ANÁLISIS MATEMÁTICO II

GUÍAS DE TRABAJOS PRÁCTICOS ANÁLISIS MATEMÁTICO II 61.03-81.01 1er. CUATRIMESTRE 2017 Profesora Responsable: María Inés Troparevsky La elaboración de las guías de trabajos prácticos fue realizada por María Inés Troparevsky, Eduardo Zitto y Silvia Gigola.

Bibliografía Mardsen, J. & Tromba, A. J., Cálculo Vectorial. Ed. Addison- Wesley, 1998. Apostol, Tom M., Calculus, vol II, Reverté, 2010. Pita Ruiz, Claudio, Cálculo vectorial, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1995. Apostol, T. M. (2001), Análisis Matemático, Reverté Courant, J., Introducción al cálculo y al análisis matemático 2, Limusa, 1994. Penney, E., Cálculo y geometría analítica, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1994. Santaló. L. A., Vectores y tensores con sus aplicaciones. Eudeba, 1993. Spiegel, M., Cálculo Superior. Mc-Graw Hill, 1991. Bibliografía complementaria Ecuaciones Diferenciales Kreider, D., Kuller y Ostberg, D., Ecuaciones Diferenciales, Fondo Educativo Interamericano, 1973. Zill, D. G., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamericana, 2007. Blanchard P., Devaney R., Hall G., Ecuaciones Diferenciales, Editorial Thomson, 1999.

Índice general Guía I: Geometría del plano y del espacio....................... 7 1. Repaso - Rectas y planos................................ 7 2. Coordenadas cartesianas................................. 9 3. Coordenadas polares................................... 10 Guía II: Funciones, límite, continuidad, curvas.................... 13 1. Conjuntos de Nivel.................................... 13 2. Límite y Continuidad.................................. 14 3. Curvas parametrizadas................................. 16 Guía III: Derivadas, Diferenciabilidad, Superficies.................. 18 1. Derivadas......................................... 18 2. Diferenciabilidad..................................... 20 3. Superficies Parametrizadas............................... 23 Guía IV: Funciones Compuestas e Implícitas..................... 24 1. Funciones Compuestas.................................. 24 2. Funciones Implícitas................................... 26 Guía V: Polinomio de Taylor. Extremos libres y condicionados......... 28 1. Polinomio de Taylor................................... 28 2. Extremos Libres..................................... 29 3. Extremos Condicionados................................ 30 Guía VI: Integrales curvilíneas.............................. 32 1. Repaso de curvas.................................... 32 2. Integral de campos escalares sobre curvas....................... 33 3. Integral de campos vectoriales sobre curvas...................... 34 3.1. Campos de gradientes.............................. 35 3.2. Líneas de Campo................................. 36

Guía VII: Integrales Múltiples.............................. 38 1. Integrales Dobles.................................... 38 2.1. Cambio de Coordenadas............................. 39 2. Integrales Triples..................................... 40 3. Coordenadas Cilíndricas y Esféricas.......................... 40 Guía VIII: Integrales de Superficie........................... 44 Guía IX: Teoremas Integrales............................... 46 Guía X: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias..................... 51 1. Generalidades...................................... 51 2. Ecuaciones Diferenciales de primer orden....................... 52 2.2. Curvas Ortogonales............................... 54 2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas........................ 55 2.4. Líneas de Campo................................. 55

Guía I: Geometría del plano y del espacio 1. Repaso - Rectas y planos 1. Hallar, en cada caso, la ecuación cartesiana de un plano que satisfaga las condiciones dadas. Analizar si esas condiciones determinan el plano unívocamente. Graficar. a) es paralelo al plano x = 0 y contiene el punto P = (1, 2, 3); b) es perpendicular al eje z y pasa por el punto P = (1, 1, 2); c) pasa por (1, 1, 0), (0, 2, 1) y (3, 2, 1); d) pasa por (2, 0, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por (1, 1, 0) y (4, 1, 2); e) contiene a la intersección de los planos de ecuaciones x+y 2 z = 0 y 2 x y +z = 2. f ) es perpendicular al plano de ecuación 2 x + 3 y + 4 z = 5. 2. Hallar, en cada caso, las ecuaciones cartesianas de una recta que satisfaga las condiciones dadas. Analizar si esas condiciones determinan la recta unívocamente. Graficar a) pasa por el origen y es paralela a la recta dada por las ecuaciones x + 2 y z = 2, 2 x y + 4 z = 5; b) es perpendicular al plano de ecuación 2x 3y + 3z = 5 y pasa por el punto P = (1, 1, 1); c) está contenida en el plano de ecuación y = 1 y pasa por el punto P = ( 1, 1, 3); d) está contenida en el plano de ecuación x = 2 y pasa por los puntos P 1 = (2, 1, 3) y P 2 = (2, 1, 1); e) pasa por (1, 2, 1) y forma con los tres semiejes positivos ángulos iguales entre sí; f ) está contenida en la intersección de los planos de ecuaciones y x = 0 y z = 4 x y. 3. En los siguientes casos, hallar k de manera que exista más de un plano que pase por p 1, p 2 y p 3. Analizar una condición aplicable en general. 7

a) p 1 = (1, 0, 0), p 2 = (0, 1, 0), p 3 = (2, 1, k); b) p 1 = (1, 1, 0), p 2 = (1, 1, 1), p 3 = (1, 3, k). 4. a) Expresar 3 ĭ + j en la forma u + v, con u paralelo a ĭ + j y v perpendicular a u. b) Escribir la ecuación vectorial del segmento de recta 2x 3y = 2, en R 2, entre los puntos P 1 = (4, 2) y P 2 = (1, 0). c) Describir el conjunto de vectores en el espacio que resultan perpendiculares al vector v = (1, 2, 1). Qué representa? d) Dados A = (1, 2, 1) y B = (1, 2, 2), describir el conjunto de vectores P = (x, y, z) que satisfacen P A = P B. Qué representa? 5. Calcular las siguientes distancias: a) del origen al plano de ecuación x + 2 y + 3 z = 4; b) del punto (1, 2, 0) al plano de ecuación 3 x 4 y 5 z = 2; c) del origen a la recta de ecuaciones x + y + z = 0, 2 x y 5 z = 1; d) de la recta de ecuaciones x 2 = (y+3)/2 = (z 1)/4 al plano de ecuación 2 y z = 1. 6. Dados los vectores u = 2 ĭ + j 2 k y v = 2 ĭ 2 j k hallar: a) el ángulo entre u y v; b) u ; c) 3 u 2 v; d) un vector unitario paralelo a u; e) la proyección de u sobre v. 7. Resolver cada uno de los siguientes problemas: a) Hallar los valores de k para los que los puntos (1, 1, 1), (0, 3, 2), ( 2, 1, 0) y (k, 0, 2) son coplanares; determinar en esos casos una ecuación del plano que los contiene. b) Hallar el área del paralelogramo dos de cuyos lados son los segmentos que unen el origen con (1, 0, 1) y (0, 2, 1). c) Probar que el triángulo de vértices A = (1, 1, 2), B = (3, 3, 8) y C = (2, 0, 1) tiene un ángulo recto. 8. Sean v, w dos vectores distintos en R 3, con extremos P, Q respectivamente. 8

