Teoría de Lenguajes Teoría de la Programación 1 Soluciones

Transcripción

1 Ejercicio 1 Teoría de Lenguajes Teoría de la Programación 1 Soluciones a) Si L 1 y L 2 son dos lenguajes regulares, entonces (L 1.L 2 *)* = (L 1 L 2 )* FALSO: SI por ejemplo L 1 es el lenguaje vacío, al concatenar el vacío ( ) con cualquier lenguaje da el lenguaje vacío y por otro lado, la unión del lenguaje con cualquier lenguaje L 2, da ese lenguaje L 2. b) Si L 3 es un lenguaje finito y L 4 es recursivamente enumerable, no libre de contexto, entonces L 4 L 3 no es libre de contexto VERDADERO: Si L 3 es finito, (L3 L4) también es finito y por lo tanto regular. Se puede expresar ese lenguaje (el de la intersección) por medio de una expresión regular formada por un pipe de cada una de sus tiras. Como es regular, es libre de contexto (por Jerarquía de Chomsky). Suponemos L 4 L 3 libre de contexto entonces como L 4 = (L 4 L 3 ) U (L 3 L 4 ), por la propiedad de clausura de los lenguajes libres de contexto con la operación de unión, se deduce que L 4 es libre de contexto. Absurdo. Por tanto L 4 L 3 no puede ser libre de contexto. c) Si L 5 es libre de contexto pero no regular, entonces existen lenguajes regulares L 6 y L 7 tales L 6 L 5 L 7 VERDADERO: Sean L 6 = y L 7 = *. Si tomamos por ejemplo L 5 = 0 n 1 n n>0, este lenguaje no es regular (se demostró en teórico) y claramente verifica la propiedad (siendo ={0,1} ) d) Si L 8 es recursivamente enumerable, no libre de contexto, L 9 que es el resultado de quitar todos los símbolos a de las tiras de L 8 no es libre de contexto FALSO: Alcanza con considerar L 8 = a k b k # k k>0 que no es libre de contexto (por teórico). Si le quitamos a las tiras de este lenguaje los símbolos a, resulta el lenguaje b k # k k>0 es libre de contexto Ejercicio 2 a) El lenguaje es recursivamente enumerable, porque en la parte b) se construye una Máquina de Turing que lo reconoce. Utilizando el contrarrecíproco del Pumping Lemma, demostraremos que no es libre de contexto. Sea N la constante del PL, consideramos la tira z=a N d N b N c N+1 que pertenece a L Consideramos todas las descomposiciones z=uvwxy que cumplen vx >0, vwx N, y mostramos que en todas ellas existe algún i, para el que la tira uv i wx i y L Las descomposiciones son las siguientes

2 aa...aadd...ddbb...bbcc...ccc Caso 1 v x Caso 2 v x Caso 3 v x Caso 4 v x Caso 5 v x Caso 6 v x Caso 7 v x Caso 8 v x Caso 9 v x Caso 10 v x Caso 11 v x Caso 12 v x Caso 13 v x Caso 1: u=a j v=a k w=a l x=a m y=a N-m-l-k-j d N b N c N+1 Como k+m>0, entonces z 0 =uwy= a N-m-k d N b N c N+1 L, porque tiene menos a s que b s. El caso 8 es análogo. Caso 2 u=a j v=a k w=a m x=a N-m-k-j d l y= d N-l b N c N+1 (Suponemos que x a >0, sino estamos en el caso 1). z 0 L porque se desbalancean las a s con las b s. Los casos 3,10,11 son análogos. Caso 4 u=a j v=a k w= a N-j-k d l x=d m y= d N-l-m b N c N+1 Como k+m>0, entonces o k>0 o m>0. Si k>0, z 0 =a N-k d N b N c N+1 L porque las a y las b s se desbalancean. Si m>0, z 2 =a N d N b N+m c N+1 L porque la cantidad de c s es igual o menor a la cantidad de b s. Los casos 9 y 13 son similares. Caso 5 u=a N d k v=d j w= d l x=d m y= d N-l-m-j-k b N c N+1 Como j+m>0, entonces z 2 =a N d N+m+j b N c N+1 L porque hay mayor o igual cantidad de d s que de c s. Los casos 8 y 12 son análogos.

