p ρ OBJETIVOS FLUJOS COMPRESIBLES ESTACIONARIOS Descripción de un GAS PERFECTO de dt = calor específico a volumen constante h C cte

Transcripción

1 FLUOS OMPRESIBLES ESTAIONARIOS Introdcción: Reaso de concetos de termodinámica. aracterísticas de la dinámica de gases comresibles. OBETIVOS - Presentar algnas características de los fljos comresibles. - Analizar fljos comresibles en condctos de sección ariable. Desarrollo: Velocidad del sonido y elocidad de roagación de ertrbaciones.. Fljo estacionario en n gas comresible. Parámetros críticos. Efectos de la ariación del área en fljos nidimensionales comresibles. Fljo en na tobera conergente. Fljo en na tobera Laal. Descrición de n GAS PERFETO Se ede definir como gas erfecto a aqella sstancia cya energía interna es fnción solo de la temeratra. e i e i(t) Esta ecación es álida ara todo roceso termodinámico ( isobaro, isotermo, etc. ) onsiderando esta definición, el cambio en la energía interna en n roceso calqiera: Δe i T dt T de dt i calor esecífico a olmen constante V cte Esta ecación es álida ara calqier roceso, a olmen cte. o no. e i e i(t) (, T) Se define entalía : h ei + ei + RT El cambio de entalía ara n gas erfecto: Donde h T cte Δ h T T dt Existe na relación entre y dada or: En general se eden definir alores medios: Tomando como hiótesis gas erfecto: V NRT R cte T es el calor esecífico a resión constante, y esta exresión es álida an ara rocesos no isobaros. R T o ΔT T o ΔT dt T T dt

2 Srge la relación entre los calores esecíficos qe es indeendiente de la temeratra: o o,67,4 Gases monoatómicos Mayoría gases oli atómicos Distintos tios de rocesos: ando consideramos los cambios qe ocrren drante n roceso, ara gases ideales se ede alicar la ecación olitróica: La entroía de n gas erfecto se ede exresar como : / S ln ln Los gases erfectos tienen como gran entaja qe se conocen todas las relaciones entre ariables termodinámicas, y ellas adotan na forma simle. En irtd de lo anterior es osible la resolción comleta de las ecaciones generales de la dinámica de gases erfectos. n Se reconocen los sigientes casos: n n n n cte Procesos isobáricos Procesos isotérmicos Procesos isoentróicos Se ede rescribir la ecación como: n n n T T aracterísticas de la dinámica de gases comresibles: ando la elocidad de moimiento de n flido se hace comarable a la elocidad del sonido, los efectos inherentes a la comresibilidad del flido aanzan al rimer lano. Remarqemos qe los fljos comresibles toman lgar a eleados números de Reynolds. iscocidad υ cl υ c La teoría cinética de gases nos indica qe: el. sonido l libre camino medio Si la elocidad característica del sistema es del orden de la elocidad del sonido: Lc L Re υ l omo ara Re eleados los efectos iscosos eden ser desreciados alor qe reslta my alto casi siemre El comortamiento del gas ede ser descrito con las ecaciones de n fljo erfecto en la mayoría de los casos. Velocidad del sonido y roagación del ertrbaciones: Analizamos la roagación de na ertrbación en na geometría nidimensional: Songamos qe el flido esta ΔV r en reoso en el condcto y qe + Δ el émbolo se one en + Δ moimiento de reente con na elocidad eqeña (ΔV) a) - OBSERVADOR ESTATIO r r c ΔV + Δ + Δ b) Obserador qe se mee con la onda de resión c r c r c r A esar de comartir las ecaciones, los fljos comresibles son my distintos de los incomresibles.

