MATEMÁTICAS LIBRO 9: DATOS Y AZAR III GE- LIBRO N 9 CONTENIDOS. - Muestreo. - Intervalo de confianza. - Función de probabilidad

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1 LIBRO 9: DATOS Y AZAR III CONTENIDOS - Muestreo - Intervalo de confianza - Función de probabilidad - Función de distribución de probabilidad - Distribución normal - Distribución normal estándar - Estandarización de una distribución normal estándar Página 1

2 RELACIÓN ENTRE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN Y LAS MEDIAS DE MUESTRAS MUESTRA Una muestra en un subconjunto de la población y el muestreo es la elección al azar o intencionada de elementos de la población. Muestreo Aleatorio Simple Es aquel en que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado para integrar la muestra. Una muestra simple aleatoria es aquella en que sus elementos son seleccionados mediante el muestreo aleatorio simple. Existen diferentes formas de extraer una muestra de una población: Si el tamaño de la población es N y el tamaño de la muestra k entonces, con k < N * Muestreo con Reposición En el muestreo con reposición, el elemento seleccionado en cada extracción vuelve a ser incluido en la población antes de extraer el siguiente elemento. En este tipo de muestreo, un elemento de la población puede aparecer más de una vez en la muestra. Para determinar el número de muestras se utiliza principio multiplicativo de técnicas de conteo, donde se considera el orden. Número total de muestras: N k * Muestreo sin Reposición y con orden En este tipo de muestreo, el elemento extraído de la población queda descartado de cara a la siguiente extracción. Es decir, un elemento sólo puede aparecer una vez en la muestra. Para determinar el número de muestras se utiliza principio multiplicativo de técnicas de conteo, donde se considera el orden (una muestra varía de la otra, no solo por los elementos, sino también por el orden de ellos). N N! Número total de muestras: V k = (N k)! * Muestreo sin Orden y sin reposición Para determinar el número de subconjuntos de un conjunto dado, en el cuál no importe el orden de los elementos, se debe usar combinatoria, (en este caso solo importan los elementos, el orden da igual). Número Total de muestras: N = N! k k!(n r)! * Muestreo sin Orden y sin reposición Para determinar el número de subconjuntos de un conjunto dado, en el cuál no importe el orden de los elementos, se debe usar combinatoria con reposición de elementos. Número Total de muestras: N + k 1 k Página 2

3 EJEMPLO 1. Se tiene un conjunto con 10 elementos, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si se realiza un muestreo con reposición de muestras de tamaño 2 se tendrían 100 elementos. II) Al muestrear sin reposición para tener muestras de tamaño 3 la cantidad de elementos del conjunto resultante sería 720. III) La cantidad de elementos resultante para muestras de tamaño 1 es el mismo para el muestreo con y sin reposición. 2. Si un conjunto tiene cinco elementos, entonces el total de muestras de 3 elementos, con reposición, es 3. Se muestrea un conjunto de siete elementos, con muestras de dos elementos sin reposición y con orden. Cuál es la cantidad de muestras que se pueden extraer? 4. Cuántas muestras de tamaño 3 se pueden tomar, sin que importe el orden y sin reposición, del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? RESPUESTAS 1. I y III Página 3

4 RELACIÓN ENTRE MEDIA DE UNA POBLACIÓN Y LAS MEDIAS DE MUESTRAS La media de una población () se puede estimar a partir de la media de las muestras ( x ) donde i toma valores desde 1 hasta el número total de muestras k obtenidas de tamaño n, extraídas de la población, con reemplazo o sin reemplazo, con orden o sin orden. Para determinar la media poblacional, se utiliza la expresión: i x x x... x k k El promedio de las medias de todas las muestras de tamaño n que se puedan hacer de un conjunto de N elementos, es igual al promedio de la población. ERROR MUESTRAL El error de la muestra i, se denomina e i y es la diferencia entre la media de la población y la media de la muestra i, que se determina según la expresión: e = x i i Donde es la media de la población y x es la media de la muestra i. i OBSERVACIÓN * El error muestral puede ser positivo o negativo. * La suma de todos los errores muestrales es cero. * A medida que el tamaño de la muestra crece, el error tiende a disminuir, ya que el tamaño de la muestra se acerca al tamaño de la población. EJEMPLOS 1. Si el promedio de un conjunto de cuatro elementos es igual a 10,5, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El promedio de las medias se mantiene constante, no importando el tamaño de las muestras, siempre y cuando se consideren todas ellas. II) El promedio de las muestras de dos elementos es menor al promedio del conjunto inicial. III) El muestreo con o sin reposición da como resultado el mismo promedio muestral. Página 4

5 2. Dado el conjunto {3, 6, 12} al hacer un muestreo de 2 elementos sin reposición, el máximo promedio muestral que se obtiene es 3. Si la probabilidad de ocurrencia de un evento corresponde a la razón entre la cantidad de casos favorables y la cantidad de casos totales del experimento, entonces para el conjunto {1, 2, 3}, cuál es la probabilidad de obtener en una muestra de tamaño dos, con reposición, una media igual a 2? 4. Para el conjunto {3, 7, 11}, cuál es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de la media que se puede obtener con una muestra de tamaño 2, sin reposición? 5. La tabla presenta la frecuencia absoluta de las medias muestrales de una población. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? Medias frecuencia I) La población tiene tres elementos. II) La media de la población es 100. III) El mayor valor absoluto del error muestral es 4. RESPUESTAS 1. Solo I y III Ninguna Página 5

