Matemáticas II (Geometría y Trigonometría)

Transcripción

1 Matemáticas II (Geometría y Trigonometría) Manual de Bachillerato Erika Alejandra López Estrada Compiladora

2 Matemáticas II (Geometría y Trigonometría) Manual de bachillerato Primera Edición, 2009 Dirección de educación a distancia Eduardo Franco Padilla Coordinador editorial Alan Santacruz Farfán Revisión Héctor Alejandro Vázquez Zúñiga Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada Diseño Gráfico de forros para la presente edición José María Ruiz Huerta Formación Karina Ibeth Rodríguez Medina Universidad La Concordia Dirección de Educación a Distancia, Av. Tecnológico 109 Col. Ejido de Ojocaliente, CP 20198, Aguascalientes, Ags. ISBN pendiente Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra incluido el diseño por cualquier medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.

3 ÍNDICE Presentación Apoyos didácticos Objetivo general Unidad I. Geometría Euclidiana 1. Introducción. 2. Características de los cuerpos físicos y geométricos 3. Postulados básicos de la recta. 4. Polígonos regulares e irregulares. 5. Circunferencia. 6. Ángulos. 6.1 Definición y características. 6.2 Sistemas de Medición 6.3. Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante. 7. Longitud de arco. Resumen Autoevaluación Unidad II. Triángulos 1. Introducción 2. Definición. 3. Clasificación 4. Teoremas generales. 5. Rectas notables. Resumen Autoevaluación Unidad III. Triángulos Rectángulos 1. Introducción 2. Definición y características generales 3. Teorema de Pitágoras. 4. Razones trigonométricas Recíprocas y Complementarias Directas e inversas 5. Manejo de calculadora. 6. Valores de las funciones para ángulos de 30, 45 y

4 7. Resolución de triángulos rectángulos. 8. Ángulos de Elevación y de Depresión. 9. Aplicaciones generales. Resumen Autoevaluación Unidad IV. Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud. 1. Introducción 2. Conceptos básicos de un ángulo 2.1. Ángulo en posición estándar Ángulos positivos y negativos 2.3. Ángulos coterminales. 3. Variación de las funciones de 0 a Valores de las funciones de los ángulos cuadrangulares. 5. Círculo Trigonométrico. 6. Reducción de un ángulo al primer cuadrante. 7. Gráficas de las funciones Seno, Coseno y Tangente. Resumen Autoevaluación Unidad V. Triángulos oblicuángulos 1. Introducción. 2. Solución por descomposición. 3. Teorema de Senos. 4. Teorema de Cosenos. 5. Aplicaciones prácticas. Resumen Autoevaluación Unidad VI. Identidades Trigonométricas 1. Introducción 2. Definición. 3. Identidades fundamentales. 3.1 Recíprocas. 3.2 Pitagóricas 3.3 Forma de cociente. 3.4 Ejercicios de comprobación 4. Fórmulas de la suma de dos ángulos. 4.1 Deducción de fórmulas. 4.2 Ejercicios de comprobación

5 4.3 Ejercicios de aplicación. 5. Fórmulas del ángulo doble. 5.1 Deducción de fórmulas. 5.2 Ejercicios de comprobación. Resumen Autoevaluación Unidad VII. Ecuaciones Trigonométricas 1. Definición. 2. Solución mediante operaciones algebraicas. 3. Solución mediante reducciones trigonométricas. Resumen Autoevaluación Respuestas a las autoevaluaciones Bibliografía

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7 PRESENTACIÓN El propósito fundamental de este libro es que el alumno analice conceptos trigonométricos y geométricos empleando los conocimientos necesarios para la interpretación y solución de problemas que involucren triángulos, con base en sus conocimientos de geometría euclidiana, así como de razones y proporciones aritméticas, incluyendo comprobaciones de identidades trigonométricas, con el fin de resolver con habilidad y destreza ecuaciones trigonométricas. A través del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado su vida a contribuir con la realización de cálculos que ayuden y nos lleven a encontrar respuestas y resultados exactos para así descubrir el porqué de los fenómenos y hechos en la historia humana. Esta asignatura tiene importancia social y científica ya que le da al alumno herramientas básicas que le permitan relacionar y solucionar problemas cotidianos utilizando la geometría y la trigonometría. De igual manera le ayuda a visualizar su entorno y realizar representaciones por medio de figuras geométricas. Los principales temas que se tratan son: conocimiento de los conceptos básicos de geometría plana, definición, clasificación y sistemas de medición de ángulos, clasificación de triángulos, sus características y propiedades, conocimiento de las razones trigonométricas para ángulos agudos, teorema de Pitágoras, solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, definición y demostración de las identidades trigonométricas así como solución de ecuaciones trigonométricas. El propósito fundamental es que el alumno, a través de este manual, desarrolle habilidades relacionadas con la representación grafica de situaciones que involucren triángulos, así mismo conozca y aprenda a manipular las principales funciones con que cuentan las calculadoras científicas disponibles en el mercado. En la unidad I reconocerá los conceptos básicos de la geometría euclidiana, por medio de la identificación de sus representaciones gráficas, con la finalidad de expresar en los diferentes sistemas de medición el valor de un ángulo. En la unidad II ubicará los triángulos según su definición y clasificación, a través del conocimiento de sus teoremas generales, para identificar y definir rectas, además de puntos notables de los mismos. En la unidad III identificará las características de los triángulos rectángulos y resolverá con fluidez problemas que los involucren apoyándose en los teoremas: suma de ángulos internos y de Pitágoras. También conocerá los valores de las funciones de ángulos especiales, con el fin de resolver problemas cotidianos que involucren triángulos rectángulos. En la unidad IV, a través del eje cartesiano, comprobará el concepto de ángulo positivo y negativo, con el fin de calcular los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo. Posteriormente trazará el círculo trigonométrico, a través de ejercicios que favorezcan la comprensión de la naturaleza de los valores de las razones trigonométricas. Empleará la medida

8 de ángulos de cualquier magnitud, por medio de actividades, para expresar un ángulo agudo. Finalmente esbozará las gráficas de las funciones Seno, Coseno y Tangente, para solucionar problemas trigonométricos. En la unidad V practicará los teoremas de senos y cosenos, por medio de la resolución de problemas que involucren triángulos oblicuángulos, utilizando el método de descomposición en triángulos rectángulos, para resolver problemas propuestos. En la unidad VI comprobará identidades trigonométricas utilizando las fórmulas fundamentales de la suma de dos ángulos y del ángulo doble, para de esta manera dar solución a problemas trigonométricos. En la unidad VII resolverá ecuaciones que involucren razones trigonométricas, por medio del análisis de soluciones de las mismas para ángulos entre 0 y 360.

