FUNCIONES ELEMENTALES Página 8 PARA EMPEZAR, REFLEIONA RESUELVE Problema Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. I II IV III Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas son: a) y = y = + c) y = d) y = + Asigna a cada gráfica su ecuación haciendo uso, sucesivamente, de: el conocimiento que ya tienes de algunas de ellas; la comprobación, mediante cálculo mental, de algunos de sus puntos; y, en caso de necesidad, recurriendo a la calculadora para obtener varios de sus puntos. a) III II c) IV d) I Página 9 Problema Teniendo en cuenta los pasos descritos antes, representa gráficamente las siguientes funciones: + si < si < + si 0 a) y = y = c) y = si si si > 0 Unidad. Funciones elementales
a) c) 0 Página. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = + y = c) y = d) y = e) y = f) y = / g) y = / h) y = / i) y = / j) y = / k) y = + l) y = m) y = n) y = ñ) y = + o) y = + p) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l. a) Á [, ) c) (. ] d) [, ] e) (, ] U [, ) f) (, ) U (, ) g) (, ) h) (, ) i) (, ) j) (, ) U (, ) k) Á l) Á {0} m) Á {0} n) Á {, } ñ) Á o) Á { } p) l > 0 Página. Representa la siguiente función: y = + 7, (, ]. Unidad. Funciones elementales
. Una función lineal f cumple: f () =, f (7) =, D ( f ) = [0, 0]. Cuál es su epresión analítica? Represéntala. 9 m = = 7 9 9 7 y = ( ) = +, [0, 0] 8 8 0 8 Página. Por un recibo de gas en el que se han consumido 0 m se han pagado 0 euros y por m se han pagado 7 euros. Cuánto habrá que pagar por un consumo de gas de m? 7 0 m = = =, 0 y = 0 +, ( 0) =, + La recta es f () =, + ; luego f () = 7, euros.. El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 00 km, depende de la velocidad a la que va. A 0 km/h consume,7 l y a 90 km/h consume 7, l. Estima cuánto consumirá si recorre 00 km a 70 km/h. 7,,7, m = = = 0,0 90 0 0 y =,7 + 0,0 ( 0) = 0,0 +,7 La recta es f () = 0,0 +,7; por tanto, f (70) =, litros. Página. Representa las parábolas: a) y = + y = c) y = + d) y = 0 + 8 e) y = + f ) y = + Unidad. Funciones elementales
a) c) d) e) 8 f) 0 8 8. Representa las funciones: a) y = +, [, ) y = +, [0, ] c) y =, (, ) (, ) a) c) 8 8 Página. Representa y =. A partir de ella, representa: a) y = + y = Unidad. Funciones elementales
y = a) 0 8. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa: a) y = y = + a) 8 Página. Representa y = f () = para. A partir de ella, representa: a) y = f ( ) y = f ( + ) c) y = f ( ) d) y = f ( + ) Unidad. Funciones elementales
7 7 a) 7 7 7 9 c) d) 7 7 7 Página 7. Representa: a) y = y = c) y = d) y = + a) c) d) Unidad. Funciones elementales
. Representa estas funciones: + a) y = + y = + c) y = d) y = + + + a) c) d) Página 8. Representa las siguientes funciones: a) y = + y = c) y = d) y = + a) 8 8 8 c) d) Unidad. Funciones elementales 7
. Representa: a) y = + y = + c) y = + d) y = a) c) d) Página 9. Representa esta función: f () = + [, 0) + [0, ] (, 7). Haz la representación gráfica de la siguiente función: g() = + < Unidad. Funciones elementales 8
Página 0. Representa: y = + + 8. Representa gráficamente: y = 8 0 Página EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Cuáles de estas gráficas son funciones? a) c) d) e) f) Son funciones a), y d). Unidad. Funciones elementales 9
Indica si los valores de : 0; ;,; ; 0, pertenecen al dominio de estas funciones: a) y = y = c) y = d) y = + e) y = f) y = 7 a),; Todos salvo c) Todos d) Todos e), f ) Todos Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = y = + ( ) c) y = d) y = + + + e) y = f) y = a) Á {, 0} Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, } f ) Á {, } Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = y = c) y = d) y = a) (, ] [/, + ) c) (, ] d) (, 0] Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = 9 = + + c) y = d) y = e) y = f ) y = g) y = h) y = Unidad. Funciones elementales 0