a) Mostrar que el punto medio del segmento de extremos P, Q es el extremo del vector v + w (es decir que el extremo del vector v + w equidista de P y de Q). Ilustrar. 2 2 b) Mostrar que los puntos del segmento de extremos P, Q son los extremos de los vectores de la forma v + t(w v), 0 < t < 1 y entonces la distancia de cada uno de ellos a P es t w v. Interpretar gráficamente. 2. Coordenadas cartesianas 9. Describir mediante un gráfico las regiones planas dadas por: (a) {(x, y) R 2 : x 2} (b) {(x, y) R 2 : x y} (c) {(x, y) R 2 : x + y 1} (d) {(x, y) R 2 : 2x 3y = 0, 1 < x < 1} (e) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, x 0} (f) {(x, y) R 2 : x2 4 + y2 9 = 1} (g) {(x, y) R 2 : x 2 + 4y 2 < 9, x 2} (h) {(x, y) R 2 : x 2 2x + y 2 /4 y 16} (i) {(x, y) R 2 : x 2 y = 0} (j) {(x, y) R 2 : 2x 2 x + y 1} (k) {(x, y) R 2 : x y 2 > 1} (l) {(x, y) R 2 : 2x + y 2 y 1} (m) {(x, y) R 2 : x 2 y 2 = 1} (n) {(x, y) R 2 : xy 1} (ñ) {(x, y) R 2 : y 2 4x 2 < 1} (o){(x, y) R 2 : xy > 1, x + y 0} (p) {(x, y) R 2 : x e y } (q) {(x, y) R 2 : sen(x) < 1/2} (r) {(x, y) R 2 : y < ln(x)} (s) {(x, y) R 2 : y = cosh(x)} 10. Describir mediante inecuaciones en coordenadas cartesianas las siguientes regiones planas: a) Interior del círculo centrado en (0, 0) y de radio 2. b) Cuadrado de lado 1 con ejes paralelos a los ejes coordenados y vértice inferior izquierdo en (1, 1). c) Puntos por encima de la parábola de ecuación y = 2 x 2. 9

d) Puntos interiores a la elipse centrada en (0, 0), de semiejes de longitud 2 y 4, paralelos a los ejes coordenados. 11. Describir mediante inecuaciones el interior y la frontera de los conjuntos dados por: (a) {(x, y) R 2 : 0 < x 2 + y 2 < 1} (b) {(x, y) R 2 : x 0, y < 0} (c) {(x, y) R 2 : 0 < x + y 1} (d) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} (e) {(x, y, z) R 3 : x + y + z 0} (f) {(x, y, z) R 3 : 1 x 2 + y 2 + z 2 5} (g) {(x, y, z) R 3 : z > x 2 + y 2 } (h) {(x, y, z) R 3 : x 2 + z 2 1} 12. Hallar, cuando sea posible, un punto exterior, un punto frontera y un punto interior a los siguientes conjuntos de R 2. Determinar cuáles son compactos y cuáles son arco-conexos. a) x + y > 2, b) x 2 + y 2 4, c) y 2x 2 2, d) 2x + 3y = 1 Cuáles son todos los puntos frontera? e) 2 < x < 3, y 2 < 1, f ) (x 2y)(y x 2 ) = 0, g) xy < 0. 13. Describir mediante ecuaciones y/o inecuaciones conjuntos planos A que satisfagan: a) todo punto sea punto frontera; b) todo punto sea punto aislado; c) A A 0 = {(0, 0)}, donde A 0 es el interior de A; d) A es cerrado y su interior es {(x, y) : x 2 + y 2 < 1}; e) A es no acotado y su frontera es {(x, y) : x + y = 1}. 3. Coordenadas polares 14. Trazar aproximadamente en el plano xy, las siguientes curvas descriptas en coordenadas polares. Cuando no esté indicado, observar qué dominio debe considerarse para la variable θ. Determinar cuáles se corresponden con los gráficos que aparecen a continuación. 10

(a) r = constante, (b) θ = constante (c) r = θ (d) r = 2, 0 θ < π/2 (e) 1 r 2, θ = π/6 (f) r = cos(θ), 0 θ < π/2 (g) cos(θ) = 4 r (h) r = 4 cos(θ), θ [0, π/2] [3π/2, 2π) (i) r = 2 cos(θ) + 2 3 sen(θ) 15. Describir mediante inecuaciones en coordenadas cartesianas las siguientes regiones planas descriptas en coordenadas polares. (a) π/6 θ π/3 (b) 1 r < 2 (c) 1 < r 2, π/6 θ < π/3 (d) r 3 sen(θ), θ [0, π] 16. Describir mediante inecuaciones en coordenadas polares las regiones planas descriptas, en coordenadas cartesianas, por: 11

(a) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} (b) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 2 y 0, y > x } (c) {(x, y) R 2 : x 2 3 y 2 } (d) {(x, y) R 2 : x y, x < 3 y} 12

Guía II: Funciones, límite, continuidad, curvas 1. Conjuntos de Nivel 1. En los siguientes casos, describir el dominio de f y determinar si es un conjunto cerrado, abierto, acotado. Describir los conjuntos de nivel de f y esbozar su gráfico. (a) f(x, y) = 3(1 x 2 y 2 ) (b) f(x, y) = y x (c)f(x, y) = 4 x 2 y 2 (d) f(x, y) = 9x 2 + 4y 2 (e) f(x, y) = x 2 y 2 (f) f(x, y) = 1 x2 y 2 16 (g) f(x, y) = 25 x 2 (h) f(x, y) = e x2 y 2 (i) f(x, y) = x 2 + 2y 2 (j) f(x, y) = mín(x, y) 2. Describir en coordenadas polares: a) el dominio de las funciones de los items b), c) y f) del ejercicio anterior; b) los conjuntos de nivel 0 de las funciones de los items c), e) y j) del ejercicio anterior; c) los conjuntos de positividad, C + = {(x, y) Dom(f) : f(x, y) > 0}, de las funciones de los items e), g) e i). 3. Graficar el conjunto de nivel 0 y el conjunto de nivel 4 de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = { x + y si x 2 0 si x < 2 (b) f(x, y) = sen(y x) 13

4. Describir el dominio y los conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares: a) f(x, y, z) = x + y + 2z b) g(x, y, z) = e x2 +y 2 z 2 c) h(x, y, z) = 2x2 + y 2 5. La función T (x, y) representa la temperatura en el punto (x, y) de una placa metálica delgada plana, (x, y) D = {(x, y) R 2 : x [ 10, 10], y [ 10, 10]} = [ 10, 10] [ 10, 10]. Las curvas de nivel de T se denominan isotermas porque todos sus puntos tienen la misma temperatura. Dibujar algunas isotermas si T (x, y) = 64 4x 2 8y 2. z 2. Límite y Continuidad 6. En los siguientes casos hallar, si existe, el límite indicado; en los casos en que no existe, fundamentar. (a) (c) (e) (g) (i) lím xy (x,y) (1, 1) y2 (b) lím (x,y) (0,4) lím (x,y) (0,0) lím (x,y) (0,2) x2 + y 2 (d) lím (x,y) (1, 2) x2 + (y 2) 2 x x 2 (y 2) 2 x 2 + (y 2) 2 (f) lím (x,y) (0,0) ( y lím xy,, ) x (x,y) (1, 2) x+1 2 + y 2 ( lím (x,y) (0,0) y cos(1/x), sen(3x) 2x ), x y (h) x y lím (x,y,z) (0,1,1) (j) lím ( x x 0 x x + y, ) x x y + 1 z2 1 (k) x 2 + y 2 lím (x,y) (0,0) y (l) lím (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 2 + y 2 (m) lím (x,y) (0,0) xy 2 x 2 y + y (n) lím x 2 + y 2 (x,y) (0,0) x 2 + y 2 7. Determinar el dominio y los puntos de continuidad de las siguientes funciones: 14

{ 1 cuando x y > 0 (a) f(x, y) = 0 cuando x y 0 (c) f(x, y) = (e) f(x, y) = { 0 cuando xy 0 1 cuando xy = 0 { (x 2) 2 (x, y) (2, 0) (x 2) 2 +y 2 0 (x, y) = (2, 0) (b) f(x, y) = (d) f(x, y) = (f) f(x, y) = { x 2 y cuando x 2 y 3 cuando x = 2 y { { x 2 y x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) x 2 +y x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 1 x 2 si y = 0, x 1 (g) f(x, y) = 1 y 2 si x = 0, y 1 0 en otro caso { (h) f(x, y) = x 4x 2 + y 2 < 1 2x + y 4x 2 + y 2 1 8. Sea f(x, y) = x 3 x(y + 1) 2 x 2 + (y + 1) 2 si (x, y) (0, 1) a si (x, y) = (0, 1) Determinar, si es posible, el valor de a para que f(x, y) resulte continua en R 2.. 9. En los siguientes casos definir, si es posible, una función f continua en R 2 que satisfaga las condiciones dadas. Es única? a) f(x, y) = 0 cuando x 2 + y 2 < 1, f(x, y) = 1 cuando x 2 + y 2 > 2. b) f(x, y) = x y cuando x y < 1, f(x, y) = (y x) 2 cuando x y > 1. 10. Sea f(x, y) = e x2 y 2. a) Hallar las curvas de nivel de f. b) Determinar las intersecciones de la superficie gráfico de f con los planos coordenados. c) Realizar un gráfico aproximado de f. d) Calcular lím f(x, y). Para hacerlo, realizar la sustitución u = (x,y) (, ) x2 + y 2. Relacionar el valor hallado con el resultado con los items anteriores. xy 11. Realizar la sustitución u = 1/x, v = 1/y para calcular lím (x,y) (, ) x2 + y. 2 Calcular lím xy. (x,y) (0,0) x 2 +y 2 15

