Estadística con R. Nivel Básico

Transcripción

1 Estadística con R. Nivel Básico Vanesa Jordá Departamento de Economía Universidad de Cantabria 11 de octubre de

2 Índice: Estadística descriptiva u Datos univariantes: I. Medidas de posición II. Medidas de dispersión III. Representación grá9ica de los datos IV. Medidas de forma u Datos bivariantes: I. Coe9iciente de correlación II. Grá9ico de dispersión Índice 2

3 Conceptos previos La estadística descriptiva se emplea para resumir la información proporcionada por un determinado conjunto de datos. (Vanesa) La inferencia estadística emplea modelos para describir una determinada variable aleatoria (X), considerando el conjunto de datos a estudiar una muestra de observaciones idéntica e independientemente distribuidas (i.i.d) con la misma distribución de X. (José María) Se puede estudiar una o varias variables simultáneamente, siendo interesante analizar en este último caso la relación entre ellas. 3

4 Conceptos previos Partimos de un conjunto de n datos: x 1,, x n Correspondientes al valor de una determinada variable, e.g. renta, edad, número de hijos, etcétera. En esta parte del curso vamos a emplear el conjunto de datos contenido en el archivo datos2.txt, que contiene la renta per cápita de los países del mundo en dólares internacionales de 2011 y los años promedio de educación (World Development Indicators, 2016). Nuestro objetivo será resumir la información contenida en este conjunto de datos. 4

5 Medidas de posición Media aritmética Es una medida de tendencia central (me indica en torno a qué valor se sitúan mis datos) NOTA: Es muy sensible a los valores atípicos y observaciones extremas. Ejemplo: Cálculo de la media de los datos de renta de datos2.txt. mean(renta) [1]

6 Medidas de posición Mediana Considerando los datos ordenados de menor a mayor, la mediana es el valor que deja a izquierda y derecha el mismo número de observaciones. Ordenamos en primer lugar los datos: x (1),, x (n) n impar: x ([n+1]/2) n par: media de x (n/2), x ([n/2+1) NOTA: Es menos sensible que la media a valores atípicos y valores extremos. Ejemplo: Cálculo de la mediana de los datos de renta de datos2.txt. median(renta) [1]

7 Medidas de posición Mediana NOTA: Es menos sensible que la media a valores atípicos y valores extremos Ejemplo: Cálculo de la media y la mediana de los datos de renta de datos2.txt menos su máximo. mean(renta2) median(renta2) [1] [1] mean(renta) median(renta) [1] [1]

8 Medidas de posición Cuantiles El cuantil de orden p (q p ) el el valor que deja a la izquierda un p% de las observaciones (i.e. p% de los datos menores que ese valor). Casos particulares: Cuartiles: dividen los datos en cuatro bloques. Q 1 : deja a la izquierda el 25% de las observaciones. Q 2 mediana: deja a la izquierda el 50% de las observaciones. Q 3 : deja a la izquierda el 75% de las observaciones. Q 4 máximo: deja a la izquierda el 100% de las observaciones. Deciles: dividen los datos en diez bloques. Percentiles: dividen los datos en cien bloques. 8

9 Medidas de posición Cuantiles Para calcular el cuantil de orden p (q p ) descomponemos la observación x (p[n- 1]+1) en su parte entera y decimal: p(n- 1)+1= j+k donde j es la parte entera y k la parte decimal [0,1], siendo el cuantil q p q p = (1- k) x (j) + k x (j+1) Ejemplo: Cálculo la mediana de los datos de renta de datos2.txt. >quantile(renta,0.1) >0.9*rentaord[14]+0.1*rentaord[15]

10 Medidas de dispersión Varianza y desviación típica La varianza mide la distancia de los datos a la media: La desviación típica es la raíz positiva de la varianza, siendo su principal ventaja con respecto a ésta que viene representada en las mismas unidades que la variable. NOTAS Ambas medidas de dispersión son muy sensibles a los valores extremos. No es posible comparar la dispersión de dos variables en diferentes unidades de medida con estos estadísticos. 10

11 Medidas de dispersión Coe9iciente de variación (CV) Es una medida de dispersión relativa, que permite la comparación de la dispersión de dos variables medidas en distintas unidades. Ejemplo: Cálculo de varianza, desv. típica y CV de ingreso y educación. > var(renta) var(educacion) [1] > sd(renta) sd(educacion) [1] > sd(renta)/mean(renta) sd(educacion)/mean(educacion) [1]

12 Medidas de dispersión Recorrido intercuartílico y semi- intercuartílico Estas dos medidas de dispersión emplean la relaciones entre los cuartiles: La principal diferencia entre ambas es que la segunda nos permite comparar la dispersión de dos variables independientemente de la escala. Ejemplo: Recorrido intercuartílico y semi- intercuartílico de la renta per cápita RI<- quantile(renta,0.75)- quantile(renta,0.25) RSI<- RI/(quantile(renta,0.75)+quantile(renta,0.25))

13 Representación grá9ica Diagrama de caja (box plot) 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 Observaciones atípicas Q 3 Q RI Q 1 Q 2 Q 1-1.5RI 13

14 Representación grá9ica Histograma Sea a 1 < <a i <a i+1 <, deeinimos para t perteneciente al intervalo (a i, a i+1 ]. La amplitud del intervalo se deeine como h n = a i+1 - a i, mientras que I (ai, ai+1] es un indicador que vale 1 si la observación se encuentra en dicho intervalo y cero en caso contrario. Ejemplo: Histograma para la variable ingreso. hist(renta) (j) 14

