LOS convertidores DC-DC son circuitos que controlan la

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1 5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 212) 1 Modelado de Convertidores de Potencia DC-DC Buck-Boost usando el enfoque de Complementariedad Gustavo Colmenarez, Phd.Miguel Ríos, y Phd.Richard Marquez Resumen En este trabajo se desarrolla el modelado matemático de convertidores de potencia DC-DC Buck-Boost usando el enfoque de complementariedad. El modelo de complementariedad de convertidores de potencia es una alternativa frente a los modelos generalmente usados como los modelos promediados. Este modelo contiene un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que dan forma a un problema de complementariedad. El problema de complementariedad es un problema de optimización matemática, en el cual se tienen un conjunto de restricciones que deben ser satisfechas para encontrar su solución. Esta técnica se basa en modelar la parte dinámica de los convertidores separadamente de los elementos conmutadores para luego integrarse en un solo modelo, tomando como variables complementarias las corrientes y voltajes de los dispositivos electrónicos. Finalmente, se evalúa la evolución de estos modelos y se compara su comportamiento con el comportamiento de los modelos utilizados por aplicaciones de simulación tipo PSpice. Palabras claves Convertidores de Potencia, Complementariedad, Modelado, Simulación, Sistemas Híbridos. I. INTRODUCCIÓN LOS convertidores DC-DC son circuitos que controlan la carga y descarga de energía en sus elementos pasivos almacenadores de energía (capacitores e inductores), consiguiendo un cambio en el nivel de una tensión continua; por lo cual, el flujo de energía queda determinado por el uso y control de elementos conmutados. Las variables de estados para los convertidores son, generalmente, los voltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores. En este trabajo se presenta el modelado matemático de convertidores DC-DC desde el enfoque complementariedad, el cual es un método alternativo al enfoque de modelos promedios, basado en conmutaciones de alta frecuencia. En las secciónes II y III se presenta una descripción del modelado de convertidores de potencia conmutados, utilizando el marco de sistemas de complementariedad, en la sección IV se formalizan los modelos de complementariedad de convertidores de potencia y en la sección V se desarrolla el modelo de complementariedad del convertidor Buck-Boost y en la sección IV se presenta la comparación del modelo de complementariedad con el modelo de Orcad Pspice. Artículo recibido el 12 de Febrero de 212. Este artículo fue financiado por la Universidad de Los Andes G.C., M.R., y R.M. están con la Universidad de Los Andes, Sector La Hechicera, Facultad de Ingeniería, Escuela de Ingeniería de Sistemas, Mérida, Mérida, Venezuela, gustavocolmenarez@ula.ve, riosm@ula.ve, marquez@ula.ve. II. MODELADO DE COMPLEMENTARIEDAD DE CONVERTIDORES DE POTENCIA Existen diversas formas de obtener modelos de convertidores de potencia [1] [3]. Generalmente estos convertidores se modelan asumiendo a todos sus dispositivos electrónicos como ideales, esto es, sin pérdidas de conmutación; en estado de conmutación (ON) presentan un voltaje nulo (v=), y en estado de corte (OFF) tienen una corriente de paso nula (i=), luego se crea un modelo dinámico lineal invariante en el tiempo, para cada una de las dinámicas asociadas a los diferentes modos del convertidor, y se determinan las condiciones de conmutación entre los diferentes modos. El modelo resultante es el llamado modelo de conmutación. Dado que las condiciones de conmutación pueden depender de las variables de estados, el modelo de conmutación eventualmente se vuelve complejo para simples topologías de convertidores. En