12. Sea f : R 2 R y (a, b) R 2. Definimos g y h de R en R mediante g(x) = f(x, b) y h(y) = f(a, y). a) Estudiar las relaciones entre los gráficos de h y g y el gráfico de f. b) Si f es continua en (a, b): Es g continua en a? Es h continua en b? Justificar. c) Si f(x, y) = x 2 + y 3 y (a, b) = (1, 2), hallar g y h. d) Dar un ejemplo para mostrar que g puede ser continua en a y h en b, sin que f sea continua en (a, b). 13. Sea f : R 2 R, y (a, b) R 2. Fijado (α, β) R 2, definimos h : R R mediante h(t) = f((a, b) + t (α, β)). a) Estudiar la relación entre el gráfico de h y el de f. b) Dar un ejemplo para mostrar que aún cuando para cada (α, β) R 2 h resulte continua en 0, f puede no ser continua en (a, b). c) Es cierto que si f es continua en (a, b) entonces h es continua en 0? 3. Curvas parametrizadas 14. Sea C la curva parametrizada por σ(t) = (R cos(t), R sen(t)), t [0, 2π), R > 0 fijo. Hallar la ecuación de su recta tangente en t = π/4. Graficar la curva y la recta indicando la orientación de la curva. 15. Sea C la curva dada por σ(t) = (t 2, t 3 + 1, t 3 1), t [1, 4]. a) Hallar la ecuación de su recta tangente y su plano normal en σ(2). b) Hallar el módulo de su vector tangente en σ(2). c) Probar que la curva es plana. d) Hallar la intersección de C con el plano de ecuación y + z = 2. 16. Sea C la curva dada por σ(t) = (t, 3 t), t [ 1, 8]. a) Graficar la curva. b) Hallar la ecuación de su recta tangente y su recta normal en t = 1. 17. Sean f : R 3 R, g : R 3 R, definidas por f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 y g(x, y, z) = (x 2 2x + y 2 ). Hallar una parametrización para la curva determinada por la intersección de las superficies de nivel de f y g que pasan por el punto (0, 0, 2). 16

18. Sean γ 1 (t) = (t, t ) con t [ 1, 1] y γ 2 (t) = (t 3, t 3 ) con t [ 1, 1]. a) Verificar que ambas parametrizaciones definen la misma curva plana y graficarla. b) Si las parametrizaciones describen el movimiento de un punto en función del tiempo t, hallar la velocidad (vector tangente a la curva) y la rapidez (su módulo) para cada parametrización. Existen los vectores tangentes para todo valor del parámetro? 19. En los siguientes casos, hallar una parametrización regular de la curva definida por el par de ecuaciones, y calcular su recta tangente en el punto indicado. a) y = 4 x, z = 4 x 2, (1, 3, 3) b) x 2 + y 2 + z 2 = 2, z = x 2 + y 2, (0, 1, 1) c) z = x + y 2, x = y 2, (4, 2, 8) d) x 2 + y 2 + z 2 = 6, z = x 2 + y 2, (1, 1, 2) 20. Resolver los siguientes problemas: a) Una abeja vuela ascendiendo a lo largo de la curva intersección de z = x 4 + xy 3 + 12 con x = 1. En el punto (1, 2, 5) sigue a lo largo de la tangente en el sentido de las y crecientes. Dónde cruza la abeja el plano y = 1? b) Una partícula se mueve en el plano de manera que su posición al tiempo t es r(t) = (t sen(t), 1 cos(t)). Hallar los máximos de los módulos de su velocidad y su aceleración. Dibujar aproximadamente la trayectoria y los vectores velocidad y aceleración. c) Una partícula se mueve a lo largo de la parte superior de la parábola de ecuación y 2 = 2 x de izquierda a derecha con rapidez constante de 5 metros/segundo. Cuál es su vector velocidad al pasar por (2, 2)? 17

Guía III: Derivadas, Diferenciabilidad, Superficies 1. Derivadas 1. En los siguientes casos, calcular las funciones derivadas parciales de f y luego evaluarlas en los puntos indicados. a) f(x, y) = x y + x 2, en (2, 0); b) f(x, y) = senh(x 2 + y), en (1, 1); c) f(x, y, z) = xz en (1, 1, 1); y + z d) f(x, y, z) = ln(1 + x + y 2 z), en (1, 2, 0) y en (0, 0, 0); e) f(x, z) = sen(x z), en (π/3, 4); 1 f ) f(x, y) =, en ( 3, 4); x2 + y2 g) f(x, y) = y 2 x sen(ln(1 + t 3 )) dt, en (1, 2). 2. Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones en el origen. Analizar la continuidad de las funciones y de sus derivadas parciales en el origen. { 2x 3 y 3 para (x, y) (0, 0) a) f(x, y) = x 2 +3y 2 0 para (x, y) = (0, 0) { x 2 2y 2 para x y b) f(x, y) = x y 0 en otro caso { 0 cuando xy 0 c) f(x, y) = 1 cuando xy = 0 18

3. Determinar el dominio y hallar las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones: a) f(x, y) = ln(x 2 + y); b) f(x, y, z) = x sen(y) + y cos(z); c) f(x, y) = arc tg x y ; x 2 d) f(x, y) = a + y2 2 b ; 2 e) f(x, y, z) = z ln(x 2 + y 2 + z + 1). { xy x2 y 2 cuando (x, y) (0, 0) 4. Sea f(x, y) = x 2 +y 2. Mostrar que las derivadas cruzadas en 0 cuando (x, y) = (0, 0) (0, 0) de f existen y son distintas. Es C 2 la función f? 5. Probar que la función f(x, y) = e x sen(y) es armónica, es decir que es de clase C 2 y satisface la ecuación de Laplace 2 f(x, y) + 2 f(x, y) = 0. x 2 y 2 { 9 x 6. Dada f(x, y) = 2 y 2 cuando x 2 + y 2 9 0 cuando x 2 + y 2. Analizar la continuidad y la existencia de derivada parcial respecto de y en el punto (3, > 9 0). 7. Analizar la existencia de las derivadas direccionales de la siguientes funciones en los puntos y direcciones dadas: a) f(x, y) = 3x 2 2xy P 0 = (0, 2) v = ( 1, 3 ) 2 2 { xy si xy 0 b) f(x, y) = P x + y si xy < 0 0 = (0, 0) v 1 = ( 1 1 2, 2 ) v 2 = ( 1 2, 1 2 ) 8. Analizar la existencia de las derivadas direccionales según distintas direcciones, en el origen, de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x + 1 x 2 + y 2 + 1 { x (c) f(x, y) = 2 y cuando x > y x y cuando x y (b) f(x, y) = { x 2 + y cuando x > 2y 3 cuando x 2y { x + y + z cuando z > x2 + y (d) f(x, y, z) = 2 0 en otros casos 19

