XII.- FLUJO COMPRESIBLE

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1 XII.- FLUJO COMPRESIBLE XII..- RELACIONES ENTRE EL COEFICIENTE ADIABÁTICO Y LA VELOCIDAD DEL SONIDO EN UN FLUIDO COMPRESIBLE Si en un fluido se origina una erturbación, la velocidad de avance del frente de onda corresondiente es roorcional a la raíz cuadrada del cociente entre el modulo de comresibilidad E del fluido y su densidad ρ. En efecto, de acuerdo con la Fig XII., se uede suoner que el émbolo que cierra un cilindro está en equilibrio con el fluido contenido en el mismo, situado en A a la resión. Al originarse una erturbación, emujando al embolo mediante un incremento de resión d, durante un tiemo dt, se deslaza a la velocidad u un cierto esacio, u dt, mientras que el frente de onda elástico y longitudinal originado or la erturbación en ese tiemo se habrá situado en la osición f a la velocidad c s. En la zona B del cilindro, todavía sin erturbar, se conserva la resión inicial que existía antes de la erturbación. Igualando la cantidad de movimiento al imulso mecánico se tiene: Cantidad de movimiento : ρ V u ρ (c s dt S) u Imulso mecánico: F dt d S dt ρ c s dt S u S dt d ; d ρ c s u A su vez, como el módulo de comresibilidad E es la relación entre el esfuerzo unitario d y la disminución unitaria de volumen, dv/v, de la forma: E d dv V d u dt S c s dt S c s u d d u c s E que sustituida en la anterior, ermite obtener: ρ c s u u c s E c s E ρ Si se suone que la comresión es adiabática, el factor de comresibilidad k es: XII.-93

2 Fig XII..- Perturbación en un conducto E k - v ( v ) Q Teorema de Reech ( v ) Q ( v ) T - v ( v ) T en la que el signo (-) es consecuencia de que, al tratarse de una comresión, un aumento de resión d se corresonde con una disminución de volumen dv. La exresión general de la velocidad del sonido en un fluido cualquiera c s es: c s E ρ ρ v g - v g ( v ) T Para un gas erfecto: v R T ( v ) T - R T g R T v g v c ( - ) g T siendo c el calor esecífico del fluido en cuestión a resión constante. A su vez: c s E ρ E - v ( v ) Q ρ v g - v ( v ) Q ρ ( ρ v ) Q - g ( v ) Q ( ρ ) Q ( ρ v ) Q - v v ρ ( ρ ) Q (- g - v ρ ( ρ ) Q ( ρ v ) Q v ) ρ g v ( ρ ) Q ( ρ ) Q en la que se ha tenido en cuenta que (v /ρ g) que ermite calcular la velocidad del sonido c s en un fluido comresible, cuando a éste se le somete a una variación de resión d. Se sabe que la velocidad c de derrame de un fluido es de la forma: c g T circ g - 0 v 0 { - ( - ) } 0 en la que 0 y v 0, son las condiciones iniciales del fluido sin erturbar, que se corresonden con las de un unto de estancamiento or ser, c 0 0. XII.-94

3 La velocidad máxima es: c máx g - 0 v 0 g - R T 0 c s0 - en la que c s0 es la velocidad del sonido en las condiciones de estancamiento. XII..- FORMULACIÓN DE HUGONIOT En una tobera se cumle la ecuación energética: i 0 - i c - c 0 g c (T 0 - T) - di g d (c ) c dc g siendo, i 0, T 0 la entalía y temeratura del fluido a la entrada de la tobera, e i y T la entalía y temeratura del fluido en un unto de la tobera. Al estudiar la circulación de un fluido or una tobera, se suone que al ser un roceso muy ráido, éste es adiabático, or lo que el fluido no intercambia calor con el medio exterior. De acuerdo con la Fig XII., la ecuación anterior se uede oner en su forma diferencial, y obtener el siguiente sistema de ecuaciones en di: dq du + dv i u + v di du + dv + v d 0 di v d dc c g - v d c que indica que un aumento de velocidad origina una disminución de resión, y viceversa. Diferenciando la ecuación de continuidad G a c * a c/v Cte Fig XII..- Tobera Laval en la que * es el eso esecífico del fluido y a una sección cualquiera, se obtiene: dg da c *+ a dc *+ a c d * 0 da a + dc c + d * * * v ; d * - dv v da a + dc c - dv v 0 Por ser un roceso adiabático: v Cte ; v - dv + d v 0 ; dv + v d 0 ; dv v - d que sustituida en la anterior ermite obtener: da a + dc c + d dc c - g v d c da a - g v d c + d 0 da a ( g v c - ) d En la garganta de la tobera, la sección a es mínima y, or lo tanto, da 0, or lo que de la ecuación XII.-95

4 anterior se deduce: g v c c g v que es idéntica a la exresión encontrada ara c s or lo que si la tobera funciona en régimen de diseño, la velocidad del fluido en su garganta es la del sonido, obteniéndose: da a ( g v c - ) d g v d ( c - c ) c dc ( s c - s c ) ( c c s - ) dc c M c c s ( M - ) dc c siendo M el nº de Mach. La ecuación así obtenida se conoce como fórmula de Hugoniot, y de ella se deduce que: a) Si, M<, resulta que, da/a, es de signo contrario a, dc/c; como, dc/c, es siemre creciente, da/a, tiene que disminuir y, or lo tanto, en la arte convergente de la tobera, el numero de Mach será siemre menor que la unidad, M<, Régimen subsónico. b) Si, M, resulta que, da 0, que se corresonde con la sección mínima de la tobera, es decir, su garganta, Régimen sónico. c) Si, M>, resulta que, da/a, es del mismo signo que, dc/c, y or lo tanto, como dc/c sigue creciendo, da/a, también aumentará, y en consecuencia, en la arte divergente de la tobera, en condiciones de funcionamiento de diseño, el número de Mach es mayor que la unidad, M>, Régimen suersónico. A su vez, si la ecuación: dc c dv v - da a se sustituye en la fórmula de Hugoniot, se obtienen las ecuaciones: da a ( M - ) ( dv v - da a ) da a ( - M ) dv v dc c dv v - ( M - ) dc c dc c Finalmente, teniendo en cuenta que: M dv v da a + dc c + d 0 (M - ) dc c + dc c + d 0 d - dc M c or lo que ara cualquier valor del número de Mach, un aumento de (dc/c) imlica un descenso de (d/), roduciéndose, or lo tanto, una caída de resión a lo largo de la tobera, a medida que el fluido avanza or la misma. XII.3.- DERRAME POR TOBERAS En las toberas se roduce una transformación de la entalía del fluido en energía cinética, según la ley de Grashoff: i 0 - i g (c - c 0 ) ; c 0 0 ; c g (i 0 - i ) 9,48 i 0 - i XII.-96