general un modelo conmutado que describe todas las posibles condiciones de operación es también llamado modelo de conmutación completo; estos modelos son muy difícil de construir para topologías con más de dos dispositivos electrónicos. Una nueva perspectiva para obtener el modelo de conmutación completo de convertidores de potencia electrónicos y para simular su comportamiento, es el llamado formalismo de complementariedad conmutada, [4]. Para tener una visión más clara de los sistemas complementarios es necesario definir las nociones básicas acerca de la teoría de complementariedad. Un problema de complementariedad es un tipo de problema de optimización matemática, [5] [7]. Este problema consiste en encontrar dos vectores variables z y w, que satisfagan ciertas restricciones. Sea M una matriz cuadrada de orden n y q un vector columna en R n el problema consiste en encontrar z = (z 1, z 2,..., z n ) T, w = (w 1, w 2,..., w n ) T satisfaciendo que: w Mz = q. Cada uno de los componentes de los vectores tienen que ser mayor o igual a cero, es decir, z i y w i para i = 1,..., p. El producto escalar entre los dos vectores debe ser igual a cero z T w =, esto quiere decir que para cada par de componentes (z i, w i ) alguno de ellos debe ser cero. La principal idea para la construcción del modelo complementario de un convertidor de potencia consiste en modelar las características de los dispositivos electrónicos separadamente del circuito en el cual se están usando y luego integrar estas ISBN: P-26

2 5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 212) 2 Las ecuaciones (1) equivalen a la dinámica del sistema sin los elementos conmutadores, sin embargo, para obtener el modelo completo, las ecuaciones (1) deben integrarse con las características de los dispositivos electrónicos. Tomando a los dispositivos electrónicos como ideales sus características pueden ser analíticamente representadas como: Fig. 1: Interconexión retroalimentada entre un sistema dinámico invariante en el tiempo Σ d y el conjunto de características corriente-voltaje (ϕ, λ) de los diferentes dispositivos electrónicos. R i 1 v 1 =, DE 1 está ON (2a) i 1 v 1, DE 1 está OFF (2b) v 2 i 2 (2c) Los modelos (1) y (2) puede ser reescrito en la llamada forma de complementariedad cónica conmutada: ẋ = Ax + Bz + Eu + g (3a) w = Cx + Dz + F u + h (3b) Cπ z w C π (3c) Fig. 2: Esquema del circuito de un convertidor DC-DC de tipo Buck-Boost representaciones con las ecuaciones dinámicas del circuito. Visto de otra manera, considerando a ϕ como la corriente y a λ como el voltaje o viceversa, el convertidor de potencia será representado como una interconexión retroalimentada entre un sistema dinámico invariante en el tiempo Σ d, que representa la topología del circuito, con un conjunto de características afines a trozos (ϕ, λ), representando las características corrientevoltaje de los dispositivos electrónicos, véase Figura 1. Una representación en espacios de estados de Σ d puede obtenerse con los métodos clásicos de análisis de circuitos. Por ejemplo el convertidor Buck-Boost de la Figura 2, se puede representar como el circuito de la Figura 3 colocando sus dispositivos electrónicos como cajas negras, para las cuales se toman sus voltajes y corrientes. Utilizando las leyes de Kirchoff se puede comprobar que las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico del convertidor tipo Buck-Boost, véase Figura 3, son las siguientes: Lẋ 1 = R 1 x 1 x 2 v 2 Cẋ 2 = x 1 1 R 2 x 2 i 1 v 1 = x 2 v 2 + e i 2 = x 1 + i 1 (1a) (1b) (1c) (1d) donde x es el vector de estados, u es el vector de entradas externas, A, B, C, D, E, F, g y h son matrices constantes, (z, w) son las llamadas variables de complementariedad. Los conjuntos Cπ y C π dependen de las conmutaciones controladas externas. En el caso