A. Vectores ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos, Superficies en el espacio Para terminar el 3 de septiembre.. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. Obtener el coseno del ángulo entre v y w y entre v y w. (b) Obtener los cosenos directores de v. (c) Obtener la componente de v en la dirección de w y su proyección vectorial.. Considerar v = i + 4 j, v = i j y w = 3 i + j como la figura. Encontrar las proyecciones vectoriales de w sobre v y sobre v respectivamente. (b) Mostrar que w = v + v. 3. Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores (,, ) y (0, 4, 3). 4. Encontrar vectores de IR de módulo 4 y perpendiculares al vector i j. (b) Encontrar 4 vectores de IR 3 de módulo 4 y perpendiculares al vector i j. 5. Demostrar las siguientes identidades vectoriales a b + ( a b) = a b a + b + a b = a + b 6. Con relación a la figura de la derecha, demostrar que si F = F entonces r F + r F = 0 7. Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por v = (,, 0), v = (0,, 0) y v 3 = (, 5, 5). 8. Calcular el producto mixto de los vectores (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c). 9. Sean a y b vectores. Qué condición debe cumplirse para que a + b sea perpendicular a a b? 0. Mostrar que, en general, el vector c = a b + b a es un vector que bisecta el ángulo comprendido entre a y b. En qué casos no sucede? B. Rectas y Planos. Hallar la ecuación paramétrica y las ecuaciones simétricas de la recta en los siguientes casos: Pasa por P = (,, 4) en la dirección de v = (,, ). (b) Pasa por los puntos P = (,, 0) y P = (,, ).. Obtener la ecuación cartesiana y la ecuación paramétrica del plano en los siguientes casos: Pasa por los puntos P = (3,, ), P = (0,, ) y P 3 = (, 4, 0). (b) Pasa por el punto P = (, 5, ) y es perpendicular al vector v = (,, 4). (c) Contiene a las rectas r (t) = (,, 0) + t(,, ) y r (s) = (, 0, ) + s(,, 0). (d) Es paralelo al plano 4x y + z = 0 y contiene al punto (, 6, ). 3. Verificar si los puntos P = (,, 3), P = (0, 5, 4) y P 3 = (6, 9, 0) se encuentran en el plano determinado por el vector normal N = (,, 3) y el punto P = (8, 7, 0). 4. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P = (4, 0, 7) y es perpendicular al plano 3x y + 8z + 4 = 0.
5. Hallar las coordenadas del punto intersección del plano 5x y + z = 0 y la recta dada por x 4 = y + 3 = z 7 6. Sean a, b y c números reales no nulos. Demostrar que la ecuación del plano que intersecta a los ejes coordenados x, y y z en los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c) respectivamente es: 7. Demostrar que la recta x 3 x y + z = 6. x a + y b + z c =. = y + 3 = z + 4 está contenida en el plano 8. Calcular la distancia del punto a la recta y la distancia del punto al plano según las figuras de la derecha. 9. Encontrar la distancia entre la recta del ejercicio B.7 y el punto (,, 3). 0. Determinar si los siguientes planos son perpendiculares entre si. x 3y + 5z = 7 x y z = 8x + 7y + z = 3 C. Superficies en el espacio. Trazar la gráfica de la ecuación x = 3 en IR, IR, IR 3.. Dibujar el conjunto de puntos que cumplen simultáneamente x = 6 e y = 3 en IR y IR 3. 3. Encontar los valores de k para los cuales las siguientes intersecciones son no vacías. x + y + z = x = k (b) y + x + = z z = k (c) x + z = y + y = k 4. Describir todas las trazas de las siguientes superficie: z = x + y (b) x + y z = (c) z = y x 5. Graficar el conjunto de puntos que satisface x + y = en IR y en IR 3. 6. En cada caso trazar la gráfica de las superficies cilíndricas x + z = 4 (b) z = x (c) y = x (d) z = sin y 7. En cada caso, encontrar el radio de la circunferencia intersección entre las superficies. x + y + z = y + x = z (b) y + z = x x = y + z (c) x + y = z 3z = x + y C. Algunas Respuestas Ej A.3: 6 Ej A.7: 0 Ej B.5: ( 5, 7, 5 ) Ej B.8a: 9 3 6 0 5 Ej B.8b: 5 Ej B.9: 6 Ej C.3a: k Ej C.3b: k Ej C.3c: k IR Ej C.7: En los tres casos r =
ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica : Funciones de varias variables. Límites y Continuidad. Para terminar el 5 de septiembre. A. Mapas de Contornos y Gráficas de Funciones. En cada caso graficar 7 curvas de nivel comenzando en el f(x, y) = c 0 indicado y con el f indicado. f(x, y) = y x c 0 = 3 f = (b) g(x, y) = y + x c 0 = g = (c) w(x, y) = ln(x + y) c 0 =.5 w = 0.5 (d) r(x, y) = y c 0 = 3 r =. Asociar cada mapa de contorno con la gráfica de la función correspondiente. 3. En cada caso graficar 4 superficies de nivel comenzando en el f(x, y, z) = c 0 y con el f indicado. f(x, y, z) = x + y + z c 0 = 0 f = (b) g(x, y) = y + x + z c 0 = 6 g = 4. Hallar y graficar la curva de nivel de f(x, y) = x + y y + 5 que pasa por el punto (, ). (b) Hallar y graficar la curva de nivel de f(x, y) = x + y y + 5 que pasa por el punto (0, ). (c) Expresar a la circunferencia x + y = como curva de nivel 0 de 3 funciones distintas. (d) Decidir cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la curva de nivel 0 de la función f(x, y) = e xy x. (, 0) (0, ) (, 0) (, ) 5. Considerar una función f(x, y) y dos constantes c y c distintas. Es posible que las curvas de nivel f(x, y) = c y f(x, y) = c tengan algún punto en común?
B. Límites para funciones de varias variables. Demostrar las siguientes desigualdades. x x + y (b) x x + y (c) x y x + y (d) x x + y (e) sen (u) u. Estudiar la existencia de los límites de las siguientes funciones en el origen. f(x, y) = x x + y (b) g(x, y) = x x + y (c) h(x, y) = x3 x + y Cuáles de esas funciones podrían definirse en (0,0) de manera que resulten continuas? 3. Comprobar que los siguientes límites no existen estudiando trayectorias rectilíneas o parabólicas adecuadas. 3y x x + 3(y 5) x y (x,y) (0,0) 7x + 3y (b) (x,y) (0,5) (y 5) + x (c) (x,y) (0,0) 3x y + (x y) (d) (x,y) (0,0) x + 4y xy + 5x y (e) (x,y) (0,0) xy x + y 4 4. Estudiar la existencia del siguiente límite utilizando la familia de curvas indicada 5x 5 y (x,y) (0,0) y x 4 las curvas de la forma y = x 4 + x n para distintos valores de n N 5. Utilizar coordenadas polares para estudiar la existencia de los siguientes límites. x y (x,y) (0,0) x + y (b) (x,y) (0,0) x ln(x + y e x +y ) (c) (x,y) (0,0) x + y 6. Calcular los siguientes límites utilizando adecuadamente el teorema del Sandwich. (x,y) (,0) xy y x + y ( 4x (d) y ln + 7y ) (x,y) (0,0) x + 5y (b) (e) (x,y) (0,0) sen (xy) ( (c) x + 7y 4) ( sen x + y (x,y) (0,0) xy x + x 3 + xy 5 + y 4 (x,y) (0,0) x + y 4 7. Pueden definirse las siguientes funciones en el origen de manera que resulten continuas en todo IR? f(x, y) = x4 y x 4 + y (b) g(x, y) = x + y ( ) 3 x + y sen x + y 8. En cada caso, determinar el conjunto donde la función es continua. t(x, y) = xy x + y (x, y) (0, 0) (x, y) = (0, 0) (b) h(x, y) = 5x + y y x y < x )