15 Representación grá9ica Histogram of muestra Frequency Es algo simple! muestra 15

16 Representación grá9ica Histograma del PIB per cápita Frecuencia PIB per cápita 16

17 Representación grá9ica Histogram of muestra Histogram of muestra Histogram of muestra Frequency Frequency Frequency muestra muestra 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 muestra 17

18 Representación grá9ica Estimadores núcleo o kernel Es una forma soeisticada de representar la distribución de los datos. Se puede generalizar este método reemplazando la densidad uniforme por una función de densidad determinada que denominamos kernel o núcleo. El más utilizado (y el que se emplea por defecto en R) es el núcleo gaussiano. 18

19 Representación grá9ica Estimadores núcleo o kernel f n (t) f n (t) 19

20 Representación grá9ica Estimadores núcleo o kernel El estimador kernel viene dado por: Ejemplo: Estimación kernel de la función de densidad de la variable ingreso. plot(density(renta)) 20

21 Representación grá9ica 0e+00 1e-05 2e-05 3e-05 4e

22 Representación grá9ica Density 0e+00 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 5e-05 6e muestra 22

23 Representación grá9ica Kernel triangular Kernel rectangular Kernel gaussiano Density 0e+00 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 Density 0e+00 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 Density 0e+00 1e-05 2e-05 3e-05 4e N = 167 Bandwidth = N = 167 Bandwidth = N = 167 Bandwidth =

24 Representación grá9ica Density 0.0e e e e e e e-05 Density 0e+00 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 Density 0e+00 2e-05 4e-05 6e-05 8e-05 0e+00 5e+04 1e+05 N = 167 Bandwidth = N = 167 Bandwidth = e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 N = 167 Bandwidth =

25 Medidas de forma Coe9iciente de asimetría g 1 = 0, la distribución es simétrica. g 1 < 0, la distribución es asimétrica negativa. g 1 > 0, la distribución es asimétrica positiva. Ejemplo: library(moments) skewness(renta) [1]

26 Medidas de forma Density 0e+00 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 5e-05-1e+05-5e+04 0e+00 5e+04 1e+05 N = 1000 Bandwidth =

27 Medidas de forma Coe9iciente de curtosis Mide el grado de apuntamiento de la distribución con respecto a la distribución normal estándar g 2 = 0, la distribución es mesocúrtica. g 2 < 0, la distribución es platicúrtica. g 2 > 0, la distribución es leptocúrtica. Ejemplo: library(moments) kurtosis(renta)- 3 [1]

28 Medidas de forma Density

29 Análisis de datos bivariantes En este caso observamos dos variables de cada uno de los componentes de la muestra. Ejemplo: Relación entre el capital humano de un país y su nivel de renta. Los objetivos del análisis de bivariante (multivariante, en términos generales) es entender la relación que existe entre las variables. Para ello empleamos: 1. Estadísticos resumen. La covarianza y el coeeiciente de correlación. 2. Herramientas gráeicas. El gráeico de dispersión. 29

30 Análisis de datos bivariantes Covarianza entre las variables X e Y La covarianza determina el tipo de relación lineal entre las variables X e Y La magnitud de este estadístico no es informativa, dado que depende de la unidad de medida de la variable, lo que es relevante es su signo. Ejemplo: cov(renta,educacion) [1]

31 Análisis de datos bivariantes Coe9iciente de correlación entre las variables X e Y Proporciona una medida del grado de relación lineal entre las variables. r XY = 0, no existe relación lineal entre las variables. r XY = 1, relación lineal positiva perfecta entre las variables. r XY = - 1, relación lineal negativa perfecta entre las variables. 0< r XY < 1, relación lineal positiva entre las variables. - 1< r XY < 0, relación lineal negativa entre las variables. Ejemplo: cor(renta,educacion) [1] Y 31

32 Análisis de datos bivariantes renta 0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05 r XY = 0, educacion 32

33 Análisis de datos bivariantes log(renta) r XY = 0, educacion 33

34 Análisis de datos bivariantes Correlación positiva perfecta Correlación negativa perfecta Y Y X X 34

35 Análisis de datos bivariantes r XY = 0, r XY = 0,

36 Análisis de datos bivariantes Un r XY cercano Correlación a 0 se interpreta débil como una débil asociación lineal Y r XY = 0, samplen^ r XY = - 0, X samples

37 1. Ejemplo de datos tabulados Los siguientes datos recogen una muestra de notas de la asignatura de Estadística II del Grado en Economía: Calcular: Nota Alumnos a) Nota media. b) Nota mínima del 10 por ciento de los mejores alumnos. c) Varianza de las calieicaciones de Estadística II. d) Diagrama de caja. Hay algún valor atípico? e) Histograma de las calieicaciones anteriores. 37

38 2. Ejemplo de datos tabulados La siguiente tabla recoge información sobre el número de accidentes en el último año y los años de carnet de conducir de una muestra de clientes de una aseguradora: Nº accidentes\años de carnet a) Calcular la covarianza y el coeeiciente de correlación entre el número de años de carnet y el número de accidentes. b) Representar gráeicamente la relación entre ambas variables por medio de un gráeico de dispersión. 38