INDICE RES UMEN INTRODUCCIÓN 4 MARCO TEÓRICO 5 MATERIALES Y MÉTODOS 6 RES ULTADOS 7 CAPÍTULO I.. El s is tem de los Númeos Reles. 7.. Axioms de l Adición y Multiplicción de los nú eos eles 8.. Poposiciones 9.. Ecuciones 4. Inecuciones 8.. Inecuciones Lineles 8.. Inecuciones Cudátics 9.. Inecuciones Polinómics 0..4 Inecuciones Rcionles..5 Polems de plicción de inecuciones 6. Vlo As oluto.4 Máximo Ente o 9 CAPÍTULO II. Vectoes en el Plno 4.. Definición 4.. Repesentción Geométic 4.. Vecto Posición 44..4 Módulo o Nom de un Vecto 44..5 Poducto punto o escl de dos vectoes 45..6 Sum de vectoes 46..7 Vecto Unitio 46..8 Vectoes plelos 48..9 cominción linel ente vectoes 49..0 Poyección Otogonl 50.. Componente de un Vecto 5.. Aplicciones ls Áes 5. Vecto en el Es pcio 56.. Definición 56.. Repesentción Geométic 56
.. Módulo o Nom de un Vecto en 58..4 Cosenos Diectoes 59..5 Vecto Unitio 59..6 Vectoes Unitios Fundmentles 60..7 Vectoes plelos 60..8 Poducto Vectoil 6..9 Volumen del Plelepípedo 6..0 Áe del plelogmo 6.. Volumen del Tetedo 64 CAPÍTULO III. Sis tem de Coode nds Ctes ins 66. L Rect 68.. Definición 68.. Rects plels 70.. Rects pependicules 70..4 Ecuciones de l Rect 7..5 L distnci de un punto un Rect 7..6 L distnci diigid de un punto un Rect 7..7 Fmili de Rects 75..8 Ángulo ente dos Rects 78. L Cicunfeenci 84.. Definición 84.. Ecuciones de l Cicunfeenci 84.. Fmili de cicunfeencis 90..4 Rect Tngente un Cuv 97.4 Tns fomcio nes de Coodends 0.4. Tslción de los ejes coodendos 0.4. Rotción de los ejes coodendos 0.4.Tnsfomción de l Ecución Genel. de segundo gdo: po Rotción de los ejes Coodendos 04.4.4 Tnsfomción de coodends po tslción y otción de los ejes coodendos en l fom vectoil 05.5 Ls Có nic s 07.5. Teoem: Ecución de Segundo Gdo 07.5. Popieddes de ls Secciones Cónics 07.6 L Páol 08.6. Definición 08.6. Elementos de l Páol 08.6. Ecuciones de l Páol 09.6.4 Rect Tngente l Páol 6.7 L Elips e 0.7. Definición 0
.7. Elementos de l Elipse.7. Ecuciones de l Elipse.7.4 Rect Tngente l Elipse 0.7.5 Popieddes de l Elipse 4.8 L Hipé ol 5.8. Definición 5.8. Elementos de l Hipéol 6.8. Ecución de l Hipéol 7.8.4 Rect Tngente l Hipéol 4.8.5 Asíntots de l Hipéol 45.8.6 Hipéol Equiláte o Rectngul 46.8.7 Hipéols Conjugds 47 CAPÍTULO IV 4. Mtices 57 4.. Definición 57 4.. Opeciones con Mtices 58 4.. Tnspuest de un Mtiz 59 4..4 Tz de un Mtiz 59 4..5 Tipos de Mtices 60 4..6 Tnsfomciones Elementles 6 4..7 Mtiz Esclond 6 4..8 Mtices esclonds educids po fils 6 4..9 Rngo de un Mtiz 6 4..0 Inves de un Mtiz 6 4.. Definición (Mtiz inves medinte mtiz de cofctoes) 6 4. Deteminntes 64 4.. Definición 64 4.. Popieddes 65 4. Sis tem de Ecuciones Lineles 65 4... Método de Guss 66 4.. Regl de Cme 67 4.. Método de l Mtiz Inves 68 DISCUSIÓN REFERENCIALES APÉNDICE ANEO 74 75 77 79
RES UMEN El pesente tjo tiene como ojetivo genel desoll un texto de mtemátic ásic, con un enfoque mientl que popocione los estudintes los medios necesios p elegi posiles esttegis de solución los modelos mtemáticos empledos en l ingenieí mientl, sí como en los cusos de su especilidd, L ecopilon de l infomción h sido logdo poydo ásicmente en ls nots de clses y teoís selects que se tomon como sopote se del pesente tjo de investigción, los esultdos otenidos se hn odendo en cuto cpítulos, en los cules se desolln los divesos tems del cuso mtemátic ásic de cuedo con los contenidos en el silo, poniendo énfsis en el modelmiento mtemático y ls plicciones oientds l ingenieí Amientl. En el pime cpítulo se desoll un intoducción l sistem de los númeos eles evisndo con igo ls popieddes y teoems pues son l se p todos los cálculos mtemáticos, luego se desollon ls e iones e inecuciones, vlo soluto y máximo enteo, p luego esolve ejemplos de plicción de ls inecuciones lineles. En el segundo cpítulo se desolln los tems de vectoes en y y se muest l plicción de ls definiciones y popiedde p fotlece en el estudinte l oientción en el plno y el espcio vectoil. En el tece cpítulo se eliz un intoducción l geometí nlític, y se desolln los tems de ects y cónics pesentndo jemplos de plicción l ingenieí Amientl hciendo uso de ls definiciones y popieddes. En el cuto cpítulo se desolln los tems de mtices y deteminntes, esltndo su impotnci en l plicción de los de sistems de ecuciones. El pesente tjo pemitiá fom un estudinte cítico, nlítico y soe todo le pemitiá intepet y nliz los esultdos p un mejo tom de decisiones en su vid cdémic y pofesionl. 4
INTRODUCIÓN El texto de Mtemátic Básic, un enfoque mientl, pemitiá los contenidos del cuso y mostá cómo éstos pincipios plicn ls ciencis mientles, pemitiendo el poceso enseñnz pendizje del cuso de mtemátic ásic imptido en l Fcultd de Ingenieí Amientl y de Recusos Ntules de l Univesidd Ncionl del Cllo. L Mtemátic ásic se plic en divess disciplins, peo es necesio cont con textos oientdos ls ciencis mientles, que expliquen los fundmentos de l mtemátic ásic y mueste su plicción en los polems del medio miente, po lo que es necesio que el estudinte de ingenieí mientl conozc l elción de l pogmción linel y los contenidos de l mtemátic ásic que le pemitiá esolve modelos mtemáticos lineles y de es mne optimiz los ecusos y pliclos en los polems mientles. Po lo expuesto, nos plntemos el siguiente polem Es necesio cont con un texto de Mtemátic Básic, oientdo l fomción de ingenieos mientles?. Deido que los estudintes no cuentn con textos en mecdo que incluyn todos los contenidos del silo, con ls exigencis de l signtu, mostándoles ls plicciones oientds l ingenieí mientl, pues muchos de esos textos sólo pesentn polems stctos, se ve l necesidd de cont con un texto decudo p su fomción pofesionl que le pemitiá cont con los medios necesios p elegi posiles esttegis de solución los modelos mtemáticos empledos en l ingenieí mientl, sí como en los cusos de su especilidd, y con los ojetivos específicos siguientes: -Desoll en los estudintes l cpcidd de plnte, esolve e intepet los modelos mtemáticos lineles. - Estudi los fundmentos de l mtemátic ásic p se utilizdos en los divesos cusos de su especilidd. - Motiv l estudinte y despet el inteés en l mtemátic ásic mostndo divess plicciones elcionds con los polems mientles. 5