6 INTERVALO DE CONFIANZA En ocasiones la media de una muestra se considera como una estimación de la media de la población a la cual pertenece la muestra. Por ejemplo, dada como población los alumnos que rindieron la PSU y como variable el puntaje promedio lenguaje-matemática, se toma una muestra en forma aleatoria de esta población y se determina que el valor de la media para este grupo, es de 624,5 puntos. Se plantea como interrogante como se compara este valor de media, con el valor de la media de la población. Si bien 624,5 es la estimación de la media de la muestra, esto no permite asegurar que es una estimación de la media poblacional (a nivel nacional), ya que al tomar otra muestra el valor variará. Intervalo de confianza es un rango de valores entre los cuales estará el valor de media estimada para la población, dada una determinada probabilidad de acierto. Nivel de confianza: Es la probabilidad que el parámetro poblacional se encuentre en un intervalo de confianza dado. Se determina por (1 ), siendo el nivel de significación. Los niveles de confianza más usuales son: 90%, 95% y 99%, que corresponden a niveles de significación de 10%, 5% y 1%, respectivamente. Límites de Confiabilidad: Son los límites del intervalo de confianza. Para una población, de media aritmética de una variable aleatoria que sigue una distribución normal de desviación estándar, para un nivel de confianza (1 ), de la cual se toma una muestra de tamaño n, con media aritmética x, el intervalo de confianza se determina según la relación: 1 1 x z, x + z 2 n 2 n z 1 2 n se denomina margen de error Nivel de 50% 68% 75% 80% 90% 95% 99% confianza z 1-2 0,67 0,99 1,15 1,28 1,64 1,96 2,58 La tabla muestra los valores de z 1-2 según el nivel de confianza. Página 6

7 OBSERVACIÓN: La PSU tendrá una tabla desde donde ustedes podrán extraer z 1-2 La tabla que encontrarás al inicio de la prueba (PSU) es más o menos como la tabla que se encuentra a la derecha. Como utilizar la tabla: Si se pide un nivel de confianza del 90% por ejemplo, se procede de la siguiente manera para encontrar el valor en la tabla: 100% = 90% = 10% = 5% Z = 90% + 5% = 95% Z = 0,95 Z P(Z z) 0,99 0,839 1,00 0,841 1,15 0,875 1,24 0,893 1,28 0,900 1,64 0,950 1,96 0,975 2,17 0,985 Z P(Z z) 0,99 0,839 1,00 0,841 1,15 0,875 1,24 0,893 1,28 0,900 1,64 0,950 1,96 0,975 2,17 0,985 Este último valor se busca en la segunda columna de la tabla para poder determinar el z 1-2 necesario. Al verificar el valor en la tabla resulta z 1-2 = 1,64. Si se pide un nivel de confianza del 95% por ejemplo, se procede de la siguiente manera para encontrar el valor en la tabla: 100% - = 95% = 5% = 2,5% Z = 95% + 2,5% = 97,5% Z = 0,975 Z P(Z z) 0,99 0,839 1,00 0,841 1,15 0,875 1,24 0,893 1,28 0,900 1,64 0,950 1,96 0,975 2,17 0,985 Este último valor se busca en la segunda columna de la tabla para poder determinar el z 1-2 necesario. Al verificar el valor en la tabla resulta z 1-2 = 1,96 Página 7

8 EJEMPLO 1. La estatura de la población es una variable aleatoria con distribución normal de desviación estándar igual a 0,4 m. Si la media de la estatura de un grupo de 100 personas es 1,68 m. El intervalo en el que se encuentra el promedio de la población con un 95% de confianza está dado por 2. Las horas de conexión a las redes sociales de cierta población es una variable con distribución normal de desviación estándar 0,5 horas. Si la media de una muestra de 100 datos 3,5 horas, cuál es el margen de error al construir un intervalo de confianza con un 90% de nivel de confianza? 3. Para estudiar el promedio de notas de los alumnos de cuarto medio de un colegio, se ha elegido un curso de 35 alumnos cuyo promedio es de 5,3. Si el promedio de notas es una variable que sigue una distribución normal con una desviación estándar de 0,9, el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza de 90% es RESPUESTAS 1. [1,6016 ; 1,7584] 2. 0, ,9 0,9 5,3 1,64 ; 5,3 + 1, Página 8

