expreión alernaiva para la aceleración que con frecuencia reula úil. a v. (13.5) d Cuando e conoce la aceleración como una función del iempo a aceleración puede inegrare con repeco al iempo para deerminar la velocidad como una función del iempo. A e una conane de inegración. d a, v a d A. De manera alernaiva e pueden uar inegrale definida para deerminar la velocidad. Aquí v 0 e la velocidad en el iempo 0, v e la velocidad en el iempo. Ee reulado muera que el cambio en la velocidad del iempo 0 al iempo e igual al área definida por la gráfica de la aceleración dede el iempo 0 haa el iempo. v a d, v 0 0 v v 0 a d. 0 a Área v() v( 0 ) 0 Cuando e conoce la velocidad como una función del iempo a velocidad puede inegrare con repeco al iempo para deerminar la poición como una función de ée. B e una conane de inegración. d d v, v d B.
30 Capíulo 13 Movimieno de un puno Pueden uare inegrale definida para deerminar la poición. Aquí, 0 e la poición en el iempo 0, e la poición en el iempo. Ee reulado muera que el cambio en la poición del iempo 0 al iempo e igual al área definida por la gráfica de la velocidad dede el iempo 0 haa el iempo. v d, 0 0 0 v d. 0 v Área () ( 0 ) 0 Cuando la aceleración e conane Suponga que la aceleración e una conane a a 0. a ecuacione (13.3) a (13.5) pueden inegrare para obener eo reulado conveniene para la velocidad v la poición en el iempo. Aquí v 0 e la velocidad en el iempo 0, 0 e la poición en el iempo 0. v v 0 a 0 ( 0 ), 1 0 v 0 ( 0 ) a 0 ( 0 ) 2, 2 v 2 v 2 0 2a 0 ( 0 ). (13.11) (13.12) (13.13) Ejemplo acivo 13.1 Aceleración que e una función del iempo ( Relacionado con el problema 13.12) a aceleración (en m/ 2 ) del puno P morado repeco al puno eá dada como una función del iempo por a 3 2, donde eá en egundo. En 1, la poición de P e 3 m en 2, la poición de P e 7.5 m. Cuál e la poición de P en 3? P Eraegia Debido a que la aceleración eá dada como una función del iempo, éa puede inegrare para obener una ecuación para la velocidad en función del iempo. Depué e puede inegrar la velocidad para obener una ecuación para la poición en función del iempo. a ecuacione reulane conendrán do conane de inegración. Ea expreione pueden evaluare uando lo valore dado de la poición en 1 2.
13.2 Movimieno en línea reca 31 Solución Inegre la aceleración para deerminar la velocidad como una función del iempo. A e una conane de inegración. a 3 2, d v 3 A. Inegre la velocidad para deerminar la poición como una función del iempo. B e una conane de inegración. d v 3 A, d 1 4 A B. 4 Ue la poicione conocida en 1 en 2 para deerminar A B, obeniendo A 0.75 B 2. (1) 4 1 3 1 A(1) B, 4 1 2 7.5 (2) 4 A(2) B. 4 Deermine la poición en 3. 1 4 0.75 2 : 4 1 3 (3) 4 0.75(3) 2 24.5 m. 4 Problema de prácica a aceleración (en pie/ 2 ) del puno P repeco al puno eá dado como una función del iempo por a 2, donde eá dado en egundo. Cuando 3, la poición la velocidad de P on 30 pie v 14 pie/. Qué valore ienen la poición la velocidad de P en 10? P Repuea: 389 pie, v 105 pie/.
32 Capíulo 13 Movimieno de un puno Ejemplo 13.2 Movimieno en línea reca con aceleración conane ( Relacionado con el problema 13.1) o ingeniero que prueban un vehículo que debe lanzare por paracaída eiman que la velocidad verical del auomóvil al ocar el uelo erá de 6 m/. Si uelan el vehículo dede el baidor de prueba morado, a qué alura h e debe olar para imular la caída con paracaída? h Eraegia Si la única fuerza ignificaiva que acúa obre un objeo cerca de la uperficie de la Tierra e u peo, la aceleración del objeo e aproximadamene conane e igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Por lo ano, e upone que la aceleración del vehículo durane u cora caída e g 9.81 m/ 2. Se pueden inegrar la ecuacione (13.3) (13.4) para obener la velocidad la poición del vehículo como funcione del iempo depué uarla para deerminar la poición del vehículo cuando u velocidad e igual a 6 m/. Solución Sea 0 el iempo en el que el vehículo e uela, ea la poición del fondo de la plaaforma que opora al vehículo repeco a u poición en 0 (figura a). a aceleración del vehículo e a 9.81 m/ 2. De la ecuación (13.4), Inegrando, e obiene d = a = 9.81 m/2. v 9.81 A, donde A e una conane de inegración. Como el vehículo e encuenra en repoo al olarlo, v 0 cuando 0. Por lo ano, A 0, la velocidad del vehículo en función del iempo e v 9.81 m/.