5 con, c en m/seg, y (i 0 - i ), en Kcal/kg La caída de entalía se uede leer en un diagrama entalía-entroía, conociendo los estados inicial y final de la transformación en la tobera. Los datos del unto O son conocidos; la transformación reversible finaliza en el unto, cuando se alcanza la salida de la tobera, a la resión, or lo que el unto queda también determinado; se calculan las entalías corresondientes (i 0 - i ) se sustituyen en la fórmula anterior y se calcula la velocidad c de salida. Sin embargo, la circulación del fluido en la tobera se realiza consumiendo un trabajo de rozamiento, siendo el roceso irreversible; el unto final de la transformación, en las condiciones de resión, será el unto, Fig XII.3. La nueva ecuación ara la velocidad de salida c será de la forma: c ' 9,48 i 0 - i ' inferior a c. Para hallar el unto se define un coeficiente de reducción de velocidad ϕ, ya que al ser (c > c ) resulta que (c ϕ c ), y si se conoce c mediante el roceso isentróico, se uede alicar el coeficiente ϕ de reducción de velocidad, de valor: 0,9 ara toberas cortas 0,975 ara toberas largas or lo que: i 0 - i ' c ' 9,48 Fig XII.3.- Caída de entalía en un diagrama (i-s) dada or el área (m nm) del diagrama (i,s), Fig XII.3, es decir: y conocido i se halla sobre el diagrama (i,s) citado, la osición exacta del unto. En el roceso irreversible, la érdida de fuerza viva viene área (m l l' n m) c - c ' g i ' - i y es el calor necesario ara ir del unto al unto siendo, or lo tanto, una energía que no se arovecha. El trabajo de rozamiento T Roz viene dado or el área (0mn 0), igual a: T roz Pérdida de energía cinética + área (0'0) T + área (0'0) y, or lo tanto, la érdida de energía cinética T es menor que el trabajo de rozamiento T Roz, or lo que de este trabajo se recuera una arte reresentada or el área (0 0) que se transmite a una temeratura mayor que la del estado final, de modo que aún así uede transformarse ulteriormente en trabajo. De todos modo, esta recueración aenas llega en el mejor de los casos a un 5%. Para calcular las secciones de la tobera, alicamos la ecuación de continuidad; or tratarse de un movimiento ermanente, el gasto G a través de cualquier sección transversal de la tobera tiene que ser el mismo, es decir: XII.-97

6 G a c v a 0 c 0 v 0 a c v Cte observándose que la sección a deende de la relación (c/v) al ser G constante. Si el fluido es incomresible, v Cte, al roducirse un aumento de la velocidad, que es lo que se retende en una tobera, forzosamente deberá disminuir la sección a. En este caso, la tobera es convergente. Si el fluido es comresible, un aumento de mlica a su vez un aumento del volumen esecífico v como sabemos, debido a que se roduce una disminución de resión, or ser, v Cte. Por lo tanto, la relación (c/v) es la que indica la variación de las secciones. Si en un sistema de coordenadas ( c, ) en donde sobre el eje de abscisas se sitúan las variaciones de v resión en forma decreciente, tal como sucede en el sentido de la circulación del fluido or la tobera, se obtiene la gráfica Fig XII.4, que dice: Fig XII.4.- Distribución de velocidades en las diversas secciones de una tobera Laval Entre O y M, la velocidad c crece más ráidamente que v, or lo que la función (c/v) es creciente, y alcanza un valor máximo en el unto M, al que corresonde la resión k de la garganta de la tobera. Como G es constante y (c/v) creciente, forzosamente la sección a de la tobera tiene que disminuir. A artir del unto M, y ara resiones menores que k, resulta que es el volumen esecífico v el que crece más ráidamente que c, y or lo tanto la relación (c/v) disminuye, or lo que la sección a de la tobera aumentará ara oder seguir manteniendo el gasto G constante; así se obtiene una tobera convergente-divergente tio Laval. CONDICIONES CRITICAS.- Las condiciones críticas, en las que se roduce el máximo de (c/v), y el mínimo de a, se obtiene haciendo las siguientes consideraciones: La velocidad de derrame del fluido or la tobera es: c g - 0 v 0 { - ( - ) } 0 y el valor del gasto másico G: XII.-98

7 G a c v a v g - 0 v 0 { - ( - ) } 0 0 v 0 v v v 0 ( 0 ) / a v 0 ( 0 ) / g - 0 v 0 { - ( - ) } a 0 0 v 0 g - {( ) - ( + ) } 0 0 Y ( ) - ( + ) 0 0 a 0 v 0 g - Y En la sección crítica hay que hallar el máximo de (c/v) o, lo que es lo mismo, el máximo de G, obteniéndose la resión k en la garganta de la tobera: {( ) 0 - ( 0 ) k 0 ( - + ) /( - ) } 0 0 / ( - ) - + ( + ) 0 / 0 en función del coeficiente de la transformación adiabática y de la resión 0 a la entrada. Como es un dato característico del fluido, el valor de k toma los siguientes valores: Para el vaor de agua recalentado:,30 ; k 0, Para el vaor de agua saturado:,35 ; k 0, Para el vaor de agua húmedo de título x:, , x Para:,40 ; k 0,57 0 La temeratura crítica se obtiene a artir de: T k T 0 ( - k ) 0 T 0 ( + ) - - T 0 + En la misma forma se obtienen v k y a k : 0 v 0 a k ( k v k + ) - v k v 0 ( 0 ) / v 0 ( + k G + g 0 v 0 k máx ( )/( - ) + ) - + G k máx g 0 v 0 La resión de salida uede ser mayor o menor que la resión crítica k or cuanto ésta sólo deende de la resión a la entrada 0 y del coeficiente adiabático, ero no de. Si, > k, hay que suoner que la relación (c/v) no ha alcanzado todavía su valor máximo y, en consecuencia, la forma de la tobera será convergente. Por lo tanto, carece de significado hablar de sección critica, or lo que cualquier embocadura redondeada interiormente, o cualquier tobera cónica, o XII.-99

8 cualquier orificio racticado en ared delgada, darán un chorro con velocidad de salida máxima. Si, < k, la tobera es convergente-divergente. Los cálculos se realizan a artir de la sección crítica, estableciendo la condición de que la vena fluida no se desegue de las aredes, ara lo cual el ángulo del divergente tiene que ser del orden de 0. La longitud L del divergente se calcula a artir de: tg α D - D k L siendo α el ángulo de salida, y L la longitud del divergente. La longitud L del convergente se royecta corta ara limitar las érdidas or rozamiento; dicho tramo, en muchas toberas, se limita a un simle borde redondeado. XII.4.- ESTUDIO DE UNA CORRIENTE FLUIDA EN UNA TOBERA LAVAL Si se mantienen constantes las condiciones a la entrada ( 0,v 0 ), el gasto G se mantiene constante, or lo que: G a g - 0 v 0 { - ( - ) } 0 v 0 ( 0 ) / a c máx v 0 ( ) - ( 0 - ) c máx 0 v 0 a Y Cte El valor de Y se uede reresentar en función de (/ 0 ), Fig XII.5, teniendo en cuenta que: Pasa or el origen: 0 / 0 ; Y 0 Se anula ara: / 0 0 ; Y 0 Tiene un máximo ara: k ; k / 0 <, unto crítico Fig XII.5.- Valores de Y en función de / 0 Al ser G constante, también lo será el roducto (a Y) or lo que: a Y Cte a dy + da Y 0 da a - dy Y y teniendo en cuenta la ecuación de Hugoniot resulta: XII.-00