9 APOYOS DIDÁCTICOS Son aquellas estrategias de instrucción que apoyan cada aspecto del contenido del programa y su principal objetivo es que el alumno se interese en la construcción de su propio conocimiento a través de actividades que le permitan la adquisición del aprendizaje significativo. Dichos apoyos facilitan la comprensión del contenido por medio de un soporte al desempeño escolar como profesional. Se busca tanto la adquisición de contenidos para el logro de objetivos como adquirir herramientas de apoyo para el aprendizaje. Icono Apoyos didácticos Definición Sesión teórica Contiene la información y desarrollo de cada uno de los temas que integran el programa de la asignatura. Ejercicios Plantea una serie de ejercicios que el estudiante debe resolver. Además de que permiten la integración, aplicación y repaso de los contenidos, su resolución sirve como verificador de la asimilación de los contenidos. Ejemplos Presentan una muestra en general de un modelo representativo de una variedad de alguna temática o contenido en general. Problemas propuestos Buscan poner en práctica las habilidades del alumno para solución de problemas propuestos.

10 Problemas resueltos Exponen la manera de resolver problemas propuestos, funcionando como una guía práctica para comparar y optimizar los métodos del alumno para solucionar otros problemas. Contenido interactivo Es un material de consulta que se utiliza para cualquier temática y a su vez sirve de apoyo para exponer cualquier tipo de contenido. Autoevaluación Está enfocada a una serie de actividades en donde se pondrá a prueba lo que el alumno ha comprendido. Es una forma de regular el avance unidad a unidad, la correcta resolución es indicativo del manejo adecuado de información requerido para la unidad siguiente. Resolucion de ejercicios Son un recurso para la comparación de respuestas obtenidas, a manera que el alumno obtenga una retroalimentación de aprendizaje.

11 OBJETIVO GENERAL Al término del curso el alumno analizará conceptos trigonométricos y geométricos empleando los conocimientos necesarios para la interpretación y solución de problemas que involucren triángulos, con base en sus conocimientos de geometría euclidiana, así como de razones y proporciones aritméticas, incluyendo comprobaciones de identidades trigonométricas, con el fin de resolver con habilidad y destreza ecuaciones trigonométricas.

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13 UNIDAD I Al término de la unidad el alumno: Reconocerá los conceptos básicos de la geometría euclidiana, por medio de la identificación de sus representaciones gráficas, con la finalidad de expresar en los diferentes sistemas de medición el valor de un ángulo. I.GEOMETRÍA EUCLIDIANA 1.Introducción. El término geometría proviene de las palabras griegas geo (tierra) y metron (medida); su origen se remonta al nacimiento de la civilización, cuando surgió la necesidad de medir ciertas tierras. En su forma más elemental, la geometría se aplica a la resolución de problemas métricos, como calcular las áreas y perímetros de figuras planas, así como superficies y volúmenes de cuerpos sólidos. Desde entonces ha sido considerada una de las ramas de la matemática más importante. La geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las formas geométricas y la medida de su extensión. Se comprende la geometría plana y la geometría del espacio. (Landaverde, 1997) La geometría plana o planimetría trata de las formas o figuras planas, es decir, de aquellas cuyos elementos están todos en un mismo plano. La geometría del espacio también llamada estereometría trata de las formas o figuras cuyos elementos no están en un mismo plano. Ejemplos de figuras geométricas: Rectángulo Cuadrado Rombo Círculo Pentágono Triángulo Hexágono 13

14 Si se subdivide una figura geométrica o si se unen varias se obtiene a su vez nuevas figuras geométricas. La geometría se ha caracterizado por el rigor en sus demostraciones para la deducción y comprensión de conocimientos. Reseña Histórica Desde la antigüedad y hasta fines de la Edad Media, la palabra matemática era definida como la ciencia de los números, de las figuras geométricas y de las magnitudes. Sin embargo, los orígenes de las matemáticas se remontan hasta los inicios de la propia inteligencia humana. Los estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que los seres humanos realizaron cálculos y medidas desde periodos tempranos y llegaron a concebir figuras geométricas, incluso para lo cual inventaron la escritura, propia a cada una de ellas. Babilonia. En Babilonia se nota un importante desarrollo del álgebra debido a la importancia que daban a la solución numérica de sus problemas. En cuanto a la Geometría, las tablillas de arcilla revelan que estaba íntimamente ligada con mediciones prácticas, sobre todo de figuras planas. Egipto: En relación con los egipcios, se cuenta con varias fuentes de documentos escritos. Los principales de ellos son: el Papiro de Rhind, el papiro de Moscú y el rollo de Cuero. El papiro de Rhind se titula Directrices para obtener un conocimiento de todas las cosas, inherentes a todo lo que exista. Se dice que el historiador griego Herodoto ( a. C.), en sus Historias, atribuye el surgimiento de la geometría a la necesidad real de medir las tierras de cultivo después de cada crecida del río Nilo, ya que éste borraba o alteraba los límites del pago de los impuestos. Grecia: Las matemáticas adquieren un nuevo sentido: el espíritu de la razón, de la libertad del pensamiento, de las explicaciones exhaustivas, de la sustentación teórica. Se pasó de las matemáticas aplicadas a las matemáticas abstractas. Lo anterior llegó a tal punto que los griego llevaron las matemáticas al pedestal de la ciencia con sus propios objetos de estudio y crearon la demostración con el método deductivo, como el método de estudio de las matemáticas. Se pueden mencionan diversos personajes que apoyaron el pensamiento racional como: Tales de Mileto ( a. C.), Pitágoras ( a. C.), Anaxágoras ( a. C.), Demócrito ( a. C.), por mencionar algunos. 14