13.2 Movimieno en línea reca 33 a) a coordenada mide la poición del fondo de la plaaforma repeco a u poición inicial. Se uiue ee reulado en la ecuación (13.3) para obener d d = v = 9.81 e inegra, de donde reula 4.91 2 B. a poición 0 cuando 0, por lo que la conane de inegración B 0, la poición en función del iempo e 4.91 2. De la ecuación para la velocidad como una función del iempo, el iempo neceario para que el vehículo alcance 6 m/ e = v 9.81 m/ 2 = 6 m/ = 0.612. 2 9.81 m/ Suiuendo ee iempo en la ecuación para la poición en función del iempo, e obiene la alura h requerida: h 4.91 2 4.91(0.612) 2 1.83 m. Razonamieno críico berve que la alura h, dede la cual debe olare el vehículo, podría habere deerminado de una manera má imple uando la ecuación (13.13), que relaciona la velocidad con la poición. v 2 v 2 0 2a 0 ( 0 ): (6 m/) 2 0 2(9.81 m/ 2 )(h 0). Al reolver, e obiene h 1.83 m. Pero reula eencial recordar que la ecuacione (13.11) a (13.13) on aplicable ólo cuando la aceleración e conane, como en ee ejemplo.
34 Capíulo 13 Movimieno de un puno Ejemplo 13.3 Solución gráfica de un movimieno en línea reca ( Relacionado con el problema 13.26) El guepardo, Acinonx jubau, puede correr a 75 mi/h. Si e upone que la aceleración del animal e conane que alcanza u velocidad máxima en 4, qué diancia podrá recorrer en 10? Eraegia a aceleración iene un valor conane durane lo primero 4 depué e cero. Se puede deerminar la diancia recorrida durane cada una de ea fae del movimieno umarla para obener la diancia oal recorrida. Eo e hará de manera analíica gráfica. Solución a velocidad máxima en pie por egundo e 75 mi/h = 175 mi/h2a Primer méodo Sea a 0 la aceleración durane lo primero 4. Se inegra la ecuación (13.4) reula 0 v = a 0 d, v cv d 0 v - 0 = a 0 1-02, de donde e obiene la velocidad en función del iempo durane lo primero 4 : v a 0 pie/. Cuando 4, v 110 pie/; enonce a 0 110 4 27.5 pie/ 2. Por lo ano, la velocidad durane lo primero 4 egundo e v 27.5 pie/. Ahora e inegra la ecuación (13.3), d = 27.5 d, 0 0 c d 0 0 = a 0 c d = 27.5c 2 2 d, 0-0 = 27.5a 2 2-0b, 0, 5280 pie 1 mi b a 1 h b = 110 pie/. 3600 e obiene la poición como función del iempo durane lo primero 4 : 13.75 2 pie.
13.2 Movimieno en línea reca 35 En 4 la poición e 13.75(4) 2 220 pie. De 4 a 10, la velocidad v 110 pie/. Se ecribe la ecuación (13.3) como d v d 110 d e inegra para deerminar la diancia viajada durane la egunda fae del movimieno, 10 d = 110 d, 0 4 c d 0 10 = 110c d, 4-0 = 110110-42, obeniendo 660 pie. a diancia oal que viaja el guepardo en 10 e 220 pie 660 pie 880 pie, o 293 d. Segundo méodo En la figura a e dibuja la gráfica de la velocidad del guepardo en función del iempo. a aceleración e conane durane lo primero 4 de u movimieno, por lo que u velocidad e una función lineal del iempo dede v 0 en 0 haa v 110 pie/ en 4. a velocidad e conane durane lo úlimo 6. a diancia oal recorrida e la uma de la área durane la do fae del movimieno: 1 2 (4 )(110 pie/) (6 )(110 pie/) 220 pie 660 pie 880 pie. v (pie/) 110 0 0 El área e igual a la diancia recorrida de 0 a 10. 4 () 10 (a) Velocidad del guepardo en función del iempo. Razonamieno críico berve que en el primer méodo e uaron inegrale definida en vez de indefinida para deerminar la velocidad poición del guepardo en función del iempo. Se ugiere reolver ee ejemplo uando inegrale indefinida comparar lo reulado de ambo méodo. El uo de inegrale definida o indefinida e una cueión de preferencia peronal, pero e neceario ear familiarizado con ambo procedimieno.
