TEMA 3.- VECTORES ALEATORIOS.- CURSO 017-018 3.1. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA. 3.. VARIABLES BIDIMENSIONALES DISCRETAS. 3.3. VARIABLES BIDIMENSIONALES CONTINUAS. 3.4. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. 3.5. MEDIDAS ASOCIADAS A VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. 3.5.1. COVARIANZA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL 3.5. PROPIEDADES DE MEDIAS Y VARIANZAS DE COMBINACIONES LINEALES DE VARIABLES ALEATORIAS 3.5.3. VECTOR DE MEDIAS Y MATRIZ DE VARIANZAS COVARIANZAS. 3.6. VARIABLES ALEATORIAS n-dimensionales O MULTIDIMENSIONALES. 3.7. DISTRIBUCIÓN NORMAL n-dimensional. 3.8. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE.
3.1 VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Definición Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Llamaremos variable aleatoria bidimensional a una función ( XY, ) : Ω. Cada variable componente de una variable aleatoria bidimensional es una variable aleatoria unidimensional que recibe el nombre de variable marginal. La variable (X, Y) es DISCRETA si sus dos variables componentes son discretas. (X, Y) es CONTINUA si sus componentes son continuas. Ejemplo 1: (problema 1) Se lanza una moneda equilibrada 3 veces. Se define la variable aleatoria (X, Y) donde X: número total de caras obtenidas, Y: valor absoluto de la diferencia entre el número de caras y el número de cruces obtenidas. La variable (X, Y) es discreta. Ejemplo :(prob 4) En un sistema de comunicaciones se utilizan dos canales para transmitir la información. Sea X el tiempo que tarda un mensaje por el primer canal e Y el tiempo que tarda por el segundo. (X, Y) es continua.
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Al igual que en el caso de una sola variable aleatoria, podemos definir para variables bidimensionales, tanto discretas como continuas, la función de distribución. Definición Sea ( XY, ) una variable aleatoria bidimensional. Llamaremos función de distribución conjunta asociada a (, ) la función F : definida como ( ) { } { } XY a ( ) ( ) ( ) F xy, = P X x Y y = P X xy, y xy, y Observación: En el caso bidimensional NO vamos a calcular de manera general F(x,y) pero sí realizaremos el cálculo de valores concretos de esta función F(x 0,y 0 ).
3.. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES DISCRETAS Definición Diremos que una variable aleatoria( XY, ) es de tipo discreto o, simplemente, discreta si el conjunto de posibles pares de valores de la variable es finito o infinito numerable. Notación: ( xi, y j), i = 1,,.., n; j = 1,,..., m (pares de valores que toma la variable) ( ) ( ) { } { } p ij = P X = xi, Y = yj = P X = xi Y = yj = pij, i = 1,,.., n; j = 1,,..., m (p ij es la probabilidad del par ( x, ) i y j ). pij 0 y pij = 1 Propiedades: Se verifica que,. (Si la variable tomase un i= 1 j= 1 número infinito de valores, las sumas serían series)
Definición: A la colección de números { p ij}, i, j } que satisfacen ( ) P X = xi, Y = yj = pij 0 y 1 1 n m pij = 1 se llama función de probabilidad i= j= conjunta de la variable aleatoria (X,Y). Obs: La función de probabilidad conjunta se representa en una tabla de doble entrada. Propiedades: 1. Para calcular la probabilidad de un recinto D de : ( x, y ) ( i j) P(( XY, ) D) = P X= xy, = y ( ) = ( ) = ( = i = j). F x, y P X xy, y P X x, Y y x xy y i j Ejemplo 3: Para la variable (X,Y) del problema 1 obtener la función de probabilidad conjunta, P(X = Y), P(Y > X/) y F(.5, 1). i j D
DISTRIBUCIONES MARGINALES DE UNA VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL DISCRETA Teorema: Sea (, ) XY variable aleatoria bidimensional discreta con función de probabilidad conjunta { } i j ij ( x, y ), p, i = 1,,.., n; j = 1,,..., m entonces, las variables X e Y son variables aleatorias discretas. Se llaman variables marginales. Además, 1. X toma los valores { xi}, i = 1,,..., n y su función de probabilidad es m m n ( ) (, ) (Verificar que pi j= 1 j= 1 i= 1 p = P X = x = p = P X = x Y = y i i ij i j. Y toma los valores { y } j j 1,,.., m n n qj = P( Y = yj ) = pij = P( X = xi, Y = yj ) i= 1 i= 1 i ) 0, p = 1 = y su función de probabilidad es q (Verificar que j 1 m j ) j= 0, q = 1 Ejemplo 4: Para (X,Y) del problema 1 obtener las distribuciones marginales y P(Y = j/ X = ) si j = 1,3.