9 VARIABLES ALEATORIAS Se llama VARIABLE ALEATORIA a toda función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio. Observación: Se simbolizan con letras mayúsculas, por ejemplo: X; Y; Z; VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (VAD) Son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores o una cantidad infinita numerable de valores, por ejemplo suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las preguntas correctas en una prueba, números de hijas mujeres de una familia, etc. Ejemplo 1: Se lanzan tres monedas y se define la variable aleatoria X como el número de caras obtenidas. Resultados posibles Valor para X (s,s,s) 0 (s,s,c);(s,c,s);(c,s,s) 1 (s,c,c);(c,s,c);(c,c,s) 2 (c,c,c) 3 Ejemplo 2: En el experimento lanzar un dado y se define la variable aleatoria Z como número de lanzamientos que se deben realizar hasta obtener un dos. El número de lanzamientos que puede tomar la variable hasta que salga el valor dos puede ser infinito, pero es posible contarlos, es decir es una cantidad infinita numerable. Por lo tanto es una variable discreta. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (VAC) Son aquellas que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo en los números reales, por ejemplo peso de los alumnos de un curso, tiempo de funcionamiento de un dispositivo electrónico, cantidad de agua consumida en mes por una familia, tiempo que demora un alumno en llegar del colegio a su casa, etc. Observación: Los valores que toma la variable aleatoria se denomina Recorrido. Página 9

10 EJEMPLOS 1. Cuál(es) de los siguientes enunciados corresponde una variable aleatoria? I) Obtener tres puntos al lanzar un dado. II) III) Número de caras en el lanzamiento de cuatro monedas. Tiempo de caída de un objeto desde la azotea de un edificio. 2. Una bolsa contiene 6 monedas, tres azules y tres rojas. Si se extraen dos monedas, una tras otra sin reposición, cuál(es) de los siguientes enunciados define(n) una variable aleatoria? I) Número de caras obtenidas. II) III) Número de monedas de color azul. Tiempo empleado en realizar el experimento. 3. En una bolsa hay 4 fichas enumeradas del 3 al 6. Se extraen dos de ellas sin reposición y se define la variable aleatoria X, como la suma de los números obtenidos. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) Es una variable aleatoria discreta. II) El recorrido de la variable aleatoria es {7, 9, 11}. III) El total de resultados posibles de la variable aleatoria son Para el experimento de lanzar dos veces un dado, se define la variable aleatoria X como la parte entera del cuociente de los valores obtenidos. Entonces, el recorrido de la variable aleatoria es RESPUESTAS 1. Solo II 2. Solo I y II 3. Solo I 4. {0,1,2,3,4,5,6} Página 10

11 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE DISCRETA Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la función que asocia cada valor de x i con su probabilidad de ocurrencia p i. Se denota por f(x) = P(X = x i ) Propiedades: 1. 0 f(x i ) 1 2. f(x 1 ) + f(x 2 ) +.+ f(x n ) = 1 3. P(X = a) = 0, si a no pertenece al recorrido de la variable aleatoria Observaciones: 1. El dominio de la función de probabilidad es el recorrido de la variable aleatoria. 2. El recorrido de la función de probabilidad está en 0, 1. Ejemplo: Definida la variable X como el número de caras que pueden obtener en el lanzamiento de tres veces una moneda. La tabla muestra la probabilidad para los diferentes valores que pueda tomar la variable aleatoria X. Resultados Valores de X f(x i )=P(X = x i ) (s,s,s) 0 f(0)= P(X=0) = 1/8 (s,s,c);(s,c,s);(c,s,s) 1 f(1)= P(X=1) = 3/8 (s,c,c);(c,s,c);(c,c,s) 2 f(2)= P(X=2) = 3/8 (c,c,c) 3 f(3)= P(X=3) = 1/8 f(x) 3/8-1/8 - Función de probabilidad f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = = = Valores v.a. Página 11

12 EJEMPLOS 1. Una caja contiene 8 esferas rojas y 2 amarillas, se extraen 3 esferas y se define la variable aleatoria X como el número de esferas rojas extraídas y la variable aleatoria Y como el número de esferas amarillas extraídas. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El recorrido para ambas variables es el mismo. II) P(X = 3) = 7 15 III) P(Y = 3) = Se lanzan 3 monedas y se define la variable aleatoria X como el número de sellos que se obtienen. Cuál es el valor de P(X = 2)? 3. En la fabricación de 30 dados se sabe que el 20% de ellos son defectuosos. El proceso de control de calidad consiste en examinar cinco de ellos, uno tras otro sin devolución, si se define la variable aleatoria X como el número de dados defectuosos que se obtienen, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que todos sean defectuosos es 0,6. II) El recorrido de la variable aleatoria es {0, 1, 2, 3, 4, 5}. III) La probabilidad de obtener todos buenos es 0,8. 4. Se lanzar 180 dados a vez y se define la variable aleatoria X como la cantidad de dados que muestren un número múltiplo de 3, entonces P(X = 80) es Página 12

13 5. Si el experimento aleatorio consiste en lanzar dos veces un dado y se define la variable aleatoria X como el doble de la suma de los números que aparecen, entonces cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) Los valores de la variable aleatoria son {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}. II) El recorrido de la función de probabilidad es [4, 24]. III) P(X = 14) = Se tiene un dado cargado cuyos resultado y probabilidades se muestran en la tabla adjunta X P(X = x i ) 0,30 0,15 0,05 0,18 0,20 0,12 Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) P(X sea un número primo) = 0,70. II) P(X > 6) = 0 III) P(X > 4) = 1 P(X < 4) 7. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X X P(X=x i ) 0,18 m 0,22 0,33 0,10 Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) El valor de m = 0,17 II) P(X 10) = P(X > 0) III) P(X -10) = 1 P(X = -20) RESPUESTAS 1. Solo II Solo II 4. æ180ö ç è80 ø æ 1ö ç è 3 ø 80 æ 2ö ç è 3 ø Solo I y III 6. Solo II 7. I, II y III Página 13