9 da a ( c c s - ) dc c ( M - ) dc c - dy Y dy Y c ( - c ) dc s c ( - M ) dc c Si se mantiene constante la resión a la entrada de la tobera 0 y a lo largo de la tobera va disminuyendo entre (/ 0 ) y (/ k ), la curva Y es ascendente y dy creciente; M <, el signo de dc es el mismo que el de dy, or lo que dc es creciente, aumentando la velocidad hasta c c s, que sabemos se alcanza en el unto crítico k. Sobreasado el unto crítico k, la resión sigue decreciendo or lo que, / 0, disminuye, tramo (CO) de la curva (AO), en el que dy es decreciente, mientras que la velocidad continúa aumentando, dc es creciente, y la velocidad c es suersónica. En una tobera diseñada ara funcionar con unas determinadas condiciones de trabajo, ueden suceder los siguientes casos: a) La resión de salida es ligeramente suerior a la resión crítica, > k.- En la arte convergente de la tobera el valor de Y va aumentando entre los untos A y C, la corriente es subsónica y la velocidad c va aumentando, ero no llega a tomar el valor c s del unto crítico k, or cuanto la resión de salida es suerior a la crítica. En la arte divergente de la tobera Y disminuye ero la corriente sigue siendo subsónica, ya que al no haber odido suerar el unto C de la curva, se continúa en la rama (AC) de la misma; or lo tanto, en toda la tobera la corriente es subsónica, or no haberse alcanzado el unto crítico k. b) La resión de salida es igual a la resión crítica, k.- En el convergente se sigue la rama (AC) como en el caso anterior, hasta llegar al unto crítico k, en donde se tiene (c c s ). En el divergente se sigue la rama (CA) or lo que el movimiento es subsónico, salvo en la garganta en donde alcanza el unto crítico. c) La resión de salida es menor que la resión crítica, < k.- En el convergente se sigue la rama (AC) y en la garganta de la tobera se llega al unto crítico. En el divergente, la sección a aumenta, or lo que Y disminuye siguiendo la rama (CO), siendo el movimiento suersónico; según Hugoniot la velocidad c aumenta y como es inferior a x el fluido se exansionará totalmente, siendo estas las condiciones de diseño y, or lo tanto, de funcionamiento erfecto. Sin embargo, si la resión exterior aumenta, aunque manteniéndose siemre inferior a k, las condiciones a la salida no serán ya las de diseño o de funcionamiento erfecto. Fig XII.6.- Onda de choque en el divergente de la tobera El fluido en régimen suersónico, choca a la salida de la tobera, o en sus roximidades (arte interior), con el fluido exterior de densidad mayor, aareciendo una onda de choque en una determinada sec- XII.-0

10 ción de la tobera, Fig XII.6; desués del choque, la velocidad asa de suersónica a subsónica, exerimentando el fluido una comresión irreversible, es decir, la resión aumenta, aunque su valor no llegará nunca a ser el que se alcanzaría en una comresión isentróica. Debido a este choque, y desués de él, la arte divergente de la tobera actúa como difusor, or lo que la velocidad subsónica disminuye aún más su valor, aumentando la resión hasta igualar la de descarga. d) La resión del fluido a la salida de la tobera es mayor que la resión exterior, >.- La onda de choque, oblicua, se roduce a la salida de la tobera, en el exterior, en donde la resión tiende a, Fig XII.7. En los casos considerados y resumidos en la Fig XII.8, el gasto G ermanece constante or cuanto la sección de aso en la garganta de la tobera es fija. Fig XII.7.- Onda de choque a la salida Fig XII.8.- Tios de derrame en una tobera XII.5.- PERFIL DE UNA TOBERA POR EL MÉTODO GRÁFICO DE KOLB Este método ermite determinar el erfil de una tobera, calculando la secciones corresondientes en forma gráfica. De acuerdo con la Fig XII.9, sea la transformación,,3,4, la línea de exansión del fluido en el diagrama (T,s), a través de la tobera. En un diagrama (,v) se uede trazar la curva, f(v), que relaciona las resiones con los volúmenes esecíficos adquiridos or el fluido; admitiendo que la transformación es adiabática, la velocidad en una sección cualquiera es: c g - ( 0 v 0 - v) g - 0 v 0 { - ( v 0 v ) - } XII.-0

11 Fig XII.9.- Método gráfico de Kolb Conocida esta curva se traza una aralela (O O ) a la la distancia G del gasto, a una escala arbitraria. Una secante cualquiera trazada desde el origen O, tal como la (O4 ), corta a (O O ) en un unto c ara el que se obtiene la sección corresondiente al unto 4 de la curva de exansión, es decir, a 4 (O C). En efecto, los triángulos semejantes (OO C) y (O4 m), roorcionan: (4'm) (O m) (O O ) (O C) ; (O (O m) C) (O O ) (4'm) G v 4 a c 4 4 que habrá que determinar a la misma escala que la utilizada ara G. En general, cualquier recta que arta del origen O y corte a, c f(v), lo hará en dos untos, tales como el y el 3 a los que corresonde la misma sección (O b) a a 3. La sección mínima (O a) a mín corresonde a la tangente (O ) trazada desde O a la curva, c f(v). Este método es erfectamente alicable sea cual fuere la línea de exansión,,3,4. XII.6.- FLUJO ISENTRÓPICO DE UN GAS PERFECTO Vamos a establecer unas ecuaciones que ermitan determinar las características de flujo isentróico de un gas erfecto en función de las condiciones a la entrada, 0, v 0, T 0, y del número de Mach M existente en cada sección. XII.-03

12 La relación entre temeraturas es: i 0 - i g (c - c 0 ) c (T 0 - T) c 0 0 c g c T 0 c T + c g T 0 T + c g c T c La relación entre resiones es: La relación entre volúmenes es: R - ; c s g R T + c ( - ) g R T + c ( - ) c s 0 ( T T 0 ) ( + - v ( 0 v 0 ) ( + - M ) M ) M - - T T Combinando la relaciones isentróicas anteriores y la ecuación de continuidad, se obtiene una relación entre el número de Mach y la sección corresondiente; en efecto: G c a v v v k c k a k v k a a k v v 0 ( + - v 0 v k c k c g R T k c or lo que: a a k c k c v v k M T T 0 T T 0 c k c M ) v v k - ( g R T c + ) - { T k T 0 T 0 T c s c + ( M )} - + M - M - ( + M + ) - ( + M + ) - M - { + M + } M { + - ( + M + )} - Para:,4 resulta: a a k M ( + 0, M ) 3,78 Para las condiciones de remanso dadas, el gasto máximo osible a través de un conducto en forma de tobera tiene lugar cuando en su garganta hay condiciones críticas, o sónicas. Entonces se dice que el conducto está bloqueado y no uede haber un gasto mayor, a menos que se modifique la sección de aso de la garganta. El gasto máximo es el que fija la garganta de la tobera, de la forma: G máx c k a k v k c k g R T k v k v 0 ( + )/( - ) a k a k g R T 0 ( + v 0 g R T k v 0 ( + )/( - ) a k )( + )/( - ) g R T 0 + v 0 ( + )/( - ) Para:,4 0, a k R T 0 XII.-04