MARCO TEÓRICO Los textos de Mtemátic ásic, tsmiten los pincipios inviles del nálisis mtemático e indicn simultánemente ls divess plicciones de sus contenidos lo que nos pemitiá tene cceso un divesidd modelos mtemáticos que nos indn myo oientción en los modelos del cmpo mientl; continución pesentemos el sopote teóico los divesos tems que se desolln en el pesente texto: Respecto l tem de sistem de los númeos eles, se hn escito vis definiciones, y comentios l especto, como po ejemplo: El sistem de los númeos eles es más que tn solo un conjunto de elementos. Es un conjunto en el que hy dos opeciones y un elción que stisfcen los xioms ddos. Un opeción es completmente difeente de un elción. L opeción de dición soci con culesquie dos elementos y de un elemento único de l que llmmos +. Análogmente, l opeción de multiplicción soci con culesquie dos elementos y de un elemento único de l que llmmos o.. Po ot pte, < no es un elemento de sino un poposición cec de los elementos y ( es meno que ). (Hse, N.; LSlle, J.; Sullivn J. - 97). Respecto l geometí nlític pln se desolln los conceptos ásicos como sistem ctesino, distnci ente dos puntos, punto ente otos; luego se desoll el tem de l líne ect, un de ls definiciones seí: Llmmos líne ect l lug geomético de los puntos s que tomdos dos puntos difeentes culesquie p ( x, y) y p ( x, y ) del lug, el vlo de l pendiente m clculdo po medio de l fómul m, x x, esult x x siempe constnte. (Lehmnn, Chles 994) En el ttmiento de ls cónics, p su identificción existe vios teoems, como: L ecución genel de segundo gdo, Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, epesent un cónic del géneo páol, elipse o hipéol, según que el indicdo, I = B 4 AC, se ceo, negtivo o positivo. (Lehmnn, Chles 994). En elción l tem de mtices un de ls definiciones plnteds es: Un mtiz es un eglo ectngul de númeos. Los númeos en el eglo se denominn los elementos de l mtiz. (Anton, Howd -976). = y y 6
MATERIALES Y MÉTODOS P el desollo del pesente tjo se utilizon sos mteiles y métodos, como los pogms WIN QSB (p l optimizción) y el MATLAB p lgunos gáficos y los esultdos en lgunos ejemplos. L ecopilon l infomción h sido logdo poydo ásicmente en ls nots de clses y teoís selects que se tomon como sopote se del pesente texto, pues se h tenido el dictdo del cuso po vios semestes cdémicos consecutivos. Los ejemplos se hn plsmdo pogesivmente pti de l plicción diect de l teoí - método deductivo y luego se h ido incementndo el gdo de dificultd; Algunos de los ejemplos son los que se hn popuesto en ls páctic clificds, páctics diigids y exámenes evludos los estudintes del cuso de Mtemátic Básic de l Fcultd de Ingenieí Amientl y de Recusos Ntules. 7
RES ULTADOS Los esultdos del pesente tjo de investigción se hn odendo en cuto cpítulos que detllemos continución: CAPÍTULO I El pesente cpítulo compende el estudio del sistem meos eles, xioms, teoems y popieddes que igen soe ellos, pues son indispensles p eliz culquie cálculo mtemático; Luego se plnteá y esolveá sistems de desigulddes lineles medinte el gáfico de ells. Como plicción se esolveán polems de pogmción linel elciondos con fetilizntes y nutientes. Se desollá en los siguientes ítems:.. El sistem de los Númeos Reles... Desigulddes... Vlo soluto.4. Máximo Enteo. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Se llm sistem de los númeos eles un conjunto f, povisto de dos opeciones intens (sum y poducto), y de un elción de oden (< ) que se lee meno que. El Sistem de los Númeos eles se denot como (, +,., < ) Ls opeciones intens son: Sum (+) ; + y Poducto(. ) ;. El Sistem e los Númeos Reles stisfce los siguientes xioms: 8
.. Axio ms de l dició n y multiplicció n de los númeos eles : I.-Axio ms de dición A. IR IR + IR Clusu o Ced A. IR IR + = + Conmuttiv A.,, c IR ( + ) + c = + ( + c) Asocitiv A4. Existe uno y sólo un elemento que llmmos (0); tl que + 0 = 0 + =, IR Elemento neuto de l dición A5. P todo IR, existe uno y sólo un elemento denotdo - tl que se cumple: + ( ) = ( ) + = 0 ; - se llm Inveso ditivo de. II.-Axio ms de l multiplicción M. IR IR. IR Clusu o cedu M. IR IR. = Conmuttiv M. IR IR c IR (. ). c =.(. c) Asocitiv M4. Existe uno y sólo un elemento, que llmmos tl que p todo IR, se cumple. =. =, es elemento neuto de l multiplicción M5. P todo IR ( 0), existe uno y sólo un elemento l que lo denotmos po: =, tl que se cumple.. =. = III.-Axio ms de Dis tiutiv idd: D. Si : IR IR c IR.( + c) =. +. c D. Si: IR IR c IR ( + ). c =. c +. c Ls popieddes de los númeos eles y de ls opeciones (sum y poducto), ls mencionemos en ls poposiciones siguientes. 9
.. PROPOSICIONES PROPOS ICIÓN I i) El ceo, el uno (), el opuesto de (-) y el inveso de ( ) son únicos. ( ), 0, ( ii) = IR iii) Si = ) iv). 0 = 0 IR v). = ( )., IR vi).( ) = ( ). = (. ),, IR vii) ( ).( ) =.., IR viii)si + c = + c = (Ley de cncelción de l sum). ix) Si. c =. c y c 0 = (Ley de cncelción del poducto) x). = 0 = 0 = 0 (. 0 0 0) xi) = = = L difeenci y el cociente de dos númeos eles se define como:.) = + ( ) (Difeenci).) =, si 0 (cociente) PROPOS ICIÓN II i) = ( ) ii) = c = + c iii).( c) =.. c ; c =. c =, ( 0) c d + c iv) + = v) d d c vi) Si 0y x + = c x = c d = d c d RELACIÓN DE ORDEN PROPOS ICIÓN III i) Ddos dos númeos eles y sólo un de ls condiciones siguientes se veific: = ó < ó < (Ley de Ticotomí) 0
ii) iii) Si 0, IR ( > 0 0 < < > 0 si 0) (si > < 0 > 0 0 ( 0 0) ( 0 0) 0 ( 0 0) ( 0 0) xiii)si 0 0, < < = 0 = 0 = 0 (Ley tnsitiv) iv) Si < + c < + c, c IR (Ley de monotoní en l sum) v) Si vi) Si < c > 0 c < c (Ley de monotoní en el poducto) vii) Si < c < 0 c > c viii)si ix) Si > 0 x) Si Si < < 0 0 > - < 0) y - tienen el mismo signo Recodemos: solo se puede inveti un desiguldd cuyos extemos tienen el mismo signo. Po tnto: si un extemo fuese negtivo y el oto positivo, l desiguldd no se puede inveti. xi) > 0 ( > 0 > 0) ( < 0 < 0) xii) < 0 ( > 0 < 0) ( < 0 > 0) xiv) < < c < c < c < d < > + + c < + d > xv) Si ( 0 > ) ( > < ) xvi) Si > < < < ( 0 ) ( ) Eje mplo.: 5 x + 5 Si x <, >, demost < 4,5 > 4 9 x + 4 Solución: Hciendo uso de ls popieddes 0 < < x + 5 Oseve que = ( + ) < 4,5 > x + 4 x + 4 > > 0 y < < 0 0 > >