15 Ejercicio 2. Escribe la expresión algebraica para cada expresión verbal. 1. Qué significa el término geometría? 2. Menciona el objetivo principal de los griegos al estudiar matemáticas. 2. Características de los cuerpos físicos y geométricos CUERPO FÍSICO: Es todo lo que ocupa algún lugar en el espacio, como una caja, una moneda, un libro. CUERPO GEOMÉTRICO: Toda porción limitada del espacio, esté o no ocupada por materia, son cuerpos geométricos y en ellos sólo se atiende a su forma y se hace abstracción de la materia. Así por ejemplo un orificio es un cuerpo geométrico, aunque esté vacio, ya que hay materia que lo rodea. (Landaverde, 1997). Superficie: Es el límite de los cuerpos; este límite se determina por su forma y los separa del espacio inmediato. Línea: Es el límite de las superficies y señala su contorno o perímetro. Punto: Es el límite de la líneas y marca sus extremos o el cruce de varias de ellas. Así, en la figura 1, el cubo es un cuerpo geométrico, sus caras son superficies, sus aristas son líneas y sus vértices son puntos. altura profundidad longitud Las características de los cuerpos geométricos son tres, y se conocen como dimensiones: 1) largo o longitud. 2) ancho o altura 3) alto o altura, también llamada grosor, espesor o profundidad. Véase la figura 1. Figura 1. Características de cuerpos geométricos Ciertos cuerpo como la esfera, no tienen sus dimensiones muy aparentes; sin embargo, por analogía se les puede siempre atribuir longitud, anchura y altura. Las superficies tienen tan sólo dos dimensiones: largo y ancho. 15

16 3.Postulados básicos de la recta. Los elementos fundamentales de la geometría son el punto y la recta. Anteriormente se había definido el concepto de punto. Ahora seguiremos con la recta. Línea recta: Es aquella que tiene todos sus puntos en una misma dirección. Postulados de la recta I. La recta es la trayectoria más corta entre dos puntos. II. Por dos puntos sólo puede pasar una recta; es decir, que dos puntos determinan una recta. III. Por un punto pueden pasar una infinidad de rectas y en una recta hay una infinidad de puntos. IV. Dos rectas que tienen dos puntos comunes coinciden en toda su extensión. V. Dos rectas distintas no pueden tener más de un punto en común, también pueden no tener ningún punto. Semirecta: Es aquella recta indefinida en la que se fija un punto y éste divide la recta en dos partes opuestas. A menudo la semirecta suele llamarse recta. Vea la figura 2. A B Semirecta AB Figura 2. Semirecta Segmento: Se le denomina la parte comprendida entre los dos puntos que se fijan en una recta. Los puntos CD que limitan al segmento son sus extremos. Si sobre una recta AB localizamos dos puntos C y D, todos los puntos comprendidos entre C y D formarán parte del segmento CD; el segmento siempre tiene dos puntos extremos (figura 3). A C D B Segmento CD= CD Figura 3. Segmento Semirecta: Porción de recta tomada a partir del punto A, el cual pertenece a ella. Segmento: Porción de recta comprendida entre dos puntos que pertenecen a ella. Punto medio: Punto que se encuentra justamente a la mitad de un segmento. Un segmento de recta se dibuja de la siguiente manera: A B Figura 4. Segmento 16

17 La línea recta es una sucesión de puntos que siguen la misma dirección. Si los puntos de una línea no siguen la misma dirección se denomina línea curva. Una línea recta se representa con una raya o una flecha sobre dos letras mayúsculas que simbolizan dos de sus puntos, o también una letra minúscula. (figura. 5) A B A B Recta AB = AB Recta AB = AB Considerando la recta siguiente, se encuentran marcados cuatro de sus puntos, denota a la recta algunas semirrectas, los segmentos formados por estos puntos y el punto medio de ellos. A B C D Así mismo, pueden formarse varias semirrectas: AB, BC, CD, BA, CP, DB Los segmentos que se forman son: AB, BC, CD, AC, AD, BD El punto medio es B del segmento AC Ejercicio 2. Observa las líneas que unen los puntos A y B. e c d A f B 17

18 1. Cuál de las cuatro líneas representa la distancia menor entre A y B? 2. Cómo enunciarías la propiedad de la línea recta que se refiere al caso anterior? Ejercicio 3. Realiza lo siguiente. a)tenemos un punto P Cuántas rectas puedes trazar a través de él?, es decir, Cuántas rectas pasan por el punto B? b)si consideramos los dos puntos B y C Cuántas rectas pasan simultáneamente por estos dos puntos? 18

19 c)considerando de nuevo el punto B Cuántos planos pueden pasar por ese punto? d)agregando otro punto C Cuántos planos pueden pasar por esos dos puntos? e)agregando un punto más que no sea colineal con los dos primeros, es decir, de tal manera que los tres puntos no pertenezcan a una misma recta Cuántos planos puedes trazar en este caso? Posición relativa de dos rectas Según la posición de una con respecto a otra, dos rectas en un plano pueden ser: 1) perpendiculares, 2) paralelas u 3) oblicuas. Rectas perpendiculares Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cruzarse forman cuatro ángulos rectos. Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera: AB CD. (Figura 6). Figura 6. Rectas perpendiculares 19

20 La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio (Figura7) La mediatriz de un segmento AB tiene la propiedad de que la distancia desde cualquiera de su punto A es igual a su distancia al punto B. Figura 7. Mediatriz Trazo de rectas perpendiculares con regla y compás, sin escuadra. a)que pase por el punto medio (mediatriz) de AB. Para trazar una mediatriz se abre el compás con una abertura mayor a la mitad del segmento AB, se apoya el compás en uno de los extremos y se traza un arco. Sin cambiar la abertura, se sostiene el compás en el otro extremo del segmento y se traza un arco que corte al anterior. La mediatriz es la recta que pasa por los puntos donde de cortaron los arcos. Figura 8. Trazo de mediatriz b)que pase por el punto D Desde D se traza un arco que corte el segmento en los puntos A y B. Se apoya el compás en A y en B para trazar dos arcos que se cortan en M. La recta que une D con M es la perpendicular del segmento. Figura 9. Mediatriz en punto D 20