36 Capíulo 13 Movimieno de un puno Problema o iguiene problema implican movimieno en línea reca. El iempo eá en egundo a meno que e indique ora coa. 13.1 En el ejemplo 13.2 uponga que el vehículo e deja caer dede una alura h 6 m. a) Qué valor iene la velocidad decendene 1 depué de olar el vehículo? b) Qué valor iene la velocidad decendene juo ane de llegar al uelo? 13.2 a freadora que e muera en la figura eá programada de modo que durane el inervalo de iempo dede 0 haa 2, la poición de u cabeza (en pulgada) eá dada como una función del iempo por 4 2 2. Cuál e la velocidad (en pulg/) la aceleración (en pulg/ 2 ) de la cabeza cuando 1? 13.3 En un experimeno para eimar la aceleración debida a la gravedad, un eudiane deja caer una peloa a una diancia de 1 m obre el pio. Su compañero de laboraorio mide el iempo que la peloa arda en caer obiene una eimación de 0.46. a) Cuál e u eimación de la aceleración debida a la gravedad? b) Sea la poición de la peloa repeco al pio. Uando el valor de la aceleración debida a la gravedad obenida por lo eudiane, uponiendo que la peloa e uela en 0, deermine (en m) como una función del iempo. Problema 13.2 0 Problema 13.3
Problema 37 13.4 a poición del boe que e muera en la figura durane el inervalo de iempo dede 2 haa 10 eá dada por 4 1.6 2 0.08 3 m. a) Deermine la velocidad del boe la aceleración en 4. b) Cuál e la velocidad máxima del boe durane ee inervalo de iempo cuándo ocurre? 13.7 a poición de un puno durane el inervalo de iempo dede 0 haa 3 e 12 5 2 3 pie. a) Cuál e la velocidad máxima durane ee inervalo de iempo, en qué momeno ocurre? b) Cuál e la aceleración cuando la velocidad e máxima? 13.8 a manivela giraoria que e muera en la figura ocaiona que la poición del puno P como una función del iempo ea 0.4 en(2p) m. a) Deermine la velocidad la aceleración de P en 0.375. b) Cuál e la magniud máxima de la velocidad de P? c) Cuando la magniud de la velocidad de P e máxima, cuál e la aceleración de P? 13.9 Para el mecanimo del problema 13.8, dibuje gráfica de la poición, la velocidad v la aceleración a del puno P como funcione del iempo para 0 2. Uando u gráfica, confirme que la pendiene de la gráfica de e cero en lo iempo para lo cuale v e igual a cero que la pendiene de la gráfica de v e cero en lo iempo para lo cuale a e igual a cero. Problema 13.4 13.5 El cohee que e muera en la figura pare del repoo en = 0 viaja hacia arriba en línea reca. Su alura obre el uelo como una función del iempo puede aproximare por b 2 c 3, donde b c on conane. En 10, la velocidad del cohee la aceleración on v 229 m/ a 28.2 m/ 2. Deermine el iempo en el que el cohee alcanza la velocidad uperónica (325 m/). Cuál e la alura cuando eo ocurre? Problema 13.8/13.9 13.10 Un imógrafo mide el movimieno horizonal del erreno durane un imo. Al analizar lo dao, un ingeniero deermina que para un inervalo de 10 egundo comenzando en 0, la poición e puede exprear aproximadamene con 100 co(2p) mm. Cuále on a) la velocidad máxima b) la aceleración máxima del erreno durane el inervalo de 10 egundo? P 13.11 En una operación de enamblaje, el brazo de robo morado e mueve a lo largo de una línea reca. Durane un inervalo de iempo de 0 a 1, u poición eá dada por 30 2 20 3 mm. a) Deermine la velocidad máxima durane ee inervalo de iempo. b) Qué valore ienen la poición la aceleración cuando la velocidad e máxima? Problema 13.5 13.6 a poición de un puno durane el inervalo de iempo dede 0 haa 6 eá dada por 1 2 3 6 2 4 m. a) Cuál e la velocidad máxima durane ee inervalo de iempo en qué momeno ocurre? b) Cuál e la aceleración cuando la velocidad e máxima? Problema 13.11