específico del convertidor Buck-Boost, el modelo cónico de complementariedad queda de la siguiente manera, x = [x 1 x 2 ] T, u = e, z = [i 1 v 2 ] T, w = [v 1 i 2 ] T y las matrices A, B, C, D, E, F, g y h serán especificadas a lo largo del desarrollo del enfoque de complementariedad en las secciones subsiguientes. Los conjuntos Cπ y C π quedan definidos por las conmutaciones de los dispositivos electrónicos, en este caso DE 1 que es la conexión antiparalela de un MOSFET con un diodo ideal y DE 2 que es un diodo ideal. Si DE 1 está encendido Cπ = R R + y C π = {} R + o si DE 1 está apagado Cπ = R + R + y C π = R + R +. III. MODELO COMPLEMENTARIO DE LAS CARACTERÍSTICAS CORRIENTE-VOLTAJE DE DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS UTILIZANDO CIRCUITOS RDS Las características corriente-voltaje a trozos de los dispositivos electrónicos, se pueden representar usando circuitos RDS equivalentes. De estos circuitos equivalentes es fácil obtener una representación complementaria para las características del dispositivo. Para hacer el análisis matemático se define a (ϕ, λ) como un par de corriente y voltaje o viceversa. Este par cambia su pendiente en los llamados puntos de quiebre. Entonces, las características de los dispositivos electrónicos quedan definidas por su pendiente inicial σ, su pendiente final σ p y por sus puntos de quiebre {(Φ j+1, Λ j ), j = 1,..., p} con sus pendientes intermedias σ j, j=1,..., p-1, véase Figura 4. A. Características corriente-voltaje no decrecientes a trozos con sólo un punto de quiebre Fig. 3: Esquema equivalente del circuito de un convertidor DC-DC de tipo La relación no decreciente a trozos entre ϕ y λ puede Buck-Boost ser representada por un circuito RDS equivalente y luego ISBN: P-26

3 5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 212) 3 Fig. 4: Característica corriente-voltaje de un dispositivo electrónico con dos puntos de quiebre, la cual está definida por su pendiente inicial σ, su pendiente final σ 2, por sus puntos de quiebre (Φ 1, Λ ) y (Φ 2, Λ 1 ) y por su pendiente intermedia σ 1. Fig. 7: Característica corriente-voltaje no-decrecientes convexas de un dispositivo electrónico con tres puntos de quiebre. Fig. 8: Circuito RDS equivalente a las características corriente-voltaje nodecrecientes convexas de un dispositivo electrónico con p puntos de quiebre. Fig. 5: Izq. Característica (ϕ, λ) no-decreciente convexa. Der. Circuito RDS equivalente parametrizado por las variables complementarias z R p y w R p en la siguiente forma complementaria: ϕ = a s λ + b T s z + g s (4a) w = c s λ + D s z + h s (4b) z w (4c) donde a s, b s R p, g s R, c s R p, D s R p p, h s R p. La relación (4c) implica que para cada par de variables complementarias al menos una de ellas debe ser cero, es decir, la notación z w representa z T w = (el producto escalar es cero). En esta representación el número de variables complementarias es igual al número de puntos de quiebre. Cada punto de quiebre puede ser representado usando circuitos RDS dependiendo de sus características no decrecientes, ya sea convexa, como se muestra en la Figura 5, o cóncava, como se muestra en la Figura 6. En caso de que el punto de quiebre del par (ϕ, λ) tenga una característica no decreciente convexa se puede representar con el modelo complementario: ϕ = g λ + z 1 + Φ w 1 = λ + 1 g 1 z 1 + Λ 1 (5a) (5b) z 1 w 1 (5c) Una representación de un diodo ideal, puede obtenerse fácilmente utilizando el circuito RDS mostrado en la Figura 5, dando valores a Λ 1 =, Φ =, σ = g = y σ 1 = g 1 infinito. En caso de que el punto de quiebre del par (ϕ, λ) tenga una característica no decreciente cóncava se puede representar con el modelo complementario: ϕ = 1 r + r 1 (λ + r 1 z 1 Λ + r 1 Φ 1 ) (6a) w 1 = r 1 (λ + r z 1 Λ r Φ 1 ) (6b) r + r 1 z 1 w 1 (6c) B. Características no decrecientes convexas Considere las características no decrecientes convexas de la Figura 7. Todos los puntos de quiebre son convexos y σ j > σ j 1 para j = 1,..., p. Donde p = 3 y g = σ (7a) g j = σ j σ j 1, j = 1,...,p (7b) Fig. 6: Izq. Característica corriente-voltaje no-decreciente cóncava de un dispositivo electrónico con sólo un punto de quiebre. Der. Circuito RDS Estas características se puede representar mediante el circuito RDS equivalente de la Figura 8. Aplicando las leyes de equivalente para un dispositivo electrónico con características no-decreciente cóncava. Kirchoff de corrientes y de voltajes se obtienen las siguientes ISBN: P-26

4 5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 212) 4 Fig. 9: Característica corriente-voltaje no-decrecientes cóncavas de un dispositivo electrónico con tres puntos de quiebre. Fig. 11: Gráfica de las características corriente-voltaje de un Dispositivo Electrónico que puede ser idealizada por medio de escalares a trozos con características no decrecientes. Fig. 1: Circuito RDS equivalente a las características corriente-voltaje nodecrecientes cóncavas de un dispositivo electrónico con p puntos de quiebre. ecuaciones: ϕ = g λ + p k=1 z k + Φ (8a) w j = λ + 1 g j z j + Λ j, j = 1,...,p (8b) Ademï 1 2s las características de los diodos ideales del circuito puede ser modeladas como z j w j, j = 1,...,p (9) La representación de complementariedad (8), (9), puede ser reescrita en la forma (4). Fig. 12: Circuito RDS equivalente a las características corriente-voltaje mostradas en la Figura 11. Y aplicando la ley de corrientes de Kirchoff a cada nodo del circuito se obtiene w j = r j ϕ + r j z j r j Φ j, j = 1,...,p 1 (12a) w p = ϕ + z p r p + Φ p Sustituyendo (12a) en (11) y resolviendo para ϕ ϕ = 1 k=1 k= r λ r kz k + z p k k= r k k=1 + r kφ k Λ k= r k (12b) (13) El modelo de complementariedad (4), se obtiene sustituyendo (13) en (12). D. Características no decrecientes C. Características no decrecientes cóncavas Siguiendo lo anterior es posible construir un modelo complementario para una característica (ϕ, λ) a trozos no decre- Considere las características no decrecientes cóncavas de la Figura 9. Todos los puntos de quiebre son cóncavos, entonces ciente genérica, definida por un conjunto de puntos de quiebre, σ j < σ j 1 para j = 1,..., p. Donde p = 3 y la pendiente inicial y la pendiente final. El conjunto de puntos r = 1 de quiebre puede ser dividido en secuencias consecutivas de (1a) puntos de quiebres convexos y cóncavos. σ r j = 1 1 Dependiendo de las características no decrecientes del par, j = 1,...,p (1b) (ϕ, λ) se obtiene un circuito RDS equivalente conectando los σ j σ j 1 circuitos RDS de cada punto de quiebre. Por ejemplo, para construir una representación complementaria de las características corriente-voltaje no decrecientes de En la Figura 1, se presenta un circuito RDS equivalente a las características corriente-voltaje de la Figura 9. Aplicando un diodo, véase Figura 11, se puede utilizar un circuito RDS la ley de voltajes de Kirchoff al circuito se obtiene la ecuación equivalente, véase Figura 12, que integra los circuitos RDS λ = r ϕ + w del punto de quiebre cóncavo (, Λ ) y del punto de quiebre k + z p + Λ (11) convexo (, Λ k=1 1 ). ISBN: P-26

