Definición. Sea A un grafo. A recibe el nombre de árbol sí y sólo si: A es conexo. A no contiene circuitos. Ejemplos: Definición. Sea A un árbol. Un vértice de grado 1 se llama una hoja. Un vértice de grado mayor que 1 se llama rama. De las definiciones anteriores se desprenden las siguientes propiedades: Existe una trayectoria única entre dos vértices cualesquiera de un árbol. El número de vértices es mayor en 1 al número de aristas. Un árbol con dos o más vértices tiene al menos dos hojas. Ejemplo Un grupo de ajedrecistas que luchan por un campeonato. Cada ajedrecista tiene una única oportunidad para enfrentar al campeón vigente, y que el perdedor de cualquier encuentro será eliminado de la contienda. Sea A = (V, E) un grafo no dirigido donde los vértices de V representan los ajedrecistas y las aristas de E representan los encuentros. Sea V = { v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9 } Al inicio, v1 es el campeón vigente y que se dan los siguientes encuentros: - v1 venció a v2, v3 y v4 y pierde con v5. - v5 venció a v6 y v7 y pierde con v8. - v8 pierde con v9. El árbol que detalla esta situación, es el siguiente: Los vértices v2, v3, v4, v6, v7, v9 son hojas. Los vértices v1, v5, v8 son ramas. 230
Definición. Sea G un grafo dirigido. Se dice que G es un árbol dirigido si se convierte en un árbol cuando se ignoran las direcciones de sus aristas. Definición. Un árbol con raíz es un árbol dirigido que posee exactamente un vértice cuyo grado de entrada es 0 y los grados de entrada de todos los demás vértices es 1. El vértice con grado de entrada 0 se llama raíz de árbol. Un vértice cuyo grado de salida es 0 se llama hoja. Un vértice cuyo grado de salida es diferente de 0 se llama rama. Definición. Sea vi una rama de un árbol con raíz. Se dice que Vk es un hijo de V i si existe una arista dirigida de V i a V k, además se dice que vi es padre de V k. En un árbol con raíz se dice que los vértices son hermanos si son hijos del mismo vértice. Ejemplo Un hombre que tiene dos hijos, de los cuales uno no tiene hijos y el otro tiene tres hijos. Solución 231
Definición. Sea A un árbol con raíz. Se dice que A es un árbol binario si cada rama tiene exactamente dos hijos. Ejemplo El árbol anterior muestra el número de encuentros en un torneo de eliminación simple con 8 competidores. Se juegan un total 7 encuentros a saber: Cuatro encuentros en la primera ronda. Dos encuentros en la segunda ronda. El encuentro final. En total son 7 encuentros. En este árbol binario, las hojas representan a los competidores en el torneo y las ramas a los ganadores de los encuentros o, equivalentemente los encuentros jugados en el torneo. Si se llama r el número de ramas y h el número de hojas en un árbol binario, se puede demostrar que: r = h 1. 232
Si un grafo tiene un vérticeu o que solo contiene una diferente de U o U1 (a sí mismo) entonces es un árbol árbol no es árbol este vértice tiene dos trayectorias En general Altura = 3 (el nivel mas grande) raíz = que no tiene padre (inicial) padre = que tiene hijo(s) hoja = no tiene hijo(s), tiene padre Conjunto de árboles = Bosque. Árbol ordenado: tiene nivel, los hijos de izquierda a derecha. n-árbol: cuando cada padre tiene a lo más n hijos árbol binario: cada padre tiene a lo más 2 hijos. 233
Para: sub - árboles Cuántos subárboles? 6 Altura =? 5 V0 V 1 0 V2 V0 V V V 2 1 V 3 V 3 V 4 V 6 V 8 V 13 234
Notación polaca La evaluación se realiza de derecha a izquierda y de abajo hacia arriba Ejemplo: [ 3 ( 1 x ) ( 4 + ( 7 ( y + 2) ))] [ 7 + ( y x) ] Primero: paréntesis interiores Árbol etiquetado EJEMPLO: 5 2 6 1 7 3 9 4 8 8 =? 5, 6, 7, 9, 8 4 =? 5, 2, 3, 4 ( 3 ( 2 x )) + (( x 2) ( 3 + x) ) (( 2 x ) 3) + (( x 2) ( 3+ x) ) 235
Árboles de expansión Un árbol T es un árbol de expansión de un grafo G si T es un subgrafo de G que contiene todos los vértices de G. [Johnsonbaugh, 392] Ejemplos: Grafo: Árbol de expansión: Árboles enraizados En ciencias computacionales los árboles tienen muchas veces vértices principales que pueden utilizarse para dar a los árboles estructuras dirigidas. En general, se puede transformar cualquier grafo no dirigido en un grafo dirigido poniéndole flechas. Si el grafo es un árbol lo que se obtiene es un árbol dirigido. Si todas las flechas parten de un solo vértice se llama árbol enraizado. [Ross, 451] 236