13.3 Movimieno en línea reca cuando la aceleración depende de la velocidad o de la poición 41 13.37 Si u 1 rad du d 1 rad/, cuál e la velocidad de P repeco a? Eraegia: Se puede ecribir la poición de P repeco a como (2 pie) co u (2 pie) co u, luego calcular la derivada de ea expreión con repeco al iempo para deerminar la velocidad. 13.39* Si u 1 rad du d 1 rad/, cuál e la velocidad de P relaiva a? 200 mm 400 mm 13.38 Si u 1 rad, du d 2 rad/ d 2 u d 2 0, cuále on la velocidad la aceleración de P repeco a? u P 2 pie 2 pie Problema 13.39 u P Problema 13.37/13.38 13.3 Movimieno en línea reca cuando la aceleración depende de la velocidad o de la poición ANTECEDENTES Aceleración epecificada como función de la velocidad a fuerza aerodinámica e hidrodinámica ocaionan que la aceleración de un objeo dependa de u velocidad (figura 13.10). Suponga que la aceleración e una función conocida de la velocidad; e decir, d = a1v2. (13.14) No e poible inegrar ea ecuación con repeco al iempo para deerminar la velocidad, porque a(v) no e conoce como función del iempo. Sin embargo, e pueden eparar variable poniendo lo érmino que conengan v en un lado de la ecuación lo érmino que conengan en el oro lado: a1v2 = d. Ahora e puede inegrar, de donde e obiene v 0 v a1v2 = d, 0 (13.15) (13.16) Figura 13.10 a fuerza aerodinámica e hidrodinámica dependen de la velocidad del cuerpo. Cuando la velocidad de la bala decrece, la fuerza aerodinámica de arrare que reie u movimieno diminue.
42 Capíulo 13 Movimieno de un puno donde v 0 e la velocidad en el iempo 0. En principio, e puede reolver ea ecuación para la velocidad en función del iempo, luego inegrar la relación para deerminar la poición en función del iempo. Uando la regla de la cadena, ambién e puede deerminar la velocidad en función de la poición. Ecribiendo la aceleración como uiuéndola en la ecuación (13.14) e obiene a eparación de variable produce Inegrando, d d = v d = d d d = d v d v = a1v2. v a1v2 = d. v v a1v2 = d, v 0 0 e poible obener una relación enre la velocidad la poición. Aceleración epecificada como función de la poición a fuerza graviaoria la fuerza ejercida por reore pueden hacer que la aceleración de un cuerpo dependa de u poición. Si la aceleración e conoce como una función de la poición; e decir, d = a12, (13.17) no e puede inegrar con repeco al iempo para deerminar la velocidad porque a() no e conoce como función del iempo. Ademá, no e poible eparar variable porque la ecuación coniene re variable: v,. Sin embargo, uando la regla de la cadena d = d d d = d v, la ecuación (13.17) puede ecribire como d v = a12. Ahora e pueden eparar variable, v a() d, (13.18)
13.3 Movimieno en línea reca cuando la aceleración depende de la velocidad o de la poición 43 e inegra: v v = a12 d. v 0 0 (13.19) En principio e puede reolver ea ecuación para la velocidad en función de la poición: v = d d = v12. (13.20) uego e poible eparar variable en ea ecuación e inegrar para deerminar la poición en función del iempo: 0 d v12 = d. 0 RESUTADS Cuando la aceleración e conoce como una función de la velocidad, a a(v). Separe variable a(v): d d, a(v) e inegre para deerminar la velocidad como una función del iempo. aplique primero la regla de la cadena, d v a(v), d d d d Depué, epare variable, v d, a(v) e inegre para deerminar la velocidad como una función de la poición. Cuando la aceleración e conoce como una función de la poición, a a(). Aplique la regla de la cadena, d v a(), d d d d depué epare variable, v a()d, e inegre para deerminar la velocidad como una función de la poición.