2. Diferenciabilidad 9. Hallar el gradiente de los siguientes campos escalares. Existen puntos en el dominio de f en los cuáles no existe el vector gradiente? Es f continua en esos puntos? a) f(x, y) = f(x, y) = 1 6 (x2 + y 2 ) b) f(x, y) = y x 1 c) f(x, y) = x 2 + y 4 d)f(x, y, z) = x 2 + ln(y 2 + 1) + 1 z 4 +2 10. Analizar la continuidad y la diferenciabilidad de las funciones siguientes en el origen a) f(x, y) = b) g(x, y) = c) l(x, y) = d) m(x, y) = ( 1 (x 2 + y 2 ) sen { x si (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 0 en otro caso { { 11. Sea f(x, y) = x 2 + y 2. x 2 y si (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 0 en otro caso ) si (x, y) (0, 0) x 2 + y 2 0 en otro caso x 2 y 2 x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0) 0 en otro caso a) Hallar el conjunto de nivel de f que contiene al punto (1, 2) y el vector gradiente de f en (1, 2). Graficar. b) Hallar una ecuación para el plano tangente al gráfico de f en el punto (1, 2, f(1, 2)). Realizar un gráfico aproximado de la función y su plano tangente en ese punto. 12. Dados el campo escalar f : D R 2 R y P 0 D se pide en cada caso: Hallar f(p 0 ), la curva de nivel de f que pasa por P 0 = (x 0, y 0 ) y su recta tangente en ese punto. Graficar. Representar en el gráfico de f, Q 0 = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), el plano tangente a la superficie en Q 0 y el vector N = ( f (P x 0), f (P y 0), 1). Relacionar lo hecho en los items anteriores. 20

a) f(x, y) = 5 + 2x 3y, P 0 = (0, 0) b) f(x, y) = x 2 2x + y 2, P 0 = ( 1, 2) c) f(x, y) = 4 x 2 y 2, P 0 = (1, 1) Justificar que las funciones dadas son diferenciables en los puntos indicados. Esas funciones son diferenciables en sus dominios? 13. Sea f : R 2 R diferenciable en todo el plano. Sabiendo que el plano tangente a la superficie gráfico de f en el punto (1, 1, f(1, 1 )) tiene ecuación 2x 4y 2z = 6, 2 2 hallar f(1, 1) y f(1, 1). 2 2 14. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar está dada por la función f(x, y) = 1500 e (x2 +y 2 )/200. El semieje positivo de las x apunta hacia el este y el de las y hacia el norte. a) Hallar y dibujar algunas curvas de nivel de f. b) Un alpinista está en (10, 10, 1500 ), si se mueve hacia el noreste, asciende o desciende?, e con qué pendiente? 15. Cuáles son todos los puntos de la superficie gráfico de f(x, y) = xye x+y, para los cuales resulta el plano tangente horizontal? 16. Probar que si un campo escalar definido en R 2 es diferenciable en un punto entonces es continuo en ese punto. 17. Analizar la continuidad de las derivadas parciales y la diferenciabilidad en el origen de { x 3 y 3 si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2. 0 en otro caso 18. Dada f(x, y) = { x 3 x(y 1) 2 x 2 +(y 1) 2 cuando (x, y) (0, 1) 0 cuando (x, y) = (0, 1) a) Probar que f tiene derivadas en todas las direcciones en el punto (0, 1) y hallar todos los versores para los cuales la derivada direccional de f en (0, 1) es nula. b) Qué se puede decir de la diferenciabilidad de f en (0, 1)? 19. Sea f(x, y, z) = e xz+xy2. Hallar un valor aproximado de f(0,1, 0,98, 2,05) utilizando una aproximación lineal adecuada. 21

20. Sea f : R 2 R diferenciable, tal que f(1, 2) = 5. Sabiendo que su derivada direccional en (1, 2) es máxima en la dirección del versor ( 1 1 2, 2 ) y f (1, 2) = 3 2, se pide: x a) hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie gráfica de f en el punto (1, 2, f(1, 2)) b) calcular un valor aproximado de f(1,01, 1,98) utilizando una aproximación lineal 21. Se desea estimar el área de un rectángulo, cuyos lados son a = (10 ± 0,1)m y b = 100m ± b. Determinar con que precisión mediría el lado b ( b) para que la contribución de la incerteza en la medición de a y b en el error del área sean del mismo orden. 22. El período de oscilación de un péndulo ideal es T = 2π l g donde l es la longitud del hilo y g es la aceleración de la gravedad. Calcular cotas para los errores absoluto y relativo que se cometen en la determinación de g si el período es T = 2 seg con error menor a 0,02 seg y l = 1m, con error inferior a 0,001m (considerar π = 3,1416). 23. En los siguientes casos hallar, cuando sea posible, una función diferenciable (en un abierto U que contenga a todos los puntos del plano involucrados) f(x, y) que satisfaga las condiciones dadas. En los casos en que no sea posible, fundamentar esta imposibilidad. a) f/ x(0, 0) = 1, f/ y(0, 0) = 2, f(0, 0) = 1; b) f/ x(0, 0) = 1, f/ y(0, 0) = 2, f(0, 0) = 1, f(1, 0) = 1; c) f/ x(1, 2) = 3, f/ y(1, 2) = 4, f(1, 2) = 1, f(0, 0) = 0; d) f es constante a lo largo de la curva de ecuación y = x x 3, f/ x(0, 0) = 1; e) las pendientes de la superficie z = f(x, y) en el punto (1, 0) en las direcciones (1, 1) y (0, 1) son 1 y 2 respectivamente, y f(1, 0) = 3. 24. Hallar las matrices jacobianas de los siguientes campos: a) F (x, y) = (3x 2 y, x y) b) G(x) = (x 2 + 1, 2x) c) h(x, y, z) = xy + z 2 x d) L(x, y) = (x 2 y, y, x xy) e) M(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) f ) N(x, y, z) = (2xy, x 2 ze y ) 22

3. Superficies Parametrizadas 25. Considere la superficie S dada en forma paramétrica por X(u, v) = (u + v, u v, u v), (u, v) R 2. a) Hallar una ecuación cartesiana para S. b) Hallar la ecuación del plano tangente a S en (3, 1, 2). 26. Determinar las ecuaciones del plano tangente y recta normal a la superficies siguientes en los puntos que se indican: a) el paraboloide elíptico 4x 2 + y 2 16z = 0 en el punto (2, 4, 2); b) la porción de cilindro elíptico X(u, v) = (v, 2 + cos(u), 2 sen(u)), 0 u π, 0 v 4, Q 0 = (2, 3/2, 3); c) la porción de cono circular X(u, v) = (v cos(u), 2 v, v sen(u)), 0 u π, 0 v 3, Q 0 = (0, 4, 2); d) la porción de hiperboloide de una hoja X(u, v) = (cos(u) cosh(v) + 1, sen(u) cosh(v), senh(v)), D = [0, π] [ 1, 1], 27. Sean D = [0, 2π] [0, 1]; Φ : D R 3, Φ(u, x) = (x, 2 cos(u), 2 sin(u)). Q 0 = (1, 1, 0). a) Mostrar que es una parametrización de una porción de cilindro. Graficar S = Img( Φ). b) Calcular el vector normal y analizar si es una parametrización regular en todos los puntos. c) Hallar el plano tangente a la superficie en el punto (1, 3, 1). 23

Guía IV: Funciones Compuestas e Implícitas 1. Funciones Compuestas 1. Dada f(x, y) = sin((x 2) 2 + y 1) expresarla como composición de dos funciones, f(x, y) = g(h(x, y)), indicando dominio y codominio de cada una de ellas. 2. Dada f(x, y) = xy + y, hallar f( 1, 1), f(1 + x, 2y) y f(u + v, u v). 2x 3. Probar que f(x, y) = 4x4 + 12x 2 y 2 + 9y 4 4 2x 2 3y 2, es constante sobre los puntosa de la elipse 2x 2 + 3y 2 = 1. 4. Dadas f(x, y) = (xy 4 + y 2 x 3, ln x) y g(u, v) = (v u, sen u u ): a) hallar sus dominios y las expresiones de h = f g y de w = g f; b) calcular h v(1, e) aplicando la regla de la cadena y usando la expresión de h hallada en a). 5. Si h = f g, calcular h(a) en los siguientes casos: a) A = (0, 1), f(u, v) = u/v y g(x, y) = (1 + ln(x + y), cos(xy)); b) A = (1, 0), g(x, y) = (x, xe y2, x y), sabiendo que f(1, 1, 1) = (3, 1, 2) y f C 1 (R 3 ). { x = t 1 6. Siendo z = e x x 2 y x con y = 2t 2 resulta z = h(t). Determinar funciones f : R 2 R y g : R R 2 tales que h = f g. Demostrar que h tiene un máximo relativo en t 0 = 1. 7. Dada w = e x y z 2 y + x con x = u v, y = u + u 3 ln(v 1), z = uv; hallar la dirección de máxima derivada direccional de w = w(u, v) en (1, 2) y el valor de dicha derivada máxima. 24