5 5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 212) 5 Aplicando las leyes de Kirchoff al circuito RDS equivalente queda el siguiente modelo cónico de complementariedad: ϕ 1 = z 1 ϕ 2 = z 2 w 1 = λ 1 Λ w 2 = λ z 2 + Λ 1 σ 2 (14a) (14b) (14c) (14d) ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 λ = λ 1 = λ 2. (14e) (14f) Sustituyendo λ por λ 1 y λ 2 en las ecuaciones (14c) y (14d), se puede obtener el modelo de complementariedad de la forma (4) con las matrices: a s =, b T s = [ 1 1 ], g s =, (15a) [ ] [ ] [ ] 1 Λ c s =, D 1 s = 1, h s =. (15b) σ 2 Λ 1 E. Dispositivos Electrónicos Controlados Para representar interruptores electrónicos controlados se utiliza la llamada forma de complementariedad cónica. El comportamiento de un interruptor ideal (IS, ideal switch) viene dado por: (IS está Encendido v IS = i IS R) (IS está Apagado v IS R i IS = ) (16) donde v IS es el voltaje a través del interruptor e i IS es la corriente a través del interruptor. La relación (16) puede ser expresada de la siguiente forma: Fig. 13: Circuito RDS que representa las características en los estados encendido y apagado del dispositivo electrónico controlado. de las ramas del circuito RDS representa el comportamiento del DE. Cuando el DE está encendido, el switch ideal 1 (IS 1 ) está encendido (π 1 = 1) y el switch ideal 2 (IS 2 ) está apagado (π 2 = 1), entonces las características (ϕ, λ) son representadas por la impedancia ξ ON. En el otro caso, cuando el DE está apagado, el switch ideal 1 (IS 1 ) está apagado (π 1 = 1) y el switch ideal 2 (IS 2 ) está encendido (π 2 = 1), entonces las características (ϕ, λ) son representadas por la impedancia ξ OF F. Entonces, para cada estado del DE, se puede decir que con π 1 = 1 (π 2 = 1) el DE está encendido y con π 1 = 1 (π 2 = 1) el DE está apagado, p ON y p OF F son los puntos de quiebre para las características (ϕ ON, λ ON ) y (ϕ OF F, λ OF F ) respectivamente. Usando las leyes de Kirchoff en el circuito RDS de la Figura 13, se obtienen las siguientes ecuaciones: ϕ = w IS1 + w IS2 K π z w K π (17) donde z = v IS, w = i IS, π = 1 si IS está Encendido, π = 1 si IS está Apagado. K = K = R +, K 1 = {}, K 1=R, K 1 =R, K 1 = {}, Los conjuntos K,K 1 y K 1 son conos y los conjuntos K,K1 y K 1 son los correspondientes conos duales. La novedad de la ecuación (17) con respecto a la condición de complementariedad (4c) es que el modelo del interruptor ideal puede también representar conmutaciones por medio de la función conmutadora π, la cual es variante en el tiempo. Con π = constante, si las variables complementarias (z i, w i ) son asociadas a un diodo ideal. Para modelar las características corriente-voltaje del DE controlado se consideran dos casos, el primero con (ϕ ON, λ ON ) siendo las características corriente-voltaje, cuando el dispositivo esté encendido; y el segundo, el par (ϕ OF F, λ OF F ) las características corriente-voltaje, cuando el dispositivo esté apagado, ϕ es la corriente y λ es el voltaje del dispositivo. Dos switches ideales controlados se utilizan para cambiar de un estado a otro del DE, esto significa que sólo una w IS1 w IS2 = ϕ ON = a ON λ ON + b T ONz ON + g ON = a ON λ + a ON z IS1 + b T ONz ON + g ON = ϕ OF F = a OF F λ + a OF F z IS2 + b T OF F z OF F + g OF F w ON = c ON λ + c ON z IS1 + D ON z ON + h ON w OF F = c OF F λ + c OF F z IS1 + D OF F z OF F + h OF F Usando el modelo del interruptor ideal dado anteriormente es posible modelar cualquier dispositivo electrónico que tenga características de conmutación a trozos en la llamada forma de complementariedad cónica ϕ = a s λ + b T s z + g s w = c s λ + D s z + h s C π z w C π (19a) (19b) (19c) Las ecuaciones (18) pueden ser facilmente reescritas de la forma de complementariedad cónica (19). IV. MODELO COMPLEMENTARIO PARA CONVERTIDORES DE POTENCIA A. Modelo de complementariedad cónica conmutado Considerando la corriente y el voltaje en cada i-ésimo dispositivo electrónico como una entrada ϕ d, o como una salida λ d, para la parte restante del circuito que representa la parte dinámica del sistema, el modelo del circuito obtenido por ISBN: P-26

