UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Cuso: TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS PROFESOR: ING. JORGE MONTAÑO PISFIL
TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS TEMA: MÉTODOS GENERALES PARA RESOLVER PROLEMAS ELECTROSTÁTICOS
MÉTODOS GENERALES PARA RESOLVER PROLEMAS ELECTROSTÁTICOS INTRODUCCIÓN En 8, Oested descubió en Copenhague que la coiente eléctica poducía la declinación de la aguja de una bújula. De esta foma podían unise la electicidad y el magnetismo en una teoía única susceptible de abodase con métodos matemáticos. Nace así una nueva ama de la matemática aplicada de la que Poisson fue uno de sus pincipales fundadoes. Poisson clasificó los cuepos en conductoes y aislantes; y definió la electicidad como un fluido donde los elementos semejantes se epelen y los elementos contaios se ataen. Amplió y extendió los tabajos ealizados po Eule, Lagange y Laplace sobe el potencial gavitatoio.
MÉTODOS GENERALES PARA RESOLVER PROLEMAS ELECTROSTÁTICOS En 785 Laplace había establecido que la vaiación de potencial en cualquie punto, ya sea inteio o exteio al cuepo que ejece la atacción gavitacional, satisface la ecuación que lleva su nombe Poisson 8 compobó que esta ecuación no ea coecta paa los puntos x,y,z situados en el inteio del cuepo atayente, la efomuló del siguiente modo ecuación de Poisson:, donde es la función de densidad del cuepo atayente y la extendió al campo eléctico. En este mismo tabajo, Poisson consiguió esolve un poblema cuya solución teóica había buscado ya Coulomb: el de la distibución de electicidad en un sistema de dos esfeas.
MÉTODOS GENERALES PARA RESOLVER PROLEMAS ELECTROSTÁTICOS Cuando la distibución de caga no se especifica de antemano, paa esolve poblemas electostáticos se utilizan los siguientes métodos: - Ecuación de Poisson -EcuacióndeLaplace - Método de imágenes electostáticas
PRIMER MÉTODO: ECUACIÓN DE POISSON Relaciones básicas: E E.... I ε. E... II Reemplazando II en I : ε ε ε Ecuación de Poisson * En el espacio libe o vacío, la ecuación de Poisson viene dada po: ε o La ecuación de Poisson es una ecuación en deivadas paciales que puede esolvese una vez que se conoce la dependencia funcional de y las condiciones adecuadas en la fontea.
FORMAS QUE TOMA EL LAPLACIANO EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS a EN COORDENADAS RECTANGULARES b EN COORDENADAS CILÍNDRICAS z y x b EN COORDENADAS CILÍNDRICAS z c EN COORDENADAS ESFÉRICAS
MÉTODOS GENERALES PARA RESOLVER PROLEMAS ELECTROSTÁTICOS SEGUNDO MÉTODO: ECUACIÓN DE LAPLACE Se utiliza paa esolve cietos poblemas electostáticos donde intevienen conductoes. En este caso toda la caga se encuenta ya sea sobe la supeficie de los conductoes o en foma de cagas puntuales fijas, po lo tanto en la mayoía de los puntos del espacio. Dondeseanulaladensidaddecaga, laecuaciónde Poisson se educe a la foma más sencilla: Ecuación de Laplace Hay dos métodos paa la solución de la ecuación de Laplace: - Halla una solución geneal a pati de soluciones paticulaes en un sistema coodenado exigido po la simetía del poblema. - Utiliza el método de imágenes.