13 Para calcular el número de Mach a artir de (a/a k ) con un % de error y,,40, se ueden utilizar las siguientes ecuaciones: Régimen subsónico: M + 0,7 (a/a k )-, ara:,34 < a/a,78 (a/a k ) k < M - 0,88 {ln (a/a k } 0,45, ara:,0 < a/a k <,34 Régimen suersónico: M +, (a/a k ) -, ara:,0 < a/a k <,9 M {6 (a/a k ) - 54 (a/a k ) / 3 } / 5, ara:,9 < a/a k < Para cada valor de a existen dos soluciones osibles, una subsónica y otra suersónica; la solución adecuada se toma teniendo en cuenta la resión, o la temeratura, en alguna sección del conducto. XII.7.- ONDA DE CHOQUE NORMAL Si un sólido se mueve a velocidad constante en un fluido, sumando al conjunto (sólido-fluido) una velocidad igual y de sentido contrario a la del sólido, el fenómeno mecánico no se ha alterado, siendo ahora el fluido el que se mueve alrededor del sólido estacionario. Ahora bien, aunque la velocidad del sólido, o lo que es lo mismo, la velocidad del fluido sin erturbar alrededor del sólido estacionario, sea subsónica, si esta velocidad se aroxima a la velocidad del sonido, es osible que en un cierto unto alrededor del sólido la velocidad del fluido exceda la velocidad del sonido, y entonces el flujo se hace muy comlejo, originándose erturbaciones de gran imortancia, que afectan el emuje ascensional y el arrastre del erfil de ala. En la onda de choque los arámetros del fluido y su velocidad cambian bruscamente. La velocidad disminuye bruscamente y la resión, or el contrario, aumenta también bruscamente. El fenómeno se estudia mejor considerando el caso recíroco, sólido en reoso y corriente en movimiento. El frente del salto (onda de choque) tiene un esesor de unos 0-5 mm en un gas real, y divide la corriente en dos artes: aguas arriba del salto la corriente está imerturbada, y aguas abajo hasta llegar al sólido la corriente está erturbada con un aumento de la resión, densidad y temeratura, fluyendo la corriente sobre el sólido desués del salto. Antes del salto el sólido no tiene influjo alguno sobre la corriente, ya que la corriente suersónica incide sobre el obstáculo, mientras que la corriente subsónica se deforma antes de llegar al obstáculo, y se reara ara realizar el flujo sobre el mismo. A esto se debe el aumento de la resistencia que exerimenta un sólido, or ejemlo un avión, al acercarse a la velocidad del sonido (barrera del sonido). Según la forma del sólido y la velocidad de la corriente incidente se uede originar: a) El salto normal, en el cual el frente es normal a la dirección de la corriente, 90º b) El salto cónico, reresentado en la Fig XII.0b, < 90º; el salto tiene forma curva, como en la Fig XII.0a, acercándose en la arte central a un salto normal. Para una misma velocidad de la corriente incidente la disminución de la velocidad es mayor en el salto normal que en el cónico, hasta tal unto que en el rimero, aguas abajo, la velocidad siemre es subsónica, mientras que en el segundo uede ser subsónica o suersónica, aunque en todo caso menor que aguas arriba. En el frenado que la corriente exerimenta en la onda de choque se originan érdidas imortantes, or lo que la resión del fluido desués del salto es menor que en el caso isentróico, mientras que la temeratura es mayor. El ángulo β deende del número de Mach antes del salto y del ángulo α del erfil según la relación: XII.-05

14 Fig XII.0- Salto en curva a y salto cónico b tg α M i sen β - + M i ( + cotg β - sen β) Esta fórmula se basa en el método Schlieren que determina la velocidad de la corriente suersónica fotografiando el flujo, arovechando los cambios de refracción de la luz roducidos or los cambios de densidad ara así fotografiar la onda de choque. En la fotografía se mide el ángulo β y conocidos α y β en la ecuación anterior se deseja M i. A medida que aumenta el ángulo del borde de ataque del erfil α el ángulo β aumenta, es decir, la intensidad de la onda crece. Si el ángulo α excede de un valor máximo, la onda se desrende del sólido y en su arte central toma una forma aroximada al salto normal. Si el ángulo α sigue aumentando, toda la onda toma la forma del salto normal aumentando intensamente las érdidas. Los erfiles aerodinámicos ara corrientes subsónicas tienen el borde de ataque redondeado y el borde de estela afilado ara evitar el fenómeno de searación de la vena fluida, con la consiguiente formación de remolinos y aumento de érdidas. Los erfiles ara corrientes suersónicas, or el contrario, deben tener el borde de ataque afilado, deendiendo la disminución de las érdidas más de la arte frontal del sólido. ONDA DE CHOQUE NORMAL EN CONDUCTOS.- La onda de choque normal roduce una irreversibilidad en los flujos suersónicos. Exceto a resiones muy bajas, estas ondas de choque son muy delgadas, (unas micras de esesor), y se resentan como discontinuidades en el fluido. Para su estudio seleccionaremos un volumen de control inmediatamente or delante y or detrás de la onda, tal como se muestra en la Fig XII.. Fig XII..- Onda de choque normal XII.-06

15 Para calcular los cambios de todas las roiedades, incluyendo la velocidad de la onda, utilizaremos las siguientes relaciones entre las secciones i y j, anterior y osterior a la onda de choque: Ecuación de continuidad: G i G j a i v i a j c j v j a i a j v i c j v j Ecuación de la cantidad de movimiento: ( i a i - j a j ) dt c j dt a j ρ j c j - dt a i ρ i i - j c j ρ j - ρ i c j j * * g - i g Ecuación energética: i i + c i g i j + c j g i i - i j c j - g Ecuación de los gases erfectos: ( v T ) i ( v T ) j ; Cte ; i c T ; c Cte Si se conocen las condiciones aguas arriba ( i,, v i, i i, T i ), las ecuaciones anteriores ermiten hallar las condiciones aguas abajo ( j, c j, v j, i j, T j ). Como la velocidad aarece al cuadrado, sólo será correcta aquella solución en la que (s j > s i ) de acuerdo con el Segundo Princiio de la Termodinámica, siendo s j y s i las entroías corresondientes a las secciones osterior y anterior de la onda de choque. LINEAS DE RAYLEIGH Y FANNO.- Para un gas erfecto, las relaciones de las diversas roiedades a través de la onda de choque, son únicamente función de y del número Mach aguas arriba M i. Eliminando v j y c j en las ecuaciones anteriores se obtiene: c j v i v j i - j i i - i j c j g v j - c j - g g v i c j ρ j - ρ i i c T c v R - v Teniendo en cuenta la ecuación: - ( i v i - j v j ) v j v i - ( i v i - v i j ) v i - ( i - j ) i - j se obtiene: c j g v j - v i - ( i - j g v i c j g c j v i - + i - j g v i ) g v i g v i ( + i - j (c j - ) c j + i - j g v i ) i - j g g v i g v i v i - - ( i - j ) - j v i g ( i - j ) c i - j v i g + ( i - j ) g v i c i ( + i - j g v i ) i - j g + ( i - j ) g v i XII.-07 g v i