8. Demostrar que z = f(x/y) satisface la ecuación xz x + yz y = 0, qué hipótesis supuso? 9. Si f(x, y) = x + y, g(u) = (u 1) 2, mostrar que (g f) resulta nulo en todos los puntos de la recta x + y = 1. 10. Sea f C 1 una función escalar de dos variables, A Dom(f) y f(a) 0. Demostrar que f(a) es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por A y está localmente orientado hacia los niveles crecientes. Verificarlo gráficamente para f(x, y) = x 2 + y 2 en los puntos (1, 1), ( 1, 1), (1, 1) y ( 1, 1) pertenecientes a la curva de nivel 2. 11. Suponer que f : R 2 R es una función C 2 que satisface las condiciones dadas. Determinar, en cada caso, el gradiente de f en el punto A especificado y hallar una función que satisfaga esas condiciones: a) f(1, 1 + t) = 1 + t, f(1 + t, 1) = 1 t,a = (1, 1); b) f(t, t) = 1, f(t, t 2 ) = 1 + t t 2, A = (0, 0); c) f v(0, 0) = 2, f(t, 2t) = t, v = ( 2/2, 2/2), A = (0, 0). 12. Sea f : R 2 R 2, (u, v) f(u, v) = (x(u, v), y(u.v)) una función biyectiva y C 2 que satisface ( ) (x, y) 1 1 (1, 2) = (u, v) 2 1 y f(1, 2) = (1, 2). a) Hallar un vector tangente en (1, 2) a la curva imagen por f de la circunferencia de ecuación u 2 + v 2 = 5. b) Hallar un vector tangente en (1, 2) de la preimagen por f de la recta de ecuación y = 2x. 13. Sea S la superficie parametrizada por F (u, v) = (u cos v, u sen v, u) con (u, v) R 2 y C la curva de ecuación v = u 2 1 en el plano uv. a) Hallar una parametrización regular para la curva C, imagen de C a través de F. b) Sea A un punto cualquiera de C, probar que el plano tangente a S en A contiene a la recta tangente a C en dicho punto. 14. Sea g : R R diferenciable. Parametrizar la superficie S definida por z = y g( x ), y > 0. y Probar que el plano tangente a S en cada uno de sus puntos, pasa por el origen. 25

15. Suponiendo que f tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes y z = f(x, y) donde x = x(s, t) = 2s + 3t e y = y(s, t) = 3s 2t, calcular 2 z s, 2 z 2 s t y 2 z t. 2 16. Mostrar que si f(x, y) es una función armónica (i.e. f es de clase C 2 y satisface 2 f x + 2 f 2 y = 0), 2 entonces f(x 3 3xy 2, 3x 2 y y 3 ) también es armónica. 2. Funciones Implícitas 17. Demostrar que las ecuaciones dadas define implícitamente una función z = f(x, y), en un entorno del punto (x 0, y 0 ), cuyo gráfico pasa por A = (x 0, y 0, z 0 ). Calcular f(x 0, y 0 ) en cada caso. a) x 2 y 2 + z 2 = 0, A = (4, 5, z 0 ), z 0 > 0; b) z = 2 ln(z + 3x y 2 ), A = (1, 2, 2). 18. Demostrar que (x 2 + ln(x + z) y, yz + e xz 1) = (0, 0) define una curva C regular en un entorno de (1, 1, 0) y hallar el plano normal a C en dicho punto. 19. Si u y v están definidas como funciones de x e y por x = u 3 + v 3, y = uv v 2 en un entorno de (x 0, y 0, u 0, v 0 ) = (2, 0, 1, 1), calcular u x, u y, v x, v (u, v), en el punto (2, 0). y (x, y) 20. Demostrar que el sistema de ecuaciones xy 2 + zu + v 2 = 3 x 3 z + 2y uv = 2 xu + yv xyz = 1 define x, y, z como funciones de u, v en el entorno de (x 0, y 0, z 0, u 0, v 0 ) = (1, 1, 1, 1, 1) y calcular y u en (u 0, v 0 ). 21. Un cierto gas satisface la ecuación pv = T 4p T 2 donde p es la presión, V el volumen, T la temperatura y (p 0, V 0, T 0 ) = (1, 1, 2). a) Calcular T/ p y T/ V en en (p 0, V 0 ). 26

b) Si mediciones de p y V arrojaron valores p = 1 ± 0,001, V = 1 ± 0,002, acotar el error si se estima la temperatura mediante T = 2. 22. Hallar una ecuación cartesiana para la recta tangente a C en los siguientes casos a) C = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 + 2xy = 4}, en (1, 1); b) C = {(x, y) R 2 /xy + ln y = e x }, en (0, e); c) C = {(x, y, z) R 3 /(xy + z, y + x 2) = (3, 5)}, en (1, 6, 3). 23. Demostrar que la esfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 y el cono z 2 = a 2 x 2 + b 2 y 2 son superficies ortogonales en todo punto de su intersección. 24. Sea C la curva definida como intersección de las superficies de ecuaciones y = x 2 y e xz 1 xy + ln(yz) = 0. Si L 0 es la recta tangente a C en A = (1, 1, 1), calcular la distancia desde A hasta el punto en que L 0 corta al plano de ecuación x + y = 8. 25. El siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente una curva en un entorno del punto (5, 0, 4) { ln(x z) + y + x = 5 e yz + z x = 0 Encontrar la intersección de la recta tangente a dicha curva en el punto (5, 0, 4) con el plano de ecuación x + z = 10. 27

Guía V: Polinomio de Taylor. Extremos libres y condicionados 1. Polinomio de Taylor 1. Expresar el polinomio p(x, y) = x 3 2xy + y 2 en potencias de (x 1) e (y + 1). 2. Calcular el polinomio de Taylor de 2 orden de f en A. a) f(x, y) = e x+y cos(y 1), A = ( 1, 1); b) f(x, y, z) = xy ln z, A = (1, 4, 1); c) f(x, y) = cos(x + y), A = (0, 0). 3. Hallar una cota (en función de x y y), para el valor del término complementario del desarrollo de Taylor de primer orden correspondiente al ítem 2a) y 2c). 4. Aproximar el valor 1,01 1,98 utilizando el polinomio de Taylor de primer orden (aproximación lineal) de una función adecuada en el punto A = (1, 2). 5. Demostrar que e x 1 ln(y 1) y 2 en un entorno del punto (1, 2). 6. Sabiendo que la ecuación y z + e zx = 0 en un entorno de (0, 0, 1), define implícitamente a z = f(x, y), hallar un valor aproximado para f(0,01, 0,02) aplicando el desarrollo de Taylor hasta 2 orden. 7. El polinomio de Taylor de 2 orden para f en el punto (2, 1) es p(x, y) = x 2 3xy+2x+y 1, hallar una ecuación cartesiana para el plano tangente a la gráfica de f en (2, 1, z 0 ). 8. Sea w = f(u, v) definida en forma implícita por 3v + ue 2w w = 1 en un entorno del punto (u 0, v 0, w 0 ) = (7, 2, 0). Si u = x 2y y v = x + y, hallar el polinomio de Taylor de primer orden de w(x, y) en el punto (1, 3) y utilizarlo para calcular aproximadamente el valor de w cuando x = 0,97 e y = 3,01. 28