5 Como x <, >, entonces: 4 9 5 < x < multiplicndo po 4 9 5 < x < sumndo 4, otenemos < x + 4 < 4 4 Recodemos que solo se puede inveti un desiguldd cuyos extemos tienen el mismo signo < < 4 x + 4 + < + < 4 + x + 4 x + 5 4< < 5, x + 4 x + 5 Luego < 4, 5 > x + 4 Ejemplo. : Resolve e indic el conjunto solución x > 5 Solución: Completmos cuddos y hcemos uso de l popiedd ( 0 ) ( ) 9 > 4 6 ( x ) 5 89 ( x ) > 4 6 89 89 ( x ) > ( x ) < 4 4 4 4 89 + 89 x < x > 4 4 89 + 89 C. S. = x <, > <, + > 4 4 Eje mplo.: Resolve e indic el conjunto solución x x < 5 5 x > > <
Solución: Completmos cuddos y hcemos uso de l popiedd: > < < < 0 ( ) ( ) ( x ) < 0 00 5 5 ( x ) < 0 00 5 5 < x < 0 0 0 5 + 5 < x < 0 0 5 + 5 C. S. = x <, > 0 0 Ejemplo. 4: Si x < 6,8], entonces ( x 4 x) <,] Solución: Hciendo uso de ls popieddes: Si 0 0 ; < < ; Luego l poposición es vedde. 6 < x 8 4 < x 6 < 6 ( x ) 6 < x x + 6 4 4 6 < x x 4 < ( x 4 x), ] Ejemplo.5: Resolve e indic el conjunto solución 5x 4 0 Solución: Hciendo uso de ls popiedd 0 ( 0 0) ( 0 0) x x 5x 4 0 ( x + )( x 7) 0
(( x + ) 0 ( x 7) 0) (( x + ) 0 ( x 7) 0) ( x x 7) ( x x 7) ] [ C. S. = ; 7; + Ejemplo. 6: Resolve e indic el conjunto solución x 5x 4 < 0 Solución: Hciendo uso de ls popiedd < 0 ( > 0 < 0) ( < 0 > 0) x 5x 4 < 0 ( x + )( x 7) < 0 (( x + ) > 0 ( x 7) < 0) (( x + ) < 0 ( x 7) > 0) ( x > x < 7) ( x < x > 7) x ;7 x f C. S. = x <,7 >.. Ecuciones I. Ecuciones Lineles Son ecuciones de l fom: x + = 0; 0 Cuy solución es: x = Eje mplo.7: ) ) x + = 0 x = 4x + 5 = x 7 x = x = 4 4
) x + = x 9 = 9 (Flso ) independientemente del vlo que tome x L ecución no es stisfech p ningún vlo el de x, po lo que l solución es x f. II. Ecuciones Cudátics Son ecuciones de l fom: + + = x x c 0, 0,,, c Se puede esolve medinte el Teoem:. = 0 = 0 = 0 Notción: = ± es equivlente ( = ) ( = ) Eje mplo.8: ) Resolveemos l ecución x + 4x = 0 ( )( ) + 4 = 0 + 7 = 0 x x x x ( ) ( ) x = 0 x + 7 = 0 x = x = 7 Método de co mplet cuddos : Cundo no se puede fctoiz de fom sencill entonces se dee tt de fom el Cuddo de un Binomio. Con este método ttemos de conveti l expesión cudátic: + + = en l fom: + +. ( pueden se negtivos) x x c 0, 0, ( x ) y Ejemplo.9: Resolve Solución: x + 8x 4 = 0 (i) Completmos cuddos: 5
x + 8x 4 = ( x 4444 + (4) x + 4 4 ) 4 = + ( x 4) 6 4 = + ( x 4) 0 En (i): x + 8x 4 = 0 ( x + 4) 0 = 0 + = ( x 4) 0 ( x + 4) = ± 0 x = 4 ± 0 x = 4 0 x = 4 + 0 Ejemplo.0: Resolve x x 8 = 0 (i) Solución: Completmos cuddos: x x 8 = ( x ( ) x + ( ) ( ) ) 8 4444 = ( x ) 8 9 4 = ( x ) 4 4 En (i): x x 8 = 0 ( x ) = 0 4 4 ( x ) = 4 4 ( x ) = ± x = ± 4 4 4 x = x = + 4 4 Not: Tmién se puede esolve l ecución + + = x x c 0, 0,,, c, medinte ± 4c l fómul x =, donde el disciminnte es = 4c 0. Dich fómul se otiene completndo cuddos. 6
Ejemplo.: x x 8 = 0 =, = y c = 8 Dd l ecución cudátic, donde eemplzmos en l fómul: ± ± = = = () x x 8 0 x ( ) ( ) 4()( 8) 4 x = x = + 4 4 III. ECUACIONES POLINÓMICAS Son de l fom: ( ) = + +... + = 0 ; con 0,,..., constntes 0 ; n P x 0 x n x n Luego de fctoiz podemos escii en l fom: P( x) = ( x )( x )...( x ) = 0; con x, n Donde ls íces o soluciones son los ceo. i (i=..n) y se otienen igulndo cd fcto Ejemplo.: Ddo el polinomio de tece gdo 0x + 8x 5x 4 = 0. Hll ls íces o soluciones. Solución: Fctoizmos + + = 4 x (5x ) 7(5x ) 0 + = (5x )(4x 7) 0 + = + = = (5x )(4x 7) 0 (5x ) 0 (4x 7) 0 x = x = x = x = ± 7 5 4 7 5 7 7 x { 5 } C. S. = ; ; 7
. INECUACIONES Definición.- Un inecución es un desiguldd que contiene un o más viles llmds incógnits que sólo se veific p detemindos vloes de ls misms... INECUACIONES LINEALES Son de l fom: x + 0;,, 0 ], <, > P hll l solución se despej l vile x. Ejemplo.: ) Resolve 7x 9 0 7x 9 0 x 9 7 C.S: 9 x ; 7 ) Resolve x > 5 x > 5 x > 8 x > C. S. = x ;+ ].- Resolve: + x x x 5 6 8 0x x+ 5 x 0 8 x 0 8 x 5 4 5 = x 4 C. S. ; 8
.. INECUACIONES CUADRÁTICAS Son de l fom: + + x x c 0, 0,,, c Los métodos de solución se evisán en los siguientes ejemplos. Ejemplo.4: Resolve l inecución x x 9 0 Solución: Utilizmos ls popieddes de los númeos eles: 0 ( 0 0) ( 0 0) (Según poposición III.I ) (x + )( x ) 0 (x + 0 x 0) (x + 0 x 0) ( x x ) ( x x ) El Conjunto solución es C. S: x ; ; +. [ Oto Método de Solución: Completndo cuddos y utilizndo ls popieddes de meos eles Si ( 0 > ) ( > < ) Resolve l inecución x x 9 0 ( x x + ) 9 0 9 9 6 6 ( x x + ) 9 0 9 9 6 8 ( x ) 8 4 8 9
( x ) ( x ) ( x ) 8 8 8 4 6 4 6 4 6 ( x ) ( x ) 9 9 4 4 4 4 x x C. S: x ; ; + U [ Oto Método de Solución: Resolve l inecución x x 9 0 Utilizmos el método de los puntos o vloes cíticos: º Fctoizmos (x + )( x ) 0 Hllmos los vloes cíticos, igulndo cd fcto ceo: x = x =, Uicmos los puntos cíticos en l ect de los númeos eles, fomndose intevlos: + - + Se le d signos ltendos + y - los intevlos, empezndo desde l deech; como l desiguldd es signos positivos. 0 tomemos como solución l unión de intevlos de C. S: x ; ; +. U [.. INECUACIONES POLINÓMICAS Inecuciones polinó mics de gdo myo o ig ul (fctoizles ) Si tenemos un inecución polinómic en un vile, odend de l fom: n P( x) = 0 + x +... + n x ; con 0,,..., constntes 0 ; l cul podemos escii de l n fom: ( x )( x )...( x n ) > 0; donde x, (i=..n)se llmn puntos o i vloes cíticos. i) Estos vloes cíticos se hlln igulndo pcilmente cd fcto ceo. 0
ii) Los vloes cíticos los uicmos en fom odend en l ect nu c el fomndo intevlos. iii) A estos intevlos, se les signá signos (+) y (-) en fom ltend, del extemo deecho l izquiedo comenzndo siempe po deech. Solución de un inecució n i) Si l inecución tiene el signo >, l solución está dd po l unión de los intevlos de signo + y si es los intevlos son cedos. ii) Si el signo es <, l solución es l unión de los intevlos de signo - y si tiene, los intevlos seán cedos. iii) Los extemos y + son considedos ietos en l solución finl. iv) Los téminos en x ( los coeficientes pinciples de cd fcto) deeán se siempe positivos. Ejemplo.5: 4 x + 8x 0x 04x + 05 0 Solución: Fctoizmos ( x )( x + 5)( x )( x + 7) 0 Igulmos cd fcto ceo: ( x ) = 0,( x + 5) = 0,( x ) = 0, ( x + 7) = 0 Vloes cíticos V.C.: x =, x = 5, x =, x = 7 + - + - -7-5 + Como l desiguldd es 0, l solución seá l unión de los intevlos + ] ] C. S. = x ; 7 U 5; U ; +.
