Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-1 Electodinámica Vaiación tempoal lenta Vaiación tempoal lenta Las situaciones de vaiación tempoal lenta se caacteizan poque en las ecuaciones de Mawell se puede despecia el témino: D << J D, ( t) Las condiciones concetas que difeencian la vaiación lenta de la vaiación abitaia son aquellas que implican un etado despeciable: tamaño de fuentes pequeños y distancias de los puntos de obsevación pequeños fente a la longitud de onda. on la simplificación de la vaiación lenta las ecuaciones de Mawell quedan de la siguiente foma: E, t D E, t D H J H, t J, t + D ρ D ρ D, t εe, t, t µ H, t D εe µ H ρ ρ J, t + J, t +
Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-2 El campo Magnético en Vaiación Tempoal Lenta En las ecuaciones anteioes puede vese que el campo magnético queda definido como función únicamente de las coientes de conducción, se especifican su divegencia y su otacional: H, t J, t ;, t ;, t µ H, t ( ) 3 4π V Además estas ecuaciones son las mismas que las del campo magnético estacionaio: se pueden aplica las mismas técnicas paa esolvelas. La única difeencia consiste en que las coientes son función del tiempo, y también los campos, H y A Peo como el etado es despeciable el campo vaia instantáneamente de la misma foma que las fuentes. Dicho de ota foma, donde antes se ponía omo ejemplo la epesión del campo en función de la coiente paa un medio lineal, isótopo, homogéneo e indefinido, queda de la siguiente foma: ituación estacionaia µ J ( ) ( ) dv ( ) ( t) ahoa se pone: Vaiación lenta µ J (,t) (, t) ( ), 3 4π V dv El campo eléctico en vaiación tempoal lenta El campo eléctico queda como función de las cagas y del campo magnético: E, t ; D ρ ; D εe Recodando la definición del potencial vecto: E t E A, ) (, t) A(, t) ( 1 A El paso (1) se puede hace siempe que se tate de puntos odinaios. A (, t) Reodenando la última epesión: E, t + on lo que esulta posible defini un potencial escala de la foma: A E, t + Φ
Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-3 El campo eléctico en vaiación tempoal lenta (2) Este potencial escala sigue ecibiendo el nombe de potencial eléctico, aunque ahoa el campo eléctico es también función del potencial vecto magnético: A E, t Φ, t La ecuación que liga el potencial escala con las cagas es la misma de electostática: (1) ρ εe ε E A E, t Φ, t A, t ε Φ, t + D εe (2) A D, t ρ, t ε Φ, t ε (2) A ε Φ, t ε El paso (1) equiee que el medio sea homogéneo, y el paso (2) que se tate de puntos odinaios. El campo eléctico en vaiación tempoal lenta (3) Recodando que la divegencia del potencial vecto se escogió como nula: A ρ, t ε Φ, t ε ρ Φ, t ε A La ecuación de Laplace!!! A pesa de esta similitud, eiste una difeencia substancial: A E, t Φ, t
Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-4 iculación del campo eléctico en vaiación lenta Ahoa la ciculación del campo eléctico a lo lago de un contono ceado no es nula: A A A E Φ + d ( A) d Y ecodando la definición del potencial vecto: E d A Epesión que se paece mucho a la ley de Faaday: paa tansfomala en ella había que inveti el oden de la deivada y de la integal, cosa que sólo se puede hace en el caso de que el contono pemaneciea fijo. Epesión Integal de la Ley de Faaday La ley de Faaday en su foma integal establece que si se poduce una vaiación del flujo del campo magnético a tavés de un contono, apaece una una f.e. sobe el mismo. A esta f.e. se la denomina f.e. inducida, f.e. La epesión matemática de la Ley de Faaday es la siguiente: Φ f. e. d A Donde los sentidos de la ciculación y el fujo se elacionan de la foma habitual: egla del sacacochos. Φ El signo menos implica que, si dicho Iind > contono pemite la ciculación de una coiente como consecuencia de la f.e., el sentido la coiente seá el que se oponga a la vaiación del flujo. Debe tenese en cuenta que la popia coiente que cicule po el contono daá luga a una nueva f.e. En el caso de que dicho contono sea un conducto pefecto no pueden eisti fuezas sobe sus cagas, so pena de que se podujese una coiente infinita, luego la coiente que ciculaá po el mismo debeá se tal que la f.e. sea nula y po tanto no se poduciá vaiación adicional de flujo. +
Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-5 Epesión Integal de la Ley de Faaday (2) Paa obtene la epesión integal de la Ley de Fadaay conviene ecoda que la f.e. es la ciculación a lo lago de un contono de la fueza que se ejece una caga unitaia. F En este caso esta fueza es la fueza de Loentz: E + v Luego la f.e. seá: q f. e. ( E + v ) E + ( v ) d + ( v ) t i el contono pemanece quieto (v) y el campo vaía, el segundo témino se anula y queda: Φ f. e. d d v v i po el contaio es el campo el que pemanece constante y el contono se mueve: f. e. ( v ) A continuación se va a pocede a desaolla esta epesión. Epesión Integal de la Ley de Faaday (3) La figua muesta un contono móvil en dos instantes muy póimos en el tiempo: t y t+dt. Los puntos del contono al movese definen una supeficie, l. i se completa esta supeficie con dos cualesquiea que se apoyen en el contono en los instantes t y t+dt, (t) y (t+dt) espectivamente, en gis en la figua, se obtiene una supeficie ceada. Llamando a esta supeficie ceada, : d d d + Φ ( t) ( t+ dt ) L d ( t + dt) Φ ( t) d d ( t+ dt) ( t) L (t) donde el cambio de signo pocede de la elación ente la nomal saliente a la supeficie ceada y los definidos paa cada supeficie po sepaado. (t) d $n v dt ( t + dt) ( t + dt)
Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-6 Epesión Integal de la Ley de Faaday (4) Φ ( t + dt) Φ ( t) d d ( t+ dt) ( t) L Obsevando la figua, el difeencial de supeficie de la supeficie lateal puede definise como: d ( vdt) on ello: d v dt v L po tanto: ( v ) dt d dt dt d $n (t) (t) v dt ( t + dt) ( t + dt) Y agupando esultados: Φ f e. v dt. d dt Φ Ejecicio Una vailla metálica de longitud L gia entono a uno de sus etemos, y en un plano z constante, con velocidad angula constante en el seno de un campo magnético unifome diigido según z como muesta la figua. Detemina la fem inducida ente sus etemos. zˆ on el mismo pincipio de funcionamiento se puede implementa un geneado usando un disco en luga de la vailla como se muesta en la figua- zˆ ω ρ ω v R L ada punto a distancia ρ del eje se mueve a velocidad v ωρ ˆ ϕ La fueza po unidad de caga en el punto es F v ωρ ˆ ϕ ˆ ω ρρˆ z q Po tanto a lo lago de la vailla se induce una fem de valo: 2 L F L L femi ω ˆ ˆ ρρ ρdρ ω ρ o q ρ o 2
Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-7 Ejecicio Una vailla metálica de longitud se desplaza sobe dos baas paalelas sepaadas d con una velocidad constante v en el seno de un campo magnético unifome diigido según z como muesta la figua. Detemina la fem inducida ente los bones indicados. zˆ ada punto de la vailla se mueve a velocidad v v ˆ d v ˆ La fueza po unidad de caga en los puntos de la vailla es F v v ˆ zˆ v ( yˆ ) q Po tanto a lo lago de la vailla se induce una fem de valo: d F d femi v ( yˆ ) ydy ˆ vd y o q y o obe las baas fijas no hay fueza y po tanto no se induce fe Obsévese que se poduce una acumulación de caga + en el bone infeio, lo que también puede obsevase po el sentido de la fueza poducida. Ejecicio El mismo esultado puede obtenese aplicando la ley de inducción de Faaday teniendo en cuenta que el flujo sobe la espia fomada po la vailla y las baas fijas va ceciendo al desplazase la vailla. zˆ ˆ d v i la vailla está en la posición de los bones en t su posición en función de t seá: ( t) v t El flujo de en función de t seá: Φ () t d ( t ) () t d dv t zˆ zddy ˆ y Po tanto a lo lago de la espia se induce una fem de valo: femi vd dt Po la ley de Lenz la coiente inducida ciculaía ceando un campo que se opusiea a la vaiación del flujo de (en este caso aumento). Este debeía i según z y la coiente en sentido hoaio po lo que se poduce una acumulación de caga + en el bone infeio.
Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-8 Ejecicio Repita el ejecicio anteio si el campo vaía con el tiempo con cosωt. Al igual que antes si la vailla está en la posición de los bones en t su posición en función de t seá: cos ω ˆ tzˆ d v ( t) v t El flujo de en función de t seá: Φ () t d ( t ) y () t d dv t cosωt cosωtzˆ zddy ˆ cosωt Po tanto a lo lago de la espia se induce una fem de valo: femi vd cos ωt + vdωt senωt dt También se obtiene el mismo esultado aplicando la epesión geneal d ( t ) d femi d + ( v ) ( ω senωtzˆ ) zddy ˆ v ˆ + cosωtzˆ y y + v dωt senωt v d cosωt ( ydy ˆ ) ampo Eléctico debido a un ampo Magnético Vaiable Un campo magnético vaiable con el tiempo poduce siempe un campo eléctico también vaiable con el tiempo. omo ejemplo se va a considea un campo magnético constante (espacialmente hablando) en un cilindo de adio a y ceo en el eteio. La vaiación tempoal se va a considea sinusoidal. (El ejemplo epesenta el campo en el inteio de un solenoide cilíndico indefinido ecitado con una coiente sinusoidal). z sen tzˆ a ω a y > a Este campo magnético no depende de z ni de ϕ po la que el campo eléctico tampoco dependeá ni de z ni de ϕ y solo de. Po tanto: 1 E E z ϕ E Ez 1 E ˆ ˆ + ϕ + zˆ ϕ ϕ z z ϕ que conduce a las siguientes ecuaciones escalaes: 1 ω ( Eϕ ) ω cosωt a Eϕ cosωt a 2 2 1 te ωa ( Eϕ ) > a Eϕ cosωt > a 2 E ( E ) zˆ
Electicidad y Magnetismo Vaiación tempoal lenta 16/1/28 EyM 7-9 El esultado anteio muesta como un campo magnético vaiable con el tiempo cea un campo eléctico, peo además esta elación no es necesaiamente local: el campo magnético estaba confinado en una egión del espacio mientas que el campo eléctico se etiende a todo el espacio. La ciculación del campo eléctico sobe un cicuito que enciee flujo vaiable con el tiempo (fem inducida) seá distinta de ceo, peo seá ceo si no se enciea flujo. z V z Qué ocue si se coloca un conducto en el seno del campo eléctico anteio? Las cagas libes se moveán debido a este campo eodenán_ + E + dose paa cancela el campo eléctico en el conducto tal como + se indica en la figua. z - --- Apaece po tanto un campo eléctico adicional debido a estas cagas Ec. Este campo es iotacional po lo que: y no intefiee con el campo asociado a las vaiaciones de flujo Φ E E c