44 Capíulo 13 Movimieno de un puno Ejemplo acivo 13.4 Aceleración que e una función de la velocidad ( Relacionado con el problema 13.40) Depué de deplegar u paracaída de freno, el avión que e preena en la figura iene una aceleración (en m/ 2 ) de a 0.004v 2, donde v e la velocidad en m/. Deermine el iempo requerido para que la velocidad del avión e reduzca de 80 m/ a 10 m/. Eraegia a aceleración del avión e conoce como una función de u velocidad. Si e ecribe la aceleración como a d, e poible eparar variable e inegrar para deerminar la velocidad como una función del iempo. Solución 0.004v 2 : d Separe variable. 0.004d. v 2 Inegre, definiendo 0 como el iempo en el cual la velocidad e de 80 m/. Aquí v e la velocidad en el iempo. Depeje en érmino de la velocidad. A parir de ea ecuación, e encuenra que el iempo requerido para que la velocidad diminua a 10 m/ e 21.9. En la gráfica e muera la velocidad del avión como una función del iempo. 80 v v 2 0.004 0 d, 1 0.004, v v 80 0 1 0.004. v 1 80 1 250 v 1. 80 v (m/) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 21.9 25 30 () Problema de prácica Qué diancia viaja el avión mienra u velocidad diminue de 80 m/ a 10 m/? Repuea: 520 m.
46 Capíulo 13 Movimieno de un puno Problema 13.40 En el ejemplo acivo 13.4, deermine el iempo requerido para que la velocidad del avión diminua de 50 m/ a 10 m/. 13.41 Un ingeniero que eá dieñando un iema para conrolar el punero de un proceo de maquinado, modela el iema de manera que la aceleración del punero (en pulg/ 2 ) durane un inervalo de iempo eá dado por a 0.4v, donde v e la velocidad del punero en pulg/. Cuando 0, la poición e 0 la velocidad e v 2 pulg/. Cuál e la poición en 3? 13.44 Una bola de acero e libera del repoo en un recipiene de aceie. Su aceleración hacia abajo e a 2.4 0.6v pulg/ 2, donde v e la velocidad en pulg/. Cuál e la velocidad hacia abajo de la bola 2 depué de haber ido olada? 13.45 En el problema 13.44, cuál e la diancia que cae la bola en lo primero 2 depué de haber ido olada? Problema 13.44/13.45 Problema 13.41 13.42 a lancha de la figura e mueve a 10 m/ cuando u moor e apaga. Debido a la reiencia aerodinámica, u aceleración ubecuene e a 0.05v 2 m/ 2, donde v e la velocidad de la lancha en m/. Cuál e la velocidad de la lancha 4 depué de que e apaga el moor? 13.43 En el problema 13.42, qué diancia recorre la lancha en lo 4 que iguen al apagado del moor? 13.46 a maor profundidad oceánica decubiera haa ahora e halla en el foo de la Mariana, en el céano Pacífico occidenal. Si e libera una bola de acero en la uperficie requiere 64 minuo para llegar al fondo. a aceleración de la bola hacia abajo e a 0.9g cv, donde g 9.81 m/ 2 la conane c 3.02 1. Cuál e la profundidad del foo de la Mariana en kilómero? 13.47 a aceleración de un avión regional durane u carrera de depegue e a 14 0.0003v 2 pie/ 2, donde v e la velocidad en pie/. Cuáno iempo arda el avión en alcanzar u velocidad de depegue de 200 pie/? 13.48 En el problema 13.47, qué diancia requiere el avión para depegar? Problema 13.42/13.43
13.4 Movimieno curvilíneo: Coordenada careiana 49 13.63 El radio de la una de 1738 km. a magniud de la aceleración debida a la gravedad en u uperficie a una diancia dede u cenro e 4.89 * 10 12 2 m/ 2. Suponga que una nave epacial e lanza hacia arriba dede la uperficie de la una con una velocidad de 2000 m/. a) Cuál erá la magniud de u velocidad cuando e encuenre a 1000 km obre la uperficie de la una? b) Cuál e la máxima alura que alcanzará obre la uperficie de la una? 13.65 Suponga que e puede aladrar un únel reco a ravé de la Tierra, dede el Polo Nore haa el Polo Sur, evacuar el aire. Un objeo liberado dede la uperficie caería con aceleración a g R E, donde g e la aceleración de la gravedad al nivel del mar, R E e el radio de la Tierra e la diancia del objeo repeco al cenro de la Tierra. (a aceleración debida a la gravedad e igual a cero en el cenro de la Tierra e incremena linealmene con la diancia dede el cenro). Cuál e la magniud de la velocidad del objeo cuando ée llega el cenro de la Tierra? 