14 FUNCIÓN DISCRETA DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA PARA VARIABLE La función de distribución de probabilidad acumulada F(x) asocia a cada valor de x la probabilidad acumulada, es decir F(x) = P(X x) Propiedades: 1. Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0 F(x) 1 2. Si x 1, x 2, x 3,.., x n-1, x n son valores de la variable aleatoria, entonces P(X x n-1 ) = P(X=x 1 ) + P(X=x 2 ) + P(X=x 3 ) P(X=x n-1 ) 3. Si a < b, entonces P( a < X b ) = F (b) F (a) 4. P(X > a) = 1 - P(X a) = 1 F(a) Observación: En el caso de variable aleatoria discreta la gráfica de la función de distribución de probabilidad es escalonada. F(x) 1 Función de distribución x 1 x 2 x 3 x 4 V.A.D Ejemplo: La tabla muestra la función probabilidad y función de distribución de probabilidad para la variable aleatoria X definida como el número de caras obtenidas al lanzar 3 monedas. X F(x i )=P(X x i ) 0 F(0) = P(X 0) = 1/8 1 F(1) = P(X 1) = 1/8 + 3/8 = 4/8 2 F(2) = P(X 2) = 4/8 + 3/8 = 7/8 3 F(3) = P(X 3) = 7/8 + 1/8 = 8/8 = 1 F(x) 1 7/8 4/8 1/8 Función de distribución V.A.D Página 14

15 EJEMPLOS 1. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria W w f(w) 0,20 0,45 0,3 0,05 Cuál es el valor de P(W 0)? 2. El gráfico muestra la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X F(X) 1 0,8 0, Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) P(X = -2) = P(X = 1) II) P(X 1) = 0,8 III) P(X 4) = 1 X 3. La función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria X está dada por la siguiente tabla Cuál es el valor de P(X > 30)? X P(X x i ) 0,05 0,30 0,42 0,75 1 RESPUESTAS 1. 0,95 2. I, II y III 3. 0,58 Página 15

16 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA La función de distribución de probabilidad acumulada F(x) asocia a cada valor de x la probabilidad acumulada, es decir F(x) = P(X x). La probabilidad de que la variable esté comprendida en el intervalo [a, b] está dada por el área bajo la curva de la función entre los puntos a y b. y f(x) a b P(a < x < b) x Propiedades: 1. Como f(x) es una probabilidad, se cumple que 0 F(x) Si a < b, entonces P(a < X b) = F(b) F(a). 3. P(X > a) = 1 P(X a) = 1 F(a) 4. P(X = a) = 0, es decir la probabilidad que la variable tome exactamente un valor es igual a cero. 5. P(X < a) = P(X a) Observación: En el caso de variable aleatoria continua la función de distribución de probabilidad es una función continua. EJEMPLO 1. Una función de densidad de probabilidad está dada por cx ; si 0 < x < 4 f(x) =. 0 ; para cualquier otro valor Cuál es el valor de c para f(x)? Página 16

17 2. Cuál es el valor de k en la función de densidad de probabilidad definida como 2x + k ; si 1 x 2 f(x) =? 0 ; para otro valor 3. La función densidad de probabilidad está dada por Cuál es el valor para P(X < 0,75)? f(x) = 0 ; si x < 0 1 x ; si 0 x ; si x > 2 4. Si la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria se define como 0 ; si x < 1 x 1 ; si 1 x 2 f(x) = -x + 3 ; si 2 < x 3 0 ; si x > 3 Entonces, P (X 2) = RESPUESTAS % Página 17

18 DISTRIBUCIÓN NORMAL Para variables aleatorias continuas X, la función de probabilidad es denominada Función de densidad de probabilidad, es una función continua y la probabilidad está dada por el área bajo la curva de la función. La distribución más importante dentro de las distribuciones continuas es la distribución normal. Es un modelo matemático, que recibe su nombre debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución permite representar fenómenos estadísticos de manera probabilística. El gráfico de la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal es similar al mostrado en la figura, es decir tiene una forma conocida como Campana de Gauss, y es simétrico con respecto a la media,. Esta distribución queda definida por dos parámetros: la media () y la desviación estándar (), y se denota X ~ N(, ). Características: 1. El área bajo la curva es igual a la unidad. 2. Es simétrica con respecto a x =, y deja un área igual a 0,5 a la izquierda y otra de 0,5 a la derecha, es decir, existe una probabilidad del 50% de observar un dato mayor a la media y un 50% de observar un dato menor a la media. 3. Es asintótica al eje de las abscisas, es decir, la curva se acerca lo más posible al eje de las X sin llegar a tocarlo. 4. La media, moda y mediana coinciden. 5. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. Página 18