2. Extremos Libres 9. Analizar la existencia de extremos relativos de f en su dominio. Se puede determinar si alguno de los extremos hallados es absoluto? (a)f(x, y) = (x 3 + y 3 )(x 3 y 3 ) (b)f(x, y) = 4 x 2 y 2 (c)f(x, y) = (x 1)y (d)f(x, y) = ln(2 x 2 y 2 ) (e)f(x, y, z) = (x 2 + y 2 )(2 e z2 ) (f)f(x, y) = ln(1 + x 4 + y 4 ) (g)z = x 3 + y 3 + 48 x + 48 y (h)z = (2x 3y + 4) 2 (i)f(x, y) = x 3 + y 3 + 3x 2 2y 2 8 (j)z = (x 3y) 2 + (x + y) 4 10. Hallar los extremos de f(x, y) = x 2 + xy + y 2 ax by, para a, b R fijos. 11. Construir una función f : R 2 R, que tenga un único máximo en el punto (1, 2) de valor 5. 12. Dada f(x, y) = ax 3 + bxy + cy 2, hallar todos los valores de a, b y c de manera que en (0, 0, 0) haya un punto silla de la gráfica de f y en (1, 1) un mínimo de los valores de f. Es f(0, 0) un extremo local? 13. Sea f es una función estrictamente positiva y C 3 cuyo gradiente se anula sólo en P 1 = (1, 1) y en P 2 = ( 1, 1). Sabiendo que el determinante Hessiano en esos puntos es no nulo, y que en P 1, f tiene un máximo de valor 10 y en P 2 un mínimo de valor 3, estudiar los extremos de g(x, y) = 1 f(x,y). (x 1)2 14. Sea f(x, y) = h(g(x, y)), donde g(x, y) = 2 3 (y 2) 2 + 2(x 1)(y 2) y h : 2 R R es una función C 2 que satisface h (x) > 0, x. Estudiar los extremos de f. Justificar. 15. Resolver: a) Una función C 2, z = f(x, y) tiene máximo relativo 3 en (1, 2). Hallar una ecuación del plano tangente en (1, 2, 4) a la superficie de ecuación z = f(x, y) + x 2. b) Sea f : R 2 R una función C 3 que satisface f(1, 2) = (1, 0), y cuya matriz Hessiana en (1, 2) es ( ) 1 0 0 2 29

Hallar a de manera que la función g(x, y) = f(x, y) + ax + (y 2) 2 tenga extremo en (1, 2). Qué tipo de extremo es? c) Una función C 2, G(x, y, z) tiene máximo relativo 0 en (1, 2, 3). Hallar una ecuación del plano tangente en (1, 2, 3) a la superficie de ecuación G(x, y, z) = 4x y 2. 16. Hallar los extremos relativos de f(x, y) = 27x + y + 1 xy (x > 0, y > 0). en el primer cuadrante 17. Mostrar que f(x, y, z) = 4xyz x 4 y 4 z 4 tiene un máximo local en (1, 1, 1). 18. Hallar los extremos relativos de a) f(x, y, z) = x 3 + 3x + 2y 2 + 4yz + 3y + 8z 2. b) f(x, y, z) = y + x y + z x + 1 z 19. Hallar b de manera que f(x, y) = 1 b(y b 2)2 + (x 1) 2 2(y 2) 2 tenga un extremo local en el punto (1, 2) y clasificarlo. 20. Sea z = f(x, y) definida implícitamente en un entorno del punto (0, 0) por la ecuación xy + z + e z 1 = 0. Demostrar que el (0, 0) es un punto estacionario de f, clasificarlo y calcular f(0, 0). 21. La función C 2, f : R 2 R sobre la recta y = 3x + 2 vale x 2 ln(x 1) + 3. Es posible asegurar que f no tiene un extremo local en (2, 8)? 22. Demostrar que f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z + 2 tiene un mínimo relativo en ( 1, 1, 12), cuando se la evalúa en puntos del plano X(u, v) = (u 3, v + 4, 2u 2v 2) con (u, v) R 2. El punto hallado resulta punto crítico de la función en su dominio? 3. Extremos Condicionados 23. Hallar los extremos absolutos de f(x, y) = x 2 + y 2 x y 1 en a) la circunferencia x 2 + y 2 = 1; b) el círculo x 2 + y 2 1. 24. Hallar los extremos de f(x, y, z) = xz yz evaluada en puntos de la curva intersección de las superficies de ecuaciones x 2 + z 2 = 2 y yz = 2. 25. Hallar los extremos absolutos de f(x, y) = 2x(y 1) x y en el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 4) (interior y perímetro). 30

26. Un cuerpo tiene forma de paralelepípedo rectangular de volumen V y su superficie frontera tiene área A. Determinar las dimensiones del paralelepípedo si se desea que tenga área mínima para un volumen V dado. 27. Un envase cilíndrico debe tener 1 litro de capacidad, el material para las tapas cuesta 0,02$/cm 2 mientras que el de la cara lateral 0,01$/cm 2. Calcular las dimensiones del envase para que el costo sea mínimo. 28. Calcular el máximo valor de f(x, y, z) = x 2 + xy + y 2 + xz + z 2 sobre la superficie esférica de radio 1 con centro en el origen. 29. Hallar la distancia entre los planos x + y z = 4 y z = x + y + 7. 30. Calcular la distancia entre las rectas L 1 y L 2 definidas por: { x + y + z = 2 r 1 = y = x { x + y = 1 r 2 = z = 1 aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange y parametrizando ambas rectas. 31. Hallar los puntos de la superficie z = xy + 1 más cercanos al origen. Observar que la superficie está definida para los puntos (x, y) que satisfacen xy 1, por lo tanto deberá analizar los extremos en el abierto xy > 1 y en el borde xy = 1. 31

Guía VI: Integrales curvilíneas 1. Repaso de curvas 1. Hallar una parametrización para las siguientes curvas y graficarlas. { x + 2y z = 4 a) C : en el primer octante. y = 2x 1 { x b) C : 2 + y 2 = 4 z = 2 { x c) C : 2 + y 2 = 4 en el primer octante. z = 2x d) C : { x 2 + z2 4 = 4 3 2x + y = 1 2. Hallar otra parametrización para las curvas del ejercicio anterior de manera que resulten orientadas en sentido opuesto. 3. Sea f : [0, 2π] R 2, f(t) = (cos(t), sen(t)). La curva que describe es la circunferencia de radio 1, centrada en el origen, a partir del punto (1, 0) en sentido antihorario. a) Suponiendo que la parametrización dada describe, en función del tiempo t, el movimiento de un punto material que recorre la curva, demostrar que la velocidad f tiene módulo constante (rapidez constante). b) Reparametrizarla de manera de recorrer la curva 4 veces más rápido conservando la orientación. c) Reparametrizarla de manera de recorrer la curva 2 veces más lentamente invirtiendo la orientación. Cuál es su rapidez? 32

4. Probar que r(t) = (1, 2 cos(2t), 2 sen(2t)) es solución del problema de valores iniciales { v(t) = d r (t) = w r(t), w = 2ĭ dt r(0) = ĭ + 2 j 2. Integral de campos escalares sobre curvas 5. Calcular fds en los siguientes casos. C a) f(x, y) = 1/(x 2 + y 2 ), C : x 2 + y 2 = 4, y > 0. b) f(x, y, z) = 2x yz, C recta intersección de los planos 2y x+z = 2 con x y+z = 4 desde (7, 4, 1) hasta (4, 2, 2). 6. Calcular la longitud de: a) la curva parametrizada por σ(t) = (t, 4 3 t3/2, 2t), 0 t 2. Parametrizarla por longitud de arco; b) la hélice C de ecuación paramétrica X = (3 cos(t), 3 sen(t), 4t) con t [0, 2π]. Hallar su recta tangente y su plano normal en (3 2/2, 3 2/2, π). 7. Resolver a) Hallar la masa de un alambre cuya forma es la de la curva intersección de z = 2 x 2 2y 2 y z = x 2, en el primer octante, entre (0, 1, 0) y (1, 0, 1) si su densidad es δ(x, y, z) = xy. b) Hallar la masa de un alambre en forma de V, en R 2 cuya forma es la de la curva y = x, comprendida entre x 1 = 1 y x 2 = 1, si su densidad en cada punto es proporcional al valor absoluto del producto de las coordenadas del punto. c) Calcular la masa de un hilo metálico con densidad en cada punto es proporcional al producto de las distancias desde el punto a los planos coordenados, si la forma del alambre coincide con la de la curva intersección del cilindro x 2 + y 2 = 4 con el plano z = 2. d) Hallar la masa, el centro de masa y la densidad media de un alambre en forma de hélice, λ(t) = (cos t, sen t, t), t [0, 2π], cuya función de densidad es δ(x, y, z) = k(x 2 + y 2 + z 2 ). e) Hallar el momento de inercia de un alambre homogéneo de densidad constante δ 0 cuya forma es la de la curva parametrizada por σ : [ a, a] R 2, σ(t) = (t, cosh t), respecto de cada uno de los ejes coordenados. 33