16 + j v i g ( - ) - - i g v i Dividiéndola or ( i v i g) resulta: j + i ( - ) - ( - ) i g v i j i ( + ) i g v i { - ( - )} i g v i Para un gas erfecto i v i g R T i g c i c s M M i - ( - ) i + que es la relación de resiones; se observa que ara cualquier valor de, ( j > i ) sólo ara, M i >, lo cual imlica que el número de Mach aguas arriba de una onda de choque normal tiene que ser suersónico, ara satisfacer el Segundo Princiio de la Termodinámica. Resecto al número de Mach aguas abajo de la onda de choque, se tiene: i - j c j g v j - g v i c v g M c j j v j g M j j c j v j g M j M j j - M i i j ( + M j ) i ( + M i ) j i + M i + M j que se conoce como línea de Rayleigh, y roorciona la relación entre las resiones existentes a ambos lados de la onda de choque, en función de los números de Mach corresondientes. Igualando esta exresión a la anteriormente deducida y desejando M j : j i + M i + M M i - ( - ) + j M j { + M i M i - ( - ) ( - ) - } + ( - ) M i M i - ( - ) + ( - ) M i M i - ( - ) Como M i es suersónico, esta ecuación redice que ara todo valor de, >, M j debe ser subsónico; en consecuencia, una onda de choque normal desacelera bruscamente el flujo, asando éste desde unas condiciones suersónicas a otras subsónicas. Para calcular la relación entre las temeraturas, antes y desués de la onda de choque, artimos de la ecuación: - i v i + c i g - j v i + c j g ; - ( j ρ j - i ) + c j - c i ρ i g 0 y en general: - ρ + c g Cte ; - c + ρ Cte XII.-08

17 Para un gas erfecto: v R T ρ g R T, or lo que: - c + g R T Cte T ( - c ρ + ) g R Cte T ( - c ρ + ) Cte y como: c g R T M, resulta la siguiente relación ara las temeraturas: T ( - g R T M ρ ρ g R T + ) Cte T ( ( - ) M en la que se observa que al ser: M i > M j, T j > T i. + ) Cte T j T i M i M j ( - ) + ( - ) + Para determinar la relación entre los volúmenes esecíficos, o lo que es lo mismo, entre las velocidades del fluido, antes y desués de la onda de choque normal, artimos de: v R T T { M ( - ) + } Cte ( + M ) Cte R + M M ( - ) + v ( + M i i ){ M j ( - ) + } v j ( + M j ){ M i ( - ) + } ( + M i ){( - ) M i ( - ) + M i - ( - ) + } { + M i ( - ) + M i - ( - ) } { M i ( - ) + } ( + M i )( + ) M i { M i ( + ) + ( + )} {M i ( - ) + } ( + ) M i M i ( - ) + que relaciona los volúmenes esecíficos aguas arriba y aguas abajo de la onda de choque con el número M i. A su vez, como: ρ g R T, se obtiene: T { M ( - ) + } ρ g R T ; T ρ g R ρ g R { M ( - ) + } Cte Teniendo en cuenta: Ecuación de continuidad: ρ c Cte M c c c s g v ρ c se obtiene: c g R ( ρ c - + ) Cte c ( ρ c - + ) Cte y com c g R T M sustituyendo en la anterior e incluyendo los valores de, g y R en la constante se tiene: T M ( ρ c - + ) Cte en la que el valor de T se deduce de la ecuación T ( ρ c - + ) Cte, obteniéndose: XII.-09

18 M ρ c ( - ) + ρ g R T c g R T M que se conoce como línea de Fanno. M La intersección de las líneas de Rayleigh y Fanno, es: - M + Cte i j M j - M j + M i - M i + i j M j M i - - M j + M i + + M j + M i M i M j ( - ) M j + ( - ) M i + + M j + M i Para hallar el valor de M i en función de M j, se rocede de la siguiente forma: M i ( - ) M i + ( + M i ) M j ( - ) M j + ( + M j ) A M 4 i {( - ) - A} + M i ( - A) - A 0 M i - ( - A) ± - A - A - - A Oerando y tomando el signo (-) se obtiene: M i - + M j ( - ) M j - ( - ) - + M j - M j - que ermite determinar, sustituyendo en las exresiones (T i /T j ), ( i / j ), etc, los valores de las mismas en función del número de Mach, bien M i ó M j. OTRAS EXPRESIONES DE LAS LINEAS DE FANNO Y RAYLEIGH, EN COORDENADAS (i-s) Línea de Fanno.- En el movimiento de fluidos or conductos de sección constante, se emlea frecuentemente la relación: Ψ G a *c c v Cte en la que ψ es una función constante a lo largo de la conducción, y uede considerarse como una medida de la intensidad del movimiento. A la entrada, el fluido está en el estado 0 caracterizado or las condiciones (c 0 0, i 0 ). Cuando el fluido se exande asa a otro estado de entalía i; la velocidad en la sección corresondiente sabemos es de la forma: c 9,48 i 0 - i Cualquiera que sea la ley del rozamiento del fluido sobre las aredes de la conducción, el valor del volumen esecífico v, es: XII.-0

19 v 9,48 a i 0 - i G k i 0 - i en la que k es una constante, siemre que lo sea (G/a) como en el caso de tubos cilíndricos en régimen ermanente. Para cada valor de G el volumen esecífico dado or la ecuación v k a i 0 - i reresenta una familia de curvas, v Cte, ara los diversos valores de i; hallando su intersección con las curvas, i Cte, se obtiene el lugar geométrico de los corresondientes valores de i y v que es otra forma de definir la línea de Fanno, ara cada valor de (G/a). Hay que tener en cuenta que ara una entalía i 0 las curvas de, i Cte, son a su vez curvas de velocidad c constante, y se comrueba, como veremos mas adelante, que en los untos a, b, c... en los que las curvas de Fanno cortan a la curva, i s Cte, M, es decir a: c s c s 9,48 i 0 - i s ; i s i 0 - ( 9,48 ) las tangentes a dichas curvas son verticales y los untos de tangencia los de máxima entroía ara cada curva. Su reresentación en el diagrama (T,s) es la que se indica en la Fig XII.. Fig XII..- Curvas de Fanno en el diagrama (T-s) Como todo roceso real va ineludiblemente ligado a un aumento de entroía, las curvas de Fanno corresondientes a un tubo cilíndrico se interrumirán en los untos a, b, c... de tal modo, que la velocidad límite que el fluido uede alcanzar or su exansión en dicho tubo cilíndrico, será la del sonido. Si el movimiento es suersónico, el frotamiento dará lugar a un aumento de resión, temeratura y densidad, y a una disminución de la velocidad del número Mach. Si el movimiento es subsónico, el frotamiento dará lugar a un aumento de la velocidad y del número Mach, y a una disminución de la resión, temeratura y densidad. En ambos casos, el número Mach tiende siemre a la unidad, or lo que es imosible observar el aso de, M <, a, M >, y viceversa, al menos de una manera continua. En el diagrama (i,s) ara cada valor de i y ara i 0 dada, la forma de las líneas de Fanno no varía, XII.-