A. Derivadas Parciales ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica 3: Diferenciación (Primera Parte) Para terminar el de septiembre.. Calcular las derivadas parciales de f(x, y) = xy sin(y) + (3y 5x).. Calcular w x + w y + w z siendo w = ex+y ln(zy). 3. Estudiar la existencia de las derivadas parciales de g(x, y) = y /3 x en todos los puntos (x, y) IR y 4. Mostrar que f(x, y) = y x x y no es continua en (0, 0), existe f x (0, 0) y no existe f y (0, 0). 0 x = y xy 5. Mostrar que g(x, y) = y x x y no es continua pero existen ambas derivadas parciales en (0, 0). 0 x = y 6. Estudiar la existencia de las derivadas parciales de las siguientes funciones para todo (x, y) IR. f(x, y) = 3 x y + y 3 y (b) g(x, y) = x(y ) x 0 y y 0 en otro caso B. Diferenciabilidad ( ). Sea f(x, y) = x sin x + y para (x, y) (0, 0) y sea f(0, 0) = 0 Calcular f x (x, y) para todo (x, y) del dominio. (b) Mostrar que f x no es continua en (0, 0) pero f si es diferenciable en (0, 0). (c) Encontrar la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función en (0, 0).. Mostrar que f(x, y) = cos x + y tiene derivadas parciales continuas en todo (x, y) IR. Es diferenciable en el origen? En caso afirmativo, calcular la ecuación del plano tangente a la gráfica de f(x, y) en el punto (0, 0). 3. Justificar por qué la gráfica de la función f(x, y) = xy + arctan(x + y) admite plano tangente en el origen. Calcular la ecuación del plano tangente. 4. Mostrar que g(x, y) del ejercicio A.5 tiene derivadas parciales pero no es diferenciable en (0, 0). 5. Dada f(x, y) = 3x y x 3 x + y 4, definir f(0, 0) de modo que resulte continua y estudiar su diferenciabilidad. 6. Considerar h(x, y) = x y. En el esquema de la derecha se ve que el plano tangente a la gráfica de la función en cada punto P 0 = (x 0, y 0, h(x 0, y 0 )) es normal al vector P 0. Demostrarlo analíticamente. 7. Encontrar los valores de α para que αy + x y + α (x, y) (0, 0) f(x, y) = α (x, y) = (0, 0) admita ambas derivadas parciales en (0, 0). Es diferenciable en (0, 0)? 8. Demostrar que si f(x, y) es una función diferenciable en el (0, 0) entonces también lo es la función g(x, y) = xf(x, y) + y f(x, y) 9. Sea f : IR IR tal que f(x, y) xy para todo (x, y). Demostrar que f es diferenciable en el origen.
C. Derivadas de orden superior. Calcular las derivadas parciales segundas de f(x, y, z) = z ln(xy). Verificar la igualdad de las derivadas cruzadas correspondientes. 3 w. Calcular x t + 3 w x t + w t siendo w = x t 3. 3. Existe alguna función f C tal que f x (x, y) = x + y y f y (x, y) = e x+y? 4. El mapa de contornos de la derecha corresponde a una función f(x, y) C. Determinar si las siguientes derivadas son positivas o negativas en P. f x (P ) f y (P ) f xx (P ) f yy (P ) f xy (P ) 5. Sea f(x, y) = ( y x arctan x) x 0 0 x = 0 a) Calcular f x (x, y) y f y (x, y) en todo (x, y). b) Mostrar que f xy (0, 0) = 0 y f yx (0, 0) =.
ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica 4: Diferenciación (Segunda Parte) A. Regla de la cadena: composición (F G) con G : IR IR n y F : IR n IR. Las dimensiones de una caja rectangular varían según x = 3t, y = t, z = t 3. Calcular la velocidad con la que está cambiando su volumen para t =.. Sea f(x, y) una función con derivadas parciales continuas y positivas. Es f(t, t 3 ) una función creciente? 3. Considerar H(x, y) C (IR ) y x(t), y(t) dos funciones tales que x (t) = H y (x(t), y(t)) y (t) = H x (x(t), y(t)) Mostrar que H (x(t), y(t)) es constante. 4. Sean g(x, y) = x + y, x(t) = 8t, y(t) = 3t. Calcular dg dt (0). A. Regla de la cadena: composición (F G) con G : IR m IR y F : IR IR. Mostrar que toda función de la forma z = f(x + cy), con c constante y f C (IR), cumple cz x z y = 0.. Mostrar que si y = f(x at) + g(x + at), donde a es una constante y f, g C (IR), entonces a y xx = y tt. 3. Sea g : IR IR una función derivable y f(x, y) = g( x + y ). Mostrar que ( ) xy f(x, y) = g x + y para (x, y) (0, 0) A3. Regla de la cadena: composición (F G) con G : IR m IR n y F : IR n IR. Sean f(x, y, z) = x + y + z, x(r, θ, φ) = r cos θ sin φ, y(r, θ, φ) = r sin θ sin φ y z(r, θ, φ) = r cos φ. Mostrar, usando regla de la cadena sin armar la composición, que: f r = f θ = f φ = 0. Sea w(x, y) = f(x y, y x ) donde f : IR IR es una función tal que f(u, v) = uv i + (u v ) j y f( 4, 0) = Encontrar el punto Q = (, 3, a) perteneciente al plano tangente a la gráfica de la función w en (x 0, y 0 ) = (, 4). 