Ejemplo.6: + + + < ( x 8)(x x )( x 7) 0 Solución: Como ( 7) 0,, l x + > x inecución equivlente es x + x + x < ( 8)( ) 0 P hll los vloes cíticos hcemos: + = + = ( x 8) 0, (x x ) 0 ± 7 x = 8, x = 4 V.C.= 7 + 7 8,, - + - + -8 7 + 7 Como l desiguldd es <0, l solución seá l unión de los intevlos - C. S. = x ; 8 U ; 7 + 7...4 INECUACIONES RACIONALES Ls Inecuciones Rcionles en un vile, tienen l fom: P( x) 0, Q( x) 0, Q( x) Donde P( x) y Q( x) son polinomios tles que. n P( x) = 0 + x +... + n x ; con 0,,..., n constntes 0 ; = + + + ; con,,..., constntes 0 ; m Q( x) 0 x... m x 0 m Podemos fctoiz y eemplz en l inecución: ( x )( x )...( x ) n 0, ( x )( x )...( x ) m Donde los (i= n) y j ( j =... m) se llmn vloes cíticos (V.C.) i
Not.- Los fctoes deen se ieduciles y no se epetián en el numedo y denomindo, de se el cso simplific un fcto hciendo que se difeente de ceo. i) Los vloes cíticos se hlln de l siguiente fom: - En el numedo igulndo pcilmente cd fcto ceo, - En el denomindo cd fcto difeente de ceo. ii) Los puntos cíticos los uicmos en fom odend en l ect numéic el fomndo intevlos. iii) A estos intevlos, se les signá signos (+) y (-) en fom ltend, empezndo desde el extemo deecho hci el izquiedo. Solución de un inecució n Rcionl i) Si l inecución tiene el signo > o, l solución está dd po l unión de los intevlos + ( en el cso son pte de l solución). los vloes cíticos del numedo son cedos es deci ii) Si el signo es < o, l solución está dd po l unión de los intevlos - (en el cso, los vloes cíticos del numedo seán cedos). iii) Los extemos y + son considedos ietos en l solución finl. iv) Los coeficientes pinciples de cd fcto en x deeán se siempe positivos. Ejemplo.7: Hll el conjunto solución de l inecución x x + 5 0 7x + Solución: Fctoizmos: x + 5 0 ( x 4)( x )
Hllmos los vloes cíticos: Númedo: (V.C.cedo) Denomindo (V.C. ieto) x + 5 = 0 x = 5 x 4 0 x 4 x 0 x { } V. C. = 5,, 4 - - + + -5 4 C. S. = x ; 5 U ;4 ] + Ejemplo.8: Hll el conjunto solución de ls siguiente inecución: Solución: + ( x ) ( x) 0 + ( x 4)( x 4) Multiplicmos po -: + + ( x ) ( x ) ( x 4)( x 4) 0 Fctoizndo x 4 = ( x )( x + ) y como ( x + ) 0, x, (ve l siguiente not) l inecución qued como: ( x ) 0; ( x + 4)( x )( x + ) ( x + ) = 0 Simplificmos ( x ) : 0; ( x + 4)( x + ) ( x + ) = 0; ( x ) 0 L inecución equivlente es: 0; x = ; x ( x + 4)( x + ) (i) Númedo : (V.C. cedo) Denomindo (V.C. ieto) { } V. C. = 4, x + 4 0 x 4 x + 0 x 4
+ - + -4 - + De (i), { } { } x 4; C. S. = x 4, Not: p Si encontmos un fcto que se epite vis veces, deci si ( x + ) es el fcto que se epite p-veces, pocedeemos de l siguiente mne: Tl N.. Inecuciones Rcionles Vs. Potenci de un fcto linel Inecución Fcto Inecución p ( x + ) P ( x ) 0 Q ( x ) p ( x + ) P ( x ) 0 Q ( x ) p ( x+ ) P( x) 0 Q( x) o P ( x ) p Q ( x)( x+ ) < < 0 p ( x + ) P ( x ) 0 Q ( x ) P ( x ) p Q ( x)( x+ ) > o > 0 Equivlente p P( x) P( x) 0; 0 0; 0 ( ) ( ) + x+ = x + = P x P x Q( x) Q( x) < + > + ( x ) p: p, Q ( x) 0; x 0 Q ( x) 0; x 0 - Si p es imp en l páctic se puede conside como l unidd y l inecución no se modific.. Eje mpo.9: Hll el conjunto solución de ls siguiente inecución: Solución: x + x < x + x x + x ( x )( ) ( ) < 0 + + x x x < 0 x + x ( x)( + x) x + 4x + x + x ( x)( + x) x + x + < 0 < 0 ( x)( + x) x + x + Po -: > 0 ( x )( x + ) 5
Anlizmos el fcto cudático x + x +, como el disciminnte es V= 0 < 0 entonces x + x + > x 0;, po lo que l inecución equivlente quedí como: > 0 ( x )( x + ) Númedo : (cedo) Denomindo (ieto) x 0 x x + 0 x { } V. C. =, + - + + - C. S. = x ; U ; +..5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE INECUACIONES Ejemplo.0 : (Nutientes en fetilizntes ) Un giculto compá fetilizntes que contienen tes nutientes: A, B y C. Los equeimientos mínimos semnles son 80 uniddes de A, 0 de B y 40 de C. Existen dos mezcls popules de fetiliznte en el mecdo. L mezcl I cuest $4 po ols, con dos uniddes de A, 6 de B y 4 de C. L mezcl II cuest $5 po ols, con uniddes de A, de B y de C. Cuánts olss de cd mezcl dee Comp el giculto p minimiz el costo de stisfce sus equeimientos de nutiente? Heussle, Enest F., J.; Pul, Richd S. y Wood Richd J. MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, México: Editoil Peson Educción, decimosegund edición, 008. 6
Solución: Se plnte el polem de l siguiente mne: Tl N. Mezcls Vs. Nutientes Nutientes Mezcl Tipo Uno (I) Tipo Dos (II) Requeimiento mínimo A B 6 C 4 80 0 40 Costo po ols (en dóles) $4 $5 Viles de decisión: Se Se x x : : númeo de olss comp de l mezcl I númeo de olss comp de l mezcl II Función Ojetivo: Minimiz Z = 4x + 5x Sujeto ls siguientes esticciones: x + x 80 Requeimiento mínimo semnl del nutiente del tipo A 6x + x 0 Requeimiento mínimo semnl del nutiente del tipo B 4x + x 40 Requeimiento mínimo semnl del nutiente del tipo C Condiciones de no negtividd: xi 0, i =, Se gfic ls inecuciones en el pime cudnte, tomndo como ects: L : x + x = 80 luego de tul (0;40),(40,0) L L : 6x + x = 0 luego de tul (0;60),(0,0) L L : 4x + x = 40 luego de tul (0;0),(60,0) L Luego se considen ls desigulddes. Se intesectn los gáficos de ls inecuciones, teniendo como egión fctile el conjunto convexo somedo, cuy solución optim se en en uno de los vétices. 7
EjeY I L : (0,60) L I L :(0;0) L I L :(0,0) L I Eje : (60,0) Reemplzmos cd punto en l función ojetivo Min. Z = 4x + 5x, oteniendo: En el punto (0,60) implic que Z =00 En el punto (0;0) implic que Z =90 En el punto (0,0) implic que Z =70 En el punto (60,0) implic que Z =40 Osevmos que l función ojetivo lcnz su mínimo vlo optimo en el punto (0,0). Po lo tnto: Tenemos pln de comp 0 olss de l mezcl I y 0 olss de l mezcl II, con un costo mínimo óptimo de $70 dóles. Ve gáfico en l figu N.. 7 8 7 6 6 6 0 5 4 4 8 4 6 0 P y o ff: 4 x + 5 x = 7 0 4 8 6 0 : 4 x + x = 4 0 : 6 x + x = 0 : x + x = 8 0 0 9 8 7 6 4 5 5 4 6 7 8 9 0 9 9 0 8 O p tim l D e c is io n s (x,x ): ( 0, 0 ) : x + x > = 80 : 6 x + x > = 0 : 4 x + x > = 4 0 Figu N. Región fctile no cotd 8