6 5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 212) 6 electrónicos (21), que forman el modelo de complementariedad cónica conmutado. Sustituyendo (21a) en (2) se obtiene ẋ = A d x B d [Ãs λ s + B s z + g s ] + E d u (22a) λ d = C d x D d [Ãs λ s + B s z + g s ] + F d u (22b) w = C s λ s + D s z + h s (22c) Fig. 14: Sistema retroalimentado del modelo de complementariedad cónico conmutado de un convertidor de potencia Después de un poco de álgebra, el modelo anterior puede ser escrito como el modelo (3) con las matrices dadas por: extracción de N s dispositivos electrónicos se puede describir como: ẋ = A d x + B d ϕ d + E d u λ d = C d x + D d ϕ d + F d u (2a) (2b) donde x es el vector de estados, u es el vector de entrada, ϕ d y λ d son vectores con N s componentes, y (ϕ si, λ si ) = ( ϕ di, λ di ) representa las características del i-ésimo dispositivo electrónico. Reuniendo los modelos complementarios de los N s dispositivos electrónicos en el siguiente modelo de complementariedad cónico: donde M = A:=A d B d à s M 1 C d B:=B d à s M 1 D d Bs B d Bs C:= C s M 1 C d D:= D s C s M 1 D d Bs E:= B d à s M 1 F d + E d F := C s M 1 F d g:= B d à s M 1 D d g s B d g s h:= h s C s M 1 D d g s (I + D d à s ). (23a) (23b) (23c) (23d) (23e) (23f) (23g) (23h) i=1 ϕ s = Ãsλ s + B s z + g s (21a) w = C s λ s + D s z + h s C π z w C π N s Cπ ( = Kπi Kπ i R p ON i + R p OF F i ) + (21b) (21c) donde ϕ s R Ns, λ s R Ns, Ãs R Ns Ns, B s R Ns p con p = N s i=1 (2 + p ON i + p OF F i ), g s R Ns, C s R p Ns, D s R p p, h s R p. Las matrices anteriores están dadas por: à s = diag {a si } i = 1,..., N s b T s 1 B s =..... b T s Ns g s = col {g si } i = 1,..., N s c s1 C s =..... c sns D s = diag {D si } i = 1,..., N s V. MODELO DE COMPLEMENTARIEDAD DE UN CONVERTIDOR DC-DC TIPO BUCK-BOOST A. Modelo Σ d del convertidor Buck-Boost El convertidor se puede representar mediante el modelo (2), con x = [x 1 x 2 ] T, u = e, ϕ d = [i 1 v 2 ] T, λ d = [v 1 i 2 ] T y las siguientes matrices: [ R 1 A d = L C d = 1 L 1 C 1 R 2C [ 1 1 ] [, B d = ] [ 1, D d = 1 1 L 1 C ] [ 1, F d = ] [, E d = ] (24a) (24b) B. Modelo de los N s dispositivos electrónicos para el convertidor Buck-Boost 1) Modelo de los N s dispositivos electrónicos considerando diodos ideales: Las ecuaciones que describen las características corriente-voltaje de los dispositivos electrónicos, considerando el dispositivo electrónico 1 (DE 1 ), como una conexión antiparalela entre un diodo ideal y un mosfet, y el dispositivo electrónico 2 (DE 2 ), como un diodo ideal, son las siguientes: ] h s = col {h si } i = 1,..., N s ϕ s1 = ϕ d1 = z 1, DE 1 está ON (25a) λ s1 = λ d1 = w 1 (25b) En la Figura 14, se puede observar la retroalimentación del modelo Σ d, (2), con el modelo de los N s dispositivos K z 1 w 1 K (25c) ISBN: P-26

7 5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 212) 7 ϕ s1 = ϕ d1 = z 1, DE 1 está OFF (25d) λ s1 = λ d1 = w 1 (25e) K z 1 w 1 K (25f) ϕ s2 = ϕ d2 = z 2 (25g) λ s2 = λ d2 = w 2 (25h) z 2 w 2 (25i) Las matrices del modelo (3), se obtienen utilizando las ecuaciones (23). El modelo de complementariedad del convertidor Buck- Boost con diodos ideales en estado encendido, queda de la siguiente manera ẋ 1 = R 1 L x 1 1 L x 2 1 L z 2 ẋ 2 = 1 C x 1 1 R 2 C x 2 1 C z 1 w 1 = x 2 z 2 + u w 2 = x 1 + z 1 z 1 w 1 z 2 w 2 El modelo de complementariedad del convertidor Buck- Boost con diodos ideales en estado apagado, queda de la siguiente manera ẋ 1 = R 1 L x 1 1 L x L z 2 ẋ 2 = 1 C x 1 1 R 2 C x C z 1 w 1 = x 2 + z 2 u w 2 = x 1 z 1 z 1 w 1 z 2 w 2 VI. COMPARACIÓN DEL MODELO DE COMPLEMENTARIEDAD CON EL MODELO DE ORCAD PSPICE Para hacer una comparación del modelo de complementariedad con el modelo de Orcad Pspice debe considerarse el tiempo de integración. En los modelos de Orcad Pspice, el tiempo de integración es variable, lo cual hace necesario un tratamiento posterior a los datos que se obtienen del programa de simulación. La discretización de estos modelos se puede realizar mediante el metodo regresivo