3. Dadas f(x, y) C (IR ) y (r, θ) las coordenadas polares. [ ] f Mostrar que (r, θ) + [ ] f r r (r, θ) = xyf(x, y) θ (b) Mostrar que f rr (r, θ) = cos θf xx (x, y) + sin θ cos θf xy (x, y) + sin θf yy (x, y) (c) Mostrar que f θθ (r, θ) = y f xx (x, y) xyf xy (x, y) + x f yy (x, y) xf x (x, y) yf y (x, y) 4. Sea f(u, v) C (IR ) que cumple f uu + f vv = 0. Mostrar que las siguientes funciones cumplen la misma ecuación h(x, y) = f(ax + by, bx ay) (b) d(x, y) = f(x y, xy) A4. Regla de la cadena: composición (F G) con G : IR m IR n y F : IR n IR s. Si f(x, y) = (x + xy +, y + ) y g(u, v) = (u + v, u, v), encontrar la matriz jacobiana de (g f)(, ).. Considerar f(x, y) = e x+y i + sin(y + x) j g(u, v, w) = (u + v + 3w 3 ) i + (v u ) j Calcular la matriz jacobiana de (f g)(,, ). 3. Sea w = g(u, v) diferenciable en (, 5) tal que g(, 5) = (3, ), y sea H(x, y) = g(x, y + x ). Calcular H(, 3).
B. Derivadas direccionales. Calcular las derivadas direccionales en los puntos y direcciones indicadas. f(x, y) = x 3 + 3y, en cualquier punto (x, y) y en la dirección dada por θ = π/3 x si y 0 (b) f(x, y) = y en (0, 0) y en las direcciones u = (, 0), v = (0, ) y w = (, ). 0 si y = 0 (c) f(x, y, z) = e z (xy + z ), P 0 = (0,, 0), en la dirección que va de P = (0, 4, 8) a Q = (, 9, 7). xy. Considerar f(x, y) = x + y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Hallar D u f(0, 0) siendo u una dirección unitaria arbitraria. (b) Es diferenciable en el origen? (c) Encontrar, si existe, una dirección unitaria u para la cual D u f(0, 0) f(0, 0) u. C. Vector Gradiente f. El mapa de contornos de la derecha corresponde a una función f(x, y) diferenciable. Dibujar el vector gradiente f(x, y) en los puntos indicados. (b) Encontrar P tal que f(p ) sea paralelo a (, ). (c) Determinar el signo de D u f(x, y) en todos los puntos indicados siendo u = (, ).. Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto indicado xy cos y = z 3 ze xy P 0 = (4, 0, ) 3. Encontrar una función que tenga al elipsoide x + 9y + 5z = como superficie de nivel en el punto (, 0, 0) y calcular su dirección de máximo crecimiento a partir de dicho punto. 4. Mostrar que el vector v = (0,, ) es normal a la superficie S en el punto (0,, ). S = (x, y, z) IR 3 : x + y + z = 4 } 5. La función T (x, y, z) = 0(xe y + ze x ) indica la temperatura en cada punto de un depósito de agua. Al considerar el punto P = (0, 0, ) dentro del depósito: Cuál es la razón de cambio de la temperatura al desplazarnos hacia el punto Q = (, 3, )? (b) Qué dirección debemos tomar para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible? (c) Encontrar 3 direcciones en donde la derivada direccional tome el valor. (d) Cuál es el valor de la máxima razón de cambio posible? (e) Existe alguna dirección en donde la derivada direccional tome el valor 0? 6. Sea f(x, y) una función diferenciable en IR tal que el plano tangente a la gráfica de f(x, y) en el punto P = (, ) es: x + 3y + 4z =. Calcular la derivada direccional de f en la dirección v = i + 4 j. 7. Encontrar los puntos de la superficie x + xy + y = z e z+ en los que se puede asegurar que los planos tangentes son paralelos al plano x 7y =.