a) 9 0 ( + ) ( ) 0 Dominio = (+, ] U [, + ) + + 0 Dominio = Á c) 0 ( ) 0 Dominio = [0, ] d) 0 ( + ) ( ) 0 Dominio = (, ] U [, + ) e) > 0 > Dominio = (, ) f) > 0 ( ) > 0 Dominio = (, 0) U (, + ) g) = 0 ( ) = 0 = 0, = Dominio = Á {0, } h) = 0 = = ± = ± Dominio = Á {, } Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas: a) y = y + = 0 c) y = + d) y = a) c) d) 0 7 Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por P(, ) y Q(0, ). Pasa por ( 7, ) y su pendiente es 0,7. c) Corta a los ejes en (,; 0) y (0, ). d) Es paralela a y + = 0 y pasa por (, ). ( ) a) m = = 0 9 y = + ( ) = 9 9 9 y = 0,7 ( + 7) = 0,7, y c) + = y =,, d) m = ; y = + ( + ) = + 8 Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación: a) c) d) 0 0 0, 0, 0 0 0 a) y = + y = + 8 c) y = 0,0 0,0 d) y = 0 Unidad. Funciones elementales
9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: a) y = 0, y = + c) y = d) y = a) Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) c) Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) d) 8 Vértice: (0, 0). Corte con los ejes: (0, 0) Unidad. Funciones elementales
0 Representa las siguientes funciones: a) y = + + y = + + c) y = + d) y = + + a) c) d) 8 En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de ellas corta al eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda del vértice y represéntalas gráficamente: a) y = ( + + ) y = ( + ) + c) y = d) y = ( + ) a) Vértice: (, ) Vértice: (, ) c) d) Vértice: (0, ) Vértice: ( 0, ) Unidad. Funciones elementales
Página Estima mediante interpolación lineal el valor correspondiente a = 000 y a = 8, conociendo estos valores: 8 0 y 00 y = 00 + ( 8) 8 y ( 000) = 79,7 y ( 8) = 7,79 Calcula mediante interpolación lineal el valor de y que falta en esta tabla: 9 y = 8 + ( 7) y(9) = 98 7 9 y 8 7 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Los dominios son, por orden: [, ]; (, ) U (, + ) y [, + ). Los recorridos son, por orden: [0, ], (0, + ) y [0, + ). Representa las siguientes funciones en las que se ha restringido voluntariamente su dominio: a) y =, si [, ] y =, si [, + ) a) 0 8 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones analíticas: a) y = + y = c) y = d) y = + Unidad. Funciones elementales
I II III IV 7 De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribe el área del octógono que resulta en función de. Cuál es el dominio de esa función? su recorrido? a) A () = Dominio: (0, ). Recorrido: (8, ) 8 Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, / y cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de. Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. Cuál es su recorrido? a) V () = Domini: (0, 0). Recorrido: (0, 000) PARA RESOLVER 9 La factura de la energía eléctrica de una familia ha sido en noviembre 9 por 7 kw h de consumo, y en enero 0, por kw h. Cuánto tendrán que pagar si consumen 0 kw h? y = 9 + 0,( 7) y(0) = 00 euros Unidad. Funciones elementales
0 Las ventas obtenidas por una empresa han sido de 8 000 con unos gastos en publicidad de 000 y de 9 000 con unos gastos publicitarios de 000. Estima cuáles serán las ventas si se invierte en publicidad 000. y = 8 000 +,( 000) y( 000) = 00 euros El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros recorridos. Por 7 km he pagado,8 euros y por 8 km,, euros. Calcula el precio de un billete para una distancia de 00 km. y =,8 + 0,09( 7) y (00) =,9 euros Un rectángulo tiene 0 cm de perímetro. Escribe la función que da el área de ese rectángulo en función de su base. Cuál es el dominio de esa función? y + y = 0; A = y A () = 0 ; D = (0, 0) Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de televisores son G = 000 +, en miles de euros, y los ingresos mensuales son I = 0 0,0, también en miles de euros. Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? La función Beneficio viene dada por la epresión: B = I G = 0 0,0 000 = 0,0 + 000 Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo. El máimo de la función se encuentra en el vértice: b 0 = = = a 0,0 El beneficio máimo se obtendrá para televisores. Página 7 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, ]. Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máima altura? Unidad. Funciones elementales
