Lógica modal LÓGICA I LÓGICA MODAL. Sintaxis de la lógica modal proposicional. Mundos posibles

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1 Lógica modal LÓGICA I LÓGICA MODAL Francisco Hernández Qiroz Deartamento de Matemáticas Facltad de Ciencias, UNAM fhq@ciencias.nam.mx Página Web:.matematicas.nam.mx/fhq Posgrado en Filosofía de la Ciencia La lógica modal originalmente intentaba catrar el significado de los oeradores es necesario qe... y es osible qe... Estos oeradores no se eden definir or medio de fnciones booleanas. Otros concetos también se eden exresar como oeradores modales: temoralidad, acciones, conocimiento, etc. La semántica de estos concetos es similar a la semántica de necesidad y osibilidad. Esto ha ermitido alicar la lógica modal en ámbitos distintos a la filosofía: matemáticas, comtación, teoría de jegos, etc. Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 1 / 21 Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 2 / 21 Sintaxis de la lógica modal roosicional Mndos osibles La sintaxis de la lógica modal roosicional es: α ::= i q i r i α (α α) (α α) (α α) (α α) α α Los últimos dos oeradores modales no existen en el cálclo de roosiciones α se leerá osiblemente α α se leerá necesariamente α Alternatiamente, el oerador se ede definir en términos de (y iceersa): α def α. La semántica de la lógica modal no se ede definir con fnciones booleanas. En s lgar se emlean marcos donde es n conjnto de mndos osibles y F = W, R, W = {,,... } R W W es na relación de accesibilidad entre mndos. Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 3 / 21 Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 4 / 21

2 Satisfacción y erdad Las roosiciones atómicas no reciben n alor de erdad único, sino no or cada mndo osible. Sea F = W, R n marco y sea P 0 el conjnto de roosiciones atómicas. Una fnción de ealación es del tio e : P 0 W {V, F}. La relación de satisfacción = es relatia a F, a na ealación e y a n mndo esecífico W: F, e, = sii e(, ) = V P 0 F, e, = α sii F, e, = α F, e, = α ψ sii F, e, = α o bien F, e, = ψ F, e, = α ψ sii F, e, = α y F, e, = ψ F, e, = α ψ sii si F, e, = α imlica qe F, e, = ψ F, e, = α ψ sii F, e, = α sii F, e, = ψ El caso de los oeradores modales El caso de los oeradores modales es obiamente distinto: F, e, = α sii W. si R(, ) entonces F, e, = α F, e, = α sii W. R(, ) y F, e, = α Con estas definiciones, la satisfacción se ede generalizar: F, e = α sii W. F, e, = α. En este caso, diremos qe α es erdadera en e. Finalmente, definiremos alidez resecto a n marco F: y alidez en general F = α sii e. F, e = α, = α sii F. F = α. Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 5 / 21 Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 6 / 21 Ejemlos Un solo marco, dos ealaciones En las sigientes láminas se resentarán los marcos como gráficas dirigidas. Los értices corresonden a los mndos osibles, y y las aristas, a la relación de accesibilidad entre mndos. Las fórmlas atómicas erdaderas en n mndo se escribirán dentro del círclo corresondiente. Las fórmlas qe no aarecen en el círclo son falsas. En todos los casos se resenta dos eces el mismo marco, ero con ealaciones distintas en cada gráfica. En la tercera lámina se resenta n caso aarentemente aradójico de n marco con na relación de accesibilidad acía. r F, e, = F, e, = F, e = ( q r) q r q F, e, = F, e, = q F, e = ( r) (falla en ) q Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 7 / 21 Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 8 / 21