3.3. VARIABLES BIDIMENSIONALES CONTINUAS Las variables aleatorias bidimensionales de tipo continuo son una extensión de las variables aleatorias unidimensionales continuas. Estas variables toman valores en recintos del plano. Definición: Diremos que una variable aleatoria bidimensional ( XY, ) es continua si existe una función f : distribución de ( XY, ), F, verifica que no negativa tal que la función de ( ) ( ) ( ), = x y (, ) = y x (, ), (, ) F x y f u v dv du f u v du dv x y A esta función f(, ) y xy la llamaremos función de densidad conjunta.
Propiedades: 1.- Una función f(, ) xy es función de densidad de una variable aleatoria bidimensional continua si y solamente si verifica + + ( ) y ( ) f x, y 0, x, y y f u, v dudv = 1 P X= xy, = y = 0, x, y y.- ( ) 3.- La probabilidad de un rectángulo de se calcula como: ( ) ( ) ( ) b d d b P a < X < b, c < Y < d = f ( u, v) dv du = f ( u, v) du dv, a, b, c, d a c c a 4.- La probabilidad de un recinto general D de se calcula como: ((, ) ) = (, ), P X Y D f u v dudv D Obs: Cuando D NO es un rectángulo es fundamental dibujarlo para poner correctamente los límites de integración para calcular P (( XY, ) D ) D.
Ejemplo 5: Para la variable (X,Y) del problema 4 f( xy, ) a) Obtener k para que f(x,y) sea función de densidad. Calcula F(3,5). kx x 8, 1 y 7 = 0 en el resto c) Calcula la proporción de mensajes que tardan más por el primer canal que por el segundo. DISTRIBUCIONES MARGINALES DE UNA VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL CONTINUA Si ( XY, ) es una variable aleatoria bidimensional continua con función de densidad f (, ) xy, las variables X e Y son continuas y sus distribuciones marginales son: + X tiene como función de densidad X ( ) (, ) f x f x y dy =. Y tiene como función de densidad Y ( ) (, ) + f y = f x y dx Ejemplo 6: Obtener las distribuciones marginales de la variable (X,Y) del problema 4. b) Calcula la probabilidad de que un mensaje transmitido por el primer canal tarde más de 7 unidades de tiempo (u) sabiendo que lleva más de 6 u transmitiéndose por ese canal.
3.4. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Idea: X e Y son independientes si el conocimiento de una de ellas no influye sobre las probabilidades de la otra variable. Definición: Sea ( XY, ) una v.a. bidimensional, diremos que X e Y son independientes si ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } P X A, Y B = P X A Y B = P X A P Y B, para todo A, B Teorema Sea ( XY, ) una variable aleatoria bidimensional, Si ( XY, ) es discreta con función de probabilidad,{ ( x, ), } i yj p ij, X e Y son independientes si y solo si se cumple Si (, ) ( ) ( ) ( ) ( ), = P Y = y,, y y p = P X = x Y = y = P X x x ij i j i j i j xy, X e Y son independientes si y solo si se verifica que f xy, = f x f y, x, y y XY es continua con función de densidad f(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) X Ejemplo 7: Estudiar la independencia de las variables de los problemas 1 y 4. Y
3.5. MEDIDAS ASOCIADAS A VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Para el caso bidimensional la esperanza de una variable aleatoria, aún pudiendo definirse, no tiene una interpretación clara. En la práctica es de mayor interés el cálculo de la esperanza de una función de la variable aleatoria bidimensional, (, ) g XY, siempre y cuando ésta sea una variable aleatoria. Teorema: Sea ( XY, ) una variable aleatoria bidimensional. Sea función tal que g( XY, ) es una variable aleatoria. Entonces, Si ( XY, ) es discreta con función de probabilidad,{ i j ij} Si (, ) (, ) (, ) E g XY = g x y p i= 1 j= 1 i j ij XY es continua con función de densidad (, ) g : una ( x, y ), p, i = 1,.., n; j = 1,..., m f xy, (, ) = (, ) (, ) E g X Y g x y f x y dxdy Ejemplo 8: En el problema 1, calcular E[XY]. En el problema 7, calcular E[XY ].