20 deslazándose aralelas unas a otra a medida que varía la función ϕ. Su tangente vertical coincide, como sabemos, con M, siendo los untos a, b, c,... de entroía máxima. Para determinar la ecuación de las curvas de Fanno en el diagrama (i,s) reresentado en la Fig XII.3, de la forma, s f (i), artimos de las siguiente ecuaciones: Proceso irreversible: s - s 0 c v ln Ecuación energética: i 0 i + c g v 0 v 0 ; c 0 0 c g (i 0 - i) Ecuación de continuidad: G c v ; a Cte ; v c G Ecuación de estado: v R T ; i c T c v R Eliminando, v y c, entre estas ecuaciones se obtiene: s - s 0 c v ln v 0 v 0 c v ln ; R i v v c c v ln R i v - 0 v 0 c 0 v 0 R i v c c v ln R i c - c 0 v 0 G - c v ln R i c 0 v 0 - { g (i 0 - i)} G - - )/ R ( g)( c v ln { c 0 v 0 G - i (i 0 - i) - } que es la ecuación de Fanno en el diagrama (i,s). La condición de entroía máxima (ds/di 0) unto de tangencia vertical, es: ds di d di {i (i 0 - i) - } (i 0 - i) - - i - (i 0 - i) Fig XII.3.- Curvas de Fanno en el diagrama (i-s) de la que desejando el valor, i i a, se obtiene la condición de entroía máxima: i a + i 0 ; i 0 + i a Sustituyendo este resultado en la ecuación, c g (i 0 - i), resulta: XII.-

21 c a g (i i 0 ) g - + i 0 g i a g ( - ) i a or lo que en a se alcanza solamente el valor límite, M. g ( - ) R T a - g R T c s Para, i > i a, el flujo es subsónico y ara, i < i a, es suersónico; las dos condiciones, antes y desués de la onda de choque normal, deben caer en la línea de Fanno corresondiente a la sección ara la que se resenta dicha onda de choque. Como en su determinación no se ha utilizado la ecuación de la cantidad de movimiento, esta solución no es definitiva. La línea de Fanno así descrita se refiere a un flujo a través de una sección transversal constante, como es el que se tiene en un elemento de longitud de la tobera donde se resenta la onda de choque, or lo que dicha ecuación también será válida ara una conducción, en flujo adiabático, de sección transversal constante. El fluido, en el extremo de la conducción aguas arriba (unto de artida inicial) se uede reresentar mediante un unto de la curva de Fanno, corresondiente a la entalía inicial al gasto G corresondiente. Las roiedades del gas se van modificando a medida que éste va avanzando or la conducción, aumentando su entroía, de forma que, el unto reresentativo sobre la curva de Fanno se mueve hacia el unto a de entroía máxima. Si el conducto está alimentado or una tobera Laval, el flujo, inicialmente uede ser suersónico, en cuyo caso, la velocidad irá disminuyendo a lo largo del conducto, mientras que si a la entrada el flujo es subsónico, la velocidad aumentará. Si se considera que en una cierta arte de la conducción, el flujo es sónico, está claro que aguas arriba de esta sección el flujo no habrá alcanzado dichas condiciones sónicas; sin embargo, ara la zona aguas abajo de la sección sónica, si el flujo aguas arriba es suersónico se tendrán ondas de choque y estrangulamiento, mientras que si es subsónico, se tendrá estrangulamiento, es decir, ante la imosibilidad de tener el gasto de diseño se resenta en su lugar un gasto menor. En un conducto de sección transversal constante, el gas no uede cambiar gradualmente de flujo subsónico a suersónico, o viceversa. Línea de Rayleigh.- Las condiciones antes y desués de la onda de choque, deben satisfacer la ecuación de la cantidad de movimiento, de la forma ( + ρ c Cte) que junto con las otras ecuaciones que definían el incremento de entroía del roceso irreversible, la ecuación de continuidad y la ecuación de estado del fluido, ermiten determinar, en un diagrama (i,s), la línea de Rayleigh. Eliminando c entre las ecuaciones de continuidad y de la cantidad de movimiento se obtiene: + ρ G v Cte ; + G ρ g Cte B Eliminando entre esta ecuación y la de la entroía, resulta: s - s 0 c v ln (B - G ρ g ) v c v ln ρ k 0 0 v c v ln B - G ρ g ρ La entalía se uede oner en función de ρ y de las condiciones aguas arriba; teniendo en cuenta el valor de B, se tiene: i c T c v R c v R (B - G ρ g ) c ρ g R (B - G ρ g ) XII.-3

22 Las dos últimas ecuaciones relacionan i y s a través del arámetro, su reresentación gráfica en un diagrama (i,s) ermite obtener la línea de Rayleigh, Fig XII.4. Para hallar el máximo de entroía, o lo que es lo mismo, el unto de tangencia vertical, hay que calcular, ds/di 0: ds di ds dρ dρ di ds dρ c v ρ - G (B - ρ g )3 di dρ { B - c g R ρ ( G ρ g - B) G ρ g ( + )} c v ρ - g R ρ G (B - ρ g )3 c B - G ρ g ( + ) G ρ g - B 0 Fig XII.4 Línea de Rayleigh en el diagrama (i-s) Fig XII.5 Intersección de las curvas de Fanno y Rayleigh Para que se satisfaga esta ecuación el numerador tiene que ser cero y el denominador distinto de cero, or lo que: B - G ρ g ( + ) 0 ρ g B G ( + ) Sustituyendo B y G or su valores resectivos, se obtiene: ρ g + ρ g c v ρ g c v ( + ) c ρ g v g v c s es decir, en el unto de tangencia vertical se tiene, al igual que ara la curva de Fanno, una velocidad igual a la del sonido, M. Como las condiciones de flujo inmediatamente antes y desués de la onda de choque normal deben quedar incluidas en ambas curvas, la única osibilidad de que ésto se cumla es que dichas condiciones cambien súbitamente desde un unto de intersección, en condiciones subsónicas a otro unto en condiciones suersónicas, tal como se muestra en la Fig XII.5. Como la entroía es siemre creciente, resulta que la sección aguas arriba de la onda de choque normal corresonde al unto de intersección de menor entroía, es decir, régimen suersónico, or lo que esta onda de choque se roducirá siemre desde flujo suersónico a subsónico. XII.-4

23 XII.8.- FLUJO ADIABÁTICO EN CONDUCTOS DE SECCIÓN CONSTANTE, CON ROZA- MIENTO El flujo de un gas a través de una tubería de sección constante está sometido a las siguientes hiótesis:.- Gas erfecto (calores esecíficos constantes).- Flujo ermanente unidimensional y adiabático 3.- Coeficiente de rozamiento constante en toda la longitud de la tubería 4.- Los cambios de altura son desreciables frente a los efectos del rozamiento 5.- No hay variaciones del trabajo de flujo Las ecuaciones que rigen este flujo son las de continuidad, energía, cantidad de movimiento y de estado. La línea de Fanno se refiere a casos de sección constante y utiliza las ecuaciones de continuidad y de la energía, or lo que se uede alicar al flujo adiabático en un tubería de sección constante. Una artícula de gas a la entrada de la tubería viene reresentada mediante un unto en la línea de Fanno corresondiente, or su entalía de estancamiento i 0 y or un gasto másico G or unidad de sección. Fig XII.6.- Flujo adiabático en conductos de sección constante, con fricción Cuando la artícula se mueve a lo largo del conducto, sus roiedades se modifican debido al rozamiento o a las irreversibilidades, con el corresondiente aumento de entroía. Por lo tanto, el unto que reresenta estas roiedades se mueve a lo largo de la línea de Fanno hacia el unto de máxima entroía, M. Si la tubería se alimenta mediante una tobera convergente-divergente, el flujo es, originalmente, suersónico y, entonces, la velocidad disminuye a medida que el gas avanza or el conducto. Si el flujo a la entrada es subsónico, la velocidad aumenta a medida que el gas avanza or el conducto. Existe una longitud de tubería en la que en el extremo aguas abajo el flujo es sónico, M ; ara longitudes de tubería más cortas, el flujo no alcanza las condiciones sónicas a la salida, ero ara longitudes más largas de la tubería, aarecerán ondas de choque y osiblemente bloqueo a la entrada si el flujo es suersónico y efectos de bloqueo si el flujo es subsónico. El bloqueo a la entrada imlica que el flujo másico de diseño no se uede alcanzar en dicho estado y aarecerá menos flujo. En un tubería de sección constante, el gas no uede asar gradualmente de régimen subsónico a régimen suersónico o viceversa. La ecuación de la cantidad de movimiento incluye el efecto del esfuerzo cortante en la ared τ 0 ara un elemento de tubería de longitud dx y sección transversal a, es de la forma: { a - ( + x dx) a - τ 0 π d dx} dt ρ c a (c + c x XII.-5 dx - c) dt