Eje mplo.: Co nto l de c o nt minc ió n A cus de eglmentciones fedeles nuevs soe l minción, un compñí químic h intoducido en sus plnts un nuevo y más co poceso p complement o eemplz un poceso nteio en l poducción de un químico en pticul. El poceso nteio descg 5 gmos de dióxido de zufe y 40 mos de ptículs l tmósfe po cd lito de químico poducido. El nuevo poceso descg 5 gmos de dióxido de zufe y 0 gmos de ptículs l tmósfe po cd lito poducido. L compñí otiene un utilidd de 0 y 0 centvos po lito en pocesos nteio y nuevo, espectivmente. Si el goieno pemite l plnt descg no más de 0,500 gmos de dióxido de zufe y no más de 0,000 gmos de ptículs l tmósfe cd dí, Cuántos litos de químico deen se poducidos dii, po cd uno de los pocesos, p mximiz l utilidd dii? Cuál es l utilidd dii? Solución: Modelo Mtemático. Viles de decisión: Se x : númeo de litos poducidos en el poceso I Se x : númeo de litos poducidos en el poceso II. Función Ojetivo: F.O: MxZ = 0.0x + 0.0x Sujeto ls siguientes esticciones: 5x + 5x 0500 40x + 0x 0000 Condiciones de no negtividd: x 0, i =, i Heussle, Enest F., J.; Pul, Richd S. y Wood Richd J. MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, México: Editoil Peson Educción, decimosegund edición, 008. 9
Siguiendo los psos de los ejemplos nteioes, detem l solución optim del modelo mtemático. Solución (0,500). Ejemplo.: Des tilción de cudos Un compñí de petóleos poduce en sus efineís gsóleo (G), gsolin sin plomo (P) y gsolin súpe (S) pti de dos tipos de cudos, C y C. Ls efineís están dotds de dos tipos de tecnologís. L tecnologí nuev Tn utiliz en cd sesión de destilción 7 uniddes de C y de C, p poduci 8 uniddes de G, 6 de P y 5 de S. Con l tecnologí ntigu T, se otiene en cd destilción 0 uniddes de G, 7 de P y 4 de S, con un gsto de 0 uniddes de C y 8 de C. Estudios de demnd pemiten estim que p el póximo mes se deen poduci l menos 900 uniddes de G, 00 de P y ente 800 y 700 de S. L disponiilidd de cudo C es de 400 uniddes y de C de 000 uniddes. Los eneficios po unidd poducid son: Gsolin G P S Beneficio/u 4 6 7 L compñí dese conoce cómo utiliz mos pocesos de destilción, q se pueden eliz totl o pcilmente, y los cudos disponiles p que el eneficio se el máximo. Solución: Ríos Insu, Sixto; Ríos Insu, Dvid; Mteos, Alfonso y Mtín, Jcinto. PROGRAMACIÓN LINEAL Y APLICACIONES, México: Gupo edito Alfomeg S.A., 998. 0
Modelo Mtemático Viles de decisión: Se: x = El numeo de destilciones con Tn x = El númeo de destilciones con T Oseve que l función ojetivo es mximiz el eneficio Z del poducto destildo Z= (eneficio po unidd de G uniddes poducids de G) + (eneficio po unidd de P uniddes poducids de P) + (eneficio po unidd de S uniddes poducids de S) z = x + x + x + x + x + x = x + x 4(8 0 ) 6(6 7 ) 7(5 4 ) 0 0 Función Ojetivo: f. o MxZ = 0x + 0x Sujeto ls siguientes esticciones: S. 7 x + 0x 400 limitcion de cudo c x + 8 x 000 limitcion de cudo c 8x + 0 x 900 demnd de G 6x +7x 00 demnd de p 5x +4x 700 demnd de S 5x + 4x 800 demnd de S x i 0 i =, Luego pesentmos el gáfico en l figu N. y l solución l polem.
: 5 x + 4 x = 800 Pyoff: 0 x + 0 x = 8975 : 5 x + 4 x = 700 x 08 4 0 : 6 x + 7 x = 00 7 78 84 90 96 0 : 8 x + 0 x = 900 6 4 48 54 60 66 : x + 8 x = 000 0 6 8 4 0 : 7 x + 0 x = 400 0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 0000040506070809000 x Optiml Decisions(x,x): ( 8, 44) : 7x + 0x <= 400 : x + 8x <= 000 : 8x + 0x >= 900 : 6x + 7x >= 00 : 5x + 4x <= 700 : 5x + 4x >= 800 Figu N.. Región fctile cotd
. EL VALOR ABS OLUTO Definición.- El vlo soluto de un númeo x IR se denot x y se define de l siguiente mne: x x ; si x 0 = x ; si x < 0 Po ejemplo: 4 = ( 4) = 4, 4 = 4, 0 = 0 Popieddes del vlo s oluto:. 0; IR. ; IR.- = 4.-. =. 5. = ; 0 6. + +, desiguldd tingul. 7.- x = x = ± =, ( es l íz cudd positiv de ) Teoems del Vlo As oluto P l solución de ecuciones: ) x ) x 0 ) x = 0 x = 0 ) x = y y 0 (x = y x = -y) ) x = y (x = y x = -y) 4) x = y x ² = y ² : x² = y² : x² - y² = 0 P l solución de inecuciones: 5) x y y 0 ( - y x y ) 6) x < y (y > 0 ( -y < x < y ) 7) x y ( x y x - y)
8) x > y (x > y x < - y) 9) x y x y ( x y)( x + y) 0 0) Si < x < x < mx {, } Ls popieddes 7 y 8 de ls inecuciones son veddes y Ejemplo.: i) < x < 7 x < 7 ii) 8 < x < x < 8 iii) 7 < x < x < 7 Ejemplo.4: Resolve 5x 0 = 5 Solución: 5x 0 = 5 5x 0 = 5 5x 0 = 5 5x = 5 5x = 5 Ejemplo.5: x = 7 x = { } C. S. = x,7 Resolve x + x = 0 Solución: x + x = 0 x + x = 0 x = x x 0 x = x x = ( x) x 0 x = x = x x 0 x = = 0( flso) x ;0 I x x x ;0 C. S.= x f. { } { } { } ] { { } f } ] I x { } 4
Ejemplo.6: Resolve x + 5 x = x 4.( ) Solución: x + 5 x = x 4 Hllmos los puntos cíticos (igulndo cd vlo soluto ceo) x + = 0 x = = = = {,, } 4 x 0 x PC x 4 = 0 x = 4 Uicmos los puntos cíticos en l ect de los númeos eles, sepndo intevlos: 4 - Tl.. Signos de ls expesiones lineles po intevlos vlo soluto Intevlos ; x + x x 4 -+= - (-)-= -5 (-)-4= -0 ( x + ) (x ) (x 4) 0+= (0)-= - (0)-4= -4 0 ; x + (x ) (x 4) ; += ()-= ()-4= - 4 + x (x ) (x 4) 4 ; + += ()-= ()-4= x + (x ) (x 4) 5
Resolveemos nlizndo en los cuto intevlos: I. Si x ;, en ( ): ( ( x + )) 5( (x )) = (x 4) x + 0x 5 = x + 4 0x = x = ; 6 5 C. S = f II. Si x ;, en ( ): ( x + ) 5( (x )) = (x 4) x + + 0x 5 = x + 4 6x = 6 C. S 8 x = ; ={ } 8 4 III. Si x ;, en ( ): ( x + ) 5(x ) = (x 4) x + 0x + 5 = x + 4 4x = 4 C. S = {} x = ; 4 4 IV. Si x ; +, en ( ): ( x + ) 5(x ) = (x 4) x + 0x + 5 = x 4 0x = 6 4 x = 5 ; + 6
C. S 4 = f Luego el conjunto solución totl o genel está ddo po: C. SG = x C. S U C. S U C. S U C. S4 = x f U{ } U{} Uf C. S = x, G 8 8 { } Ejemplo.7: Resolve l siguiente inecución: x x + 5 Solución: x x + 5 x + 5 0 ( x + 5) x x + 5 x 5 ( x 5 x x x + 5) x 5 ( 4x x 7) x 5 ( x x ) 7 4-5 7 4 7 C. S = x 4 ; Ejemplo.8: Resolve l siguiente inecución: x + x 7 Solución: x + x 7 x + x 7 x + x 7 x + x + 7 x + x 7 (x + x + 7 x + x 7) ( x 7 0 ( x + 7 x + x 7)) ( x 6 x 8) ( x 7 ( x + 7 x + x + x 7)) ( x 6 x ) ( x 7 ( x x 8)) 8 8 ( x 6 x ) ( x 7 ( x f )) ( x 6 x ) ( x f ) 8 8 C. S. = x ; U 6; + 7
Ejemplo.9: x x + Resolve l siguiente inecución: 0.( ) x 4 + x Solución: Hllmos los puntos cíticos, igulndo cd fcto ceo: x + = 0 x = PC =, 4 x 4 = 0 x = 4 { } Uicmos los puntos cíticos en l ect de los númeos eles, sepndo intevlos: - 4 Tl N.4. Signos de ls expesiones lineles po intevlos vlo soluto Intevlos ; x + x 4 -+= - (-)-4= -6 ( x + ) ( x 4) 0+= (0)-4= -4 0 ;4 x + ( x 4) 5 4; + 5+=6 5-4= x + x 4 i) Si x ;, en ( ): x ( ( x + )) 4x + 0 0 4x + 0 x ; x ; + 4 4 ( x 4) + x 4 C. S = x ; + I ; = x f 4 ii) Si ; 4, en ( ): x ( x + ) x 0 0 x 0 x ; x ; + ( x 4) + x 4 8