de Euler, quedando la discretización de la ecuación (3a) de la siguiente manera: x k = (I Aθ) 1 (x k 1 + Bθz k + Eθu k + gθ) (28) Donde k, representa la variable de tiempo discreta y θ representa el periodo de muestreo. La ecuación (3b) se puede discretizar como: w k = q k + Mz k (29) Fig. 15: Esquema del convertidor Buck-Boost con diodos ideales en Orcad Pspice Entonces, se puede resolver el problema de complementariedad cónico, dado q k, M, y π k, encontrando el vector z k para el cual C π z k w k C π, con w k dado por (29). El algoritmo de integración puede ser simplificado teniendo en consideración las variables complementarias utilizadas para la representación de dispositivos, cuando están en un estado determinado (Encendido o Apagado), por ejemplo, suponga que un dispositivo esté encendido, entonces, las variables complementarias del dispositivo en estado apagado no tienen influencia en la relación entre ϕ y λ, por lo tanto no afectan el comportamiento del convertidor. Seleccionando en cada paso las representaciones de los dispositivos electrónicos correspondientes a los estados encendido o apagado, el problema de complementariedad cónico se convierte en un sistema de complementariedad lineal. El problema de complementariedad lineal se resuelve, dado q k y M, encontrar un vector z k para el cual z k w k, para esto se utilizó el algoritmo de Lemke, [8]. Las integraciones numéricas se han hecho utilizando diferentes periodos de muestreo y tomando sus diferentes tiempos de simulación. A. Comparación del modelo del convertidor Buck-Boost Considerando valores de e = 12V, R 1 =.1Ω, C = 22µF, L = 15µH y R 2 = 2Ω, los resultados de la simulación del convertidor Buck-Boost con diodos ideales, véase Figura 16, demuestran como el modelo de complementariedad del convertidor Buck-Boost sigue de manera fiel la trayectoria del modelo de Orcad Pspice, véase Figura 15, corroborando lo mencionado para los convertidores anteriores. Con relación a las simulaciones se observan algunos resultados en la Tabla I. Se puede analizar que en este caso también se cumple que a medida que el periodo de muestreo es menor, se hace menor el error con la simulación del modelo de Orcad Pspice. Periodo de Muestreo θ 2. µs 1. µs.5 µs Tiempo de Simulación Pspice dideal 8.77 s 9.13 s s Tiempo de Simulación Compl. dideal 3.65 s 9.79 s s Error rms Compl. dideal.2815 A.5952 V.133 A.3159 V.728 A.1512 V TABLA I: Resultados de la simulación del convertidor Buck-Boost donde En las Figuras 17, se muestra el error rms entre las simulaciones del modelo de complementariedad y el modelo Orcad q k =C (I Aθ) 1 (x k 1 + Eθu k + gθ) + F u k + h (3a) M =D + C (I Aθ) 1 Pspice con diodos ideales para un periodo de muestreo de.5 Bθ (3b) µs. ISBN: P-26

8 5TO CONGRESO IBEROAMERICANO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ELÉCTRICA (V CIBELEC 212) 8 Corriente [A] Comparación entre la Corriente del modelo de complementariedad y el modelo Pspice (diodos ideales) tiempo (s) (a) Comparación entre la corriente de la bobina del modelo de complementariedad y el modelo Pspice Voltaje [V] Comparación entre el Voltaje del modelo de complementariedad y el modelo Pspice (diodos ideales) tiempo (s) (b) Comparación entre el voltaje del condensador del modelo de complementariedad y el modelo Pspice Fig. 16: Comparación de voltajes y corrientes del convertidor Buck-Boost con diodos ideales Corriente [A] Voltaje [V] Error entre la corriente del modelo de complementariedad y el modelo Pspice (diodos ideales) tiempo (s) Error entre el Voltaje del modelo de complementariedad y el modelo Pspice (diodos ideales) tiempo (s) Fig. 17: Error entre corriente (arriba) y voltaje (abajo) del modelo de complementariedad y el modelo Pspice del convertidor Buck-Boost con diodos ideales VII. CONCLUSIONES LCS Orcad LCS