Actividades colaborativas Hoja de trabajo 1. Para las siguientes expresiones, construye un árbol con notación polaca. 4 + 7 y + 2 7 + y x a) ( ( ( ))) ( ( )) b) (( 1 x ) 3) ((( y 2) 7) + 4) ( ( y x) + 7) 2. Para la siguiente secuencia de números, construye un árbol acomodando los mayores de lado izquierdo del nodo y los menores de lado derecho del nodo a. 10, 14, 2, 4, 13, 1, 7, 8, 11, 16, 5, 20 b. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 3. La siguiente matriz muestra una tabla de direcciones (registros) en donde se encuentra almacenada cierta información. La columna derecha contiene el número de registro de la información antecesora (nodo hijo derecho). La columna izquierda contiene el número de registro de la información sucesora (nodo hijo izquierdo). Por medio de un árbol binario, representa la tabla de direcciones. El nodo raíz es el registro número 5. Número de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 registro derecha 1 2 7 3 11 información a b c d e f g h i j k l m n p izquierda 13 6 8 14 12 4 4. El siguiente es el programa analítico del curso de Matemáticas Discretas, representa en forma de árbol este contenido. 1 Conceptos fundamentales 1.1 Breve historia de las matemáticas 1.1.1 Civilizaciones, historia y matemáticos 1.1.2 Clasificación de las matemáticas 1.2 Aritmética 1.2.1 Introducción 1.2.2 Los números 1.2.3 Definición de los números 1.2.4 Operaciones de los números Adición y Sustracción Multiplicación y División Operación binaria 1.2.5 Propiedades de los números Cerradura, inverso y neutro Conmutativa y Asociativa Distributiva 1.2.6 Propiedades de las operaciones de los números Para los números enteros Para los números racionales 237
2 Lógica Matemática 2.1 Lógica proposicional 2.1.1 Sintaxis de lógica proposicional 2.1.2 Semántica de lógica proposicional 2.2 Lógica de predicados de primer orden 2.2.1 Sintaxis y lógica de predicados de primer orden 2.2.2 Proposiciones con cuantificadores 2.3 Métodos de demostración 2.3.1 Método del absurdo 2.3.2 Resolución 2.3.3 Deducción natural 3 Los conjuntos 3.1 Definición 3.2 Numerabilidad de conjuntos 3.3 Tipos de conjuntos numéricos 3.4 Operaciones con conjuntos 3.5 Propiedades de los conjuntos 4 Relaciones y funciones 4.1 Relaciones 4.1.1 Definición de relación 4.1.2 Propiedades de las relaciones 4.1.3 Tipos de relaciones 4.2 Funciones 4.2.1 Definición 4.2.2 Tipos de funciones 4.2.3 Operaciones 4.2.4 Iteración y recursividad 5 Estructuras Algebraicas 5.1 Matrices 5.1.1 Definición 5.1.2 Tipos de matrices 5.1.2 Operaciones con matrices 5.2 Estructuras Algebraicas 5.2.1 Introducción 5.2.2 Matemática abstracta 5.2.2.1 Definición 5.2.2.2 Estructuras algebraicas 5.3 Álgebra Booleana 5.3.1 Conceptos 5.3.2 Operaciones booleanas 5.3.3 Leyes 5.3.4 Forma Normal Disyuntiva y Forma Normal Conjuntiva 6 Análisis combinatorio 6.1 Principio de conteo 6.2 Permutaciones 6.3 Combinaciones 6.4 Cuatro conceptos 7 Teoría de grafos 7.1 Definiciones 7.2 Trayectorias y circuitos de Euler 7.3 Trayectorias y circuitos de Hamilton 7.4 Árboles 238
3. La final masculina de Wimbledon es ganada por el primer jugador que gane tres de cinco sets en un juego. Si C y M detonan a los jugadores, dibuja un diagrama de árbol que demuestre todas las formas posibles en que se puede decidir el juego. 4. Un rumor se difunde como sigue. El que lo origina llama a dos personas por teléfono, Cada una de estas personas telefonea a tres amigos, cada uno de los cuales a su vez llama a otros 5 más. Nadie recibe más de una llamada y nadie llama al que lo origino. Por medio de un diagrama de árbol, representa como se difunde un rumor. 239
Actividades de Árboles Solución 1. Para las siguientes expresiones, construye un árbol con notación polaca. 4 + 7 y + 2 7 + y x a) ( ( ( ))) ( ( )) b) (( 1 x ) 3) ((( y 2) 7) + 4) ( ( y x) + 7) 240
2. Para la siguiente secuencia de números, construye un árbol acomodando los mayores de lado izquierdo del nodo y los menores de lado derecho del nodo a) 10, 14, 2, 4, 13, 1, 7, 8, 11, 16, 5, 20 b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 241
3. La siguiente matriz muestra una tabla de direcciones (registros) en donde se encuentra almacenada cierta información. La columna derecha contiene el número de registro de la información antecesora (nodo hijo derecho). La columna izquierda contiene el número de registro de la información sucesora (nodo hijo izquierdo). Por medio de un árbol binario, representa la tabla de direcciones. El nodo raíz es el registro número 5. Número de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 registro derecha 1 2 7 3 11 información a b c d e f g h i j k l m n p izquierda 13 6 8 14 12 4 242
4. El siguiente es el programa analítico del curso de Matemáticas Discretas, representa en forma de árbol este contenido. 3. La final masculina de Wimbledon es ganada por el primer jugador que gane tres de cinco sets en un juego. Si C y M detonan a los jugadores, dibuja un diagrama de árbol que demuestre todas las formas posibles en que se puede decidir el juego. 243
4. Un rumor se difunde como sigue. El que lo origina llama a dos personas por teléfono, Cada una de estas personas telefonea a tres amigos, cada uno de los cuales a su vez llama a otros 5 más. Nadie recibe más de una llamada y nadie llama al que lo origino. Por medio de un diagrama de árbol, representa como se difunde un rumor. 244