13.66* Deermine el iempo en egundo requerido para que el objeo del problema 13.65 caiga dede la uperficie de la Tierra haa u cenro. El radio de la Tierra e de 6370 km. 13.64* a velocidad de un objeo omeido ólo al campo graviacional de la Tierra e v = cv 2 0 + 2gR 2 E a 1-1 1>2 bd, 0 N Túnel donde e la poición del objeo repeco al cenro de la Tierra, v 0 e la velocidad en la poición 0, R E e el radio de la Tierra. Uando ea ecuación, muere que la aceleración del objeo eá dada como una función de por a gr 2 E 2. S R E Problema 13.65/13.66 13.4 Movimieno curvilíneo: Coordenada careiana ANTECEDENTES El movimieno de un puno a lo largo de una línea reca puede decribire mediane lo ecalare, v a. Pero i un puno decribe una raecoria curvilínea, repeco a algún marco de referencia, e debe epecificar u movimieno en érmino de lo vecore de poición, velocidad aceleración. En mucho cao, el movimieno del puno puede analizare de manera conveniene expreando lo vecore en coordenada careiana. Sea r el vecor de poición de un puno P repeco al origen de un marco de referencia careiano (figura 13.11). a componene de r on la coordenada x, z de P: r xi j zk. o vecore uniario i, j k ienen cada uno magniude direccione conane repeco al marco de referencia, por lo que la velocidad de P en relación con u marco de referencia e v = dr (13.21) d = dx d i + d d j + dz d k. Expreando la velocidad en érmino de componene ecalare, e obiene v v x i v j v z k, (13.22) z k j i r P (x,, z) Figura 13.11 Siema coordenado careiano con origen en. x
50 Capíulo 13 Movimieno de un puno de donde e obienen ecuacione ecalare que relacionan la componene de la velocidad con la coordenada de P: v x = dx d, v = d d, v z = dz d. (13.23) a aceleración de P e a = d = x d i + d j + z d k. Expreando la aceleración en érmino de componene ecalare, a a x i a j a z k, (13.24) e obienen la ecuacione ecalare a x = x d, a = d, a z = z d. (13.25) u 0 v 0 Figura 13.12 Condicione iniciale para un problema de proecil. x a ecuacione (13.23) (13.25) decriben el movimieno de un puno repeco a un iema careiano. berve que la ecuacione que decriben el movimieno en cada dirección coordenada on idénica en forma a la ecuacione que decriben el movimieno de un puno a lo largo de una línea reca. En conecuencia, a menudo e puede analizar el movimieno en cada dirección coordenada uando lo méodo aplicable al movimieno en línea reca. El problema del proecil e el ejemplo cláico de ee ipo. Si un objeo e dipara al aire la reiencia aerodinámica e inignificane, u aceleración hacia abajo erá la aceleración de la gravedad. En érmino de un iema coordenado careiano fijo, con u eje hacia arriba, la aceleración eá dada por a x 0, a g a z 0. Suponga que en 0, el proecil e encuenra en el origen iene velocidad v 0, en el plano x a un ángulo u 0, obre la horizonal (figura 13.12). En 0, x 0 v x v 0 co u 0. a aceleración en la dirección x e cero; e decir, a x = x d = 0. Por lo ano, v x e conane permanece igual a u valor inicial: v x = dx d = v 0 co u 0. (13.26) (Ee reulado puede parecer poco realia. a razón e que la inuición, con bae en la experiencia diaria, conidera la reiencia del aire, mienra que el análii que e preena aquí no lo hace). Inegrando la ecuación (13.26), reula 0 x dx = v 0 co u 0 d, 0 e obiene la coordenada x del objeo como una función del iempo: x (v 0 co u 0 ). (13.27)
13.4 Movimieno curvilíneo: Coordenada careiana 51 Aí e ha deerminado la poición la velocidad del proecil en la dirección x como funcione del iempo in coniderar el movimieno en la direccione o z. En 0, 0 v v 0 en u 0. a aceleración en la dirección e a = d = -g. Inegrando, e obiene v = -gd, v 0 en u 0 0 de donde e igue que v = d d = v 0 en u 0 - g. (13.28) Al inegrar ea ecuación, reula d = 1v 0 en u 0 - g2 d, 0 0 e encuenra que la coordenada en función del iempo e = 1v 0 en u 0 2-1 2 g2. (13.29) berve en ee análii que e obienen la mima velocidad la mima poición verical lanzando el proecil hacia arriba con velocidad inicial v 0 en u 0 (figura 13.13a b). El movimieno verical e compleamene independiene del movimieno horizonal. Depejando de la ecuación (13.27) uiuendo el reulado en la ecuación (13.29), e obiene una ecuación que decribe la raecoria parabólica del proecil: = 1an u 0 2x - g 2v 0 2 co 2 u 0 x 2. (13.30) x x x x x (a) x (b) Figura 13.13 (a) Poicione del proecil en inervalo de iempo iguale. a diancia x v 0 (co u 0 ). (b) Poicione en inervalo de iempo iguale de un proecil, dada una velocidad verical inicial igual a v 0 en u 0.
