Medidas de Concentración

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1 Capítulo 2 Medidas de Concentración Adaptado de Como estudiar la concentración del Ingreso? Cuando observamos el ingreso de una población en general el ingreso tiene una distribución muy asimétrica, que se parece a la curva de Pareto. Una de las caracterizaciones más simples de la distribución de Pareto, cuando se usa para modelar la distribución de riqueza, dice que la proporción de la población cuya riqueza excede cualquier número positivo x > x m es: ( xm x ) α (2.1) donde x m es la riqueza de la gente más pobre (el subíndice m significa mínimo). El índice de Pareto es el parámetro α. Cuanto más grande sea el índice de Pareto, más pequeña será la proporción de gente muy rica. Pero alcanza con ver solamente la distribución para ver si existe concentración del Ingreso? Veamos el siguiente ejemplo Ejemplo 8 Se conocen los siguientes datos de la Encuesta Continua de Hogares de 1996 de un país, relativos a la distribución por ingreso per cápita del hogar (en SMN) de 9470 estudiantes universitarios. 73

2 Curva de Lorenz e Indice de Gini x i 1 x i n(x i ) x i x i n(x i ) h(x i ) F (x i) t(x i ) T (x i) Curva de Lorenz e Indice de Gini La curva de Lorenz es una forma gráfica de mostrar la distribución de la renta en una población. En ella se relacionan los porcentajes acumulados de población con porcentajes acumulados de la renta que esta población recibe. En el eje de abcisas se representa la población ordenada de forma que los percentiles de renta más baja quedan a la izquierda y los de renta más alta quedan a la derecha. El eje de ordenadas representa las rentas. Figura 2.1: Curva de Concentración Notas de Curso para Estadística Descriptiva

3 Curva de Lorenz e Indice de Gini En la gráfica se muestran como ejemplo la representación de dos países imaginarios, uno en azul y otro en rojo. La distribución de la renta en el país azul es más desigual que en el país rojo. En el caso del país azul, el cuarenta por ciento más pobre de la población recibe una renta inferior al veinte por ciento del total del país. En cambio, en el país rojo, el cuarenta por ciento más pobre recibe más del veinte por ciento de la renta. La línea diagonal negra muestra la situación de un país en el que todos y cada uno de los individuos obtuviese exactamente la misma renta; sería la equidad absoluta.cuanto más próxima esté la curva de Lorenz de la diagonal, más equitativa será la distribución de la renta de ese país. Figura 2.2: Curva de Lorentz Otra forma de observar la curva de Lorenz es estimando el área de la superficie que se encuentra entre la curva y la diagonal. Esa superficie se llama área de concentración. En la segunda gráfica la hemos rellenado de color rosado. Cuanto mayor sea esta área más concentrada estará la riqueza; cuanto más pequeña sea esta área, más equitativa será la distribución de la renta del país representado. El índice de Gini, es un índice de concentración de la riqueza que se calcula de la siguiente manera Notas de Curso para Estadística Descriptiva

4 Curva de Lorenz e Indice de Gini I G = i=n 1 (F (x i) T (x i)) i=n 1 F (x i ) (2.2) Cuando la renta esta repartida por igual, es decir que la concentración es mínima F (x i) = T (x i), entonces tenemos que I G = i=n 1 0 F (x i ) = 0 Cuando hay un solo individuo o grupo que concentra todo el ingreso queda I G = i=n 1 i=n 1 F (x i) 0 F (x i ) = 1 Por lo tanto para I G su valor estará entre cero y uno. Otra forma alternativa de calcular el I G es en función de la Curva de Lorenz (CL) IG = 2 ACL (2.3) Si la concentración es mínima la CL coincide con la diagonal y el área del numerador es O y por lo tanto I G = 0. Existen 2 valores asociados al ingreso que son La mediana del ingreso, que representa el menor valor para el cual la mitad de las familias tienen un ingreso menor o igual a ese valor, y la mitad de las familias tienen un ingreso mayor o igual al mismo. La medial o mediala, que debe considerarse como el valor tal que las familias que tienen ingresos menores o iguales al mismo, representan la mitad del ingreso total de las familias, y las familias que tienen ingresos mayores o iguales a la medial tienen también la mitad del ingreso total. Volviendo al ejemplo de los estudiantes universitarios Como queda la curva de Lorenz? Cuanto vale la mediana? Notas de Curso para Estadística Descriptiva

5 Otras medidas de Concentración y la Mediala? Figura 2.3: Curva de Concentración para gasto en educación 2.3. Otras medidas de Concentración Otra forma de medir la equidad en el reparto de una magnitud económica es a través de medidas de entropía que sirve para medir el grado de desorden o de uniformidad en una distribución. Si por ejemplo tenemos n personas que tiene cada uno x 1, x 2, x 3,..., x n rentas (podrían ser sueldos) de manera que tenemos x i = X (2.4) donde X es la renta acumulada o total. Podríamos calcular el % de renta que le corresponde a cada uno como Entonces tenemos que p i = x i X p i = 1 = 100 % En este caso la entropía de esa series de rentas se puede calcular como (2.5) Notas de Curso para Estadística Descriptiva

