LÓGICA COMPUTACIONAL LÓGICA MODAL Francisco Hernández Qiroz Deartamento de Matemáticas Facltad de Ciencias, UNAM E-mail: fh@ciencias.nam.mx Página Web:.matematicas.nam.mx/fh Facltad de Ciencias La lógica modal originalmente intentaba catrar el significado de los oeradores es necesario e... y es osible e... Estos oeradores no se eden definir or medio de fnciones booleanas. Otros concetos también se eden exresar como oeradores modales: temoralidad, acciones, conocimiento, etc. La semántica de estos concetos es similar a la semántica de necesidad y osibilidad. Esto ha ermitido alicar la lógica modal en ámbitos distintos a la filosofía: matemáticas, comtación, teoría de jegos, etc. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 1 / 18 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 2 / 18 Sintaxis de la lógica modal roosicional Mndos osibles La sintaxis de la lógica modal roosicional es: α ::= i i r i α (α α) (α α) (α α) (α α) α α Los últimos dos oeradores modales no existen en el cálclo de roosiciones α se leerá osiblemente α α se leerá necesariamente α Alternatiamente, el oerador se ede definir en términos de (y iceersa): α def α. La semántica de la lógica modal no se ede definir con fnciones booleanas. En s lgar se emlean marcos donde es n conjnto de mndos osibles y F = W, R, W = {,,... } R W W es na relación de accesibilidad entre mndos. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 3 / 18 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 4 / 18
Satisfacción y erdad Las roosiciones atómicas no reciben n alor de erdad único, sino no or cada mndo osible. Sea F = W, R n marco y sea P 0 el conjnto de roosiciones atómicas. Una fnción de ealación es del tio e : P 0 W {V, F}. La relación de satisfacción = es relatia a F, a na ealación e y a n mndo esecífico W: F, e, = sii e(, ) = V P 0 F, e, = α sii F, e, = α F, e, = α ψ sii F, e, = α o bien F, e, = ψ F, e, = α ψ sii F, e, = α y F, e, = ψ F, e, = α ψ sii si F, e, = α imlica e F, e, = ψ F, e, = α ψ sii F, e, = α sii F, e, = ψ El caso de los oeradores modales El caso de los oeradores modales es obiamente distinto: F, e, = α sii W. si R(, ) entonces F, e, = α F, e, = α sii W. R(, ) y F, e, = α Con estas definiciones, la satisfacción se ede generalizar: F, e = α sii W. F, e, = α. En este caso, diremos e α es erdadera en e. Finalmente, definiremos alidez resecto a n marco F: y alidez en general F = α sii e. F, e = α, = α sii F. F = α. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 5 / 18 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 6 / 18 Ejemlos Un solo marco, dos ealaciones En las sigienes láminas se resentarán los marcos como gráficas dirigidas. Los értices corresonden a los mndos osibles, y y las aristas, a la relación de accesibilidad entre mndos. Las fórmlas atómicas erdaderas en n mndo se escribirán dentro del círclo corresondiente. Las fórmlas e no aarecen en el círclo son falsas. En todos los casos se resenta dos eces el mismo marco, ero con ealaciones distintas en cada gráfica. En la tercera lámina se resenta n caso aarentemente aradójico de n marco con na relación de accesibilidad acía. r F, e, = F, e, = F, e = ( r) r F, e, = F, e, = F, e = ( r) (falla en ) Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 7 / 18 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 8 / 18
Un solo marco, dos ealaciones y fórmlas álidas Un caso en aariencia aradójico F, e, = F, e, = F, e = F = F, e, = F, e, = F, e = F, e = F, e = F, e = F, e = ara toda fórmla α, F = α ero F = α Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 9 / 18 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 10 / 18 Proiedades de la relación de accesibilidad En los ejemlos anteriores se do areciar e la alidez de na fórmla deende de roiedades abstractas de la relación de accesibilidad. He aí na lista de roiedades interesantes: P 1.. serial P 2. reflexia P 3,. simétrica P 4,,. transitia P 5,,. eclidiana P 6,,. = fncional arcial P 7.!. fncional P 8,. (. ) densa débil P 9,,. = conexa débil P 10,,. ( z. z z) dirigida débil Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 11 / 18 Esemas modales Las roiedades anteriores corresonden con los sigientes esemas de fórmlas álidas: S 1 α α D(α) S 2 α α T(α) S 3 α α B(α) S 4 α α 4(α) S 5 α α 5(α) S 6 α α S 7 α α Q(α) S 8 α α R(α) S 9 (α α β) (β β α) S 10 α α G(α) Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 12 / 18
Eialencia entre roiedades de R y esemas modales Reglas de inferencia Teorema. Sea F = W, R. Entonces F = S i sii R satisface P i. Demostración. Se rocede caso or caso. MP K N EN α β, α β (α β) ( α β) α α α β α β α β α β Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 13 / 18 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 14 / 18 Sistemas axiomáticos articlares Todos los sistemas axiomáticos ara lógica modal inclyen el axioma K y las reglas MP y N. La regla EN ede obtenerse a artir de K, MP y N. Otros sistemas son: KD KT KB K 4 K 5 Los sigientes sistemas reciben n nombre articlar S4 = KT4 S5 = KT5. En adelante, S designará la relación de dedcibilidad en n sistema S. Algnos sistemas son sbsistemas de otros, es decir, ss teoremas son teoremas de sistemas más oderosos. Por ejemlo KD5 α imlica S5 α α Una lógica mltimodal tiene na sintaxis similar a la lógica modal, salo e ahora se centa con n conjnto de etietas L. Sea a L. La sintaxis de na lógica mltimodal es α ::= i i r i α a α [a]α α [ ]α. Los símbolos modales anteriores no tienen na lectra niersalmente acetada. Una osibilidad es: a α se leerá desés de transitar or a, osiblemente α [a]α se leerá desés de transitar or a, necesariamente α α se leerá desés de calier transición, osiblemente α [ ]α se leerá desés de calier transición, necesariamente α Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 15 / 18 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 16 / 18
Semántica de las lógicas mltimodales Un marco es na terna F = W, R, L, donde L es n conjnto de etietas y R W L W. Sean, W y a L. Si R(, a, ) escribiremos a. Finalmente, sea e : P 0 W {V, F} na ealación. Entonces F, e, = sii e(, ) = V P 0... F, e, = [a]α sii W. si a entonces F, e, = α F, e, = a α sii W. a y F, e, = α F, e, = [ ]α sii a L. W. si a entonces F, e, = α F, e, = α sii a L. W. a y F, e, = α Sistemas axiomáticos Los sigientes axiomas son ersiones mltimodales de D, B, 5 y G: [a]α b α α [a] b α a [b] c α a [b]α [c] d α Sin embargo, los sistemas mltimodales selen tener axiomas esecíficos relacionados con s dominio de alicación. Esto se erá en la sección de lógicas esecializadas. Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 17 / 18 Francisco Hernández Qiroz Lógica Comtacional 18 / 18