19 INTERVALOS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL Si una población tiene media y desviación estándar, se tiene que En el intervalo, En el intervalo 2, 2 En el intervalo 3, 3 el área encerrada es 0,6826 el área encerrada es 0,9544 el área encerrada es 0,9973 es decir, 68,26% del total. es decir, 95,44% del total. es decir, 99,73% del total Px - 2 < x < x + 2 = 0,9544 P x - < x < x + = 0,6826 P x 3 < x < x + 3 = 0,9973 EJEMPLOS 1. En el Colegio Universo, el peso de los 40 alumnos del 3º medio, tienen una distribución normal con media de 72 kg y desviación estándar de 3 kg. Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar pese menos de 72 kg? 2. Sea X una variable aleatoria con distribución X ~ N(18,3). Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) La probabilidad de que la variable tome valores mayores que 18 es el 50%. II) P(X 21) = 0,6587 III) P(X > 24) = 0,0228 Página 19

20 3. Los pacientes afectados por una bacteria y su tiempo de recuperación, en días, tiene una distribución X ~ N(6; 1,3). Cuál es la probabilidad de que un paciente se recupere en un tiempo mayor a 9,9 horas? 4. El tiempo de duración que tienen los focos fabricados por una empresa, se distribuye en forma normal con media aritmética igual a horas y desviación estándar 51 horas. Cuál es la probabilidad en porcentaje de que dure más de horas? 5. Respecto a las distribuciones representadas en los gráficos de la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? GRAFICO 1 GRAFICO 2 Y N(µ,σ 3 ) N(µ,σ 2 ) N(µ,σ 1 ) Y N(µ 1,σ) N(µ 2,σ) N(µ 3,σ) µ X µ 1 µ 2 µ 3 X I) En el gráfico 1 1 < 2 < 3 II) Las distribuciones presentadas en el gráfico 1 tienen igual media. III) Las distribuciones presentadas en el gráfico 2 pueden ser iguales. RESPUESTAS 1. 0,5 2. Solo I y III 3. 0, ,280% 5. Solo II y III Página 20

21 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR La distribución normal estándar o tipificada, es aquella que tiene media 0 y desviación estándar 1. Se denota por X ~ N(0, 1) Por ser la gráfica simétrica respecto = 0, entonces se cumple P(X -x 1 ) = P(X x 1 ) Gráficamente: -x 1 x 1 Cuando la distribución es normal estándar se puede utilizar la probabilidad de intervalos estudiada en distribución normal. Cuando lo pedido no se ajuste a ninguno de los intervalos conocidos, se utilizarán de la tabla normal tipificada, al comienzo de la PSU aparecerán los valores que requieras. La tabla será mas o menos como la que se encuentra a la derecha de la página. TABLA PSU Si Z N(0, 1) es una distribución normal estándar, entonces: Z P(Z z) 0,99 0,839 1,00 0,841 1,15 0,875 1,24 0,893 1,28 0,900 1, ,64 0,950 1,96 0,975 2,17 0,985 OBSERVACIÓN: Si necesita ubicar la probabilidad de una variable aleatoria de distribución normal estándar de un dato que no se encuentre en esta tabla, existe la tabla de distribución normal tipificada. (ANEXO 1) EJEMPLOS 1. Si X es una variable que tiene una distribución normal estándar, determina los valores de las probabilidades solicitadas. i) P(X 1,24) ii) P(X 1,24) iii) P(X -1,24) Página 21

22 2. Determine la probabilidad que la variable aleatoria X se encuentre en las zonas achuradas. i) y ii) y 0 1,24 2,17 x x y y iii) iv) 0 1,28 x 1,24 x 3. Sea X una variable aleatoria con distribución X ~ N(0,1). Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) P(X -1) = 0,159 II) P(X -2) = P(X 2) III) P(X 3) = 0, En una distribución normal estándar X ~ N(0,1), entonces P(X < -3) = RESPUESTAS 1. i) 89,3% ii) 10,7% iii) 10,7% 2. i) 0,092 ii) 0,318 iii) 0,1 iv) 0, I, II y III 4. 0,00135 Página 22

23 ESTANDARIZACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL Para poder utilizar la tabla para encontrar la probabilidad P(X < x i ) en una distribución normal, no estándar, es necesario estandarizar la variable. Si X es una variable que tiene distribución normal con media y desviación estándar, es decir X ~ N(, ), se define una nueva variable aleatoria Z de la forma: una distribución normal estándar, es decir, Z ~ N(0, 1). X Z, que tiene Entonces la probabilidad en términos de la variable X puede calcularse en términos de Z, de la siguiente manera. x P X x P Z EJEMPLO Los notas de 40 alumnos que rindieron examen de admisión en un colegio para ocupar las vacantes en el 1º medio, tienen una distribución X ~ N(5,1; 1,2). Cuál es la probabilidad de que sean aceptados con nota superior a 6? Solución: P(X > 6) = 1 P (X 6) 6 5,1 = 1 PZ 1,2 = 1 P( Z 0,75) = 1 0,773 = 0,22 Z PZ z 0,75 0,773 1,00 0,841 1,15 0,875 1,24 0,893 1,28 0,900 1,50 0,94 1,64 0,950 1,96 0,975 2,17 0,985 EJEMPLOS 1. Sea X una variable aleatoria que tiene distribución normal definida como X ~ N(80,3), al transformar X a una variabla aleatoria Z de distribución nórmal estándar, entonces P(X < 90) = Página 23