8. Sean R > 0, f : D R, f(x, y) = R x 2 + y 2, con D = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 R}, justificar geométricamente que la función representa la distancia de un punto del dominio a la circunferencia de radio R centrada en el origen. Calcular el valor medio de f sobre la curva parametrizada por λ : [ a, a] R 2, λ(t) = (t, mt), donde m es fijo y a = R 1+m 2, e interpretar el resultado obtenido. 9. Suponer que la curva C parametrizada por λ : [a, b] R 2 de clase C 1 es la curva de nivel 3 de la función continua f : U R 2 R y su longitud es 4. Calcular fds Cuál es el C valor medio de f sobre la curva? 3. Integral de campos vectoriales sobre curvas 10. Calcular la circulación de f(x, y) = (y, x) desde el punto (1, 0) hasta el punto (0, 1) a lo largo de: a) un segmento que une los puntos. b) las 3/4 partes del círculo unitario. 11. Calcular a) C + (2x, y) d s, donde C es el cuadrado x + y = 1. b) C + (xy, x 2 ) d s, siendo C la frontera de la región del primer cuadrante limitada por xy 1, y x 2, 8y x 2. 12. Resolver a) Sea C parametrizada por σ(t) = (t, t 2, 2t) con t desde 0 hasta 2. Expresar C como intersección de dos superficies y graficarla. Calcular la circulación de f(x, y, z) = (xy, x, zy) a lo largo de C cuáles son los puntos inicial y final del recorrido? b) Idem que el inciso anterior para σ(t) = (t + 1, 2t + 1, t), t desde 1 hasta 2 y el campo f(x, y, z) = (x + 2y + z, 2y, 3x z). 13. Calcular el trabajo que realiza una fuerza constante de magnitud 2, en la dirección positiva del eje y, sobre una partícula puntual cuya trayectoria es la circunferencia unitaria, (0, 1) (1, 0) (0, 1), 14. Sea g una función continua en R 3.Calcular la circulación de f(x, y, z) = (2g(x, y, z), xy 9xg(x, y, z), 3yg(x, y, z)), desde (1, y 0, z 0 ) hasta (8, y 1, z 1 ) a lo largo de la curva C cuyos puntos pertenecen a la superficie de ecuación z = x y 2, y su proyección sobre el plano xy cumple con la ecuación x = y 3. 34

3.1. Campos de gradientes 15. Analizar si los siguientes campos admiten función potencial y en caso afirmativo hallarla. a) f(x, y) = (2x + y 2 sen(2x), 2y sen 2 x). b) f(x, y, z) = (xy, x + zy, yz). c) f(x, y, z) = (y 2xz + 1, x + 2y, x 2 ). d) f(x, y, z) = ((1 + xz)e xz, xe xz, yx 2 e xz ). 16. Sea f(x, y) = (x, x y 2 ) a) Mostrar que f no admite función potencial. b) Hallar la circulación de f a lo largo de la curva positivamente orientada C, perímetro de la región descripta por 0 y 1, 0 x y 2. 17. Sea f(x, y, z) = (4x/z, 2y/z, (2x 2 + y 2 )/z 2 ), z 0 a) Mostrar que f admite función potencial para z > 0. b) Describir las superficies equipotenciales de f. c) Calcular la circulación de f a lo largo de la curva descripta por x = 1 + log(1 + sen(t) ), y = e t(π t), z(t) = 1 + t/π, t [0, π]. 18. Si f y g son campos escalares C 1 en un D conexo y si C es una curva contenida en D de A a B entonces a) (f g + g f) d s = f(b)g(b) f(a)g(a) C b) (2fg f + f 2 g) d s = f 2 (B)g(B) f 2 (A)g(A) C c) Si g 0 en D, entonces C g f f g g 2 d s = f(b)/g(b) f(a)/g(a) 19. Cuál es el trabajo que realiza f(x, y, z) = (y 2 cos x + z 3 )ĭ + (2y sen x 4) j + (3xz 2 + 2) k sobre una part icula cuya trayectoria es la curva parametrizada por x = arc sen t, y = 1 2t, z = 3t 1, 0 t 1? 20. Resolver a) Para qué valores de a y b resulta conservativo el campo f(x, y, z) = (ax sen(πy), x 2 cos(πy)+bye z, y 2 e z )? Para esa elección de a y b calcular la circulación de f a lo largo de la curva parametrizada por σ(t) = (cos t, sen(2t), sen 2 (t)), 0 t π. 35

b) Para qué valores de a y b, y en qué dominio que contenga a (1, 1, 1), resulta conservativo el campo f(x, y, z) = (ax ln(z))ĭ+(by 2 z) j+( x2 z +y3 ) k? Para esa elección de a y b calcular la circulación de f a lo largo del segmento que une el punto (1, 1, 1) al (2, 1, 2). c) Verificar que C (3x 2y2 ) dx + (y 3 4xy) dy no depende de C, sólo de los puntos inicial y final del arco de curva. Calcular la integral cuando se circula desde (1, 3) hasta (2, 4). d) Evaluar C (ex sen y + 3y) dx + (e x cos y + 2x 2y) dy, sobre la elipse 4x 2 + y 2 = 4. Indicar el sentido elegido. 21. Sea ϕ C 2 (R 3 ), demuestre que f = ϕ ϕ es un campo de gradientes y calcule λ AB f d s sabiendo que ϕ(b) = 7 y que λ AB ϕ d s = 4. (A y B son los puntos inicial y final del arco de curva suave λ AB ). 22. Sea C una curva ( simple cerrada, ) que no pasa por el origen y que encierra una región R. Sea f(x, y y) = x 2 + y, x. 2 x 2 + y 2 a) Probar que si (0, 0) / R, entonces C + f d s = 0. b) Probar que si C es una circunferencia centrada en el origen de cualquier radio, orientada en sentido horario, entonces C f d s = 2π. c) Probar que el campo f tiene matriz jacobiana continua y simétrica en R 2 {(0, 0)}. Es f un campo gradiente? Es posible definir f en un dominio donde sea un campo de gradiente? 3.2. Líneas de Campo 23. Determinar la correspondencia de los siguientes gráficos con los campos vectoriales f i : R 2 R 2, f 1 = (x, 0), f 2 = (y, 1), f 3 = ( y, x) y f 4 = (2x, 2y). 36

Puede graficar aproximadamente sus líneas de campo? 24. Dado el campo f(x, y) = ( y, x) a) Probar que las líneas de campo son circunferencias. b) Probar que f(x, y) es constante sobre circunferencias centradas en el origen. c) Si C es una circunferencia centrada en el origen de radio R, calcular, sin efectuar la integral, f d s C + 25. Si f : R 2 R 2 es un campo de gradientes, y φ, un campo C 1 en R 2 es su función potencial, demostrar que las líneas de campo y las líneas equipotenciales son familias de curvas ortogonales. Comprobar este resultado para los campos f(x, y) = (x, y) y g(x, y) = ( 4x, 1). 37