21 Ejercicio 4. Traza las posibles perpendiculares a AB que pasen por el punto C. Rectas Paralelas Dos o más líneas rectas son paralelas si se prolongan indefinidamente y nunca se cruzan. Por lo anterior, podemos afirmar que todas las perpendiculares a la misma recta con paralelas entre sí. Las líneas paralelas se representan con un par de rayas verticales. Figura 10. Rectas paralelas Ejercicio 5. Observa las siguientes figuras, letras y números, posteriormente marca del mismo color las líneas paralelas que encuentres. Al finalizar contesta correctamente cada una de las preguntas. 21

22 a)menciona las condiciones que se deben cumplir para que dos líneas rectas sean paralelas. b) Cómo se escribe AB es paralela de CD? c)define paralelismo. Trazar rectas paralelas. 1.Se traza la recta d. 2.Se localiza el punto P por donde pasará la recta paralela a d. 3.Se marcan arbitrariamente dos puntos A y B sobre la recta d. 4.Con el compás apoyado en B y con una abertura igual a la distancia AP se traza un arco de circunferencia. 5.Con centro en P y una abertura del compás igual a la distancia AB se traza un arco que corte al anterior. 6.Se traza la recta que pase por P y el punto donde se cortan los arcos. Figura 11. Trazo de rectas paralelas 3)Rectas oblicuas Se llaman rectas oblicuas a dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos. Más de 90º Menos de 90º Si dos rectas al cruzarse no forman ángulos rectos se llaman oblicuas Figura 12. Rectas oblicuas 4. Polígonos regulares e irregulares. Un polígono es la figura geométrica formada por segmentos de rectas unidos entre sí, de manera que encierren una región del plano. Sus elementos fundamentales son los lados, los vértices, los ángulos interiores y los ángulos exteriores (Espinoza, 2004). Ángulos: Son los formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono. Ángulos exteriores: Son los formados por un lado cualquiera y la prolongación del lado adyacente. Vértices: Son los ángulos del polígono. Diagonales: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos. 22

23 Figura 13. Elementos fundamentales de los polígonos Un polígono regular es toda porción de un plano limitada por más de tres líneas rectas que se intersecan o cortan dos a dos. El polígono, por tanto, siempre es una figura cerrada, es decir son equiláteros y equiángulos. De lo contrario es irregular. Polígono regular: Son aquellos polígonos que todos sus lados y ángulos congruentes tienen la misma medida. Polígono irregular: Es aquel que tiene, a lo menos, un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes. Clases de polígonos: Atendiendo al número de lados o ángulos, los polígonos se clasifican en triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, según el número de lados. Figura No. De lados Nombre Tres Triángulo Cuatro Cuadrilátero Cinco Pentágono Seis Hexágono Siete Heptágono Ocho Octágono Nueve Eneágono 23

24 Diez Decágono Once Endecágono Doce Dodecágono Quince Pentadecágono Tabla 1. Polígonos regulares e irregulares En general los polígonos se les pueden denominar polígonos de n lados. Por ejemplo, al octágono se le puede llamar polígono de ocho lados, etc. Los polígonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posición que ocupan los primeros con respecto a la circunferencia. 5. Circunferencia. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia de cualquier punto P de ella al centro se le denomina radio. (Macías, 1994). Por lo tanto, los datos necesarios para representar una circunferencia son su plano, su centro y su radio. Si una circunferencia tiene en el espacio una posición cualquiera y se proyecta sobre un plano, la proyección es, en general, una elipse. La circunferencia se puede considerar como un polígono de lados infinitos; es una figura limitada por una línea curva cerrada. El círculo es la porción de plano dentro de la circunferencia, equivale a la superficie. La medida de la superficie se conoce como área. A la medida de la circunferencia se le denomina perímetro. Identifique los elementos notables de la circunferencia y los relacionados. 24

25 1. Centro 2. Radio 3. Cuerda 4. Diámetro 5. Arco 6. Secante 7. Tangente 8. Flecha 9. Segmento Circular 10. Sector Circular Cálculo de áreas y perímetros. Perímetro P= 2 r Área A= r2 Cuerda: Es un segmento de la recta cuyos extremos están en la circunferencia. Diámetro: Toda cuerda que pasa por el centro. Radio: Recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Flecha o sagita: Perpendicular que une el punto medio de una cuerda con un punto de la circunferencia. Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Tangente: Recta que tiene un solo punto común con la circunferencia 25

26 Ejercicio 6. Calcular el área y el perímetro de los siguientes problemas considera el valor de π= y las fórmulas P=2π Y A=πr 2 1.Calcular el perímetro y el área de la circunferencia cuyo radio mide 15cm. 2.El perímetro de una circunferencia es de cm. Calcular el radio y el área. 3. El área de un circulo es cm2. Calcular la medida del radio y el perímetro. 4. El radio de la llanta de una bicicleta es de 60cm. Qué distancia avanzara la bicicleta si la llanta efectúa 10 vueltas? 5. Cuánto mide el diámetro de un monociclo si al dar una vuelta completa recorre una distancia 471cm? 6.Ángulos. De manera inconsciente, un ángulo puede verse en las aberturas que se producen: al abrir una puerta esta denota ángulos, un portafolio, hasta podríamos citar el ejemplo de nuestro cuerpo, cuando doblamos un brazo a ciertos ángulos para desarrollar actividades de la vida cotidiana. En fin, sin duda éste será uno de los temas que más familiares podríamos ver. 6.1 Definición y características. Ángulo: Es la abertura comprendida entre dos rectas trazadas desde un mismo punto. Estas rectas se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice (Landaverde, 1997). 26

