Matemticas V: Cálculo diferencial

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matemticas V: Cálculo diferencial"

Patricia Olivera Barbero
hace 5 años
Vistas:

1 Matemticas V: Cálculo diferencial Soluciones Tarea 7 Enuncia las reglas de derivación: es decir, si f : R R y g : R R enuncia como se relacina la derivada de las siguientes funciones en el punto a con la derivada de f y g en a: f + g: (f + g) (a) f (a) + g (a) f g: (f g) (a) f (a) g (a) fg: (fg) (a) f (a)g(a) + f(a)g (a) ( ) f f/g: (a) f (a)g(a) f(a)g (a) g (g(a)) siempre que g(a) 0 f g: (f g) (a) [f (g(a))]g (a) 3 En este problema encontrarás las derivadas de las fuicnioe strigonométricas utilizando el hecho de que si f(x) sen(x) entonces f (x) y que si g(x) entocnes g (x) sen(x) Encuentra la derivada de: f(x) tan(x) Puesto que tan x sen(x), utilizando la cuarta regla de derivación enunciada en el ejercicio anterior obtenemos ( sen ) tan sen (x) sen(x) cos (x) (x) (x) cos () sen(x)[ sen(x)] () cos (x) + f(x) csc(x) Recordemos que csc(x) sen(x) Luego f(x) sec(x) sec (x) ( ) f (x) (x) ( ) sen(x) sen (x) sen sen(x) sen(x) f (x) csc(x) cot(x) ( ) (x) ( ) cos (x) ( )( sen(x)) sec(x) tan(x) sen(x)

2 f(x) cot(x) f (x) ( cos ) cos (x) sen(x) sen (x) (x) sen sen(x) sen(x) sen (x) + csc (x) ( ) sen(x) 4 Encuentra la derivada de las siguientes funciones indicando cuál regla de derivación es la que has utilizado Puedes utilizar las derivadas del ejercicio anterior f(x) x + 3 x 4x + Utilizando la regla para un cociente de funciones: f(x) Hay dos formas de resolverlo: f (x) (x + 3) (x 4x + ) (x + 3)(x 4x + ) (x)(x 4x + ) (x + 3)(x 4) x3 8x + x (x 3 4x + 6x ) 4x 4x + Solución : f(x) y aplicando la regla para derivar un producto de funciones: f (x) cos (x) + cos (x) cos (x) sen(x) Solución : Si g(x) x y h(x), entonces f g h y por la regla para la composición de funciones (regla de la cadena) f (x) g (h(x))h (x) Como g (x) x obtenemos que f(x) cos(x ) f (x) g () cos (x) () cos (x) sen(x) Tomando g(x) y h(x) como en el inciso anterior, obtenemos que f(x) cos(x ) h g Luego f(x) sen(sen(sen(x))) f (x) h (g(x))g (x) cos (x )(x ) sen(x )(x) x sen(x) Aplicaremos varias veces la regla de la cadena En primer lugar f (x) sen ( sen(sen(x)) ) [sen(sen(x))] cos( sen(sen(x)) ) [sen(sen(x))] Calculamos ahora la derivada de sen(sen(x)): [sen( sen(x) )] sen ( sen(x) )[sen(x)] cos( sen(x) )[sen(x)]

3 Calculamos por último la derivada de sen(x): Por lo tanto f(x) tan(x + 3x) [sen(x)] sen ( x ) [x] () f (x) cos(sen(sen(x))) [sen(sen(x))] cos(sen(sen(x))) cos(sen(x))[sen(x)] cos(sen(sen(x))) cos(sen(x))[ ] cos(sen(sen(x))) cos(sen(x)) Utilizaremos la regla de la cadena Si g(x) x + 3x, entonces f tan g Puesto que, por la regla para la suma g (x) x + 3, obtenemos f (x) tan (g(x))g (x) sec (g(x))g (x) (x + 3) sec (x + 3) f(x) x 3 + tan(x) Si g(x) x x y h(x) x 3 + tan(x), entonces f g h Puesto que g (x) x x y por la regla para la derivada de una suma de funciones h (x) 3x + sec (x), se sigue que f(x) cot ( ) x + x Tomando g(x) x + x f (x) g (h(x))h (x) x3 + tan(x) (3x + sec (x)) se tiene que f cot g y por la regla de la cadena f (x) cot (g(x)) g (x) Calculamos pues g (x) utilizando la regla para el cociente de funciones: Por lo tanto ( x f(x) sec x + funciones: g (x) (x + ) (x ) (x + )(x ) (x ) ()(x ) (x + )() (x ) (x ) ) ( ) x + x ( x + f (x) cot (g(x))g (x) csc x (x ) csc (x ) ) Tomamos ahora g(x) x x + y obtenemos g (x) usando la regla para el cociente de g (x) (x ) (x + ) (x )(x + ) (x + ) (x)(x + ) (x )() (x + ) x + x x (x + ) x + x (x + ) 3