3 Un solo marco, dos ealaciones y fórmlas álidas Un caso en aariencia aradójico F, e, = F, e, = F, e = F = F, e, = F, e, = F, e = F, e = F, e = F, e = F, e = ara toda fórmla α, F = α ero F = α Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 9 / 21 Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 10 / 21 Proiedades de la relación de accesibilidad En los ejemlos anteriores se do areciar qe la alidez de na fórmla deende de roiedades abstractas de la relación de accesibilidad. He aqí na lista de roiedades interesantes: P 1.. serial P 2. reflexia P 3,. simétrica P 4,,. transitia P 5,,. eclidiana P 6,,. = fncional arcial P 7.!. fncional P 8,. (. ) densa débil P 9,,. = conexa débil P 10,,. ( z. z z) dirigida débil Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 11 / 21 Esqemas modales Las roiedades anteriores corresonden con los sigientes esqemas de fórmlas álidas: S 1 α α D(α) S 2 α α T(α) S 3 α α B(α) S 4 α α 4(α) S 5 α α 5(α) S 6 α α S 7 α α Q(α) S 8 α α R(α) S 9 (α α β) (β β α) S 10 α α G(α) Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 12 / 21

4 Eqialencia entre roiedades de R y esqemas modales Reglas de inferencia Teorema. Sea F = W, R. Entonces F = S i sii R satisface P i. Demostración. Se rocede caso or caso. MP K N EN α β, α β (α β) ( α β) α α α β α β α β α β Se toma como rimitia la definición de α def α. Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 13 / 21 Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 14 / 21 Sistemas axiomáticos articlares Ejemlo de demostración Todos los sistemas axiomáticos ara lógica modal inclyen el axioma K y las reglas MP y N. La regla EN ede obtenerse a artir de K, MP y N. Otros sistemas son: KD KT KB K 4 K 5 Los sigientes sistemas reciben n nombre articlar S4 = KT4 S5 = KT5. En adelante, S designará la relación de dedcibilidad en n sistema S. Algnos sistemas son sbsistemas de otros, es decir, ss teoremas son teoremas de sistemas más oderosos. Por ejemlo KD5 α imlica S5 α α El sistema T inclye al sistema D, es decir T α α. Demostración: 1 α α Instancia de T 2 α α Teorema (α β) ( β α) 3 α α Instancia de T 4 α α Teorema α β, β γ α γ 5 α α Def. de Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 15 / 21 Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 16 / 21

5 L. eistémica Lógica eistémica L. eistémica Semántica I La lógica eistémica trata de catrar (arte de) la noción de conocimiento. La ersión qe eremos inclye (a) la existencia de arios agentes cognoscitios y (b) conocimiento común. Sean U n conjnto de agentes; A U a U; Entonces, la sintaxis de la lógica eistémica es: α ::= i q i r i α (α α) K a α E A α C A α K a α se leerá como el agente a sabe qe α E A α se leerá como todos los agentes en A saben qe α C A α se leerá como es conocimiento común entre los agentes en A qe α La definición formal de la semántica hace qe El oerador K sea en realidad n oerador de necesidad en lógica mltimodal (con na modalidad or agente) K a α def [a]α. Las fórmlas con el oerador E sean abreiatras (en caso de qe A sea finito): E A α def K a α. a A Pero el conocimiento común es na noción distinta: C A α K a α K a K a α K b K a α a, b A. Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 17 / 21 Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 18 / 21 L. eistémica Semántica II De neo, se tiene n marco F = W, R, A, con R W A W, A n conjnto de agentes, W y na ealación e : P 0 W {V, F}. Entonces F, e, = sii e(, ) = V P 0... F, e, = K a α sii W. si a entonces F, e, = α F, e, = E A α sii a A. W. si a entonces F, e, = α F, e, = C A α sii W. si A entonces F, e, = α La relación A W W se define indctiamente: A 0 sii W A 1 sii a A. a A n+1 sii W. A n A 1 A sii n N. A n Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 19 / 21 L. eistémica Semántica III Nota. Obsérese la asencia de n oerador análogo a a. Podría definirse desde lego P a α def K a α, ero s interretación no corresonde claramente con na noción intitia de creencia, or ejemlo. Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 20 / 21

6 L. eistémica Sistema de demostración Un sistema axiomático ara la lógica eistémica contienen los axiomas de S5 esecializados : K K a (α β) (K a α K a β) T K a α α 4 K a α K a K a α 5 K a α K a K a α Francisco Hernández Qiroz Lógica 1 Cálclo de roosiciones 21 / 21