27 )> )> Generalmente se designa un ángulo con tres letras mayúsculas, la del vértice colocada en medio. Si el ángulo es único, basta la letra del vértice. También se puede utilizar una cifra o una letra minúscula colocada en el interior del ángulo. vértice lado lado ángulo Figura 15. Concepto euclidiano vértice Figura 16. Concepto geométrico La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o separación que hay entre ellos. Así, los ángulos formados por las agujas de relojes de diferentes tamaños son iguales si los relojes señalan la misma hora. Las dos líneas se llaman los lados del ángulo y el extremo común se llama el vértice. Así como medimos segmentos con una regla, medimos ángulos con un transportador. lado terminal lado inicial Se observa que en las tres definiciones existe un punto donde dos rectas se juntan, se tocan o se cruzan denominado vértice. Por lo tanto podemos concluir que siempre que se junten dos rectas, existe un vértice y se forma un ángulo. Ángulo N= N Ángulo ABC= ABC Los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra que corresponde al Ángulo BAD= BAD Ánguloβ= β vértice se coloca entre las otras dos. También Ángulo DAC= DAC se utiliza una letra minúscula escrita en el interior del ángulo (por lo común es una letra del Figura 18. Vértices alfabeto griego: β, Ф, α, entre otras). La letra mayúscula que corresponde al vértice se escribe en el exterior del ángulo, junto al vértice. Para designar un ángulo se utiliza el símbolo )> seguido de cualquiera de las formas que se utilicen para su representación. Para evitar confusiones, cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, se recomienda usar la representación de la letra griega al interior o las tres letras mayúsculas. )> )> )> Ángulos de la circunferencia B Ángulo central: Sus lados son radios, su medida está dada por la de su arco correspondiente y su vértice es el centro de la circunferencia. o A Figura 19. Ángulo central 27

28 B o A Ángulo inscrito: Sus lados son secantes, mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, y su vértice es un punto de la circunferencia. C Figura 20. Ángulo inscrito B C o A Ángulo semi-inscrito: Sus lados son tangente y una secante, su medida es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados y su vértice es un punto de la circunferencia. Figura 21. Ángulo semi-inscrito Clasificación de ángulos: Recto: Es aquel que tiene sus lados perpendiculares. Mide 90º. Agudo: Es menor que un ángulo recto, o menor que un cuarto de vuelta. Mide menos de 90º. Llano: Es el que equivale a la suma de 2 ángulos rectos; también se le llama ángulo lineal, el lado terminal es prolongación del lado inicial. Mide 180º. Obtuso: Aquél cuya abertura es mayor que la de un ángulo recto y mayor que un cuarto de vuelta. Mide entre 90º y 180º. Perigono: También llamado de un giro, es el que el lado terminal coincide con la posición del lado inicial, luego de haber completado una vuelta. Es equivalente a la suma de 4 rectos o de 2 llanos. Mide 360º. Entrante: Es el que tiene una magnitud mayor que la del llano pero menor que la del perigono. Mide entre 180º y 360º. Consecutivos o contiguos: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común. Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el mismo vértice, un lado común y los otros dos, situados a una y otra parte del lado común. 28

29 Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a un ángulo recto G + H = un recto. Suplementarios: Son dos ángulos que sumados dan lugar a un ángulo llano A + B = un llano. 90º 6.2 Sistemas de Medición Sistema sexagesimal. Para medir los ángulos se toma como unidad 1 el grado, que es igual a 360 del ángulo de una vuelta, es decir, 1 del ángulo recto. 90 (Figura 22). 270º Figura 22. Sistema sexagesimal El grado se divide en 60 minutos y el minuto, en 60 segundos. Los grados se indican con un pequeño cero, los minutos, con un acento y los segundos, con dos, como en el siguiente ejemplo: 36º Ésta forma recibe el nombre de forma completa. Existe también la forma decimal para expresar un ángulo, que se refiere a escribir el ángulo en grados y décimas de grado. Por ejemplo º 0º o 360º Para ir de la forma entera a decimal y viceversa se debe considerar lo siguiente: Si cada minuto tiene 60 segundos, cualquier otra cantidad menor corresponde a una fracción de minuto, ejemplo: 30 es ½, o en decimal 0.5. De igual forma, si con 60 minutos se obtiene un grado, otra cantidad menor equivale a una fracción de grado: ejemplo 15 es ¼, en decimal es a forma decimal. 15 = = = = a forma entera. (0.5435)(60 ) = (0.61)(60 ) = = Para medir un ángulo con transportador, se traza un ángulo y se coloca el trasportador con el cero en el vértice y haciendo coincidir la orilla recta del trasportador con uno de los lados del ángulo. 29

30 2)Sistema circular. En este sistema la unidad es el radián o radiante, también llamada unidad cíclica. Es un ángulo cuyos lados forman un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. 3)Sistema circular. En este sistema la unidad es el radián o radiante, también llamada unidad cíclica. Es un ángulo cuyos lados forman un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. r radián r r Figura 23. Sistema cíclico Esta unidad carece de múltiplos o submúltiplos, se expresa en enteros y/o decimales. 2 rad, rad rad. 4)Sistema centesimal. Al dividir una circunferencia en 400 ángulos centrales iguales, a cada uno de ellos se le denomina gradián o grado centesimal, que es la unidad de este sistema