6 Otras medidas de Concentración H N (x) = p i log(p i ) = p i log( 1 ) (2.6) p i Si analizamos ese índice tenemos H N (x) es siempre positivo ya que log(p i ) 0 Cuando las rentas se reparten por igual tenemos p i = 1 n con lo cual p i log( 1 ) = p i 1 n log( 1 1/n ) = log(n) Cuando hay máxima concentración, es decir que hay un p i = 1 con lo cual los restantes p j con i j se puede probar que H N (x) = p i log( 1 ) = , = 0 p i Teniendo en cuentas las 2 situaciones anteriores se puede decir que el rango de variación es 0 < H N (x) log(n) A partir de este índice, Theil propone la entropía como una medida de la equidad en la distribución de magnitudes económicas. Sin embargo este indicador depende de la cantidad de observaciones n. Se pueden construir 2 medidas de desigualdad pero de manera que cuando sea mínima valga 0 y sea máxima para log(n) T = log(n) H n (x) (2.7) Este nuevo indicador se llama redundancia y es opuesta a la entropía. Para subsanar el problema de la dependencia del valor de la entropía en función de n, se puede relativizar, con lo cual queda la redundancia relativa que es T r = log(n H n(x)) log(n) = 1 H n(x) log(n), 0 T r < 1 (2.8) que permite comparar 2 situaciones con cantidades de rentas diferentes. Ejemplo 9 Cuanto vale el coeficiente de concentración de Theil para la siguiente serie de valores que le corresponden a una serie de herederos Notas de Curso para Estadística Descriptiva

7 Otras medidas de Concentración Valor de la herencia p i log(p i ) log(p i )p i Podemos calcular T = log(n) p i log(p i ) = log(5) 0,5901 = 0,1087 Con este valor podemos decir que la reduncia relativa es de T r = 0,1087 0,6989 = 0, Quintile y Decile share ratio Se puede definir S 1 0 es la renta media de individuos que tienen un ingreso inferior al primer decil x1/10 S 2 0 es la renta media de individuos que tienen un ingreso inferior al segundo decil x2/10 S 8 0 es la renta media de individuos que tienen un ingreso superior al octavo decil x8/10 S 9 0 es la renta media de individuos que tienen un ingreso superior al noveno decil x9/10 QSR = S 80 S 2 0 DSR = S 90 S 1 0 (2.9) (2.10) Notas de Curso para Estadística Descriptiva

8 Aplicaciones con la librería ineq 2.4. Aplicaciones con la librería ineq La librería ineq permite calcular varias indices de concentracion y hacer la curva de Lorenz. Veamos el ejemplo 9 hecho en el R, calculando en forma manual y luego con las funciones de la librería library(ineq) #En esta libreria se pueden manejar diferentes indices para medir desigualdad #Gini(x) #RS(x) #Atkinson(x, parameter = 0.5) #Theil(x, parameter = 0) #Kolm(x, parameter = 1) #var.coeff(x, square = FALSE) #entropy(x, parameter = 0.5) herencia<-c(40000,25000,89000,115000,15000) herencia<-data.frame(herencia) herencia suma.herencia<-sum(herencia$herencia) p.i<-herencia$herencia/suma.herencia sum(p.i) log.p.i<-log(p.i) log.p.i_p.i<-log.p.i*p.i tabla.herencia<-cbind(herencia,p.i,log.p.i,log.p.i_p.i) tabla.herencia Theil1<-log(nrow(tabla.herencia))+sum(tabla.herencia[,4]) Theil1 ineq(herencia,type=c("theil")) Los resultados son > herencia herencia Notas de Curso para Estadística Descriptiva

9 Aplicaciones con la librería ineq > suma.herencia<-sum(herencia$herencia) > p.i<-herencia$herencia/suma.herencia > sum(p.i) [1] 1 > log.p.i<-log(p.i) > log.p.i_p.i<-log.p.i*p.i > tabla.herencia<-cbind(herencia,p.i,log.p.i,log.p.i_p.i) > tabla.herencia herencia p.i log.p.i log.p.i_p.i > Theil1<-log(nrow(tabla.herencia))+sum(tabla.herencia[,4]) > Theil1 [1] > ineq(herencia,type=c("theil")) [1] Tenemos ahora otro ejemplo con datos provenientes de uan encuesta sobre ingresos hecha por la oficina estadistica de Filipinas (ejemplo estraído de la librería ineq) Son 632 hogares de los cuales se consideran los pertenecientes a 2 provincias data(ilocos) attach(ilocos) summary(ilocos) ## se seleccionan los ingresos de las provincias "Pangasinan" y "La Union" income.p <- income[province=="pangasinan"]/10000 Notas de Curso para Estadística Descriptiva

10 Aplicaciones con la librería ineq income.u <- income[province=="la Union"]/10000 ## se calcula la curva de Lorenz Lc.p <- Lc(income.p) Lc.u <- Lc(income.u) plot(lc.p) lines(lc.u, col=2) Figura 2.4: Comparación de Curvas de Lorenz para 2 provincias Notas de Curso para Estadística Descriptiva