C. S = x ; + I ;4 = ; 4 x [ iii) Si x 4; +, en ( ): x ( x + ) x 0 0 ( x 4) + x x 4 + - + x ; U ; + C. S = x ; U ; + I 4; + = 4; + x ] ( ] ) C. S = x C. S U C. S U C. S G = x f U x ; 4 U 4; + C. S = x ; + G [ [.4. MAIMO ENTERO Definición: El máximo enteo de un númeo x, se denot como x y es el myo de todos los enteos menoes o igules x, es deci: x = n n x < n +, n El máximo enteo es el enteo más póximo que está l izquied de x. Popieddes del máximo enteo.. x. x = x x. x x < x +, x «fi 4. 0 x x <, x 5. ' x = x 6. x + n = x + n, n 7. x n = x n, n 8. x n x < n +, n 9. x < n x < n, n 0. x n x n, n. x > n x n +, n. x, y, x y x y 9
Ejemplo.0: ' Resolve l ecución «x x fi = Solución: ' x x «fi= x x < < x x x x x x x x < 4 0 5 0 + < ( x 4)( x ) 0 x x 5 0 9 + 9 pc = {,4 } pc = {, } + - + I + - + 9 + 9 4 ( x ; ] U[ 4; ) I C. S. = x.9; U 4; 4.9 9 + 9 + ( x, ) ] Ejemplo.: Resolve l siguiente inecución Solución: x + 5 x + 5 < x < C. S. = x ; x + 5 Ejemplo.: Resolve l siguiente ecución x = 4x + 5, x 40
Solución: x = 4x + 5 4x + 5 = n 4x + 5 x < 4x + 6 n 5 x =, n 4 x + 5 x x < 4 x + 6 4 n 5 9 x =, n x 4 < x 4 n 5 9 x =, n < x 4 4 9 n 5 n < 4 4 n { 8 < n 5 6} n { < n } n = 7 Si n = x = 4 Si n = x = 4 { } 7 C. S. = x, 4 4 4
CAPÍTULO II En el pesente cpítulo se desollá el tem de vectoes en el plno y el espcio, esltndo su impotnci en l físic, se pesentn plicciones áes y volúmenes. Se desolln los siguientes ítems:.. Vectoes en el plno.. Vectoes en el espcio.. VECTORES EN EL PLANO.. De finic ión: Consideemos dos puntos P, P, el segmento de ect diigido de P (punto uuu uuu inicil) P (punto finl) se denot po PP, luego l segmento diigido PP se le uuu llm vecto de P P y se denot po: = PP. uuu L diección del vecto está detemind po el ángulo q que fom el vecto PP con l pte positiv del eje, medid en sentido ntihoio y con ldo inicil l eje... Repes entción Geo métic: y Y P ( x, y ) y q P ( x, y ) x x Figu N..Repesentción Geométic de un vecto en el plno 4
Ls coodends de un vecto, se clculn medinte: uuu = PP = P P = ( x, y ) ( x, y ) = ( x x, y y ) De donde se deduce que el punto finl es: P = P + y el punto inicil P = P. Ejemplo.: Ddo el vecto v = (6, 4), cuyo punto inicil es A(, ), hll el punto finl y gfic. Solución: Se B( m, n) el punto finl del vecto, entonces el vecto se puede denot como: uuu v = AB = B A De donde ls coodends del punto finl son: B = A + v ( m, n) = (, ) + (6, 4) ( m, n) = (8, 5) Y (0, 0) - v = (6, 4) 8-5 Figu N.. Gáfico del vecto v = (6, 4) 4
.. Vecto pos ición o dio vecto: Está detemindo medinte el punto inicil el oigen de coodends y como punto uuu finl culquie punto P(, ) del plno ctesino, entonces el vecto v = (, ) = OP. Y P(, ) v (0,0) Figu.. Vecto Posición..4 Módulo o Nom de un vecto: Es l longitud o el tmño de un vecto v = ( x, y), se denot y se define como: v = ( x, y) = x + y Y v P( x, y) (0,0) Figu.4. Modulo de un vecto Popieddes : i) v 0 ii). v =. v iii) v = v. v iv) ± = + ± u v u v u. v 44
TETO: MATEMÁTICA BÁSICA, UN ENFOQUE AMBIENTAL Eje mplo.: El módulo del vecto v (,4) es v = (, 4) = + 4 = 5. = ( )..5 Poducto Punto o Es cl de dos vectoes : Consideemos los vectoes uuu u = u, u y v = v, v ( ) ( ), se define el poducto punto como: u. v = u, u. v, v = u v + u v ( ) ( ) Ejemplo.: Sen los vectoes u. v = 4,.(6,5) = 4 + 5 = 9. ( ) u = 4, y v = (6, 5), el poducto escl es: ( ) Osevción: El poducto punto es conmuttivo: u. v = v. u..6 Sum de Vectoes u v v u + : : Y u u v v + v v u u u u v v Y Figu.5. Sum de vectoes Figu.6. Rest de vectoes 45
u v : Y u v u v v u Figu.7. Ot fom de Rest de vectoes..7 Vecto Unitio Un vecto u seá unitio si su módulo es uno, es deci u =. Todo vecto del plno, se puede expes como: = u u = Si el vecto tiene vecto unitio u, entonces todo vecto plelo dicho vecto tendá el mismo vecto unitio. Se cumple que =.(cos q, senq ) ; donde el vecto unitio es u = (cos q, senq ) En l figu: x = cosq y = sen q, entonces =.(cos q, senq ); donde =. y Y (0,0) q = ( x, y) x q : es el ángulo de inclinción del vecto con especto l eje. Figu N.8. Repesentción de un vecto medinte el ángulo de inclinción especto. 46
Eje mplo.4: Se v el vecto cuy diección es 0º su este (S - E) y cuyo módulo es 9. Hll sus coodends: Solución: N O x E y S 0º v Figu.9. Intepetción geométic del ejemplo.4 El módulo del vecto se denot v = 9 9 x = 9 Cos(00º ) = 9 sen(0º ) = 9 y = 9 Sen(00º ) = 9 cos(0º ) = Luego el vecto se otiene de l siguiente fom =.(cos q, senq ) 9 9 v = (, ) Popieddes : Sen los vectoes, y c ;, s escles eles: A : +. Cedu. A + = +. Conmuttiv. : A + + c = + + c : ( ) ( ) :,!0 / 0 0 4. Asocitiv. A + = + =. Existenci del elemento neuto. Donde 0 = (0; 0) es el vecto nulo. 47
A + = + =. Existenci del elemento inveso. :,!( ) / ( ) ( ) 0 5 Multiplicción po un escl: M : s :. M, = Distiución: : ( ) D + = + : ( ) D.. + s = + s D : (. ) ( ). u s = s..8 Vectoes plelos : Definición: Dos vectoes no nulos, son plelos si existe 0 tl que =. =.. Si > 0: los vectoes plelos tienen el mismo sentido. Si < 0 : los vectoes plelos tienen sentidos opuestos. Y Y (0,0) > 0 (0,0) < 0 Figu.0. Repesentción geométic de vectoes plelos Notción: Si dos vectoes u son plelos, se denot o escie como, //. 48
Eje mplo.5: Ddos los vectoes plelos = (;7) y = ( m; 6). Hll el vlo de m. Solución: Como // =. Luego: (;7) = ( m;6) = m y 7=6 7 6 = m y = 6 m = 6 / 7 Luego los vectoes plelos son = (; 7) = ( ;6) y = ( ;6). 7 7 7 6 7 7..9 Cominción Linel ente Vectoes Popos ición: Ddos, dos vectoes no nulos y no plelos, entonces todo vecto c se puede escii de modo único en l fom c = + s, donde, s. Y s. c Figu.. Cominción linel de vectoes Not: Todo vecto = (, ) se puede escii en téminos de los vectoes fundmentles i = (, 0) y j = (0,), es deci = i + j, como mostemos continución: 49
= ( ; ) = ( ; 0) + (0; ) = (; 0) + (0;) = i + j = i + j Eje mplo.6: El vecto v = (5; 8) se puede expes como v = 5i + 8 j = (5; 8) Definición: Ddo =, definimos = ( ; ) vecto otogonl de. (, ) Y (0,0) Osevmos que el vecto especto l vecto. Figu.. Vecto otogonl tiene un oientción en sentido ntihoio con..0 Poyección otogo nl Definición.- Ddos los vectoes no nulos, l poyección otogonl de en l diección del vecto, se denot Poy y se define como:. Poy =. A continución demos más detlles l especto: 50
Y s. Figu.. Poyección Otogonl de vectoes Como el vecto se puede expes =. + s. Multiplicmos po :. =.. + s... =. =. Multiplicmos po :.. =.. es l poyección otogonl del vecto de en l diección del vecto,se denot : uu. =Poy =. Medinte un desollo nálogo se otiene l poyección otogonl del vecto en l diección del vecto, es deci:. s. =Poy =. Luego =. + s. se expes como: = Poy + Poy 5