4 Puesto que f sec g, por la regla de la cadena ( ) ( ) x f (x) sec (g(x))g x (x) sec tan x + x x + x + (x + ) f(x) (5x + ) 04 Considerando la función g(x) x 04, cuya derivada es g (x) 04x 03, y la función h(x) 5x + es claro que f g h Es fácil obtener que h (x) 5 y por la regla de la cadena f (x) g (h(x))h (x) 04(5x + ) (5x + ) 0 f(x) (x + ) 4 + (x + ) 3 + (x + ) + x + Una forma de resolverlo sería expandir los binomios, simplificar y derivar término a término el polinomio que resulte Otra forma es considerando las funciones g(x) x 4 + x 3 + x + x y h(x) x + En ese caso f g h La deriva de de g es g (x) 4x 3 + 3x + x + por la regla para derivar una suma y es claro que h (x) Luego la regla de la cadena nos da f (x) g (h(x))h (x) 4(x + ) 3 + 3(x + ) + (x + ) + 5 Explica porqué la derivada puede considerarse como una razón de cambio Recordemos que la derivada de una función f en el punto x se define como f f(x + h) f(x) (x) lim h 0 h Concentremos nuestra atención en el cociente dentro del límite: f(x + h) f(x) h El numerador nos dice la diferencia entre f(x) y f(x + h) Si pensamos que la variable representa el tiempo y entonces f representa alguna cantidad que cambia con el tiempo y la diferencia f(x + h) f(x) nos dice cuánto ha cambiado tal cantidad entre los tiempos x + h y x, es decir, en un tiempo h a partir de x Al dividir tal cantidad entre h estamos comparando el cambio de la función con el tiempo que tomó dicho cambio Recordemos que una razón es (en este contexto) una proporción, o más precisamente un cociente Así pues, el cociente nos dice la razón entre el cambio y el tiempo que tomó dicho cambio Podemos pensar que al tomar el límite cuando h 0 lo que obtenemos es la razón en el instante x 6 Un barco ha golpeado un iceberg Al barco entran 0L de agua por segundo y, la tripulación histérica por su vida, logra sacar a cubetazos litro de agua por segundo (puedes suponer que la tripulación es increíblemente eficiente y justo en el momento en que comienza a entrar el agua al barco ellos empiezan a sacarla) Si el barco se hundirá cuando haya 000 L de agua dentro del barco, determina cuanto tiempo tomará para que el barco se hunda Dado que entran 0 litros por segundo y sale sólo uno en ese mismo periodo de tiempo, en total están entrando en el barco 9 litros de agua por segundo Si A(t) es la cantidad de agua dentro del barco en el tiempo t, suponiendo que el iceberg golpea el barco en t 0 y justo en ese momento comienza a entrar el agua así como la tripulación a sacarla, tenemos que A(0) 0 Puesto que están entrando 9 litros de manera constante, esto se puede interpretar como que la razón de cambio en la cantidad de agua es constante 9, es decir, A (t) 9 Sabemos que las funciones con derivada constante son los polinomios de grado a lo más uno, con lo que A(t) at + b A (t) a 9 y 0 A(0)a 0 + b b, con lo que la cantidad de agua en el tiempo t está dada por la expresión A(t) 9t Luego, A(t) 000 si 9t 000, es decir, si t 000/9 563, con lo que el barco tarda menos de un minuto en hundirse 4

5 7 Investiga cuál es el valor del número e y explica cuál es la importancia de la función exponencial f(x) e x El número e es irracional y su valor es aproximadamente e, 7888 Se lo puede expresar de distintas formas como un límite, siendo uno de los más conocidos ( e lim + n n n) Una de las razones por las que la función exponencial es importante es el hecho de que es igual a su derivada, es decir, f (x) f(x) Esto significa que se puede utilizar para representar cantidades cuya razón de cambio en un momento dado sea directamente proporcional a la cantidad que haya en ese mismo momento 5

Documentos relacionados

Reconoce el cambio instantáneo como la derivada de la función

Grado 11 Matematicas - Unidad 3 Conoce el cambio en un instante y describe la situación Tema Reconoce el cambio instantáneo como la derivada de la función Nombre: Curso: Muchas situaciones de la vida real