52 Capíulo 13 Movimieno de un puno RESUTADS P (x,, z) r x z a componene del vecor de poición de un puno P repeco al origen de un iema coordenado careiano on la coordenada x,, z de P. r xi j zk. Componene careiana de la velocidad de P repeco al marco de referencia. dx d v x,, d v dz v d d. (13.23) z Componene careiana de la aceleración de P repeco al marco de referencia. x z a x, a, a. (13.25) d d z d a forma de la ecuacione que decriben el movimieno en cada dirección coordenada e idénica a la de la ecuacione que decriben el movimieno de un puno a lo largo de una línea reca. En conecuencia, el movimieno en cada dirección coordenada puede analizare uando lo méodo para el movimieno recilíneo. Ejemplo acivo 13.6 Análii del movimieno en érmino de componene careiana ( Relacionado con el problema 13.67) Durane un vuelo de prueba, un helicópero pare del repoo en 0 en el origen del iema de coordenada morado e mueve en el plano x, lo acelerómero monado a bordo indican que u componene de aceleración (en m/ 2 ) durane el inervalo del iempo de 0 a 10 on a x 0.6, a 1.8 0.36, Cuál e la magniud de la velocidad del helicópero en 6?
13.4 Movimieno curvilíneo: Coordenada careiana 53 x Eraegia Se puede analizar de manera independiene el movimieno en cada dirección coordenada, inegrando cada componene de la aceleración para deerminar la componene de la velocidad en función del iempo. Solución Inegre la componene x de la aceleración para deerminar la componene x de la velocidad en función del iempo. a x x 0.6, d v x x 0.6 d, 0 0 v x 0.3 2. Evalúe la componene x de la velocidad en 6. v x 6 0.3(6) 2 10.8 m/. Inegre la componene de la aceleración para deerminar la componene de la velocidad en función del iempo. a 1.8 0.36, d (1.8 0.36) d, 0 v 0 v 1.8 0.18 2. Evalúe la componene de la velocidad en 6. v 6 1.8(6) 0.18(6) 2 4.32 m/. v 6 v 2 2 x v Calcule la magniud de la velocidad en 6. (10.8 m/) 2 (4.32 m/) 2 11.6 m/ Problema de prácica Deermine el vecor de poición del helicópero en 6 repeco a u poición en 0. Repuea: r 6 21.6i 19.4j (m).
54 Capíulo 13 Movimieno de un puno Ejemplo 13.7 Problema de un proecil ( Relacionado con el problema 13.69) 20 El equiador morado en la figura deja la uperficie inclinada 20 a 10 m/. a) Deermine la diancia d haa el puno donde aerriza. b) Cuále on la magniude de u componene de velocidad paralela perpendicular a la uperficie inclinada a 45 juo ane de aerrizar? 3 m d 45 Eraegia a) Si e ignora el arrare aerodinámico e raa al equiador como un proecil, puede deerminare u velocidad poición en función del iempo. Uando la ecuación que decribe la uperficie reca obre la que el equiador aerriza, e pueden relacionar u coordenada horizonal verical en el impaco, conecuenemene, obener una ecuación para el iempo en el cual aerriza. Al conocer el iempo, e poible deerminar u poición velocidad. b) Se puede deerminar la velocidad paralela perpendicular a la uperficie inclinada a 45 uando el reulado de que la componene de un vecor U en la dirección de un vecor uniario e e (e U)e. Solución a) En la figura a e inroduce un iema coordenado con u origen en el puno donde el equiador depega. Su componene de velocidad en ee inane ( 0) on 20 3 m e x v x 10 co 20 9.40 m/ v 10 en 20 3.42 m/. d a componene x de la aceleración e cero, por lo ano v x e conane la coordenada x del equiador en función del iempo e (a) 45 x 9.40 m. a componene de la aceleración e Inegrando para deerminar v como una función del iempo, e obiene de donde reula que Se inegra ea ecuación para deerminar la coordenada como una función de iempo. Se iene de donde a = d v = d d 0 v -3.42 = -9.81 m/ 2. = -9.81 d, = -3.42-9.81 m/. d = 1-3.42-9.812 d, 0 3.42 4.905 2 m. 0