24 d + π d a τ 0 dx - ρ c dc 0 ; d + 4 d τ 0 dx + ρ c dc 0 A su vez, el valor de τ 0 se obtiene en la forma: d π d 4 π d dl τ 0 ; d 4 dl τ 0 d ρ λ c dl d ; τ 0 ρ λ c 8 ecuación en la que cada término se uede oner en función del número de Mach. Si λ es constante, o toma un valor medio ara la longitud de tubería considerada, esta ecuación se uede transformar en otra, función del número de Mach, M c/c s ; dividiéndola or, resulta: d + λ d c M ρ ρ c ; dx + ρ c dc 0 ρ c M ; ρ c dc M dc c Para exresar dc/c en función del número Mach M, se arte de la ecuación de la energía: i 0 i + c c T + c Diferenciándola c dt + c dc 0 Dividiéndola or: c g R T M, resulta: c R dt M T + dc c c R - - dt M T + dc c 0 dt T - M ( - ) dc c Diferenciando la ecuación: c g R T M, y dividiéndola or c resulta: c dc g R T M dm + g R M dt ; dc c dm M + dt T dm M - M ( - ) dc c dc c dm/m + M - ; ρ c dc M dc c M dm + M - Como: ρ g R T, y G ρ g c, se obtiene: G R T c ; c G R T ; d + dc c dt T d dt T - dc c d La ecuación + λ d ρ c - M ( - ) dc c - dc c - dc c { M ( - ) + } M ( - ) + M - + dx + ρ c dc 0 dm M se uede oner en la forma: M ( - ) + M - + es decir: dm M + λ d M dx + M dm M XII.-6

25 λ dx d dm M - + { M ( - ) + M - M} M ( - M ) dm M 3 ( M - + ) ( - M ) dm M 3 ( M - + ) A ; B - A M 3 - B/M + M - dm M dm M ( M - + ) que integrada entre los límites: x 0, M M 0, queda en la forma: x L, M M λ L d - M ) M M Para:,4 se tiene: ln - M M + ) M M0 ( M - 0 M ) + + ln {( M 0 M ) ( - ) M + ( - ) M 0 + } λ L d 5 7 ( M 0 - M ) ln {( M 0 M ) M + 5 M } Si: M 0 >, M no uede ser menor que Si: M 0 <, M no uede ser mayor que La longitud máxima del tubo se tiene ara M y,4, en la forma: L máx d λ { 5 7 ( M - ) ln ( 6 M 0 M )} L* Esta longitud es la necesaria ara alcanzar el unto sónico desde la condiciones iniciales. En algunos roblemas referidos a conductos cortos en los que el flujo nunca se hace sónico, se ueden utilizar diferencias entre longitudes máximas o sónicas tabuladas, entre longitudes. Los datos disonibles sobre fricción en conductos con flujo comresible muestran una buena concordancia con el diagrama de Moody en flujo subsónico, ero en el suersónico los valores son hasta un 50% menores que los dados or el citado diagrama. XII.9.- BLOQUEO DEBIDO A LA FRICCIÓN La teoría exuesta redice que en un flujo adiabático, con fricción, en un conducto de sección constante, el flujo aguas abajo en su avance tiende hacia el unto sónico, cualquiera sea el número Mach a la entrada M 0 existiendo una cierta longitud ara la que el número Mach de salida se hace exactamente igual a la unidad. El roblema surge cuando la longitud del conducto es mayor que el máximo calculado anteriormente; en estas circunstancias, las condiciones del flujo se modifican, como exonemos a continuación: a) Si la entrada del fluido en el conducto es subsónica, al ser la longitud L mayor que la L* corresondiente a, M, el gasto debe disminuir hasta que se alcance un número Mach en la entrada, tal, que a la salida del conducto de longitud L se tengan condiciones sónicas; el gasto se ha reducido or bloqueo de fricción. Si se aumenta la longitud L, el número Mach a la entrada tiene que seguir disminuyendo ara XII.-7

26 que a la salida se tengan condiciones sónicas. b) Si la entrada del fluido es suersónica y la longitud L del tubo es suerior a la corresondiente a condiciones sónicas, aarecerá una onda de choque normal en el lugar reciso ara que el flujo a la salida sea sónico. Al aumentar la longitud, la onda se sitúa más aguas arriba hasta llegar a la entrada. Si L continúa aumentando, la onda de choque se deslazará más aguas arriba, hacia la tobera suersónica que alimenta el conducto. El gasto sigue siendo el mismo que ara el conducto corto, or cuanto al alcanzarse en la garganta de la tobera condiciones sónicas, el gasto tiene que ser constante. En algunos casos, un conducto muy largo uede rovocar el bloqueo de la garganta de la tobera de alimentación, reduciéndose entonces el gasto. La fricción suersónica, en consecuencia, modifica la configuración del flujo si, L > L*, ero no bloquea el flujo hasta que L sea mucho mayor que L*. La resión, velocidad, volumen y temeratura se ueden exresar en función de las condiciones corresondientes a, M, distinguiéndolas mediante el símbolo (*); así se tiene que: * 0 M 0 ( - ) M T ( - ) M 0 + T 0 + Para los volúmenes artimos de la ecuación: dv v v M dm + M - M + M ( - ) M ( + M ( ) A M + A ; B - B M + M ( - ) dm M + ( - ) M dm + M ( - ) v* v 0 + M 0 ( - ) M 0 + c* c 0 El comortamiento de las roiedades del flujo se uede seguir también mediante Tablas y gráficas relacionadas con las ecuaciones examinadas y deducidas anteriormente, como las que resentamos a continuación, que ermiten un tratamiento muy ráido del roblema de flujo comresible. XII.0.- FLUJO SIN ROZAMIENTO POR EL INTERIOR DE CONDUCTOS CON TRANSFE- RENCIA DE CALOR Vamos a considerar un gas erfecto en flujo ermanente or el interior de un tubería de sección constante; el rozamiento se desrecia y no se realiza ningún trabajo sobre o or el fluido. Las ecuaciones a utilizar son: Continuidad: G c v ρ c ; a Cte Cantidad de movimiento: + ρ c Cte + M Cte XII.-8