ECUACION DE LAPLACE CON UNA VARIALE INDEPENDIENTE Si es función de una sola vaiable, la ecuación de Laplace se educe a una ecuación difeencial odinaia. A EN COORDENADAS RECTANGULARES x, y, z Según Laplace, el laplaciano de la función debese igual a ceo, es deci: x y z Esta ecuación difeencial de segundo oden es igual a ceocuandocadaunodesustéminosesigualaceo. Si los igualamos a ceo cada uno de estos téminos y los esolvemos integando dos veces, la solución que se obtiene en cada caso es la que se muesta a continuación Si x x Ax x Si Si y y Ay yy z z Az z
EN COORDENADAS CILÍNDRICAS, Φ, z: En este caso, la ecuación de Laplace es: p z Al iguala cada témino a ceo tenemos: z A Si ln A Si Az Si Az z Si z z
C EN COORDENADAS ESFÉRICAS,, Φ: En este caso, la ecuación de Laplace es: p Al iguala cada témino a ceo tenemos: A A Si tg A S Si / ln A Si
ECUACIÓN DE LAPLACE PARA PROLEMAS IDIMENSIONALES A EN COORDENADAS RECTANGULARES x, y, z: Si la función potencial depende de x e y, la ecuación de Laplace se educe a lo siguiente: x y Paa esolve esta ecuación difeencial de segundo oden se aplica el método de sepaación de vaiables. Aplicando este método, paa un valo dado de K la solución geneal a la ecuación de Laplace bidimensional, en coodenadas ectangulaes, es: kx kx Ae e Ccos ky D senky, cos x y k k k K k Esta última ecuación se puede escibi como: NOTAS : A kx senh kx C ky D senky, cosh cos xy k k k K k x, y K toma cualquie valo, peo al impone condiciones de fontea a se estingen los valoes posibles de K. Si se intecambian las vaiables x e y en las dos ecuaciones anteioes, entonces esultan dos ecuaciones más que también son soluciones geneales a la ecuación de Laplace bidimensional en coodenadas ectangulaes.
EN COORDENADAS ESFÉRICAS Si la función potencial depende sólo de las vaiables de Laplace se educe a lo siguiente: y, la ecuación Esta ecuación difeencial de segundo oden se esuelve po el método de sepaación de vaiables. Aplicando este método se obtiene las soluciones conocidas como P n amónicos esféicos. La solución geneal a la ecuación de Laplace bidimensional, i en coodenadas esféicas, es: n n, A n C n Pn n Donde P n son los llamados polinomios de Legende. Los cuato pimeos polinomios de Legende se dan en la siguiente tabla: n P n cos 3 3cos 3 5cos 3cos
C EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Si la función depende sólo de las coodenadas y es independiente de la coodenada z, la ecuación de Laplace en coodenadas cilíndicas puede esolvese también po el método de sepaación de vaiables. Estas soluciones son apopiadas paa cietos poblemas en los que intevienen un conducto cilíndico y un alambe ecto y lago. No debe usase cuando se tata de un segmento cilíndico coto. Si el potencial es independiente de z, la ecuación de Laplace en coodenadas d cilíndicas i se conviete en: Aplicando el método de sepaación de vaiables, la solución geneal que se obtiene e es la siguiente: sgue n Ao Ln Ancos n n sen n, n n n C n cos n D n sen n
MÉTODO DE LAS IMÁGENES ELECTROSTÁTICAS Este método se aplica comúnmente paa detemina el potencial eléctico, la intensidad de campo eléctico E, la densidad de flujo eléctico D y la densidad de caga supeficial σ debidos a cagas en pesencia de conductoes. Al aplica este método evitamos esolve la ecuación de Poisson o de Laplace, y se apovecha el hecho que una supeficie conductoa es una supeficie equipotencial. La teoía de imagen establece que una configuación de caga deteminada ceca de un plano conducto puesto a tiea puede se eemplazada po la configuación misma de caga, su imagen y una supeficie equipotencial en luga del plano conducto. Cuando se aplica el método de imágenes electostáticas tienen que cumplise siempe dos condiciones: - La caga o cagas imagen deben esta situadas en la egión conductoa. - La caga o cagas imagen deben esta situadas en foma tal que en la supeficie o supeficies conductoas el potencial sea ceo o constante.