13.4 Movimieno curvilíneo: Coordenada careiana 55 a pendiene de la uperficie obre la cual aerriza el equiador e 1, por lo que la ecuación lineal que la decribe e ( 1)x A, donde A e una conane. En x 0, la coordenada de la uperficie e 3 m, enonce A 3 m la ecuación que decribe la uperficie inclinada a 45 e x 3 m. Al uiuir la ecuacione obenida para x e como funcione del iempo en ea ecuación, e obiene una expreión para el iempo en el cual aerriza el equiador: 3.42 4.905 2 9.40 3. Depejando, e obiene 1.60. Por lo ano, u coordenada cuando el equiador aerriza on x 9.40(1.60) 15.0 m 3.42(1.60) 4.905(1.60) 2 18.0 m, la diancia d e d = 2115.02 2 + 118.0-32 2 = 21.3 m. b) a componene de la velocidad del equiador juo ane de aerrizar on v x 9.40 m/ v 3.42 9.81(1.60) 19.1 m/, la magniud de u velocidad e ƒv ƒ = 219.402 2 + 1-19.12 2 = 21.3 m/. Sea e un vecor uniario paralelo a la pendiene obre la que aerriza (figura a): e co 45 i en 45 j. a componene de la velocidad paralela a la uperficie e (e v)e [(co 45 i en 45 j) (9.40i 19.1j)]e 20.2e (m/). a magniud de la velocidad del equiador paralela a la uperficie e 20.2 m/. Por coniguiene, la magniud de u velocidad perpendicular a la uperficie e 2 ƒ v ƒ 2-120.22 2 = 6.88 m/. Razonamieno críico a clave para reolver ee problema fue que e conocía la aceleración del equiador. Al aber cuál era la aceleración, e pudieron deerminar la componene de u velocidad u poición como funcione del iempo. berve cómo e deerminó la poición en la que el equiador aerrizó obre la pendiene. Se upo que al inane de aerrizar, u coordenada x e epecifican un puno obre la línea reca que define la uperficie de la pendiene. Al uiuir u coordenada x e como funcione del iempo en la ecuación para la línea reca que define la pendiene, fue poible reolver el iempo en el que aerrizó. Conociendo el iempo, e pudo deerminar u poición velocidad en ee inane.
56 Capíulo 13 Movimieno de un puno Problema 13.67 En una egunda prueba, la coordenada de poición (en m) del helicópero del ejemplo acivo 13.6 eán dada como funcione del iempo por x 4 2, 4 4 2. a) Cuál e la magniud de la velocidad del helicópero en 3? b) Cuál e la magniud de la aceleración del helicópero en 3? 13.68 En érmino de un marco de referencia paricular, la poición del cenro de maa del F-14 en el inane morado ( 0) e r 10i 6j 22k (m). a velocidad de 0 a 4 e v (52 6)i (12 2 )j (4 2 2 )k (m/). Cuál e la poición del cenro de maa del avión en 4? 13.71 Inmediaamene depué de que la peloa de golf morada depega del pio, u componene de velocidad on v x 0.662 m/ v 3.66 m/. a) Deermine la diancia horizonal dede el puno donde la peloa depegó del pio haa el puno donde lo golpea de nuevo. b) a peloa depega del pio en x 0, 0. Deermine la coordenada de la peloa como una función de x. (a función parabólica que e obendrá e muera uperpuea obre la foografía de la peloa). Problema 13.68 13.69 En el ejemplo 13.7, uponga que el ángulo enre la horizonal la pendiene obre la cual aerriza el equiador e de 30 en vez de 45. Deermine la diancia d haa el puno donde aerriza. 13.70 Un proecil e dipara dede el nivel del uelo con velocidad inicial v 0 20 m/. Deermine u alcance R i a) u 0 30, b) u 0 45 c) u 0 60. Problema 13.71 13.72 Suponga que ued eá dieñando un morero para lanzar una cuerda de alvameno dede un guardacoa a un buque en zozobra. a cuerda eá unida a un peo que e lanzado por el morero. Ignore la reiencia aerodinámica el peo de la cuerda para u análii preliminar. Si deea que la cuerda alcance un buque que e encuenra a 300 pie cuando el morero e dipara a 45 obre la horizonal, cuál e la velocidad inicial en la boca del morero requerida? x v 0 13.73 En el problema 13.72, cuál e la alura máxima obre el puno de diparo que alcanza el peo? u 0 R x 45 x Problema 13.70 Problema 13.72/13.73