3 Analicemos el moimiento desde n referencial qe se mee con la onda generada. En este referencial el fljo es estacionario y nidimensional. Planteando la ecación de continidad: V ( t) dv + t S ( t) De lo anterior se obtiene: ( n ) ds ( + Δ ) S ( c ΔV ) S c Δ ΔV c c + Δ + () Δ Srge entonces qe si los cambios en V son eqeños, también los cambios en la densidad deben ser eqeños. onsideremos ahora la ecación de conseración de la cantidad de moimiento: V ( t ) Donde: ( a ) ( )( ) ( dv + a w n ds + Ω adv f dv n )ds S t V t + V t σ ( ) ( ) ( ) S ( t) t a elocidad absolta elocidad desde terna fija w elocidad relatia elocidad desde terna móil Ω elocidad de giro de terna Desreciando las ferzas olmétricas se obtiene: S c (( c ΔV ) c) S ( + Δ) S ombinando () y (): Δ Δ c + Δ Obserar entonces qe a menor ΔV, menor Δ Δ cδv () Para moimientos qe imliqen n Δ/ más eleados tendremos qe la elocidad de roagación será más grande qe la qe se corresonde con Δ/ moderados. En el límite de Δ, tendremos lo qe hemos definido como elocidad del sonido: c Δ Δ Analizamos a continación la roagación de na ertrbación ntal en n gas en moimiento. Existen configraciones osibles: o c n ASO Nº < c ASO Nº o α > c c n En ambos casos la ertrbación es transortada or el flido ero además es roagada or el mismo a na elocidad c en todas las direcciones. En el ASO Nº la elocidad de roagación de la ertrbación rodcida en O ( + c.n) tiene distintos alores conforme a la dirección n considerada. Los ectores y c.n eden aqí tener calqier dirección en el esacio. Esto significa qe en n fljo sbsónico la ertrbación se roaga en todas direcciones. En el ASO Nº la dirección de los ectores + c.n se circnscriben a n cono de értice O cyo ánglo de aertra máximo α es: c sin(α) Entonces, en n fljo sersónico la ertrbación originada en n nto calqiera se roaga según n cono cyo ánglo de aertra decrece si amenta. Este ánglo se lo llama ánglo de Mach y la serficie del cono serficie de Mach o serficie característica. Esta roiedad del fljo sersónico le confiere n carácter totalmente distinto al de n fljo sbsónico. En n fljo sbsónico, la resencia de n objeto se hace sentir agas abajo y aga arriba del objeto. En n fljo sersónico, el flido ataca al objeto en forma ciega, la inflencia del objeto se rodce solo agas abajo, en tanto qe en la zona agas arriba el flido no se entera de la resencia del objeto. 3

4 Fljo estacionario de n gas comresible: ando imos la ecación de la conseración de la energía ara n fljo erfecto imos: Dh D Dt Dt omo el fljo es estacionario h h onsiderando la ecación de EULER: Por ser el fljo estacionario y desreciando ferzas en olmen: Para n fljo irrotacional tenemos: D f Dt h + h + h cte onsiderando: + ϖ cte es la misma ara todos los flidos si es fljo irrotacional. Si el fljo es no irrotacional, esta exresión es álida a lo largo de na línea de corriente donde ω se erifiqe siemre. Si alicamos esta exresión a n fljo comresible, tendremos entre secciones sobre na misma línea de corriente: h + h + (3) onsiderando ahora qe: Δ h Δ T ( ) ( ) h h T T (4) Si es gas es erfecto, entonces h T R T RT T Voliendo a la ecación (4) tenemos: (5) + T + T T Si cambia cambian los arámetros termodinámicos y iceersa. T es la temeratra del nto de estancamiento o de reoso. La ecación (3) mestra qe la elocidad es mayor donde la entalía es menor, ara na línea de corriente dada o ara el todo el fljo en caso irrotacional. De la ecación (5): max T R onsideremos a continación como es la ariación de densidad de fljo másico a lo largo de na línea de corriente:. Parámetros críticos: La ecación de Eler nos ermite escribir a lo largo de na línea de corriente qe la relación entre d y d es: d d d Recordando qe: c d d onsiderando qe el diferencial d ( ) d + d d c d d( ) Lo qe mestra qe en fljo sbsónico (Ma<) si nos deslazamos a lo largo de na línea de corriente la d d c densidad del fljo crece si amenta la elocidad. En el dominio de fljos sersónicos, la densidad de fljo decrece al amentar la elocidad. Esta diferencia de comortamiento ede interretarse como qe en fljos sbsónicos las líneas de corriente se acercan al amentar la elocidad y diergen ara fljos sersónicos...5 c El fljo adota s alor máximo cando la elocidad del gas igala la elocidad del sonido local. En ese caso: c El asterisco indica magnitdes corresondientes a este nto. onsiderando qe: como dh dt c c c + c y qe sobre na línea de corriente: c h T de lo anterior c c h + h h + h + to de reoso o estacionario Indeendiente de la geometría del tbo. 4