31 Para diferenciar un gradián de un grado, se convino escribir una G a manera de superíndice en el número: 1G. 1 G =100, 1 =100. Debido a lo anterior, cualquier ángulo se puede expresar en forma entera o decimal con los mismos números. 56 G = G Operaciones con ángulos 1)Para sumar dos ángulos se los coloca de manera que sean contiguos, es decir, que tengan el mismo vértice y un lado común; el ángulo formado por los lados exteriores es la suma pedida. 2)Para restar dos ángulos se coloca el menor sobre el mayor de manera que coincidan sus vértices y uno de sus lados; el ángulo sobrante es la diferencia pedida. 3)Para multiplicar un ángulo por un número se suman tantos ángulos iguales al ángulo dado como unidades tiene el número. 4)Para dividir un ángulo entre un número se lo divide en tantas partes iguales como unidades tiene el número (por ejemplo, por medio del transportador). Dichas operaciones pueden realizarse por medio del cálculo, operando con los números que representan la medida de los ángulos. Recordarás que cuando mides la distancia que hay entre dos puntos, dirás que ésta es de 5m o 2m. Recordarás que esto depende del patrón de medida que se utilice. Los mismo pasa si haces una medición de la temperatura ambiental que podrás expresar en grados Centígrados o grados Fahrenheit. De manera similar, la abertura de un ángulo, la magnitud de un ángulo, puede medirse en Grados o en Radianes. Así como puedes recordar que hay una relación entre los grados Centígrados y Fahrenheit, que nos permite establecer equivalencias entre las medidas expresadas por éstas, así de manera semejante se establece una relación entre los Grados y Radianes para expresar la medida de un ángulo. El Grado Se define como grado aquella parte que resulte de dividir a la circunferencia en 360 partes iguales; es decir, cada una de estas partes es dividida en 60 partes iguales, a cada una de éstas se le dirá un minuto. Figura 25. Grado Por si fuera poco, si cada una de éstas, un minuto, fueran divididas en 60 partes iguales, a estas pequeñas partes se les llama segundos. 31

32 El Radián Pensemos que el arco AB, tiene una misma longitud que el radio r de la circunferencia. Pues bien definimos como un radián al ángulo central que se forma como un arco de longitud igual al radio de circunferencia (θ= a un radián). Recuerda que la circunferencia cubre 360º y tenemos que la cantidad de arcos de un radian que se pueden formar en una circunferencia es igual a 2π. π es un número irracional y sus primeros cuatros decimales que tomaremos son , que es la cifra con la que lo reconoceremos. Equivalencia entre Grado y radián: bien, en las dos ocasiones, para definir a ambos, nos referimos a una circunferencia y concluimos que el ángulo que cubre un radio al girar a su alrededor es de 360º también de 2π radianes. Proponemos la siguiente relación de equivalencia: 360º = 2π_radianes Utilizando la relación de equivalencia anterior y aplicando la regla de tres, determina la equivalencia de: 90º a π/2 radianes. 360º 2π radianes 90º X En donde la incognita es igual a: x = (90º)(2π_radianes ) = (2π_radianes ) = Es decir que: x= π radianes es decir 90º= π radianes 2 2 (π_radianes ) 2 Equivalencias y Conversiones. En ocasiones, para medir los ángulos, será necesario utilizar el sistema sexagesimal (grados) y otras, el sistema circular (radianes); por lo que es conveniente conocer la forma para realizar las conversiones de un sistema a otro. En las expresiones se considerará la siguiente simbología; D 360 = R 2πrad D R Simplificando: 180 = πrad (1) π rad= D = Medida del ángulo en grados. R = Medida del ángulo en radianes sexagesimales. G = Medida del ángulo en grados centesimales (gradianes).

33 De igual forma se puede establecer las equivalencias entre los demás sistemas. Convertir en radianes. Se expresa el ángulo en forma decimal: 25/60= = /60= = D 180 D 180 Empleando la equivalencia correspondiente: = R R= (D)(π) sustituyendo:r= ( )(π) = rad πrad º Convertir rad a grados, minutos y segundos Ahora con la equivalencia: = R πrad (R) (180) D= sustituyendo:d= (1.3539) (180) π =77.57 π Convertir rad a gradianes. Despejando G directamente de la fórmula correspondiente: (R)(200 G= G ) (1.2345rad)(200 y sustituyendo:g= G ) = G π rad π rad 33

34 Ejercicio 7. Expresar la medida de los siguientes ángulos en el sistema indicado rad Sistema a decimal. a grados en forma entera. a radianes. a grados en forma entera. a grados en forma entera. a grados en forma entera. a decimal. a radianes Resultado Si π rad=180, expresar en términos de π los ángulos siguientes: 90, 60, 45, 30 y 15 3π 5π 4π π Si π rad=180, expresar los siguientes ángulos en grados:,,, 2 rad 6 rad 3 rad 18rad 6.3 Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante. Existe otra clasificación de ángulos que se refiere a aquellos ángulos formados por un sistema de rectas. Perpendiculares. Se refiere a las rectas que al cortarse forman ángulos rectos. (AB CD) 34 Figura 25. Grado

35 Paralelas. Son las rectas que están en el mismo plano y no se cortan en ningún punto. (AB CD) Figura 28. Ángulos: Rectas paralelas Secante o transversal. Es la recta que corta a dos o más rectas paralelas. Figura 29. Ángulo secante Dos o más paralelas cortadas por una secante o transversal forman un sistema de rectas. Se considera un sistema formado por dos rectas paralelas AB y CD cortadas por una transversal EF. Figura 30. Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante. ( <) 3, <) 4, <) 5, <) 6) Ángulo Internos Definiciòn Se forman en medio de dos rectas. ( <) 1, <) 2, <) 7, <) 8) Externos Se forman en la parte externa de las dos rectas paralelas. ( <) 3 y <) 5), ( <) 4 y <) 6) Alternos internos Son internos formados en diferentes lados de la transversal. 35

36 ( <) 2 y <) 8), ( <) 1 y <) 7) Alternos externos Son externos formados en diferentes lados de la transversal. ( <) 3 y <) 5), ( <) 4 y <) 5) Colaterales internos Son internos y están del mismo lado de la transversal. ( <) 2 y <) 7), ( <) 1 y <) 8) Colaterales externos Son externos y están del mismo lado de la transversal. ( <) 1 y <) 5), ( <) 2 y <) 6) ( <) 3 y <) 7), ( <) 4 y <) 8) Correspondientes Uno es interno y el otro externo y ambos están colocados del mismo lado de la transversal y de las paralelas. Tabla 2. Tipos de ángulos y su definición Ejercicio 8. Considera el siguiente sistema de rectas a d e h b c f g Identifica las parejas de ángulos que son: Alternos internos: <) c y <) e; <) d y <) f Alternos externos: Colaterales internos: Colaterales externos: Correspondientes: Utilizando la misma figura, mide cada pareja de los ángulos e identifica cuáles son: a) Iguales 36