Os evciones : i) Si q es un ángulo gudo, y Poy tienen el mismo sentido. Y q Poy Figu.4. Poyección otogonl Osevción (i) ii) Si q es un ángulo otuso y Poy tienen sentidos opuestos. Y q Poy iii) Si q = 90º Poy = 0. Figu.5. Poyección otogonl Osevción (ii) Popieddes de l poyección: i) Poy ( ) Poy Poy,,, c ; c 0 c c c ii) Poy ( t. ) = t.poy, t, u + = +.. Componente de un vecto Se el vecto poyección otogonl:. Poy =. 5
.. Poy =. ; donde es el vecto unitio, entonces nos popocion l medid o longitud del vecto Poy. vecto en l diección de, se denot como: Cp =., el cul ecie el nome de Componente del Popieddes de l Componente de un vecto: u i) Cp + = Cp + Cp c ( ),,, ; c 0 c c c ii) Cp ( t. ) = t. Cp, t... Aplicción ls áes Ddos los vectoes no nulos,, como en l siguiente figu: Y h Figu.6. Aplicción de Poyección otogonl: áes Se l ltu h Poy = = Cp. A =. h =. Cp A = =.. El áe del tiángulo es A =.. 5
El áe del plelogmo compendido po los vectoes y está ddo po: A =.. Eje mplo.7: Hll el áe del cudiláteo ABCD que tiene como vétices los puntos A( ;7), B(4;9), C(8;5) y D(;-4). Solución: A( ;7) Y A B(4;9) A C(8;5) D(;-4) Figu.7. Gáfico del ejemplo.7 uuu = AB = B A = (4;9) ( ; 7) = (7; ) uuu = AC = C A = (8;5) ( ; 7) = (; ) uuu c = AD = D A = (; 4) ( ;7) = (5; ) A =. = (7; ).(;) = 4 + = 8m 9 A =. c = (; ).(;5) = 0 = m Luego el áe del cudiláteo es A = A + A = 8 + = T 9 7 m Eje mplo.8: Ddos los vétices A(;) y D(8;7) de un tpecio isósceles ABCD, l longitud del segmento BC es 0, l ltu del tpecio es 4 0 y l ltu jd desde el vétice B se intesect con el ldo AD en el punto P( 6;). Hll los vétices B y C. 54
Solución: Y 0 C B 4 0 D(8;7 ) 0 A(;) 0 P(6;) Figu.8. Gáfico del ejemplo.8. Fommos el vecto AD = (5; 5) AD = 5 0 El vecto unitio en l diección del vecto AD es m AD = AD = (5;5) 5 0 m = 0 (;), entonces su vecto otogonl es m = ( ;) 0 Luego el punto B = ( 6;) + 4 0. m = (6;) + 4 0. ( ;), entones B = (;5) 0 Luego hllmos el punto C = (;5) + 0. m= (;5) + 0. 0 (;), entonces C = (;8). 55
.. VECTORES EN EL ESPACIO Se el conjunto { } = (,, ) / Definimos l iguldd de tiplets odends: (,, ) = (,, ) = = = Definimos l sum de tiplets odends: (,, ) + (,, ) = ( +, +, + ) Definimos el poducto de un escl po un tiplet odend: k(,, ) = ( k, k, k ), donde k es un escl... De finic ión: Consideemos dos puntos P, P, el segmento de ect diigido de P (punto uuu uuu inicil) P (punto finl) se denot po PP, luego l segmento diigido PP se le uuu llm vecto de P P y se denot po: = PP... Repes entción Geo métic: Z P ( x, y, z ) P ( x, y, z ) Y Figu N.9. Repesentción geométic de un vecto en el espcio. 56
Ls coodends de un vecto, se clculn medinte: uuu = P P = P P = ( x, y, z ) ( x, y, z ) = ( x x, y y, z z ) De donde se deduce que el punto finl es: P = P + y el punto inicil P = P. Popieddes : Sen los vectoes, y c y, s escles eles: A : +. Cedu. A + = +. Conmuttiv. : A + + c = + + c : ( ) ( ) :,!0 / 0 0 4. Asocitiv. A + = + =. Existenci del elemento neuto. Donde 0 = (0;0; 0) es el vecto nulo. A + = + =. Existenci del elemento inveso :,!( ) / ( ) ( ) 0 5 ditivo, donde = ( ; ; ) Multiplicción po un escl: M : s :. M, = Cedu Distiución: : ( ) D + = + : ( ) D.. + s = + s D : (. ) ( ). u s = s 57
.. Módulo o Nom de un vecto en : Es l longitud o el tmño de un vecto = (,, ), se denot y se define como: = (,, ) = + + Popieddes : i) 0 ii). =. iii) =. iv) v) = 0 = 0 = (0;0;0) ± + Eje mplo.9: Hll el módulo del vecto que tiene como punto de inicio finl B(5, 4, ). A(,, ) y como punto Solución: uuu º Se el vecto v = AB uuu º Hllmos ls coodends del vecto: v = AB = B A = (5, 4, ) (,, ) v = (,6,) º El módulo del vecto v = (,6,) es: v = = + + = (, 6, ) 6 7 58
..4 COS ENOS DIRECTORES Se el vecto = ( ; ; ) z g Y Figu N.0. Repesentción de los cosenos diectoes Donde:,, g son los ángulos que fom el vecto con los ejes positivos de,y y Z espectivmente. Los cosenos diectoes son: Cos =, Cos =, Cosg = Todo vecto se puede expes como: = ( Cos ; Cos ; Cosg) Se cumple: Cos + Cos + Cos g =..5 VECTOR UNITARIO Un vecto no nulo u seá unitio si su módulo es uno, es deci u =. Todo vecto, se puede expes como:, donde u vecto unitio de.. = u u = Si el vecto tiene vecto unitio u, entonces todo vecto plelo dicho vecto es el tendá el mismo vecto unitio. 59
..6 Vectoes unitios fundmentles Culquie vecto se puede expes como un cominción linel de los vectoes unitios fundmentles, es deci: Sí = ( ; ; ) = ( ;0;0) + (0; ; 0) + (0; 0; ) = (; 0; 0) + (0; ; 0) + (0; 0; ) = i + j + k Donde los vectoes unitios fundmentles son: k = (0; 0; ). i = (; 0; 0), j = (0; ; 0), y Z i k j Y Figu N.. Vectoes unitios fundmentles..7 Vectoes plelos : Definición.- Dos vectoes no nulos, son plelos si existe 0 tl que =. =.,. Si > 0: los vectoes plelos tienen el mismo sentido. Si < 0 : los vectoes plelos tienen sentidos opuestos. 60
Notción: Si dos vectoes u son plelos, se denot o escie como, //. Poducto punto o escl Sen los vectoes = y = ( ; ; ) definimos el poducto punto o escl como ( ; ; ) = ( ; ; ) ( ; ; ) = + + Popieddes : Sen los vectoes,, c i) = ii) + c = + c ( ) se cumplen ls siguientes popieddes: iii) Si y son vectoes no colineles y q el ángulo compendido ente ellos: Cosq =..8 Poducto Vectoil Sen los vectoes no nulos,, no colineles entonces existe un vecto c otogonl mos tl que: c = 0 y c = 0 ; éste vecto c se otiene pti de los vectoes y medinte un opeción que se denomin el poducto vectoil po, se denot c = x. Definición: El poducto vectoil po, se denot x, y se define como: i j k x = = i( ) + j( ) + k( ) 6
x x Figu N.. Repesentción del poducto Vectoil Popieddes : i) ii) iii) x x x = x x = 0 iv) x = Sen..9 Volumen del plelepípedo Sen los vectoes,, c ls ists dycentes del plelepípedo: Cp x x c c h c x c Figu N.. Plelepípedo EL volumen del plelepípedo está ddo po: V = h xc p 6
V = Cp xc p xc xc V p = xc = xc xc V xc p = ( ) ( )..0 Áe del plelogmo : Ddos los vectoes y q Senq Figu N.4. Plelogmo El áe del plelogmo fomdo po los vectoes y, está ddo po: A = Senq = x El áe del tiángulo fomdo po los vectoes y, está ddo po: A = x Tiple poducto escl: xc = ( ) c c c Se cumple: xc = c x = cx ( ) ( ) ( ) 6
.. Volumen del te tedo : Z Y c Figu N.5. Tetedo El volumen del tetedo está ddo po: V = T ( xc) 6 Ejemplo.0: Hll el volumen y gfic el tetedo que tiene como vétices A(; 4; 0), B(5; 6; ), C( ; 8; ), D( ; ; 9). Solución: A continución gficmos en el espcio tidimensionl: Z D( ; ; 9) A(; 4; 0) Y C ( ; 8 ; ) B(5; 6; ) Figu N.6. Gfico del ejemplo.0 64
