San Blas, 4, entreplanta. 983 3 7 54 OPCIÓN A E.-a) Sea M =. Estudiar, en función del parámetro a, cuando M posee 3 a inversa (,5 puntos) b) Siendo A =, calcular A y A 3 7 (,75 puntos) a) Eiste M ( M ) b) det det ( M ) = = a 6 a 6 3 a 7 6 A = = 3 7 3 7 4 55 A = = 3 7 t 7 3 7 A = ( adja) adja = A = A 3 t 7 ( adja) = 3 E.-a) Consideramos los puntos P(-,-4,), Q(,,3), R(,,3). Hallar el plano π que contiene a los puntos P, Q y R (,5 puntos) b) Calcular el valor de a para que el punto S(3,a,) pertenezca al plano π + y z + 5 = ( punto) a) PQ = Q P = = PR = R P = = (,,3) (, 4, ) (, 5,3) (,,3 ) (, 4,) (,4,3) Simplificando entre 3: π + y z + 5 = Como punto, tomamos P y como vectores directores PQ = Q P y PR = R P (se podrían elegir otro punto y otros vectores obteniéndose el mismo resultado) + y + 4 z ( ) ( ) π 5 3 = 3 + + 3 y + 4 z = 4 3 MATEMÁTICAS II.E.B.A.U. SEPTIEMBRE 7
San Blas, 4, entreplanta. 983 3 7 54 b) Para que el punto S ( 3, a, ) pertenezca al plano, debe cumplir la ecuación. Sustituyendo S en π ( 3, a,) + y z + 5 = 3+ a 4 + 5 = a = 4 < E3.- a) Dada la función f ( ) = + a derivable en = ( punto) b) Hallar a, b y c para que la función f ( ) a bsin c f =, f ( ) = y ( ). Calcular a para que f ( ) sea = + + verifique ( ) f = (,5 puntos) a) En primer lugar estudio la continuidad ya que para que una función sea derivable en un punto es condición necesaria que sea continua. Continuidad: = f = lim f = lim f f ( ) continua en ( ) ( ) ( ) + f ( ) = lim f ( ) = lim = f ( ) continua en = a R lim f ( ) = lim + a = + Derivabilidad: ( ) f es derivable en = f ( ) = f ( + ) < f ( ) = f ( ) = a = + a + f ( ) = a b) ( ) f = a + b sin + c = c = ( ) ( ) ( ) f = f = a + b cos f = a + b cos = b = ( ) ( ) ( ) f = f = a bsin f = a = a = ( ) e e E4.- a) Calcular lim ( punto) b) Hallar el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las f =, g = (,5 puntos) funciones ( ) ( ) MATEMÁTICAS II.E.B.A.U. SEPTIEMBRE 7
San Blas, 4, entreplanta. 983 3 7 54 3 ( ) ( ) e e Indeterminación e e a) lim = = lim = = L Hopital b) En primer lugar calculo los puntos de corte y dibujo las gráficas: Puntos de corte: = = = = 3 8 ( ( )) ( ) A = d = + d = + = + = u 3 3 3 3 E5.- De una bolsa con dos bolas blancas, negras y dos amarillas se etraen dos sin devolución (es decir, una vez etraída una bola no se vuelve a poner en la bolsa). Calcula la probabilidad de que las dos sean blancas. ( punto) Al ser etracciones sin devolución, el resultado de la segunda etracción dependerá de lo que se haya obtenido en la primera B p( B, B ) = p( B ) p = B = = 6 5 5 La probabilidad de etraer dos bolas blancas es de 5 MATEMÁTICAS II.E.B.A.U. SEPTIEMBRE 7
San Blas, 4, entreplanta. 983 3 7 54 4 OPCIÓN B E.- a) Discutir según los valores del parámetro m el sistema de ecuaciones m + y + z = lineales: + y + z = (,5 puntos) b) Resolverlo para m= ( punto) a) Teorema de Rouché-Frobenius rga = rga = número de incógnitas (n) S.C.D.(solución única) rga = rga <número de incógnitas (n) S.C.I.(infinitas soluciones) rga < rga S.Incompatible A: matriz de coeficientes m Siendo: A = A : matriz ampliada Rango de A: = = rga = = rga < n S. C. I. m R b) = λ + y + z = = λ y + z = λ ª ª m = z = Sol : y = λ λ R + y + z = y + z = λ z = E.- a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,3,4) y es perpendicular al plano π + y + z + 4 = (,5 puntos) z y z 3 b) Calcular a para que las rectas r = y =, s = = sean a 3 perpendiculares ( punto) a) Como r y π son perpendiculares, el vector director de la recta coincide con el vector v = n =,, ( coeficientes normal del plano: ( ) de, y y z en la ecuación del plano). Por tanto, la recta queda: z 4 r = y 3 = r MATEMÁTICAS II.E.B.A.U. SEPTIEMBRE 7
San Blas, 4, entreplanta. 983 3 7 54 5 b) Si dos rectas son perpendiculares, sus vectores directores también lo son, cumpliéndose que el producto escalar entre ambos será nulo vr = (,, ) vr vs vr vs = (,, )( a,,3) = a + + 6 = a = 8 v = a,,3 s ( ) + E3.- Consideramos la función f ( ) =. Calcular dominio, asíntotas, intervalos + de crecimiento y decrecimiento, etremos relativos. Esbozar su gráfica (,5 puntos) Dominio: dom f ( ) =R ya que no eiste ningún valor de que anule el denominador Asíntotas: dom f =R Verticales: No tiene ya que ( ) + + Horizontales: lim lim + = = = A. H. y = ± + ± + + Oblicuas: No tiene ya que posee asíntota horizontal Crecimiento: ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) f = f = = = = = Estudio el signo de la primera derivada ( ) ( ) Decreciente, Creciente, Mínimo, MATEMÁTICAS II.E.B.A.U. SEPTIEMBRE 7
San Blas, 4, entreplanta. 983 3 7 54 6 e sin E4.- a) Calcular lim b) Calcular ln d (,5 puntos) ( punto) a) e sin e + e cos e + e + e sin + + lim = = b) ln d I. por partes: udv = u v vdu L Hopital L Hopital lim = lim = = u = ln du = d ln d ln d = ( ln ) d = ln d = ln + C dv = d v = d = E5.- Se tiran al aire, simultáneamente, un dado (con forma cúbica) y una moneda. Teniendo en cuenta que los sucesos son independientes Cuál será la probabilidad de que en el dado salga un 5 y en almoneda salga una cara? ( punto) p( 5) = 6 p( 5 C ) = p( 5) p ( C ) = = 6 p( C ) = Nota: las probabilidades de sacar un 5 y de sacar una cara se calculan casos favorables p A = casos posibles aplicando la Ley de Laplace: ( ) ( ) ( ) ( ) Si A y B son dos sucesos independientes: p A B = p A p B MATEMÁTICAS II.E.B.A.U. SEPTIEMBRE 7