27 Ecuación energética: i - i + c - c g c (T - T ) + c - c g c (T 0 - T 0 ) en donde T 0 y T 0 son las temeraturas isentróicas de estancamiento, es decir, las temeraturas que se alcanzan en una sección al asar el flujo de una situación isentróica al reoso. Cuando las érdidas or rozamiento son nulas, la entroía sólo uede aumentar cuando se aorta calor del exterior; las roiedades del gas varían a lo largo de la curva de Rayleigh, deslazándose, al aortar calor, hacia el unto de entroía máxima; si en este unto se roduce una equeña variación de la entalía, la entroía no varía, y se ueden alicar condiciones isentróicas, siendo la velocidad del sonido c s de la forma: c s d dρ Este flujo se uede estudiar mediante la línea de Rayleigh, obtenida a artir de las ecuaciones de la cantidad de movimiento y continuidad ara una sección recta constante, sin rozamiento. Eliminando c y diferenciando, se obtiene: + G ρ Cte d dρ G ρ c En el unto de máxima entroía de la línea de Rayleigh c d dρ revalece M or lo que se tienen condiciones sónicas. Al aortar calor al flujo suersónico se logra que el número de Mach del flujo descienda hacia, M, y si se aorta la cantidad de calor recisa, M. Si se aorta más calor, se roduce estrangulamiento y se modifican las condiciones en el extremo aguas arriba (bloqueo a la entrada), tendiendo a reducirse el flujo másico. Al aortar calor al flujo subsónico se logra un aumento en el número de Mach hacia valores, M ; un exceso de calor origina un estrangulamiento, y se roduce un reajuste con disminución del flujo másico aguas arriba. De la ecuación de la energía se observa que una medida de la cantidad del calor aortado, es el aumento de la resión isentróica de estancamiento; teniendo en cuenta las ecuaciones: c R T M ; ρ R T ; G c v ; c G R T ; ρ c M De la ecuación de la cantidad de movimiento: + M Cte, se obtiene: + M + M + M + M que ara el caso límite, *, cuando, M, queda en la forma: * + + M siendo la resión en un unto cualquiera del conducto y M el número de Mach corresondiente. Para régimen subsónico, si M aumenta hacia la derecha, debe disminuir, y ara régimen suersó- XII.-9

28 nico, si M disminuye hacia la derecha, tiene que aumentar. Para obtener las relaciones entre temeraturas, se arte de la ecuación de la energía: c T 0 R - T 0 R - T + c en la que T 0 es la temeratura isentróica de estancamiento y T es la temeratura de la corriente libre en la misma sección; alicándolo a las secciones y, y dividiendo or T 0 + ( - ) M T T 0 + ( - ) M T T 0 + ( - ) M T T 0 + ( - ) M T R T - se tiene: La relación (T /T ) se uede determinar en función de M teniendo en cuenta las ecuaciones: Gases erfectos: T T ρ ρ Ecuación de continuidad: ρ ρ c c M M c R T c R T c c M M T T ρ ρ Asimismo: + M + M ; ρ M T ρ M T ( + M M ) T + M M T T 0 ( + M M ) + ( - ) M T 0 + M M + ( - ) M Al alicar esta ecuación a la sección aguas abajo donde: T 0 T 0 *, y M, resulta ara la sección aguas arriba: T 0 * T ( + ) M { + ( - ) M } 0 ( + M ) La cantidad de calor intercambiada or unidad de masa ara, M, a la salida, es: q c (T 0 * - T 0 ) FLUJO ISOTÉRMICO PERMANENTE EN TUBERÍAS LARGAS.- En el análisis del flujo isotérmico de un gas erfecto a través de tuberías largas, no se ueden alicar las ecuaciones de las líneas de Fanno (que se alican al flujo adiabático), ni las de Rayleigh, (que se alican al flujo sin rozamiento), or lo que XII.-0

29 hay que desarrollar un método que ermita encontrar el sentido de la variación de las roiedades con el número de Mach. Las ecuaciones a considerar son: Cantidad de movimiento: d + λ d Ecuación de estado: V Cte ; Ecuación de continuidad: ρ c Cte ρ c Ecuación de la energía: T 0 T ( + - Presión de estancamiento: 0 ( + - siendo: dx + ρ c dc 0 ρ Cte d d ρ M ) - dc c M /( - ) ) T 0 la temeratura isentróica de estancamiento en la sección donde la temeratura constante de la corriente libre es T y el número de Mach es M dρ ρ 0 la resión en la sección de y M, reduciendo isentróicamente a cero la velocidad. De todo ello se deduce que: c c s M R T M ρ c dc d dρ ρ c dc R T dc c dm M dm M c s R T M dm M dm ρ c - dc c - dm M λ M λ dx - M d c M R T M Como dx es ositivo en la dirección aguas abajo, se saca la conclusión que las roiedades varían según que M sea menor o mayor que / Para M < /, la resión y la densidad disminuyen, y la velocidad y el nº de Mach aumentan Para M > /, se invierten los sentidos, or lo que el nº de Mach tiende siemre a / en lugar de a la unidad, que es el valor a que tiende en el flujo isotérmico en tuberías. Para determinar la dirección del intercambio térmico, se diferencia resecto T 0 la ecuación: T 0 T ( + - M ) y se divide or ella misma, teniendo en cuenta que T es constante, obteniéndose: dt 0 T ( - ) M dm ( - ) M 4 ( - M ) ( + ( - ) M ) λ dx d que muestra que la temeratura isentróica de estancamiento aumenta cuando M < / indica que el calor se transfiere al fluido. Cuando M > /, el intercambio de calor es desde el fluido., lo cual Teniendo en cuenta las ecuaciones: XII.-

30 0 ( + - se obtiene: M ) /( - ) ; d ( + ) M + ( - ) M M M - λ dx d d M λ dx - M d λ d 0 L máx dx - M / - M M dm π L máx d - M M + ln ( M ) en la que L máx reresenta la longitud máxima del tubería; ara longitudes mayores se roduce estrangulamiento y disminuye el flujo másico. La variación de resión, en la que M y reresentan los valores en cualquier sección aguas arriba, es: 0 t* d - M / dm M ; t * M en la que el sueríndice (t*) indica las condiciones en M /. XII..- AERODINÁMICA COMPRESIBLE SUBSÓNICA Y TRANSÓNICA. El arámetro fundamental que caracteriza este camo es el número de Mach. En el camo comrendido entre: 0,6 < M <, los valores de ρ y c s son variables de un unto a otro. Si se suone que en una artícula infinitesimal o foco untual de erturbación P se roduce una erturbación, que se uede originar, or ejemlo, cuando una artícula material aumenta reentinamente de volumen, creando una comresión a su alrededor. Los casos que se ueden dar son los siguientes, a) El foco de erturbación P se mantiene fijo (c 0), Fig XII.7.a; si un manantial untiforme de erturbaciones es estable, la erturbación se roaga en forma de una onda esférica; los diferentes frentes de onda constituyen esferas concéntricas. a) Velocidad subsónica; b) Manantial en movimiento a velocidad subsónica c) Manantial en movimiento a velocidad sónica Fig XII.7.- Proagación de las erturbaciones ara diversas velocidades del manantial erturbador en régimen subsónico b) El foco de erturbación se mueve con velocidad menor que la velocidad del sonido, régimen subsónico, c < c s, M <, o lo que es lo mismo, con velocidad menor que la velocidad de roagación de la onda de erturbación que se origina, Fig XII.7.b; si el manantial se mueve a velocidad subsónica, no se dan esferas concéntricas, sino esferas deslazadas orque la erturbación se aleja del manantial en la direc- XII.-