página / Problemas Tema 7 Enunciados de problemas de ampliación del Tema 5 sobre integrales y del Tema 6 sobre matrices Hoja. Sean las matrices A=( 3 5 4 3) y B= ( 5 5 3 8 9). Efectuar: a) A+B b) A B c) 4A d) A B t e) (B+ A) t B. Sean las matrices A=( ), B= ( 3 4 ) y C= ( 7 5) Efectuar: a) (A+B+C) t b) (A t + B t +C t ) c) (A B) t d) A t B t 3. Sean A, B y C tres matrices cuadradas del mismo orden. Son ciertas las siguientes igualdades? Justificar la respuesta. a) (A+B) =A +B + A B b) (A+C ) (A C )= A C c) (A+B+C) ( A+ B C )=(A+B) C d) (A+B) 3 = A 3 + B 3 +3 A B+3 A B
página / Hoja. Hallar todas las matrices que conmutan con: a) A=( ) b) B=( 3 4 ) c) C=( 3 ). Sean las matrices A=( ) y B= ( a b c). Hallar a, b y c para que conmuten. 3. Calcular A n, con n N. a) A=( a ) a) b) A=( a c) A=( ) d) A=( ) e) A=( ) f) A=( a b a )
página 3/ Hoja 3. Demostrar: a) Cualquiera que sea la matriz cuadrada M, el producto M M t es una matriz simétrica. b) Si M y N son matrices simétricas, M N es simétrica si M y N conmutan. c) Si A es una matriz cuadrada, A+ A t es simétrica. d) Si A es una matriz cuadrada, A A t es antisimétrica.. Demostrar: a) Si A es antisimétrica, entonces A y A 4 son simétricas. b) Si A es antisimétrica, entonces A 3 y A 5 son antisimétricas. c) Toda matriz cuadrada se puede expresar como suma de una simétrica y una antisimétrica. d) El producto de dos matrices ortogonales es ortogonal. 3. Dada la matriz A=( ) hallar B= A+A + A 3 +...+ A n ) 4. Dada la matriz A=( n n hallar B= A+A + A 3 +...+ A n
página 4/ Hoja 4. Dada la matriz A=( ) hallar B= A+A + A 3 +...+ A n. Dada la matriz A=( 3 4) hallar B= A+A + A 3 +...+ A n 3. Dada la matriz A=( ) hallar An 4. Resolver. a) x cos( x)dx b) x 3 e x dx c) arcotg ( x)dx 5. Resolver. a) e 3x sen(x )dx b) e x (x 3 +5x )dx c) ln (x)dx
página 5/ Hoja 5. Resolver. a) e x cos(x)dx b) 3x x+5 (x+3) 3 c) x + x dx dx. Resolver. a) +e x dx b) x x dx c) x++ 3 (x+) x+ dx 3. Resolver. a) cosec 3 ( x)dx b) e4x +3 e 3x dx c) x e x dx 4. Resolver. a) x +5x x 3 + x x dx x b) + ( x+) (x 3) dx c) x3 +x 4 + + x 4 dx
página 6/ Hoja 6. Resolver. a) cos 4 (x) dx b) c) cos (x) sen ( x) dx +cos(x) dx. Resolver. a) +e x e x dx b) x ln( x)dx c) x sen(3x )dx 3. Resolver. a) arcosen( x) dx x b) ( x+)(x + x+) dx c) 3x 4 x +x +4 dx 4. Resolver. a) 3x +3 x dx b) 4 x dx c) x+ x dx
página 7/ Hoja 7. Resolver. a) + sen( x)+cos(x) dx b) 4e3x dx x +e c) sen(x) cos 3 (x) dx. Dada la matriz A=( ) hallar A n. cos x sen x 3. Comprobar que la matriz sen x cos x A=( ) es ortogonal. 4. Encontrar las matrices X, Y cuadradas de orden que verifican { X +3 Y =( 5 7 X Y =( 9) } ) 5. Dada la matriz A=( ) hallar A n y escribir A como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. 6. Demostrar que si B=λ A+μ I con λ,μ R, entonces A y B conmutan.