24 2. Sea X una variable aleatoria que tiene distribución normal definida como X ~ N(120,8), al transformar X a una variable aleatoria Z de distribución normal estándar, entonces P(X > 80) = 3. Sea X y Z variables aleatorias, X con distribución N(90,10), y Z la tipificada de X con distribución N(0,1). Entonces, P(X > 100) = 4. Sea X variable aleatoria con distribución X ~ N(100, 16), entonces P(X > 124) = 5. Sea X una variable aleatoria que tiene distribución normal con media a y desviación estándar b, la que se transforma en una variable aleatoria Z con distribución N(0,1). Entonces, Z se expresa RESPUESTAS æ 1. P Z < 10 ö 2. P(Z 5) 3. 0, ,0667 ç è 3 ø 5. Z = X b a Página 24

25 APROXIMACIÓN DE UNA BINOMIAL POR UNA NORMAL Es una distribución de variable aleatoria discreta, la variable x se definirá según el número de éxitos en n intentos, con probabilidad p de éxitos cada una. Si n es lo suficientemente grande, podemos aproximar un modelo de variable aleatoria discreta como un modelo de variable aleatoria continua, definiendo la media m y desviación estándar s como: μ = np y σ = np(1 p) Cabe destacar que se esta aproximando una variable aleatoria discreta con un modelo de variable aleatoria continua. Esto será válido para cualquier distribución binomial B(n,p), siendo n lo suficientemente grande. Se dirá que la proposición es aceptable si np > 5 y n(1 p) > 5 Hay que tener en cuenta que en esta aproximación se pasa de una distribución de variable aleatoria discreta a una distribución para una variable aleatoria continua. En las variables aleatorias continuas la probabilidad que una variable tome un valor concreto es cero, mientras que en las variables discretas no. Para poder realizar cálculos de valores de la variable concretos se debe realizar una corrección de continuidad. PX = k = Pk 0,5 < x < k + 0,5 Página 25

26 EJEMPLOS 1. Si se define una distribución binomial de la forma B(20;0,32), si se desea aproximar a una distribución normal, qué valor debe tomar y, respectivamente? 2. Se lanza un dado 128 veces, si se hace una aproximación de esta binomial a la normal para determinar la probabilidad de obtener 50 números divisores de 5, cuál es la desviación estándar que se utilizará? 3. Se lanza una moneda 400 veces y se hace una aproximación de la distribución binomial a la normal. Si X representa el número de caras, entonces por corrección de continuidad para determinar P(X = 100), en qué intervalo se ubicará X? 4. El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si se tienen una producción de 400 tornillos, cuál es la probabilidad que sean menos de 8 los tornillos defectuosos? RESPUESTAS 1. = 6, 4 y = 4, = 3 3. ]99,5 ; 100,5[ 4. 50% Página 26

27 ANEXO 1 TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA PX < x i = PZ < x x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , ,99998 Página 27

28 EJERCICIOS ADICIONALES 1. Si los elementos de una población son: S, T, U y V, los cuales corresponden a números enteros positivos. La tabla muestra el registro de las medias de cuatro muestras correspondientes a un experimento realizado. Cuál es el valor de la media aritmética de esa población? Muestra Media de la muestra {S,T} 6 {U,T} 4 {S,U} 3 {V,T} 5 2. Una población tiene los siguientes elementos: 1, 3, 4, 6, 7 y 9. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) El promedio de una muestra de tamaño 3 es mayor que el promedio de una muestra de tamaño 2. II) El número total de muestras de tamaño 4, sin reemplazo y sin orden, que se pueden extraer de la población es 15. III) La suma de los errores muéstrales es cero. 3. El número de horas diarias que dedican a sus obligaciones escolares los estudiantes de cierta comunidad durante la semana es una variable aleatoria con distribución normal, cuya desviación estándar es de 2,02 horas. Para una muestra al azar de 16 estudiantes se estima un margen de error de 30 minutos. Cuál es el nivel de confianza utilizado? (utilice tabla de distribución normal estandarizada) 4. La tabla muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria X X P(X = x i ) 0,19 0,17 k 0,23 0,32 Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El valor de K es 0,09. II) P(X > 3) = 1 P(X 3) III) P(X = 5) = 1 Página 28

29 5. Sea f la función de probabilidad de variable aleatoria X definida por K - 2x, si x = 1 f(x) = kx, si x= 2 3 0, en otro caso Determine el valor de k 6. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria x que corresponde al experimento lanzar un dado común. Con esta información, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? x f(x) 2k 15 k 15 k 15 2k 15 k 15 3k 15 I) El valor de k es 1,5. II) La probabilidad de obtener un par es 0,6. III) La probabilidad de obtener un número par o múltiplo de 3 es 0,7. 7. Sea f(x) = 2kx con k una constante, la función de probabilidad de una variable aleatoria x cuyo recorrido es {1, 3, 5, 7}. Si F es la función de distribución de probabilidad acumulada de x, entonces F(5) es Página 29