5 Si el roceso es isoentróico: Para el caso de gases erfectos: cte.. RT cte... c RT Se e qe la elocidad de roagación del sonido es fnción de la Temeratra absolta. La elocidad del sonido en n fljo sersónico ede diferir de n nto a otro en fnción de los alores de estas magnitdes termodinámicas locales. onsiderando: T T T T T c + c c c + c + c Se obtiene las sigientes exresiones Si c se obtienen los arámetros críticos: T T T., ,58.,634 + Valores ara el AIRE Los arámetros críticos son indeendientes de la geometría. Efectos de la ariación del área en fljo nid. omresible: En fljo nidimensional incomresible la elocidad de n flido aria inersamente roorcional al área transersal de la corriente:. A cte No ocrre lo mismo ara n fljo comresible donde:.. A cte Vamos a er a continación qe el comortamiento de n flido comresible deende del alor qe adota el alor del número de Mach. onsiderando la ecación de continidad, d da d tomando logaritmos y diferenciando tendríamos: + + A Para fljos isoentróicos: d c X es la dirección de la línea de corriente d d da d + + A c d onsiderando la ecación de Eler sobre la línea de corriente: x d da d + d da ( Ma ) A c A FLUO SUBSÓNIO ( Ma < ) da < d d ( Ma ) > da d > < da A X X da 3 FLUO SÓNIO ( Ma ) Es necesario qe Esta condición se rodce en la garganta de n condcto con di o di con. Sin embargo el fljo será sónico solo si el Δ entre agas arriba y agas debajo de la garganta es sficientemente grande como ara acelerar el flido, caso contrario, en la garganta se tiene na sitación de Ma <. Los osibles fljos en canales o condctos conergentes diergentes se indican en la figra. Estos fljos se logran si las resiones de ensayo se ajstan correctamente. FLUO SUPERSÓNIO ( Ma > ) da d < < X Para fljos qe tengan lgar en toberas en trbomáqinas, existen roblemas: - Se conoce A(x) y se desconocen las magnitdes del fljo en fnción de x (roblema directo). da > d > X - Se esecifica (x) y se desea determinar A(x) (roblema indirecto). 5

6 Fljo comresible a traés de na tobera conergente: Songamos el fljo comresible a traés de la tobera de la figra conectada en s entrada a n reciiente my grande donde se dan las condiciones de reoso: Entonces tendríamos: Si el roceso es isoentróico: Y entonces se obtiene la formla de Saint Venant Wantzel: Teniendo en centa qe: c Se obtiene: Ma c Si la diferencia de resiones entre y la resión de salida es sficientemente grande, se alcanza la elocidad sónica en la sección. Si el fljo en la garganta es sbsónico la resión en la garganta coincide con la resión agas debajo de la tobera. Si la elocidad inicial es desreciable, la resión en n nto calqiera de la sección () a a rácticamente coincidir con la resión de reoso (o estacionaria). Si el fljo en la garganta es sónico la resión en la garganta ede ser ó generalmente mayor qe la resión agas abajo. Songamos ahora qe Ma, sstityendo ara la relación de resiones entrada - salida nos qeda: omo + +. A m& cte max. A cte min Indeendiente de la geometría del condcto. Por lo tanto max solo ede ocrrir donde la garganta es mínima, en A min. Entonces el único nto donde la elocidad ede ser sónica es en la garganta ya qe max Existen configraciones osibles ara toberas: Si: atm > atm Si: atm < atm Exansión, ondas desés de la tobera. El alor máximo de Δ Para el aire,53. El fljo másico en la tobera es Δ c + Δ max,47. m & A. A Reemlazando tendremos si la sección de la garganta es A i ( > ): m& sbs A Exresión álida mientras la elocidad en la garganta sea menor qe la sónica. 6

