UNIDAD 4: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD La Distribución de Probabilidad (DP) es la relación que se da entre los diferentes eventos de un espacio muestral y sus respectivas probabilidades de ocurrencia. Dentro del contexto de las DP se pueden identificar dos tipos de distribución que analizaremos en esta materia: 1. DP por eventos (probabilística, discreta) 2. DP por probabilidades (discretas o continuas) I. Distribución Binomial (discretas) II. Distribución de Poisson (discreta) III. Distribución Normal (continua)
1. DP por eventos: Solo se consideran valores enteros Relaciona los diferentes eventos del espacio muestral con su probabilidad a priori o a posteriori El conjunto de valores que representan a los eventos del espacio muestral se los conoce como variable aleatoria. Valor esperado, varianza y desviación estándar n 2 n i1 i1 2 i i 2 i i 2
2. DP por Probabilidad: Su principal característica es que tiene una probabilidad base de ocurrencia, p, Se aplica a una serie de de N eventos sucesivos (con orden único) Ejemplo; conocer la probabilidad p de ganar un viaje (determinada a priori o a posteriori) que correspondería a la probabilidad base, si se tiene la posibilidad de participar de N sorteos, estos corresponderían a los eventos sucesivos. Asimismo se establece la probabilidad de ganar un viaje (evento favorable) o de perder un viaje (evento desfavorable) en cada uno de los sorteos. Como resultado se presentan todas las alternativas posibles con su respectiva probabilidad de ocurrencia, se obtendría la distribución de probabilidad por probabilidad correspondiente.
2.1 Distribución Binomial Como una distribución de probabilidad pro probabilidad es discreta, se identifica para su aplicación cuando: La probabilidad base es centralizada es decir: 5% p 95% El número de observaciones o experimentos N 10 Se emplea para determinar la probabilidad puntual de obtener k éxitos o resultados favorables de un total de N observaciones o experimentos, y tiene como antecedente la probabilidad a priori o a posteriori, del éxito de un resultado favorable y se auxilia de la siguiente expresión: P k; N, p =!!! p q ; donde q = 1 p De esta forma: μ = Np σ = Npq; σ = Npq
Teorema de Chebyshev Aplicados para el análisis e interpretación. Su aplicación depende del tipo de DP: Si la distribución es asimétrica: (Dist. Binomial y de Poisson), se aplica el teorema. a. En el intervalo,, se tiene al menos el 75% de los valores de la variable aleatoria. b. En el intervalo,, se tiene al menos el 89% de los valores de la variable aleatoria.
Regla Empírica Aplicados para el análisis e interpretación. Su aplicación depende del tipo de DP: Si la distribución es asimétrica (forma de campana): (Dist. Normal o Binomial y Poisson con tendencia a Normal). a. En el intervalo,, se tiene al menos el 68,27% de los valores de la variable aleatoria. b. En el intervalo,, se tiene al menos el 95,45% de los valores de la variable aleatoria. c. En el intervalo,, se tiene al menos el 99,73% de los valores de la variable aleatoria. d. En el intervalo,, se tiene al menos el 99,99% de los valores de la variable aleatoria.
Caso especial: Dist Binomial con tendencia a Normal La probabilidad base es centralizada es decir: El número de observaciones o experimentos Por lo tanto se calculará el valor esperado y la desviación estándar mediante las expresiones usadas para Dist Binomial, para conocer las características principales de la distribución normal y seguir como si fuera una distribuación continua (Ver mas adelante):
2.2 Distribución de Poisson Como una distribución de probabilidad pro probabilidad es discreta, se identifica para su aplicación cuando: La probabilidad base es extrema es decir: 5% > p > 95% El número de observaciones o experimentos N > 10 El valor esperado de éxitos, μ 10 Se emplea para determinar la probabilidad puntual de obtener k éxitos o resultados favorables de un total de N observaciones o experimentos, y tiene como antecedente la probabilidad a priori o a posteriori, del éxito de un resultado favorable y se auxilia de la siguiente expresión: P k; N, p = ;! Donde: q = 1 q e = 2,71828182 (base de los logaritmos naturales) De esta forma: μ = Np σ = μ; σ = μ
Caso especial: Dist Poisson con tendencia a Normal La probabilidad base es centralizada es decir: El número de observaciones o experimentos El valor esperado Por lo tanto se calculará el valor esperado y la desviación estándar mediante las expresiones usadas para Dist de Poisson, para conocer las características principales de la distribución normal y seguir como si fuera una distribuación continua (Ver mas adelante):
2.3 Distribución Normal Por ser una distribución de probabilidad continua no permite el cálculo de probabilidades puntuales (ya que estas serán siempre casi cero), sino que se establece la probabilidad pro intervalos, definida por el área bajo la curva normal comprendida entre los límites del intervalo propuesto. Así esta se muestra simétrica y en forma de campana, siendo su eje de simetría el valor de la esperanza matemática (valor esperado), como se muestra en la siguiente figura:
Los valores se concentran alrededor del valor esperado. Permite obtener las probabilidades de intervalos, no necesariamente dados por límites enteros. Los elementos que la identifican son: Cada conjunto de datos presentará una curva normal característica que se obtiene de la siguiente ecuación:
Debido a la ineficiencia de determinar la curva de cada caso particular, se emplea una curva normal estándar con base en el valor estándar de Normalización, z, el cual se define como: La ecuación para esta curva es la siguiente: El valor estándar de normalización corresponde al número de veces que se suma y resta la desviación estándar al valor esperado; por lo que si: etc
Notar que z corresponde a los intervalos de confianza dados por la regla empírica para funciones simétricas, esto es: Para facilitar el trabajo, se considerará que cualquier valor, el área bajo la curva normal es del 100% aproximadamente y es el espacio muestral. Procedimiento para el cálculo de probabilidades por distribución Normal: Identificar de las tres alternativas de aplicación de distribución normal Calcular los valores estándar de normalización para cada límite de intervalo Obtener en la tabla, los valores de las áreas correspondientes, teniendo en cuenta la simetría de la campana Indicar en un esquema la posición de cada valor de z y su respectiva área para determinar una solución al intervalo propuesto Dar una conclusión