3.5.1. COVARIANZA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL XY, es una variable aleatoria bidimensional, llamaremos Definición: Si ( ) covarianza de ( XY, ) al valor ( [ ]) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] Cov( X, Y) = E X E X Y E Y = E X Y E X E Y 1. La covarianza es una medida de la dependencia LINEAL entre las variables (dependencia lineal entre X e Y significa que Y = ax+b).. Si Cov( X, Y ) = 0 se dice que X e Y son INCORRELADAS o INCORRELACIONADAS. Esto significa que NO hay dependencia lineal entre X e Y (no hay dependencia del tipo Y = ax+b). 3. La covarianza depende de las unidades de medida y de la magnitud de los datos. Vamos a definir el coeficiente de correlación lineal que no tiene estas pegas Definición: Si ( XY, ) es una variable aleatoria bidimensional, llamaremos coeficiente de correlación lineal entre X e Y al valor: ( XY, ) ρ = ρ = (, ) ( ) ( ) Cov X Y V X V Y
Propiedades de ρ: 1.ρ mide lo mismo que la covarianza (dependencia lineal entre las variables) pero es adimensional (no depende de las unidades ni de la magnitud de los datos).. ρ toma valores en [-1,1]. 3. Cuanto más cercano a 1 es ρ, mayor es la dependencia lineal entre X e Y. r = 0 Cov X, Y = 0 X e Y son incorreladas. 4. ( ) Teorema: Sea ( XY, ) es una variable aleatoria bidimensional con X e Y INDEPENDIENTES, entonces [ ] E g( X) hy ( ) = Eg [ ( X)] EhY [ ( )]
Consecuencias del teorema: 1. Si X e Y son independientes X e Y son incorreladas.. Si X e Y NO son incorreladas X e Y NO son independientes 3. Si X e Y son incorreladas, X e Y NO tienen porqué ser independientes. Habrá casos en que sí lo sean y otros casos en que no. Ejemplo 9: (problema 7 de la hoja) Sea (X,Y) v.a. con densidad f ( xy, ) x+ y 0 x 1, 0 y 1 = 0 en el resto. a) Calcular Cov(X,Y) Son X e Y independientes? b) Comprobar también que X e Y no son independientes calculando las distribuciones marginales.
3.5..PROPIEDADES DE MEDIAS Y VARIANZAS DE COMBINACIONES LINEALES DE VARIABLES ALEATORIAS Sea ( XY, ) es una variable aleatoria bidimensional. Sean abc,,. Consideremos la función g ( X, Y ) = ax + by + c. Entonces, se verifican las siguientes propiedades: 1. E[ ax + by + c] = ae[ X ] + be[ Y ] + c V ax + by + c = a V X + b V Y + abcov( X, Y ).. ( ) ( ) ( ) En el caso de que X e Y sean independientes, sabemos que Cov(X,Y) = 0 por lo que V ax + by + c = a V X + b V Y ( ) ( ) ( )
Ejemplo 10: (problema 8 de la hoja) 8 e) Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpreta el grado de dependencia lineal entre X e Y.