30 8. En una distribución normal estándar si P(X b) = a; entonces P(X > b) = 9. Un destacado Biólogo Marino estudia el comportamiento de los salmones en el sur de Chile. Una de las características importantes para su estudio es el tamaño de éstos, el cual, se sabe que sigue una distribución normal con media 82,34 cm y desviación estándar 2,2 cm. De acuerdo a esta información, coloque V si la afirmación es verdadera y F si es falsa: a) La probabilidad de sacar un salmón con un tamaño menor a 82,34 cm es 50%. b) La probabilidad de obtener un salmón con tamaño 84,54 cm es aproximadamente de 63%. c) La probabilidad de obtener un salmón con un tamaño mayor a 84,54 cm es igual a la probabilidad de obtener un salmón de tamaño menor a 80,14 cm. d) La probabilidad de obtener un salmón con un tamaño menor a 77,94 cm es mayor a la probabilidad de obtener un salmón de mayor tamaño que 84,54 cm. e) La moda poblacional de los salmones es de 82,34 cm. Página 30

31 10. Se tienen tres distribuciones normales N 1 ( 1 ; 1 ), N 2 ( 2 ; 2 ), N 3 ( 3 ; 3 ), que cumplen que 1 < 2 < 3 y 3 < 2 < 1, por lo tanto, si se grafican todas en el mismo eje, cuál(es) de las siguientes gráficas corresponde(n) a la situación planteada? I) II) III) 11. Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). A) P(X < 0) = 0,5 B) P(X < 1) = P(X > 1) C) P(X < -3) + P(X < -2) + P(X < -1) + P(X < 0) = 0,5 D) P(1 < X < 3) = P(X < 3) P(X < 1) E) P(X < -2) P(X < -3) = P(X < 3) P(X < 2) Página 31

32 12. Una empresa alemana de automóviles tiene conocimiento de que el tiempo que se demoran en ensamblar un automóvil completamente distribuye normalmente con media 122 min y desviación estándar de 3 min. Por lo tanto, cuál es la probabilidad de que un ensamblado dure menos de 126,5 min? Página 32

33 SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. Un estuche contiene solo 8 lápices del mismo tipo, de los cuales 3 son azules y 5 son rojos. Si se extraen simultáneamente, al azar, 4 lápices del estuche y se define la variable aleatoria X como el número de lápices azules extraídos, cuáles son todos los posibles valores de X? A) 1, 2 y 3 B) 0, 1, 2 y 3 C) 1, 2, 3 y 4 D) 0, 1, 2, 3 y 4 E) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (DEMRE. Publicación 2015) 2. En el experimento de lanzar una moneda dos veces, se define la variable aleatoria X como el número de sellos obtenidos en los dos lanzamientos. Cuál de los siguientes gráficos representa la función de probabilidad de la variable aleatoria X? (DEMRE. Publicación 2015) Página 33

34 3. Sea f la función de probabilidad de la variable aleatoria X definida por k 4 x, si x = 1 fx kx, si x = 2 0, en otro caso A) 1 2 B) 1 5 C) 1 4 D) 1 3 E) ninguno de los anteriores (DEMRE. Publicación 2015) 4. En el experimento de lanzar un dado, se define la variable aleatoria X como el número obtenido en el lanzamiento del dado. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad f de X. Según esta información, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El valor esperado de X es 3,8. II) La probabilidad de obtener un número par es 0,5. III) La probabilidad de obtener un número menor o igual que 2 es igual a la probabilidad de obtener un 6. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III x f(x) 1 0,10 2 0,15 3 0,20 4 0,20 5 0,10 6 0,25 (DEMRE. Publicación 2016) Página 34

35 5. Se define la variable aleatoria X como la cantidad de minutos de atraso de una persona a su trabajo en un cierto día. En la tabla adjunta se muestra la función de probabilidad de X. Dado que el valor esperado de X es 5 minutos, entonces su desviación estándar es A) 44 minutos B) 10 minutos C) 0 minutos D) 10 minutos E) 44 minutos k P(X = k) (DEMRE. Publicación 2015) 6. En la tabla adjunta se muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) p = 0,2 II) El valor esperado de X es 3. III) La desviación estándar de X es 0. A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III k P(X = k) p p p p P (DEMRE. Publicación 2015) 7. Sea X una variable aleatoria continua cuya función de densidad de probabilidad es 2kx, si 0 x 3 f(x) 6k, si 3 < x 5 0, en cualquier otro caso Si k es un número real positivo, entonces k es A) 1 24 B) 1 12 C) 1 21 D) 1 30 E) ninguno de los valores anteriores. (DEMRE. Publicación 2016) Página 35

36 8. El gráfico de la figura adjunta representa la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X. Si el recorrido de X es {a, b, c} y P(X = b) = 0,2, cuál es el valor de P(X = a)? A) 4 10 B) 3 10 C) 3 10 D) 3 10 E) Indeterminable con los datos dados. (DEMRE. Publicación 2016) 9. Sea f(x) = k 2 x 2, con k una constante, la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X que tiene como recorrido el conjunto {1, 2, 4, 10}. Si g es la función de distribución de probabilidad acumulada de X, entonces g(2) es A) B) C) D) 11 E) indeterminable. (DEMRE. Publicación 2016) Página 36