Orcad Los sistemas de complementariedad lineal son una nueva perspectiva para el modelado de sistemas eléctricos conmutados. Este enfoque permite la construcción de modelos de convertidores de potencia de una manera sencilla, ya que se puede abstraer el comportamiento de los dispositivos semiconductores separadamente de las ecuaciones de la topología del convertidor. Una desventaja de esto es que las ecuaciones que se obtienen son más complejas que las que se consiguen con otro enfoque de modelado. El modelado de la curva característica corriente-voltaje permite una aproximación cercana del comportamiento de los dispositivos electrónicos, pero no incluye las pérdidas de potencia ni los transitorios asociados a estos dispositivos. Es posible obtener una mejor aproximación de la curva de los dispositivos pero esto incrementa la complejidad de las ecuaciones al incluir mas pendientes. El modelo de los dispositivos electrónicos puede ser cambiado independientemente del modelo general del sistema, esto debido a la realimentación del modelo de los N s dispositivos con el modelo Σ d del convertidor, lo que da flexibilidad para realizar el modelado del sistema, lo que representa una ventaja con relación a los modelos promedios. Los tiempos de simulación del los modelos de complementariedad son más elevados que los tiempos de los modelos Orcad Pspice, pero por su desempeño, el enfoque de complementariedad es una herramienta valiosa para el análisis de convertidores de potencia y sistemas de características similares. En los circuitos promediados las ecuaciones del modelo representan la evolución del valor medio de las variables eléctricas del convertidor. En el modelo de complementariedad no se recurre a la promediación de estados para obtener la respuesta del sistema siendo esto una ventaja con relación a los circuitos promediados. Así mismo, una ventaja que se puede explotar para el diseño de controladores es que la retroalimentación del modelo de la topología del circuito Σ d, con el modelo de los dispositivos electrónicos preserva la pasividad, por lo cual, una vía interesante para desarrollar controladores para este modelo sería la de controladores basados en pasividad. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] R. Middlebrook and S. Ćuk, A general unified approach to modelling switching-converter power stages, in IEEE Power Processing and Electronics Specialists Conference, Cleveland, EEUU, 1976, pp [2] H. Sira-Ramirez, R. Ortega, and G. Escobar, Lagrangian modeling of switch regulated dc-to-dc power converters, in Proceedings of the 35th Conference on Decision and Control, Kobe, Japon, 1996, pp [3] M. Spinetti, Sintesis de controladores para convertidores de potencia utilizando realimentación de la salida pasiva de la dinámica exacta del error de seguimiento: Teoría y práctica, Ph.D. dissertation, Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona, España, 21. [4] F. Vasca, L. Iannelli, K. Çamlibel, and R. Frasca, A new perspective for modeling power electronics converters: Complementarity framework, IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 24, no. 2, pp , 29. [5] K. G. Murty, Linear complementarity problem, its geometry and applications, in Linear Complementarity, linear and nonlinear programming, 1997, pp [Online]. Available: murty/ [6] D. Olsson, Topics in optimization: The linear complementarity problem: Methods and applications, Disponible en [7] M. Çamlibel, W. Heemels, A. van der Schaft, and J. Schumacher, Switched networks and complementarity, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I, vol. 5, no. 8, pp , 23. [8] J. E. Lloyd, Fast implementation of lemke s algorithm for rigid body contact simulation, in IEEE International Conference on Robotics and Automation, Barcelona, España, 25, pp ISBN: P-26