3.5.3. VECTOR DE MEDIAS Y MATRIZ DE VARIANZAS COVARIANZAS Definición: Sea ( XY, ) es una variable aleatoria bidimensional, llamaremos [ ] [ ] E X m = Vector de medias: EY V ( X ) Cov( X, Y ) M = Matriz de varianzas-covarianzas: Cov ( X, Y ) V ( Y ) Ejemplo 11: Escribir el vector de medias y la matriz de varianzas covarianzas para las variables X e Y del problema 8 de la hoja.
3.6. VARIABLES ALEATORIAS n - DIMENSIONALES. Generalización: La mayoría de los conceptos vistos para el caso bidimensional se extienden de forma natural al caso de n variables aleatorias X 1, X,, X n. Definición Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Llamaremos variable aleatoria multidimensional o variable aleatoria n-,,, : n X = X1 X X Ω. dimensional o vector aleatorio a una función ( n ) Cada variable componente de una variable aleatoria n-dimensional, X i, es una variable aleatoria unidimensional que recibe el nombre de variable marginal. Solamente generalizaremos: Variables aleatorias independientes. Vector de medias y matriz de varianzas covarianzas. Transformaciones lineales de variables aleatorias. Ejemplo de variable continua: distribución normal n-dimensional.
INDEPENDENCIA EN VARIABLES MULTIDIMENSIONALES Definición: Sea X ( X,, X 1 n ) = una variable aleatoria n-dimensional. Diremos que X,, 1 Xn son independientes si y solo sí (,,, ) ( ) ( )... ( ), { } Teorema Sea X = ( X,, 1 X n ) una variable aleatoria n-dimensional Si X = ( X,, 1 Xn ) es discreta, X,, 1 Xn P X A X A X A = P X A P X A P X A A = 1 1 n n 1 1 n n i i 1 son independientes si y solo si se cumple P X = x, X = x,..., X = x = P X = x P X = x... P X = x, ( 1 1 n n) ( 1 1) ( ) ( n n) n ( x1, x,..., xn ) Si X = ( X,, 1 Xn ) es continua con función de densidad conjunta ( ) X X f x1, x,..., x n,,, 1 n son independientes si y solo si se verifica que (,,..., ) ( ) ( )... ( ), (,,..., ) f x1 x xn fx x1 fx x fx xn x1 x x n 1 Ejemplo 11: Hacer el problema 13 = n n n
VECTOR DE MEDIAS Y MATRIZ DE VARIANZAS COVARIANZAS Definición: Sea X ( X X n ) llamaremos m Vector de medias, m X :,, T = 1 una variable aleatoria n-dimensional X [ 1] [ ] E X E X E X = [ ] Matriz de varianzas-covarianzas, M X : n Observación: Para hacer operaciones en la que intervenga la variable aleatoria n-dimensional X, tomaremos este vector como un vector COLUMNA. M X ( 1) ( 1, ) ( 1, n ) (, ) ( ) (, ) V X Cov X X Cov X X Cov X X V X Cov X X Cov( X n, X1) Cov( X n, X ) V ( X n) 1 n = Observar que Cov(X i,x j )= = Cov(X j,x i ) por lo que este matriz M X es simétrica.
VECTOR DE MEDIAS Y MATRIZ DE VARIANZAS COVARIANZAS DE TRANSFORMACIONES LINEALES DE VARIABLES MULTIDIMENSIONALES = una variable aleatoria n-dimensional con vector de medias m X y matriz de varianzas M X. Sean las transformaciones lineales: Teorema : Sea X ( X X n ) 1,, T 1) Y = AX + B, A una matriz mxn, B un vector mx1. Entonces, Y es una variable aleatoria m-dimensional y el vector de medias y la matriz de varianzas-covarianzas de Y son, respectivamente, m Y = Am X + B y M Y = AM X A T T T n ) Y= ax 1 1+ ax +... + ax n n + b= a X+ b, a= ( a1, a,..., a n ) un vector de y b. Entonces, Y es una variable aleatoria unidimensional y la media y la varianza de Y son, respectivamente, [ ] T y ( ) T EY = amx + b V Y = am Xa Ejemplo 13: Hacer el problema 14 a) y b) c) Sea Z = 3X1 X + X3 +. Obtener E [Z] y V(Z).