37 10. Si se lanza un dado común 120 veces, cuál es la probabilidad de obtener exactamente 20 veces el número 1? A) B) C) D) E) (DEMRE. Publicación 2015) 11. Sea X una variable aleatoria continua, tal que X ~ N(, 2 ), donde se sabe que P( X + ) = 0,6826 y P( 2 X + 2) = 0,9545. Cuál es el valor de P( X + 2)? A) 0,13595 B) 0,2719 C) 0,86405 D) 0,81855 E) Ninguno de los anteriores. (DEMRE. Publicación 2015) 12. Si una variable aleatoria X tiene distribución normal con media igual a 1 y desviación estándar igual a 2, cuál de las siguientes variables aleatorias tiene distribución normal de media 0 y varianza 1? A) B) C) D) X 1 Y 2 X 1 W 2 X 1 V 4 X K 4 E) L X 2 (DEMRE. Publicación 2016) Página 37

38 13. Sea X una variable aleatoria tal que X ~ B(40; 0,5). Si la distribución de X es aproximada por una distribución normal con media μ y desviación estándar, cuáles de los siguientes valores corresponden a los valores de y, respectivamente? A) 20,5 y 10 B) 20 y 10 C) 20 y 0,5 D) 20,5 y 0,5 E) 20 y 10 (DEMRE. Publicación 2016) 14. Se tiene una población compuesta por las fichas 1, 3, 5, 5 y 7. Cuál es la cantidad de todas las posibles muestras (sin reposición y sin orden) de tamaño 2 que pueden extraerse desde esta población? A) 10 B) 20 C) 25 D) 6 E) 12 (DEMRE. Publicación 2015) 15. El número de todas las posibles muestras distintas, sin orden y sin reposición, de tamaño 3 que se pueden formar con un total de 9 elementos, es A) 9 B) 729 C) 27 D) 84 E) 504 (DEMRE. Publicación 2016) Página 38

39 16. Sea la población P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Si desde P se extraen todas las muestras posibles, sin reposición y sin orden, de tamaño 9, y a cada una de ellas se les calcula su promedio, cuál es la suma de todos estos promedios? A) 55 B) 55 5 C) 5 D) 5,5 5 E) 50 (DEMRE. Publicación 2016) 17. Todos los elementos de una población son: P, Q, R y S, los cuales corresponden a números enteros positivos. En las tablas adjuntas se muestran los resultados de dos experimentos realizados con esta población. En el primero se sacó tres muestras distintas de tamaño 2 de la población y se registró la media de cada una de ellas. En el segundo se sacó cuatro muestras distintas de tamaño 2 de la misma población anterior y se registró la media de cada una de ellas. Cuál es el valor de la media aritmética de esa población? A) 17 B) 11,3 C) 9,575 D) 9,5 E) 14,25 Experimento 1 Muestra Media de la muestra {R, S} 12 {P, S} 14 {Q, S} 11 Experimento 2 Muestra Media de la muestra {P, Q} 7 {P, R} 8 {Q, R} 5 {Q, S} 11 (DEMRE. Publicación 2015) Página 39

40 18. La cantidad de televisores por familia en una ciudad, se modela por medio de una distribución normal con media y varianza 0,25. Se toma una muestra aleatoria de 100 familias de esta ciudad, obteniéndose una media de 2,75 televisores. Para los resultados de esta muestra, cuál de los siguientes intervalos es el intervalo de confianza de nivel 0,95 para? A) B) C) D) E) 1 1 2,75 1,96 ;2,75 1, ,75 1,95 ;2,75 1, ,96 ;1, ,95 ;1, ,75 1,96 ;2,75 1, (DEMRE. Publicación 2015) 19. Los datos de una población se modelan mediante una distribución normal, con media y varianza 4. Se toma una muestra de esta población de tamaño 49, cuyo promedio es 57,5. Si de esta muestra se obtiene un intervalo de confianza para igual a [56,94; 58,06], cuál de los siguientes valores es el coeficiente asociado al nivel de confianza de este intervalo? A) 13,72 B) 0,98 C) 1,96 D) 0,56 E) 0,28 (DEMRE. Publicación 2016) Página 40

41 20. En el experimento de lanzar dos dados comunes 150 veces, se define la variable aleatoria X como el número de veces en los cuales la suma de los dos dados es mayor que 10. Cuál de las siguientes expresiones representa a P(X > 1)? A) B) C) D) E) (DEMRE. Publicación 2016) 21. De una población de n elementos se obtendrán todas las muestras de tamaño m que se pueden formar con ella, con n > m y donde las medias aritméticas de todas las muestras serán distintas. Se puede determinar la media de la población, si se conoce: (1) La media aritmética de cada muestra. (2) El valor de n y de m. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional (DEMRE. Publicación 2015) 22. En el experimento de lanzar n dados comunes se define una variable aleatoria como la suma de los números obtenidos. Se puede determinar n, si: (1) Se conoce el recorrido de la variable aleatoria. (2) Se sabe que la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 30 es cero y la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 24 no es cero. A) por sí sola B) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional (DEMRE. Publicación 2016) Página 41

42 RESPUESTAS EJERCICIOS ADICIONALES Solo II y III 3. 68% 4. Solo I y II I, II y III a 9. V F V F V 10. Solo I 11. V F F V V % RESPUESTAS EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. B 6. C 11. A 16. B 21. A 2. A 7. C 12. B 17. D 22. D 3. B 8. A 13. E 18. E D 9. B 14. A 19. C D 10. B 15. D 20. A -- DMDS-GMA-L09 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web Página 42

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