a) ALTURA (m) 0 0 00 80 0 0 0 TIEMPO (s) 80 metros. c) segundos. El precio de venta de un artículo viene dado por p = 0,0 ( = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 00 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? Representa la función Nº de artículos-ingresos obtenidos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máimos? a) Si se venden 00 artículos, su precio será: 0,0 00 = 7 cientos de euros Ingresos = 0 000 INGRESOS 000 000 000 I() = p = 0,0 000 00 00 00 Nº DE ARTÍCULOS c) Deben fabricar 00 artículos para obtener los ingresos máimos (0 000 euros). Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá electrodomésticos menos. a) Cuáles serán los ingresos si sube los precios 0 euros? Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máimos? Unidad. Funciones elementales 7
a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 0 euros cada uno; luego los ingresos serían de 0 90 = 0 00 euros. I () = (00 + 0) (00 ) = 0 + 00 + 0 000 ( = decenas de euros) c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 = = = 0 euros a 0 7 El coste de producción de unidades de un producto es igual a (/) + + + euros y el precio de venta de una unidad es 0 / euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas. Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. Los ingresos por la venta de unidades son (0 /) euros. a) B () = 0 ( + + ) = + El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = = Deben venderse unidades. 8 Representa la función y = y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: y = + si < si 8 0 9 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: a) y = y = a) y = si < + si 8 0 Unidad. Funciones elementales 8
y = + si < si 8 0 0 Representa las siguientes funciones: a) y = y = c) y = d) y = + a) c) d) Representa las siguientes funciones: a) y = y = + c) y = + d) y = a) 8 c) d) 8 Unidad. Funciones elementales 9
Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. a) Representa la función tiempo-distancia. Busca su epresión analítica. a) DISTANCIA A SU CASA (km) 0 0 70 TIEMPO (min) f () = (/0) si 0 0 si 0 < 0 /0 ( 70) si 0 < 70 Halla el dominio de definición de las funciones: a) y = y = + c) y = d) y = + 8 e) y = f ) y = + g) y = h) y = 8 a) Á { 0, } Á {0} c) Á { } d) (0, + ) e) Á f) Á g) (, ) h) ( ;,) U (, + ) Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = y = + c) y = d) y = + a) (, 0] U [, + ) Á c) [, ] d) (, ] U [, + ) Unidad. Funciones elementales 0
Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 si < a) y = y = si 0 < si si si < + si < c) y = d) y = ( )/ si + si > a) c) d) Página 8 Representa: / + si ( + )/ si < a) y = y = / si > + si + 7 si <,7 c) y = d) y = 7 si,7 si + si < < si a) c) d) Unidad. Funciones elementales
7 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) y = si y = ( )/ si > c) y = si < d) y = si si si > si < 0 si 0 a) c) d) 8 Representa: si a) y = si < < y = si ( /) + si < si a) 9 Busca la epresión analítica de estas funciones: a) si a) f () = f () = si > si si > Unidad. Funciones elementales
0 Representa y define como funciones a trozos : a) y = y = + c) y = d) y = Mira el ejercicio resuelto número. a) y = si < y = si si < + si a) 8 c) y = + si < d) y = si si < + si c) d) Representa y define como funciones a trozos : a) y = y = c) y = + d) y = + Mira el ejercicio resuelto número 9. si < a) y = + si y = si > si <, + + si,, si >, Unidad. Funciones elementales
a) ( /) si < c) y = ( /) + si d) y = ( /) si > + si <,7 + si,7 0,7 + si > 0,7 c) d) A partir de la gráfica de f () = /, representa: a) g() = f () h() = f ( ) c) i() = f () d) j() = f () a) 0 0 h() 0 0 g() 0 0 0 0 c) 0 d) 0 j () 0 i () 0 0 0 0 0 Unidad. Funciones elementales
Representa la función f () = y dibuja, a partir de ella: a) g() = + h() = c) y = a) g() 0,8 0, f () 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,8 f () c) y () f () h() Esta es la gráfica de la función y = f (): Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f () y = f ( ) c) y = f () + a) c) Unidad. Funciones elementales