3 Caso 6 u=a N d k v=d j w= d m x=d N-m-j-k b l y= b N-l c N+1 (Suponemos x d >0, sino estamos en un caso ya estudiado). z 2 L porque hay al menos tantas d s como c s. El caso 7 es análogo. Como esas son todas las descomposiciones posibles que cumplen vx >0, vwx N, por el contrarecíproco del Pumping Lemma, demostramos que L NO es libre de contexto b)

4 Ejercicio 3 a) No es regular, se demuestra con el CR del pumping lemma para lenguajes regulares: Dado N la constante del pumping lemma, se elige z = a 3N b 6N Las descomposiciones z = uvw a estudiar que cumplen uv <= N y v >0 son: familia a 3N B 6N 1 v Familia 1: u=a p, v=a q, w=a 3N-(p+q) b 6N z i = a p a qi a 3N-(p+q) b 6N = a q(i-1) + 3N b 6N Para i = 0, z 0 = a 3N - q b 6N Dado que v >0, tenemos q>0 por lo que 2(3N-q) < 6N, y entonces z 0 L Esas son todas las familias que cumplen las condiciones uv <= N y v >0, con lo cual el lenguaje L NO es Regular. b) S --> S1 S2 S3 S1--> as3bbc S2--> aas3bbbbcc S3--> aaas3bbbbbb eps c)

5 Ejercicio 4 [Teoría de Lenguajes] a) S -> I R T F # genero igual cantidad de As y Bs R -> A B R epsilon # genero más Cs que Ds T -> C D T C T C # mezclo A B -> B A A C -> C A A D -> D A B A -> A B B C -> C B B D -> D B C A -> A C C B -> B C C D -> D C D A -> A D D B -> B D D C -> C D # transformo las variable en terminales I A -> a I I B -> b I I C -> c I I D -> d I # termino I F -> epsilon b) Sea el lenguaje L ={w / w {0,#}*, w de la forma #0 k #0 p #, k 0, p>0. i) Construya una gramática simplificada G / L =L(G ). S #A A 0A #B B 0B 0# Esta gramática está simplificada porque no tiene producciones epsilon, no tiene producciones unitarias y todos sus símbolos variables son útiles. ii) Defina la relación R L vista en el curso. Sea L un lenguaje definido sobre un cierto alfabeto, y sean 2 tiras x, y * se dice que x R L y si z * se cumple que: xz L yz L ó xz L yz L iii) Cuántas clases de equivalencia define R L para el lenguaje L? Justifique. Para poder saber la cantidad de clases de equivalencia que define la relación R L, intentamos construir el autómata mínimo. Con eso, hallamos las clases de R M, que como es mínimo, coinciden con las clases de R L. Construimos el siguiente autómata finito determinístico y lo minimizamos.

6 q0q1q2q3 q4 q0q1q2q3 q4 Esto comprueba que el autómata construido YA era el mínimo

7 c) Construya un autómata con salida M: (Q,,,,,q 0 ), que toma como entrada tiras del lenguaje L y genera como salida tiras con una a por cada par de 0 s. Considere: = a,# ; = 0,# ; : Q x ( { }) ( { }) Son ejemplos de tiras: #0000#000 #aa#a0 #0#00000 #0#aa0