( Colegio Marista La Inmaculada de Granada Profesor Daniel Partal García www.danipartal.net página 8/ Hoja 8. Determina si las siguientes matrices tienen inversa. a) A=( b) ) B=( 4) c) C=( 6 ) d) D=( 3 4 ). Determina para qué valores de a no tienen inversa las siguientes matrices. ( a) a 3 b) 4 a) ( ) ( 4 4 ) a c) a 3 4 3. Calcula la inversa de las siguientes matrices. a) ( 3 b) 8 ) ( ) c) ( 3 4 3 3) d) ( 3 5 4 3 ) 4. Indica si son ortogonales las siguientes matrices. ( 3 ) ( ) a) b) c) 3 ) 5. Determina la matriz X que satisface la ecuación ( 3 ) X + ( 5 ) = ( 3 8 8 5)
página 9/ Hoja 9. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales. a) ( ( ) X = ) b) X ( ) = ( ) + ( ) c) ( ( ) ) X =. Resuelve la siguiente ecuación matricial. A B X C X = C, siendo A=( ), B=( 3 ) ( ), C= 3. Resuelve la siguiente ecuación matricial. (A+B X ) t =A B+C, siendo A=( 3), B= ( 3 4), C= ( 3) 4. Resuelve la siguiente ecuación matricial. A X B+C=, siendo A=( 3), B= ( 3 4), C= ( 3) 5. Halla el rango de las siguientes matrices. ( 4 ) ( 4 3 6 7 3 4 3) a) b) 3 3 3 4 5 3 6 7 6. Estudiar el rango de las siguientes matrices según los distintos valores de a. ( a 3 a) ( a+ 3 a a) 4 5 b) 4 a a + a c) 5 a 4 a + 3 a 4) ( ) a a a
página / Hoja. Calcula: a) La integral definida x dx. b) El área encerrada por la función f (x)=x, el eje OX y las rectas verticales x=, x=.. Calcula: a) La integral definida x dx. b) El área encerrada por la función f (x)=x, el eje OX y las rectas verticales x=, x=. 3. Calcula: a) La integral definida 4 (5x x )dx. b) El área encerrada por la función f (x)=5x x, el eje OX y las rectas verticales x=, x=4. 4. Calcula: 4 a) La integral definida ( x 3x )dx. b) El área encerrada por la función f (x)=x 3x, el eje OX y las rectas verticales x=, x=4. 5. Calcula: a) La integral definida π sen( x)dx. b) El área encerrada por la función f ( x)=sen( x), el eje OX y las rectas verticales x=, x= π.
página / Hoja. Sean las matrices A=( 4 3 ) y B= ( 3 4). Calcula: a) A b) Resolver A X = B A (obtener matriz X ). Sean A=( λ y ) B=( ). Calcula: a) Para qué valores de λ existe A? b) En la ecuación matricial A X = B, obtener X si λ=4. 3. Calcula: π a) 6 sen( x) 5 3cos(x) dx b) x x 6 dx 4. Calcula: a) El área encerrada por la función f (x)=cos( x), el eje OX y las rectas verticales x= y x= π. b) x ln( x)dx
página / Hoja. a) Una matriz es ortogonal si su inversa coincide con su traspuesta. Comprobar si es ortogonal la matriz A. A=( 3 3 ) b) Obtener A 3. a) Para qué valores de a no admite inversa la matriz A=( a 3 4 a ) b) Calcular las matrices A y B que satisfacen el siguiente sistema matricial: 5 A+3 B=( 4 5) 3 A+ B=( 9 ) 3. Calcula: a) 3 x + x 4 x 3 dx b) arcocos (x) dx 4. Calcula: a) El área encerrada por la función f (x)= x 3, el eje OX y las rectas verticales x= y x=4. b) ( cos (x)+)dx