Dividendo resto Utilizando la relación = cociente + podemos escribir divisor divisor + la función y = de esta forma: + y = + + Comprueba que su gráfica coincide con la de y = / trasladada unidad hacia la izquierda y hacia arriba. y = y = + + Representa las funciones y =, y = utilizando el procedimiento del problema anterior. y = = + Unidad. Funciones elementales
y = = + 8 8 0 Página 9 CUESTIONES TEÓRICAS 7 Una parábola corta al eje de abscisas en = y en =. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? f () = k ( + ) ( ) = k ( ) + ( ) Vértice = = ; f () = k = k = La ecuación de la parábola será, por tanto: f () = 8 Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(0, n) y B(, n + m)? y = m + n 9 Recuerda que la pendiente de una recta es lo que aumenta y por cada unidad que aumenta. Demuestra que en la recta y = m + n, m es la pendiente. Calcula el valor de y cuando = a y cuando = a + y halla la pendiente. y (a) = m a + n y (a + ) = m a + m + n y (a + ) y (a) = m = pendiente 0 Encuentra los valores de c para que la función y = + + c tenga con el eje de abscisas: a) Dos puntos de corte. Un punto de corte. c) Ningún punto de corte. b ac = + c a) + c > 0 c > + c = 0 c = c) + c < 0 c < Unidad. Funciones elementales 7
PARA PENSAR UN POCO MÁS Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: + 9 a) y = y = + 0 > > 0 + a) 0 Dominio = (, ] U (, + ) + 0 < 0 9 0 9 9 > 0 0 Dominio = (, 0) U [9, + ) 9 0 < 0 < 0 El precio del metro cuadrado de un material plástico para suelos depende de la cantidad que compremos,, y viene dado por la función f () definida así: 0 0,0 si 0 0 f () = 7, 0,0( 0) si 0 < < 00, 0,00 ( 00) si 00 00 a) Representa gráficamente esta función. Cuál será el precio si compro 00 m? c) Para conseguir un precio inferior a 7 /m, cuántos metros cuadrados, como mínimo, tengo que comprar? a) 0 8 00 00 00 00 00 Es continua en su dominio. Representa estas funciones y eprésalas en intervalos: a) y = y = Unidad. Funciones elementales 8
si 0 a) y = y = + si < 0 si 0 si 0 < < si Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 0 t). Obtén la epresión analítica. a) INGRESOS 000 800 00 00 00 0 0 0 CARGA (t) f () = Es decir: 0 si 0 0 [0 ( 0)] si 0 < 0 f () = 0 si 0 0 0 si 0 < 0 La gráfica de y = es una semicircunferencia con centro en el origen y radio. Compruébalo. Cuál es su dominio? Cuál será la función que representa la otra semicircunferencia? Haz una tabla de valores y represéntala. Unidad. Funciones elementales 9
y = Dominio = [, ] La función que representa la otra semicircunferencia es y =. PARA PROFUNDIZAR De una función polinómica de segundo grado, y = p (), sabemos que tiene un máimo en el punto de abscisa 0 = y que p () =. a) Cuánto vale p (0)? Tenemos suficientes datos para representarla? Escribe la ecuación de una parábola que cumpla estas condiciones y represéntala. p () = a + b + c Máimo en el punto de abscisa 0 = b a = b = a p () = = a + b + c a) p (0) = c = = a + ( a) + c = a a + c c = No tenemos suficientes datos; solo sabemos que: p () = a a + ; a < 0 Un ejemplo podría ser p () = + + Unidad. Funciones elementales 0
7 En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua. Un nadador se lanza tomando impulso y elevándose m antes de empezar a caer. El nadador alcanza el agua a 8 m del borde del trampolín. a) Si tomamos como origen de coordenadas la proyección del etremo del trampolín sobre el agua y el vérti- 8 m ce de la parábola es (a,, cuánto vale b? La ecuación del movimiento es y = k ( α) + 9. Justifícala y halla k y α. a) b = 8 + = 9 El vértice es (α, 9), por eso la ecuación es y = k ( α) + 9. 8 m Como y (0) = 8 8 = k α + 9 Como y (8) = 0 0 = k (8 α) + 9 k = /α k = 9/(8 α) = 9 (8 α) = 9α 8α + α = 0 α (8 α) α k = / + α 8 = 0 α = (vemos por la gráfica que no vale) La ecuación será, por tanto: y = ( ) + 9 Unidad. Funciones elementales