8 Ejercicio 4 [Teoría de la Programación 1] Indique si la siguientes funciones son computables. Justifique. f(i, n, k) = 1 si <I x (i), n> no asigna el valor 1 a la variable X k. indef. en caso contrario g(i, k) = 1 si n N, <I x (i), n> asigna el valor 1 a X k. 0 en caso contrario 1. f no es computable. Supongamos que f es computable y existe la macro MF que la computa; podemos probar que K c es un conjunto recursivamente enumerable. Sea MT una macro que, dado un natural m y el índice i de un programa en P: PROGRAM(Xk) -- C -- - RESULT(Xj) retorna el índice del siguiente programa en P: PROGRAM(Xk) -- C -- Xm:=1 RESULT(Xj) Observar que si X m es una variable no utilizada anteriormente en ese programa, saber que a esa variable no se le asigna el valor uno equivale a que el programa entró en un ciclo infinito (ver el ejercicio 7 del práctico). Sea entonces la macro MM que, dado el índice de un programa de índice i, devuelve el máximo número de variable utilizada más uno (una variable sin utilizar por ese programa). Sea el siguiente programa de índice p: PROGRAM(X0) -- entrada índice i X1:=MM(X0); -- X1= variable no utilizada por i. X2:=MT(X1,X0); -- índice de j, programa i con la asignación a Xm X3:=MF(X2,X0,X1) -- se asigna 1 a Xm durante <Ix(j),i>? RESULT(X3) El resultado de este programa depende de su última sentencia: si MF termina, el programa devolverá uno como salida; en caso contrario, el resultado será indefinido.

9 Bajo qué condiciones converge Ix(p)? <Ix(p), i> 1 f(j,i,m)=1, con m=mm(i) y j=mt(m,i) 2 <I x (j), i> no asigna el valor 1 a la variable X m 3 <I x (j), i> 4 <I x (i), i> 5 i K c. 1. Por construcción de Ix(p) 2. Por definición de f. 3. Por construcción de MT(m,i), la asignación a Xm es la última sentencia. 4. Por construcción de MT(m,i), el código que diverge es el mismo que I x (i). 5. Definición de K c. Luego, el programa de índice p calcula la función característica parcial de K c, con lo que este conjunto sería r.e. Absurdo. 2. g no es computable. Supongamos que g es computable y existe la macro MG que la computa; probaremos que es computable. Sea MM la misma macro que la de la demostración anterior, y sea MR una macro que, dado un natural m y el índice i de un programa en P: PROGRAM(Xk) -- C -- - RESULT(Xj) retorna el índice del siguiente programa en P: PROGRAM(Xk) Xk:=i; -- C -- Xm:=1 RESULT(X1) Observar que este programa es constante, y sólo depende de la salida del programa Ix(i) con entrada i. Sea el siguiente programa en P de índice q: PROGRAM(X0) -- entrada índice i X1:=MM(X0); -- X1= variable no utilizada por i. X2:=MR(X1,X0); -- índice de j, programa i con la asignación a Xm X3:=MG(X2,X1) -- existe n que asigna 1 a Xm durante <Ix(j),n>? RESULT(X3) Este programa siempre retorna un resultado, pues MM, MR y MG siempre terminan. Además se cumple que: <Ix(q), i> 1 1 g(j, m)=1, con m=mm(i) y j=mr(m,i) 2 si n <I x (j), n> asigna el valor 1 a la variable X m 3 <I x (i), i> 4 (i)=1.

10 1. Por construcción de Ix(q) 2. Por definición de g. 3. Por construcción de MR(m,i), la asignación a Xm es la última sentencia, y el código que se ejecuta es el mismo que el de I x (i) con entrada i. 4. Definición de. Luego, el programa de índice q calcula la función. Absurdo. Ejercicio 5 [Teoría de la Programación 1] a) Defina la relación de transformación polinómica entre problemas (). b) Dé la definición del problema SAT. c) Cuál es la importancia de este problema? c) El problema SAT, fue el primero que se probó NP-Completo. A partir de él, no es necesario probar que todo problema se reduce a un tercero para probar que este último es NP-Completo; basta reducir SAT a él.