A. Funciones Implícitas ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica 5: Funciones Implícitas. Funciones Inversas. Polinomio de Taylor. Mostrar que la ecuación x 4 y + 3y 7 = 3 xy 3 permite definir y en función de x en un entorno del punto (0, ). Calcular y (x) en x = 0.. Sea u(x, y, z) = xe x+y + cos(zy)x + z y. Mostrar que la ecuación u(x, y, z) = permite definir a x como función de (y, z) en las cercanías del punto (,, 0). Encontrar x y (, 0) y x z (, 0). (b) Es F (t) = x(t 3 + t, t 3 + t 5 ) una función creciente para valores cercanos a t = 0? 3. Considerar F (x, y, z, u, v) = yzv 3 + x u y G(x, y, z, u, v) = xy + v + z 3 u + Calcular la matriz jacobiana (F, G) (x, y, z, u, v) (b) Analizar si es posible asegurar el despeje u = u(x, y, z) v = v(x, y, z) del sistema F (x, y, z, u, v) = 0 G(x, y, z, u, v) = 0 en las cercanías de los puntos P = (4,,,, ), Q = (, 0, 0, 0, 0) o W = (, 0, 5, 0, ). En los casos posibles calcular las derivadas de u y v respecto de la variable x en los puntos correspondientes. (c) Qué par de variables pueden definirse en función de las otras tres en las cercanías del punto P? (d) En las cercanías de qué puntos (x,, z,, ) es posible asegurar el despeje de las variables (y, v)? 4. Sea g(x, y) = F (x, y + 5x, x 3y). Qué condiciones debe cumplir la función F para asegurar que la ecuación g(x, y) = c define implícitamente a y como una función y = y(x) en las cercanías de un punto (x 0, y 0 )? 5. Considerando el sistema de ecuaciones v + 6w + (u w) 5 = 4 w + u 3 v + w = u + Analizar si se cumplen las condiciones para asegurar que u y w pueden despejarse como funciones de v en las cercanías del punto (u, v, w) = (, 3, 0). En caso afirmativo calcular w (3). 6. Encontrar z 0 de tal manera que el punto (,, z 0 ) pertenezca a la intersección de las superficies x + y + z = 9 x + zy 4 zx = (b) Justificar por qué puede despejarse a x e y como funciones de z en alguna vecindad del punto encontrado. (c) Considerar la función vectorial r(z) = x(z) i + y(z) j + z k definida para valores cercanos de z 0. Calcular d r dz (z 0).
B. Funciones Inversas. Encontrar todos los puntos en los que se pueda asegurar que F (x, y) = (e x cos(y), e x sin(y)) es localmente inversibles de clase C. Es F inyectiva en todo su dominio?. Analizar si u = 3x + y 3 v = 3y + x 3 permite despejar a (x, y) como funciones de (u, v) en alguna vecindad de (x 0, y 0 ) = (, 0). En caso afirmativo, calcular la matriz jacobiana inversa en el punto correspondiente. 3. En cada caso, encontrar todos los puntos donde puede asegurarse que las transformaciones son localmente invertibles: u = x y u = x = cosh u cos v v = xy (b) x x + y v = y x + y (c) u = x xy v = xy (d) y z = sinh u sin v = z C. Polinomio de Taylor. Hallar el polinomio de Taylor de segundo orden para las funciones en los puntos indicados: f(x, y) = sin(xy) P = (0, 0) (b) g(x, y, z) = ze xy Q = (0, 0, ). Calcular el polinomio de Taylor de grado de la función h(x, y) = x y centrado en (, ). (b) Usando el inciso anterior aproximar (0.95).0. Demostrar que el error cometido es menor a /00. 3. Utilizar la fórmula de Taylor para desarrollar xy + x y en potencias de x, y. 4. Sea r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) 0 fijo y r(x, y, z) = (x, y, z). Obtener la aproximación cuadrática alrededor del origen para V (x, y, z) = r r 0 5. Estimar el error cometido al reemplazar cos(x) cos(y) por ( x y ) para x, y π 6. 6. Mediante un polinomio de Taylor de orden, calcular 0.99e 0.0. Dar la expresión para el residuo correspondiente. 7. La ecuación e xyz + z = + e define a z como función de (x, y) en una vecindad de (,, ). Usando un polinomio de primer orden aproxima z(.0, 0.99).