37 b) Suplementarios c) Conclusiones Propiedades de los ángulos 1.Los ángulos alternos internos son iguales. 2.Los ángulos alternos externos son iguales. 3.Los ángulos colaterales internos son suplementarios. 4.Los ángulos colaterales externos son suplementarios. 5.Los ángulos correspondientes son iguales. 7. Longitud de arco La longitud de un arco en una circunferencia se refiere al segmento de la misma comprendido entre dos extremos de una cuerda. En el cálculo se utiliza casi siempre la medición en radianes porque es una medida intrínseca. La división de un círculo en 360 partes es bastante arbitrario; su división en partes de longitud de radio (2π partes) es más natural. Debido a esto, las fórmulas que usan medidas en radianes tienden a ser simples. Se calcula conociendo el valor del radio y el ángulo central entre dos radios, expresado éste en radianes. Arco Cuerda Figura 31. Longitud de arco Empleando para ello la siguiente fórmula. Donde S=(θ)(r) S = Longitud del arco (unidades de longitud). θ = Ángulo central, en radianes r = Medida del radio (unidades de longitud) La longitud del radio y el arco deben de estar expresados en las mismas unidades de longitud. Un radio de 46 cm. intercepta un arco de cm. Calcular el valor del ángulo centra en el sistema sexagesimal, en grados, minutos y segundos. Despejando θ de la fórmula: θ= S r 37

38 Sustituyendo valores: 66.22cm θ= 46 cm = rad. Pero como el ángulo debe expresarse en unidades del sistema sexagesimal, aplicando el concepto del apartado anterior. D= ((R)(180º))/(π rad) (1.4395)(180º) Sustituyendo: D= = º π rad Además: (0.4770) (60) = (0.62) (60) = 37.2 El resultado final es, por lo tanto: 82º Una segunda fórmula útil es la del área de un sector recortado de un círculo mediante un ángulo central de r radianes. A= 1 r 2 t 2 Ejercicio 9. Resuelve los siguientes problemas 1.Calcular la longitud del arco interceptado por un radio de 25 m al abrir un ángulo de 86º Determinar la longitud del radio que deberá tener una circunferencia para que al abrir un ángulo central de 52.58º intercepte un arco de 45.5 cm. 3.Calcular el ángulo central, en grados, minutos y segundos, que deberá abrir un radio de 125m. para interceptar un arco de 76m. 38

39 Resumen La geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las formas geométricas y la medida de su extensión. Se comprende la geometría plana y la geometría del espacio. (Landaverde, 1997) CUERPO FÍSICO: Es todo lo que ocupa algún lugar en el espacio, como una caja, una moneda, un libro. CUERPO GEOMÉTRICO: Toda porción limitada del espacio, esté o no ocupada por materia, son cuerpos geométricos y en ellos sólo se atiende a su forma y se hace abstracción de la materia. Así por ejemplo un orificio es un cuerpo geométrico, aunque esté vacio, ya que hay materia que lo rodea. (Landaverde, 1997). Superficie: Es el límite de los cuerpos; éste límite se determina por su forma y los separa del espacio inmediato. Línea: Es el límite de las superficies y señala su contorno o perímetro. Punto: Es el límite de la líneas y marca sus extremos o el cruce de varias de ellas. Las características de los cuerpos geométricos son tres, y se conocen como dimensiones: 1) largo o longitud 2) ancho o altura 3) alto o altura, también llamada grosor, espesor o profundidad. Postulados de la recta VI. La recta es la trayectoria más corta entre dos puntos. VII. Por dos puntos sólo puede pasar una recta; es decir, que dos puntos determinan una recta. VIII. Por un punto pueden pasar una infinidad de rectas y en una recta hay una infinidad de puntos. IX. Dos rectas que tienen dos puntos comunes coinciden en toda su extensión. X. Dos rectas distintas no pueden tener más de un punto en común, también pueden no tener ningún punto. Semirrecta: Es aquella recta indefinida en la que se fija un punto y éste divide la recta en dos partes opuestas. Segmento: Se le denomina la parte comprendida entre los dos puntos que se fijan en una recta, los puntos CD que limitan al segmento son sus extremos. Rectas perpendiculares: Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cruzarse forman cuatro ángulos rectos. Rectas Paralelas: Dos o más líneas rectas son paralelas si se prolongan indefinidamente y nunca se cruzan. Polígono: es la figura geométrica formada por segmentos de rectas unidos entre sí, de manera que encierren una región del plano. Sus elementos fundamentales son los lados, los vértices, los ángulos interiores y los ángulos exteriores. (Espinoza, 2004). Circunferencia: Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia de cualquier punto P de ella al centro se le denomina radio. (Macías, 1994). 39

40 Ángulo: Es la abertura comprendida entre dos rectas trazadas desde un mismo punto. Estas rectas se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice. (Landaverde, 1997). Sistemas de medición: 5)Sistema sexagesimal. 6)Sistema cíclico. 7)Sistema centesimal. Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante: Existe otra clasificación de ángulos que se refiere a aquellos ángulos formados por un sistema de rectas. Perpendiculares. Se refiere a las rectas que al cortarse forman ángulos rectos. Paralelas. Son las rectas que están en el mismo plano y no se cortan en ningún punto. Secante o transversal. Es la recta que corta a dos o más rectas paralelas. La longitud de un arco en una circunferencia se refiere al segmento de la misma comprendido entre dos extremos de una cuerda Autoevaluación: 1.Contesta las siguientes preguntas. a) Qué es un segmento de recta? b)menciona por lo menos tres de las propiedades de la recta. c) Qué nombre reciben las rectas que al cruzarse forman cuatro ángulos iguales? d) Cómo se representa que las rectas AB y Cd son paralelas? e) Cómo se representa que las rectas MN y PQ son perpendiculares? f)si las rectas MN y PQ forman un ángulo recto Cuál de las siguientes afirmaciones crees que sea la correcta? 2.Observa la siguiente figura y coloca una a F (Si es falsa la afirmación) y una a V (Si es verdadera la afirmación) 40