7 Si la elocidad en la garganta es sónica entonces: m& + + son A. A Exresión qe corresonde al cadal máximo y ede rescribirse como m& son A T + R + Toberas conergentes diergentes (toberas Laal): Las toberas conergentes diergentes srgen como consecencia de la inaccesibilidad de elocidades sersónicas al tilizar toberas del tio conergentes (donde la elocidad del sonido solo se alcanza en la salida).. Estas exresiones son indeendientes de la resión en la atmósfera a la qe sale el fljo. El cadal deende del Δ entre el reciiente y el ambiente hasta qe se alcanza el alor máximo. Mas allá de este alor, el fljo másico no deende de Δ, or lo qe disminir la resión ambiente or debajo de no imlica mayores cadales. Se dice qe la tobera se atora. x Si en la garganta se llega a fljo sónico en el difsor se rodce disminción de resión y amento de elocidad. / aso en qe la resión ambiente coincide con la resión en el extremo de la tobera. Si la resión ambiente se amenta an más, la onda se mee hacia el interior de la tobera y forma la onda de choqe normal (cra ). Si la resión ambiente es amentada, srge entonces lo qe se sele llamar chorro sobreexandido. El gas en la tobera se exande desde na resión e < atm Inicialmente el fljo en la tobera no cambia. Afera de la tobera el fljo no es mas nidimensional. La descrición de este fljo reqiere del conceto de onda de choqe (qe trataremos la clase qe iene). Por ahora nos contentamos diciendo qe la onda de choqe es na serficie donde la resión y la temeratra son discontinas. Esta onda de choqe emana del borde de la tobera, ermitiendo amentar la resión de descarga a la resión ambiente. Las ondas de choqe en este caso no son simles, ya qe hay reflexiones y formación de ondas secndarias, llamadas ondas de exansión. 7

8 Agas abajo de esta onda de choqe normal, el fljo es sbsónico. Esta arte de la tobera fnciona entonces como n difsor sbsónico, el cal teóricamente amenta la resión y disminye la elocidad. En realidad existe searación de la caa límite y la resión desés de la onda de choqe ermanece casi igal a la resión ambiente. Si la resión ambiente amenta an más, la onda de choqe se introdce an más en la tobera, ero se debilita ya qe el número de Ma delante de la onda es menor. Si la resión amenta an más, la onda de choqe alcanza finalmente la garganta, la intensidad de la onda o del salto disminye a cero y el conjnto del fljo se ele sbsónico. (cra 5 de la ágina anterior). Si an incrementamos la resión ambiente, el número de Ma es máximo en la garganta ero nnca llega a (cra 4 de la ágina anterior). El chorro se lo llama sbexandido si la resión de salida es mayor qe la resión ambiente: La redcción a la resión ambiente se logra a artir de ondas de exansión qe al reflejarse roocan ondas de comresión. El fljo en la tobera ermanece sin embargo inalterado. En las toberas conergentes diergentes también aarece el fenómeno de atoramiento. omo en la garganta c max.c mmax Sg arg.a & Entonces en tanto qe el fljo sea sersónico, el cadal qeda limitado or el atoramiento. Las exresiones de los cadales son entonces las mismas qe ara los fljos en toberas conergentes. ONLUSIONES En esta clase nos concentramos en analizar algnas características salientes de los fljos comresibles. Hemos isto qe la elocidad de roagación de ertrbaciones deende de la magnitd de la misma, y qe si las ertrbaciones son eqeñas el fenómeno difiere según qe la roagación eda ser en na o en todas las direcciones. En este caso la elocidad del flido limita las direcciones en las cales se ede roagar la ertrbación. Desreciando los efectos iscosos, hallamos na relación my útil qe incla la elocidad con la entalía en distintos ntos del flido. Los fljos comresibles con sección del condcto ariable resentan comortamiento my distinto al de los fljos incomresibles. Los fljos sónicos resentan comortamiento inerso en lo qe resecta a resión y elocidad, qe los sbsónicos. La elocidad máxima en toberas conergentes está limitada a la elocidad sónica local fnción de las condiciones de entrada en la tobera. En las toberas Laal el fljo ede ser sersónico, ero n fenómeno adicional de saltos brscos de resión ede tomar lgar. En ambas toberas ede ocrrir el fenómeno de atoramiento donde el cadal másico adota n alor qe solo deende de las condiciones de entrada. 8