Guía VII: Integrales Múltiples 1. Integrales Dobles 1. Calcular el área de las siguientes regiones planas. Graficar la región. a) definida por y x 2, y x. b) definida por x + y 2, y x, y 0. c) limitada por y = x 3 y y = x. d) limitada por la línea de nivel 4 de f(x, y) = x + y. e) limitada por las curvas de nivel 2 y 4 de f(x, y) = x + 2y en el 1 cuadrante. 2. Expresar cada integral invirtiendo el orden de integración. Graficar la región de integración. (a) 2 dx 2x f(x, y) dy (b) 1 2 y 2 f(x, y) dxdy 1 x 0 y (c) 1 1 f(x, y) dydx (d) 1 dy e y f(x, y) dx 1 x 2 1 0 3. Calcular la masa y el centro de masa de una placa plana definida por x 1, 0 y 1, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje y. 4. Calcular la masa de la placa plana definida por x y 2 cuando la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto a la recta x = 1. 5. Interpretar gráficamente la región de integración y calcular las siguientes integrales (en algunos casos puede convenirle invertir el orden de integración). 38

(a) 1 1 2x dxdy (b) 17/4 x 2 2 x dydx 1 y 2 4 x 2 (c) 1 1 0 y ex2 dxdy (d) y dxdy (D indica el disco de radio 1 centrado en el origen.) D 6. Sean Q = [0, 2] [0, 2] y f : Q R continua en Q. Si mostrar que F (x, y) = para todo (x, y) interior a Q. x 0 du y 0 f(u, v) dv, (x, y) Q 2 F x y (x, y) = 2 F (x, y) = f(x, y) y x 2.1. Cambio de Coordenadas 7. Resolver los siguientes ejercicios utilizando los cambios de coordenadas propuestos. a) Calcular área(d), D = {(x, y) R 2 / x + y 2}, usando (x, y) = ( u+v, u v). 2 2 b) Calcular e x+y dxdy, D descripto por 1 x + y 4 en el 1 cuadrante, usando D x + y = u, x = v. c) Calcular el área de la región plana definida por x2 (x, y) = (ar cos θ, br sen θ). + y2 a 2 b 2 1 con a > 0, b > 0, usando d) Calcular dxdy, D descripto por x x2 y 4x 2, x 1, y 9 usando la transformación (x, y) = (v/u, v 2 D /u). 8. Calcular las siguientes integrales aplicando una transformación lineal conveniente. a) e (y x)/(x+y) dxdy, D descripto por x + y 2, x 0, y 0. D b) (x y) 2 sen 2 (x + y) dxdy, D descripto por π y x π, π x + y 3π. D c) D (x + y) 3 dxdy, D descripto por 1 x + y 4, 2 x 2y 1. 9. Resolver utilizando coordenadas polares, en qué casos merece especial cuidado el análisis de la integrabilidad de la función en el dominio indicado?. 39

a) e x2 +y 2 dxdy, D círculo de radio R con centro en (0, 0). D b) D x+y x 2 dxdy, D descripto por 0 y x, x + y 2. c) Área(D), D descripto por x2 + y 2 4a 2, x 2 + y 2 2ax, con a > 0. 10. Sea f una función continua tal que 4 f(t) dt = 1. Calcular f(x 2 + y 2 ) dxdy siendo 0 D D R 2 el disco descripto por x 2 + y 2 4. 2. Integrales Triples 11. Describir mediante un gráfico en perspectiva las regiones del espacio dadas por: (a) x + y 1 (b) x 2 y (c) x 2 y 2 0 (d) x 2 + z 2 1 (e) x 2 + y 2 + z 2 = 9, 1 z 2 (f) (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z 3) 2 1 (g) z > (x 1) 2 + (y + 2) 2 (h) (x 1) 2 + y 2 y + (z 3) 2 + 3z 1 (i) z > x 2 y 2 (j) x 2 + y 2 + 2x z 2 0 (k) x 2 y 2 z 2 1 (l) x 2 + y 2 1, z x + y 3. Coordenadas Cilíndricas y Esféricas 12. Describir mediante un gráfico en perspectiva y en coordenadas cartesianas las siguientes regiones del espacio, dadas en coordenadas cilíndricas. Indicar cuáles tienen relación con los gráficos que aparecen a continuación. 40

(a) r 1 (b) r = 2, 0 < θ < 3π/4 (c) r 2 cos(θ) (d) r 2, r(cos(θ) + sen(θ)) 1 (e) 0 < θ < π/4, r 1/cos(θ) (f) z 2 2r 2 (g) z 2 1 + r 2 (h) z 2 > 1 r 2 13. Describir en coordenadas cilíndricas las regiones dadas en coordenadas cartesianas: (a) x 3y (b) z 3y (c) z x 2 + y 2 (d) x 2 + y 2 + z 2 z < 0, x 2 + y 2 < z 2, z 0 14. Describir mediante un gráfico y en coordenadas cartesianas las regiones del espacio siguientes dadas en coordenadas esféricas (ρ 0, 0 θ < 2π, 0 ϕ π). Indicar cuáles tienen relación con los gráficos que aparecen a continuación. 41

(a) ρ 2 (b) ρ 1, ϕ π/4 (c) θ = π/4 (d) ρ = 1, θ 3/2π (e) ρ 2, θ = π/4 (f) θ < π/2, ϕ > 2π/3 15. Describir en coordenadas esféricas las siguientes regiones dadas en coordenadas cartesianas: en cartesianas por (a) x 2 + y 2 1 (b) x y (c) x 2 + y 2 + 3z 2 1 (d) x = 3y, z = x, x 1 16. Calcular el volumen del cuerpo D mediante una integral triple usando el sistema de coordenadas que crea conveniente. a) D = {(x, y, z) R 3 /x + y z 1 x 0 y 0}. b) D = {(x, y, z) R 3 /x 2 + y 2 1 y 2 + z 2 1}. 42

c) D = {(x, y, z) R 3 /z x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 2}. d) D limitado por z = 2x 2 + y 2, z + y 2 = 8. e) D definido por: y x 2, y x, z x + y, x + y + z 6. f ) D interior a la esfera de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 4r 2, con x 2 + y 2 2 r x, en el 1 octante. (r > 0). 17. Demostrar que V = 9 2 a3 es el volumen del tetraedro en el primer octante limitado por los planos coordenados y el plano tangente a la superficie de ecuación xyz = a 3 en el punto (x 0, y 0, z 0 ) de la misma (a 0). 18. Calcular la masa del cuerpo limitado por x 2 + y 2 + z 2 = 2 con y x 2 + z 2 cuando la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje y. 19. Calcular el momento estático del cuerpo H respecto del plano x z si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano x y. H está en el 1 octante definido por: x + y + z 2, z x + y, y x. 20. Calcular las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo con densidad constante limitado por x 2 + z 2 = 1, y x = 1, 1 octante. 21. Calcular el volumen de la región definida por x 2 + y 2 6 z x 2 + y 2 22. Hallar k > 0 de manera que el volumen del cuerpo comprendido entre el paraboloide x 2 + y 2 = kz y el plano z = k sea 4π. 23. Calcular el momento de inercia respecto del eje x de un cuerpo con densidad constante limitado por x = y 2 + z 2, 5x = y 2 + z 2 + 4. 24. Sea R R 3 la región descripta por 0 z 4 x 2 y 2, x 2 + y 2 2y 0, y 0. a) Hallar el área de la proyección de R sobre el plano yz. b) Hallar el área de la proyección de R sobre el plano xz. c) Hallar el área de la proyección de R sobre el plano xy. 25. Graficar y describir en cada caso el conjunto que genera C al rotar en un ángulo α 0 en torno al eje z. Indicar el sentido de rotación. a) C = {(0, 1, 1)}, ϕ 0 = π/2 b) C = {(x, y, z) R 3 /x = 0, z = 3y + 2}, ϕ 0 = π/2 c) C = {(x, y, z) R 3 /x = 0, z = 3y 2 + 2}, ϕ 0 = 3π/2 d) C = {(x, y, z) R 3 /x = 0, z 2 + y 2 = 1}, ϕ 0 = π/3 43