41 a)r es un punto de la recta UV b)s es un punto del segmento TV. c)t es un punto del segmento RU F F F V V V a)el segmento MN mide 70 cm. Y el BN 36 Cuánto mide el segmento MB? M B N b)n es el punto medio del segmento MO y P es el punto medio de OQ. Si MN mide 64 cm. y PQ 22, Cuál es la longitud del segmento MQ? M N O P Q c)escribe el nombre de la relaciones entre los ángulos que generan las paralelas cortadas por una transversal. <) b y <) <) a y <) <) b y <) <) a y <) d e h g d a c b h e g f 4.Identifica las siguientes parejas de ángulos (recuerda que pueden pertenecer a cualquier clasificación), escribiendo los nombres en el espacio correspondiente. 41

42 42 5.Observa las siguientes imágenes y coloca en el espacio en blanco el nombre del ángulo que le corresponda según corresponda a cada ángulo.

43 UNIDAD II Al término de la unidad el alumno: Ubicará los triángulos según su definición y clasificación, a través del conocimiento de sus teoremas generales, para identificar y definir rectas, además de puntos notables de los mismos. II.Triángulos 1. Introducción. El triángulo tiene una gran aplicación, tanto en la arquitectura como en la ingeniería, por su rigidez; es decir, la principal propiedad del triángulo es, precisamente, la de ser indeformable. Un triángulo generalmente se denota como Δ, es decir, un triángulo pequeño y posteriormente las letras que representan sus vértices. En este caso, el orden no es importante, pudiendo mencionarse de manera indistinta. 2.Definición. La Trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre lados y ángulos de los triángulos. Suponiendo que se tenga suficiente información, la trigonometría se puede utilizar para hallar las medidas de los lados, áreas y ángulos desconocidos de un triángulo. Se puede utilizar la trigonometría para hallar el valor del ángulo C en el triángulo representado. Figura 32. Trigonometría Triángulo Definición: Un triangulo es un polígono de tres lados. Los elementos de un triangulo son: los tres lados, los tres vértices, y los tres ángulos que suman 180. Figura 33. Triángulo y sus vértices 43

44 Características: Los elementos que constituyen a un triángulo son: a)vértices: Son los puntos de intersección de las rectas. b)lados: Son los segmentos de recta determinados por los vértices. c)ángulos interiores: Son formados por los lados. Un lado de un triángulo es adyacente a un ángulo cuando forma parte del mismo y de lo contrarios es opuesto. La identificación de estos elementos se realiza con letras de los distintos alfabetos. Los vértices y ángulos con mayúsculas y los lados con minúsculas correspondiente al vértice opuesto, como se muestra en los siguientes triángulos. 3.Clasificación. Los triángulos se clasifican atendiendo a la medida de sus lados y a la magnitud de sus ángulos. En relación a sus lados Equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados iguales. a = c = b Isósceles: Es aquel que tiene dos lados iguales y uno desigual. o = p r Escaleno: Se refiere al triángulo cuyos tres lados son diferentes. c d e Con relación a la magnitud de sus ángulos Acutángulo: Si sus tres ángulos son agudos (menores de 90º). R < 90º, S < 90º, T < 90º Obtusángulo: Aquel que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90º) A > 90º Rectángulo: Cuando tiene un ángulo recto (de 90º). En este triángulo los lados reciben nombres especiales. A = 90º 44 Tabla 3. Clasificación de Triángulos

45 Los lados de un triángulo rectángulo son la hipotenusa y los catetos. Estos últimos se llaman cateto opuesto y cateto adyacente, dependiendo del ángulo que se tome como referencia. Por otra parte dentro y fuera del ángulo se forman ángulos que es la amplitud de rotación de una semirecta que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, dependiendo el lado donde se sitúen recibe el nombre de ángulo interno o externo (figura 34). Ángulo Interno Ángulo Externo Figura 34. Catetos Congruencia de los triángulos. El concepto de congruencia es una de los más útiles en geometría. Las figuras congruentes son aquellas que tienen el mismo tamaño y la misma forma. Una manera de comprobar esta congruencia es sobreponerlas, para ver si coinciden en todos sus puntos; es decir, si todos sus lados y sus ángulos son respectivamente iguales. Sin embargo no siempre se pueden sobreponer dos figuras o medir todos sus lados y sus ángulos para verificar su congruencia, se puede realizar otro procedimiento como medir su longitud Figura 35. Incongruencia Figura 36. Congruencia 45

46 Ejercicio 9. Resuelve los siguientes problemas 1. Construye una figura congruente con el siguiente pentágono. 2. Comprueba que los siguientes romboides son congruentes Casos de igualdad de triángulos Los siguientes casos son opciones para construir o comprobar que dos triángulos que no podemos sobreponer son congruentes. Lo puedes corroborar trazando un triángulo congruente con el triángulo inicial, por el procedimiento que se indica. Caso I. Dos triángulos son iguales si los tres lados de uno son iguales a los tres lados del otro. AB = A B AC= A C BC= B C A B C Figura 37. Caso I. Caso II. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. AB = A B BC= B C A A B A C <) ABC= <) A B C B Figura 38. Caso II C B C 46

47 Caso III. Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los ángulos adyacentes a él. A A BC= B C <) ABC= <) <) ACB= <) A B C A C B B Figura 39. Caso III Semejanza o Similaridad Con mucha frecuencia utilizamos la palabra semejante de una manera muy general para decir que dos figuras, cosas, objetos o personas son parecidos en algunos aspectos. Pero en geometría, plantear que dos figuras son semejantes indica que tienen la misma forma, aunque su tamaño sea diferente C B C Figura 40. Semejanza o similaridad Al ver las figuras anteriores decimos que las casas son semejantes o similares porque tienen la misma forma, que sólo varian en tamaño. Ejercicio 2. Con los criterios señalados construye triángulos semejantes a los triángulos dados. 47