3.7. DISTRIBUCIÓN NORMAL n-dimensional Es la distribución n-dimensional CONTINUA que generaliza a la normal unidimensional, N( µ,σ), cuya densidad era ( ) 1 1 ( x µ ) σ =, µ, σ > 0 σ π f x e x Definición: La variable aleatoria n-dimensional X = (X 1, X,, X n ) tiene distribución normal n-dimensional si su función de densidad es 1 T -1 1 - ( x-mx ) MX ( x-mx ) n f ( x) = e x= 1/ / ( x1, x,..., xn ), n M M X X ( π ) : matriz de varianzas-covarianzas, m : vector de medias Observación: La normal n-dimensional queda TOTALMENTE CARACTERIZADA dando su vector de medias, m X, y su matriz de varianzas-covarianzas, M X, puesto que así conocemos su función de densidad. Notación: X Nn( mx, M X ) X
X N m, M : PROPIEDADES para la normal n-dimensional ( ) n X X 1. Cada variable marginal es una variable aleatoria unidimensional con ( ) distribución normal, Xi N µ i = E( Xi), σi = V( Xi).. Cualquier subconjunto de k variables de X tiene distribución normal k-dimensional, con vector de medias y matriz de varianzas correspondiente. Si Xie X json normales + Cov Xi, X j = 0 Xie X json independientes, 3. ( ) (Esto no es cierto si la distribución NO es normal. Lo hemos visto en el problema 8) 4. Si las variables X 1, X,, X n son normales + independientes, entonces, la variable n-dimensional X = (X 1, X,, X n ) es normal n-dimensional. (Aunque las marginales sean normales, si no fuesen independientes, la conjunta NO sería normal n-dimensional)
En este caso, la matriz de varianzas covarianzas de X es: M X ( ) ( ) ( n ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V X1 Cov X1, X Cov X1, X V X1 0 0 Cov X, X1 V X Cov X, X n 0 V ( X ) 0 = = Cov X, X Cov X, X V X 0 0 V X ( ) n 1 n n n Ejemplo 14: Sea X = (X 1, X, X 3 ) una variable aleatoria normal en dimensión 3 con vector de medias y matriz de varianzas covarianzas, respectivamente, m X 1 1 0 3 = 1 y M X = 0 1 3 1 3 a) Obtener las distribuciones marginales de X 1, X y X 3. b) Obtener la distribución conjunta de (X 1, X 3 ). Ejemplo 15: Sean X N ( 1, ), Y N ( 0, 3), X e Y independientes. Obtener la distribución conjunta de la variable bidimensional (X,Y)
5. Para las transformaciones lineales: a) Si Y = AX + B, donde A es una matriz m x n de rango m, m n, B matriz n x 1, entonces Y tiene distribución normal m-dimensional T Y N m, M con m = Am + B, M = AM A ( ) m Y Y Y X Y X ( ) b) Si Y= ax + ax +... + ax + b= a X+ b, con a = a, a,..., a, b T T 1 1 n n 1 n Y es normal unidimensional con T [ ] y ( ) T EY = amx + b V Y = am Xa
15 Ejemplo 16: problema 15 de la hoja
( n 30) 1.. ( significa distribución aproximada) 3.
Ejemplo 17: (problema 19 de la hoja) Se lanza 30 veces un dado equilibrado. Utilizando el teorema central del límite, obtén un valor aproximado de la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea menor que 110. Ejemplo 18 (problema 18 de la hoja) Para simplificar la contabilidad de su negocio una persona decide redondear 100 cantidades al entero más próximo (por ejemplo, 19.53 euros y 0.46 euros se contabilizarían como 0 euros) Suponiendo que los errores de redondeo, X i, siguen una distribución uniforme en (-0.5, 0.5) y son independientes, calcula un valor aproximado de la probabilidad de que el vaor absoluto de la suma de los errores exceda los 10 euros.