Luego hllemos los vectoes que se encuentn como ists que pten de un vétice: c = AB = ( ;0; ), = AC = ( 5;; ), = AD = ( ; 7; 9) Luego el volumen del tetedo está ddo po: V ( xc), sustituimos los vectoes V = ( ; 7; 9). ( 5; ;) x(;0; ) T T 6 6 El poducto vectoil se clcul de l siguiente mne: = ( ) x c = i 5 j 0 k = i 0 5 j 5 + k 0 = i ( 0) j (5 ) + k ( 50 6) x c = ( ; ; 86) V T V T = ( ; 7; 9). ( ; ; 86) 6 = 66 4 774 = 7 6 6 V T 6 = m 65
CAPÍTULO III En el pesente cpítulo se desollá un intoducción l geometí nlític desollemos tems como l ect y ls cónics; Como plicción de ls cónics veemos ejecicios cec de sistems de nvegción po dio, tmién estudiemos l impotnci de los modelos lineles en el estudio del dióxido de cono en l tmósfe. Se desollán los siguientes ítems:.. Sistem de coodends ctesins... L Rect... L Cicunfeenci.4 Tnsfomción de Coodends.5 Ls Cónics.6 L Páol.7 L Elipse.8 L Hipéol.. Sis tem de coodends ctes ins. El Sistem de coodends en el plno, es el sistem de coodends ectngules, este sistem está confomdo po dos ects diigids ' y Y ' Y, llmds ejes de coodends, pependicules ente L ect ' se conoce como eje o eje de ls sciss y l ect Y ' Y se conoce como eje Y o eje de ls odends; el punto de intesección es el oigen O(0;0). Estos jes coodendos dividen l plno en cuto egiones llmds cudntes, en el cul l diección positiv del eje es hci l deech y l diección positiv del eje Y es hci i. A cd punto P del plno coodendo le coesponden uno y solmente un p de coodends o p odendo ( x; y), donde x se uic en el eje e y se uic en el eje Y ; es deci: 66
II Y I y P( x; y) ' O (0;0) x III IV Y ' Figu N.. Sistem de coodends ctesins. Sum de pes odendos : ( ; ) + ( c; d ) = ( + c; + d) Res t de pes odendos : ( ; ) ( c; d) = ( c; d) Multiplicción de un p odendo po un es cl k( ; ) = ( k; k), k Dis tnci ente dos puntos del plno : Sen P ( x ; y ) y P ( x ; y ) dos puntos del plno ctesino, l distnci d ente estos dos puntos está dd po: d ( P, P ) = P P = ( x x ) + ( y y ) Punto medio de un Seg mento : El segmento que une los puntos P ( x ; y ) y P ( x ; y ), tiene como punto medio : P x + x y + y ( ; ) M. 67
68 ) ; ( ) ; ( ; ) ( 80 0 ) ; ( ) ; (. LA RECTA.. Definición. Os evción: Un ect es el lug geomético del conjunto de puntos tles que si se tomn dos puntos difeentes culesquie y el vlo de l pendiente no ví. Figu N.. L Rect L pendiente está dd po L pendiente tmién se clcul como, donde es el ángulo de inclinción de l ect con especto l eje, donde es el ángulo compendido po l pte positiv del eje y l pte supeio de l ect,. Figu N..Pendiente como ángulo de inclinción es l eje L y x P y x P m n n i i P P P P P P P P m m m m m x x x x y y m m P P m Tg m L L y x P y x P Y L x x y y P P P i P i P n P Y L n P = = = = = = = = = K K q q q q q
m y y = x x = CO CA es l zón del cteto opuesto y el cteto dycente, mos que dich zón es l tngente del ángulo q, po lo tnto: m = Tg( q) Cs os : El gáfico de l ect ví de cuedo con los vloes que tome l pendiente: Si l pendiente es positiv Si l pendiente es negtiv Y L L Y m > 0 m < 0 Figu N.4. Gáficos de l Rect, especto l pendiente. iii) Si l pendiente es ceo, l ect es hoizontl o p l eje ; l ecución de l ect es y = k, donde k es culquie númeo el. Y k L : y = k Figu N.5. L Rect hoizontl. iv) L pendiente no existe cundo l ect es veticl o plel l eje Y ; l ecución de l ect es x = k, donde k es culquie númeo el. 69
Y L : x = k k Figu N.6. L Rect veticl... Rects Plels : Dos ects L // y L son plels (se denot L L ) si tienen l mism pendiente, es deci, si L // L m = m Y L L Figu N.7. Rects plels... Rects pependicules : Dos ects L y L son pependicules (se denot L L ) si el poducto de sus pendientes es igul -, es deci: Si L L. m m = Y L L Figu N.8. Rects pependicules. Ls ects L y L fomn 90. 70
..4 ECUACIONES DE LA RECTA Ecución (Fom punto pendiente) L ecución de l ect L que ps po el punto ddo P x ; y ) y tiene l pendiente ( dd m tiene po ecución: coodends son (0; ). : y y = m( x x ) Ecución (Dd l pendiente y odend l oigen) L ecución de l ect L cuy pendiente es m y cuy odend en el oigen es tiene po ecución: Ecución (Fom punto pendiente ) L : y = mx + L odend l oigen es el punto de intecepción del eje Y con l ect L y sus L ecución de l ect L que ps po dos puntos ddos P ( x; y) y P ( x; y ) tiene po ecución: Ecución (Simétic de l ect) : y y = x x x x L ecución de l ect L cuys intecepciones con los ejes e Y son 0 y 0, espectivmente tiene po ecución: Ecución Genel de l Rect L L y y ( x x ) ; x L : + y = L ecución de l ect L se puede epesent medinte un ecución linel en ls viles x e y, es deci: L : Ax + By + C = 0 ; donde A 0 o B 0. 7
Not: Si despejmos l vile y, tenemos: L ecución L : y = A B x + C B, B 0 (i) L ecución odend l oigen es L : y = mx + (ii) Compndo ls ecuciones (i) y (ii), tenemos que l pendiente es C odend l oigen es =. B m = A B y l..5 L Dis tnci de un punto un ect: L distnci d de un ect dd L : Ax + By + C = 0 un punto ddo P x ; y ) se ( puede otene sustituyendo ls coodends del punto en el pime miemo de l ecución de l ect, es deci: d = d( P, L) = Ax + By + C A + B L distnci d es el segmento de ect pependicul l ect L...6 L Dis tnci diigid de un punto un ect: L distnci diigid d de un ect dd L : Ax + By + C = 0 un punto ddo P ( x ; y ) se puede otene medinte l siguiente fómul: d = d ( P, L) = Ax + By + C ± A + B P elegi el signo del dicl se tomá en cuent ls siguientes condiciones: - Si considemos un ect que no ps po el oigen: - L distnci d seá positiv si el punto P x ; y ) y el oigen de coodends están ( en ldos opuestos de l ect. 7
- L distnci d seá negtiv si el punto P x ; y ) y el oigen de coodends están ( del mismo ldo de l ect. - Si l ect ps po el oigen de coodends, l distnci d es positiv si el punto P ( x; y ) está i de l ect y seá negtiv si el punto P ( x; y ) está dejo de l ect. Eje mplo.: Hll l distnci de l ect L : x 5y + 9 = 0 l punto (;), intepete el signo de l distnci como segmento diigido. Solución: Y L (0;0) (;) Figu N.9. Gáfico del ejemplo.. L distnci del punto (;) l ect L : x 5 y + 9 = 0 está dd po: d = d( P, L) = () 5() + 9 + 5 = 8 9 L distnci como segmento diigido se clcul como: () 5() + 9 d = d( P, L) = + 5 = 8 9 El signo negtivo nos indic que el punto y el oigen de coodends se encuentn Del mismo ldo de l ect. 7